1、2019-2020 学年江苏省南通市通州区、海安市高二（上）期末数学试卷 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项 中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （4 分）函数 f（x）x2sinx 在0，上的平均变化率为（ ） A1 B2 C D2 2 （4 分）命题： “x1，x2+x20”的否定是（ ） Ax1，x2+x20 Bx1，x2+x20 Cx1，x2+x20 Dx1，x2+x20 3 （4 分）已知直线
2、 l 的方向向量 （1，1，2） ，平面 的法向量 （，1） 若 l，则实数 的值为（ ） A2 B C D 4 （4 分）椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的 标准方程为（ ） A B C或 D或 5 （4 分）已知 a，b 为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（ ） A B+ C D 6 （4 分）探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源放在焦点 F 处己知灯口直径为 60cm，光源距灯口的深度为 40cm，则光源到反射镜的顶点的距离为（ ） 第 2 页（共 25 页） A5cm B10cm C15cm D20cm 7 （4 分）直线 y
3、x+b 能作为下列函数图象的切线的是（ ） Ay By2xcosx Cyln（x1） Dye2x 8（4 分） 已知 x， y 均为正实数， 且 x+y1， 若+的最小值为 9， 则正实数 a 的值为 （ ） A2 B4 C8 D80 9 （4 分）设 U 是全集，A，B 均是非空集合，则“存在非空集合 C，使得 CA，BUC” 是“AB”成立的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 10 （4 分）设等比数列an共有 2n+1（nN*）项，奇数项之积为 S，偶数项之积为 T，若 S， T100，120，则 an+1（ ） A B C20 D或 二、多项
4、选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 12 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 11 （4 分）设 ， ， 是空间一个基底（ ） A若 ， ，则 B则 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面 C对空间任一向量 ，总存在有序实数组（x，y，z） ，使 D则 + ， + ， + 一定能构成空间的一个基底 12 （4 分）已知双曲线 C：，则（ ） A双曲线 C 的离心率等于半焦距的长 第 3 页（共
5、 25 页） B双曲线与双曲线 C 有相同的渐近线 C双曲线 C 的一条准线被圆 x2+y21 截得的弦长为 D直线 ykx+b（k，bR）与双曲线 C 的公共点个数只可能为 0，1，2 13 （4 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差为 d已知 a312，S120，a70，则 （ ） Aa60 B CSn0 时，n 的最小值为 13 D数列中最小项为第 7 项 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 16 分其中第分其中第 17 题共有题共有 2 空，每空空，每空 2 分；其余题均为一空，每空分；其余题均为一空，每空 4 分请把
6、答案填写在答题卡相应位置上）分请把答案填写在答题卡相应位置上） 14 （4 分）已知函数 f（x）（x+a）lnx，f（x）是函数 f（x）的导函数若 f（1）f（1） ， 则实数 a 的值为 15 （4 分）已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 2.4m，外轮廓线上 的点到两个焦点的距离之和为 3m，则该椭圆的离心率为 16 （4 分）今年 10 月，宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为 160km/h假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度 v（m/s）与行使时间 t（s）的关系 v 0.4t+0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到 24m/s 时加速
7、度为 （m/s2） 17 （4 分）如图，ABC 中，BAC90，ABC30ABD 中，ADB90， ABD45，且 AC1将ABD 沿边 AB 折叠后， （1） 若二面角CABD为直二面角， 则直线CD与平面ABC所成角的正切值为 ； （2）若二面角 CABD 的大小为 150，则线段 CD 的长为 第 4 页（共 25 页） 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 82 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 18 （12 分）已知命题 p：方程表示焦点在 y 轴
8、的椭圆；命题 q：关于 x 的不等 式 x2mx2m2（m0）的解集中恰有两个正整数解 （1）若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）判断 p 是 q 成立什么条件？并说明理由 19 （14 分）已知数列an满足：a11，前 n 项和 Sn3n2pn，nN* （1）求实数 p 的值及数列an的通项公式； （2）在等比数列bn中，b1b2a1，b4a3+a4若bn的前 n 项和为 Tn，求证：数列 为等比数列 20 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的焦点 F 在 y 轴上，其准线与双 曲线 y2的下准线重合 （1）求抛物线的标准方程； （2）设 A（x0，y0
9、） （x00）是抛物线上一点，且 AF，B 是抛物线的准线与 y 轴的 交点过点 A 作抛物线的切线 l，过点 B 作 l 的平行线 l，直线 l与抛物线交于点 M， N，求AMN 的面积 第 5 页（共 25 页） 21 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABCBAD90，AD AP4，ABBC2，N 为 AD 的中点 （1）求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值； （2） 点M在线段PC上且满足， 直线MN与平面PBC所成角的正弦值为， 求实数 的值 22 （14 分）设等差数列an的公差 d 大于 0，前 n 项的和为 Sn已知 S318，a1，a3，a
10、7 成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）若对任意的 nN*，都有 k（Sn+18）an恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）设 bn（nN*） 若 s，tN*，st1，且 bsbt，求 s，t 的值 23 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 E：（ab0）的离心率为， 且椭圆 E 的短轴的端点到焦点的距离等于 2 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）己知 A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，过 x 轴上一点 P（异于原点）作斜率为 k 第 6 页（共 25 页） （k0）的直线 l 与椭圆 E 相交于 C，D 两点，且直线 AC 与 BD 相交于点 Q 若 k1
11、，求线段 CD 中点横坐标的取值范围； 判断是否为定值，并说明理由 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年江苏省南通学年江苏省南通市通州区、海安市高二（上）期末数市通州区、海安市高二（上）期末数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 40 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项 中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1 （4 分）函数 f（x）x2sinx 在0，上的
12、平均变化率为（ ） A1 B2 C D2 【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得 f（0） 、f（）的值，进而由变化率公式计 算可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）x2sinx，则 f（0）0，f（）2sin2， 则 f（x）在0，上的平均变化率为； 故选：C 【点评】本题考查变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题 2 （4 分）命题： “x1，x2+x20”的否定是（ ） Ax1，x2+x20 Bx1，x2+x20 Cx1，x2+x20 Dx1，x2+x20 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即P：x1，
13、x2+x20” ， 故选：D 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 3 （4 分）已知直线 l 的方向向量 （1，1，2） ，平面 的法向量 （，1） 若 l，则实数 的值为（ ） A2 B C D 【分析】利用线面平行的性质直接求解 【解答】解：直线 l 的方向向量 （1，1，2） ，平面 的法向量 （，1） l ， 第 8 页（共 25 页） 0， 解得 实数 的值为 故选：C 【点评】本题考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 4 （4 分）椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆
14、的 标准方程为（ ） A B C或 D或 【分析】根据题意，按椭圆的焦点位置分 2 种情况讨论，求出对应的椭圆方程，综合即 可得答案 【解答】解：根据题意，要求椭圆经过点（3，0） ，且长轴长是短轴长的 2 倍，分 2 种情 况讨论： ，椭圆的焦点在 x 轴上，则 a3，b， 此时椭圆的方程为+1， ，椭圆的焦点在 y 轴上，则 b3，则 a6， 此时椭圆的方程为+1； 故椭圆的方程为+1 或+1； 第 9 页（共 25 页） 故选：C 【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意分析椭圆焦点的位置，属于基础题 5 （4 分）已知 a，b 为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（ ） A B+
15、C D 【分析】利用基本不等式的性质即可判断出大小关系 【解答】解：a，b 为互不相等的正实数，则， ， 下列四个数中最大的数是 故选：B 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （4 分）探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源放在焦点 F 处己知灯口直径为 60cm，光源距灯口的深度为 40cm，则光源到反射镜的顶点的距离为（ ） A5cm B10cm C15cm D20cm 【分析】先以反射镜定点为原点，以定点和焦点所在直线为 x 轴，建立直角坐标系设 抛物线方程为 y22px，依题意可点（40，30）在抛物线上，代入抛物线方程，求得 p， 进而可
16、求得焦距，答案可得 【解答】解：以反射镜定点为原点，以定点和焦点所在直线为 x 轴，建立直角坐标系 设抛物线方程为 y22px， 依题意可点（40+，30）在抛物线上代入抛物线方程得 3022p（40+） 解得 p10，或 p90（舍去） 焦点坐标为（5，0） ，而光源到反射镜顶点的距离正是抛物线的焦距， 故选：A 第 10 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质再解抛物线问题时一定要注意焦点是在 x 轴还是在 y 轴 7 （4 分）直线 yx+b 能作为下列函数图象的切线的是（ ） Ay By2xcosx Cyln（x1） Dye2x 【分析】先求出函数的导函数，根据导数
17、与切线斜率的关系建立等式，看是否成立即可 得答案 【解答】解：对于 A，不成立； 对于 B，不成立； 对于 C，成立； 对于 D，不成立 直线能作为下列函数图象的切线的是 C 故选：C 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键利用导数与切线斜率 的关系，属于基础题 8（4 分） 已知 x， y 均为正实数， 且 x+y1， 若+的最小值为 9， 则正实数 a 的值为 （ ） A2 B4 C8 D80 【分析】根据题意可得：（x+y） （）1+a+，利用基本不等式的性 质可得其最小值，进而得出 a 【解答】解：x，y 均为正实数，且 x+y1，若的最小值为 9， 则（x+y）
18、（）1+a+1+a+21+a+29， 解得 a4 第 11 页（共 25 页） 故选：B 【点评】本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 9 （4 分）设 U 是全集，A，B 均是非空集合，则“存在非空集合 C，使得 CA，BUC” 是“AB”成立的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 “存在非空集合 C，使得 CA，BUC” ，B 与 A 可能有公共元素， “AB” “存在非空集合 C，使得 CA，BUC” ，由此能求出结果 【解答】解：设 U 是全集，A，B 均是非空集合， “存在非空集合 C，使得
19、 CA，BUC” ，B 与 A 可能有公共元素， “AB”“存在非空集合 C，使得 CA，BUC” ， “存在非空集合 C，使得 CA，BUC”是“AB”成立的必要不充分条件 故选：C 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查子集、交集定义等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 10 （4 分）设等比数列an共有 2n+1（nN*）项，奇数项之积为 S，偶数项之积为 T，若 S， T100，120，则 an+1（ ） A B C20 D或 【分析】本题先根据等比中项的性质化简得到 S，T然后根据当 S120， T100 时和当 S100，T120 时分别得到 an+1的值，由
20、此可得到 an+1的值 【解答】解：由题意，可知 Sa1a3a2n1a2n+1an+1， Ta2a4a2n 当 S120，T100 时，an+1； 当 S100，T120 时，an+1 第 12 页（共 25 页） 故选：D 【点评】本题主要考查等比中项的应用，及分类讨论思想的应用，属基础题 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 12 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 11 （4 分）设
21、 ， ， 是空间一个基底（ ） A若 ， ，则 B则 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面 C对空间任一向量 ，总存在有序实数组（x，y，z） ，使 D则 + ， + ， + 一定能构成空间的一个基底 【分析】利用 ， ， 是空间一个基底的性质直接求解 【解答】解：由 ， ， 是空间一个基底，知： 在 A 中，若 ， ，则 与 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中， ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面，故 B 正确； 在 C 中，对空间任一向量 ，总存在有序实数组（x，y，z） ，使，故 C 正 确； 在 D 中， + ， + ， + 一定能构成空间的一个基底，故 D 正确 故选：
22、BCD 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是基础题 12 （4 分）已知双曲线 C：，则（ ） A双曲线 C 的离心率等于半焦距的长 B双曲线与双曲线 C 有相同的渐近线 C双曲线 C 的一条准线被圆 x2+y21 截得的弦长为 D直线 ykx+b（k，bR）与双曲线 C 的公共点个数只可能为 0，1，2 第 13 页（共 25 页） 【分析】求出双曲线的离心率以及渐近线方程，通过直线与圆的位置关系以及直线与双 曲线的位置关系判断选项的正误即可 【解答】解：双曲线 C：，可得 a1，b2，c， 所以双曲线的离心率为：ec，所以
23、 A 正确； 双曲线的渐近线方程：y2x，双曲线的渐近线方程 yx，所以 B 不正 确； 双曲线 C 的一条准线 x被圆 x2+y21 截得的弦长为： 2， 所以 C 正 确； 直线 ykx+b（k，bR） ，点 b0 时，直线与双曲线的交点可能是 0 个，也可能是 2 个， 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线的交点是 1 个，所以直线与双曲线 C 的 公共点个数只可能为 0，1，2，正确； 故选：ACD 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是基本 知识的考查，中档题 13 （4 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，公差为 d已知 a312，S1
24、20，a70，则 （ ） Aa60 B CSn0 时，n 的最小值为 13 D数列中最小项为第 7 项 【分析】S120，a70，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a70，a60再 利用 a3a1+2d12，可得d3a10利用 S1313a70可得 Sn0 时，n 的最小值为 13数列中，n6 时，0.7n12 时，0n13 时， 0进而判断出 D 是否正确 【解答】解：S120，a70， 第 14 页（共 25 页） 0，a1+6d0 a6+a70，a60 2a1+11d0，a1+5d0， 又a3a1+2d12， d3a10 S1313a70 Sn0 时，n 的最小值为 13 数列中
25、，n6 时，0，7n12 时，0，n13 时，0 对于：7n12 时，0Sn0，但是随着 n 的增大而减小；an0， 但是随着 n 的增大而减小，可得：0，但是随着 n 的增大而增大 n7 时，取得最小值 综上可得：ABCD 都正确 故选：ABCD 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算 能力，属于难题 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共计分，共计 16 分其中第分其中第 17 题共有题共有 2 空，每空，每空空 2 分；其余题均为一空，每空分；其余题均为一空，每空 4 分请把答案填写在答题卡相应位置上）分请
26、把答案填写在答题卡相应位置上） 14 （4 分）已知函数 f（x）（x+a）lnx，f（x）是函数 f（x）的导函数若 f（1）f（1） ， 则实数 a 的值为 1 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（1）的值，求出函数的导数进而可得 f（1） 的值，据此可得 1+a0，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）（x+a）lnx，则 f（1）（1+a）ln10， 则 f（x）（x+a）lnx+（x+a） （lnx）lnx+（1+） ，则 f（1）ln1+1+a1+a， 则有 1+a0，解可得 a1； 第 15 页（共 25 页） 故答案为：1 【点评】本题考查导数
27、的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题 15 （4 分）已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 2.4m，外轮廓线上 的点到两个焦点的距离之和为 3m，则该椭圆的离心率为 【分析】利用已知条件求出，c，求出 a，然后求解椭圆的离心率即可 【解答】解：一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 2.4m，c1.2 外轮廓线上的点到两个焦点的距离之和为 3m，a1，5， 则该椭圆的离心率为：e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 16 （4 分）今年 10 月，宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为 160km/
28、h假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度 v（m/s）与行使时间 t（s）的关系 v 0.4t+0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到 24m/s 时加速度为 7.6 （m/s2） 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 v0.4t+0.6t224，解可得 t 的值，进而求出函 数的导数，将 t 的值代入计算可得答案 【解答】解：根据题意，v0.4t+0.6t2，若 v0.4t+0.6t224，解可得 t6 或， 则 t6， 又由 v0.4t+0.6t2，则 v0.4+1.2t，则 v|x60.4+1.267.6， 即此时“绿巨人”的加速度为 7.6m/s2， 故答案为：7.6 【点评】本题考
29、查导数的几何意义以及计算，注意速度与加速度的关系，属于基础题 17 （4 分）如图，ABC 中，BAC90，ABC30ABD 中，ADB90， ABD45，且 AC1将ABD 沿边 AB 折叠后， （1）若二面角 CABD 为直二面角，则直线 CD 与平面 ABC 所成角的正切值为 ； （2）若二面角 CABD 的大小为 150，则线段 CD 的长为 2 第 16 页（共 25 页） 【分析】作出二面角 CABD 的平面角 （1）当二面角 CABD 为直角时，判断出直线 CD 与平面 ABC 所成的角，解直角三 角形求得线面角的正切值 （2）当二面角 CABD 大小为 150 时，结合余弦定理
30、进行解三角形，由此求得 CD 的长 【解答】 解： 依题意ABC 中， BAC90， ABC30， ABD 中， ADB90， ABD45，且 AC1， ， 设 E，F 分别是 AB，BC 的中点， ， DEF 是二面角 CABD 的平面角，FBFC1， （1）当二面角 CABD 为直二面角时，由于 DEAB，根据面面垂直的性质可知 DE 平面 ABC， DCE 是直线 CD 与平面 ABC 所成角， 在 RtDEC 中，； （2）当二面角 CABD 的大小为 150时，即DEF150， 在DEF 中，由余弦定理可得， 在DBF 和DBC 中，cosDBFcosDBC， 由余弦定理可得，解得
31、CD2 故答案为：，2 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查根据二面角求线面角、线段长度，考查空间想象能力和逻辑推理 能力，考查余弦定理，属于中档题 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 82 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 18 （12 分）已知命题 p：方程表示焦点在 y 轴的椭圆；命题 q：关于 x 的不等 式 x2mx2m2（m0）的解集中恰有两个正整数解 （1）若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）判断 p 是 q 成立什
32、么条件？并说明理由 【分析】 （1）由方程表示焦点在 y 轴的椭圆得到关于 m 的不等式组，求解 得答案； （2）求出不等式 x2mx2m2（m0）的解集，结合题意求得 m 的范围，由集合间的 关系结合充分必要条件的判断得答案 【解答】解： （1）若 p 为真命题，则，解得 0m； （2）当 m0 时，不等式 x2mx2m2的解集为x|mx2m 不等式 x2mx2m2（m0）的解集中恰有两个正整数解， 22m3，解得 1m m|1mm|0m， 第 18 页（共 25 页） p 是 q 成立的必要不充分条件 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，是基础题 19 （14 分
33、）已知数列an满足：a11，前 n 项和 Sn3n2pn，nN* （1）求实数 p 的值及数列an的通项公式； （2）在等比数列bn中，b1b2a1，b4a3+a4若bn的前 n 项和为 Tn，求证：数列 为等比数列 【分析】 （1）由 n1 时，a1S1，可得 p 的值；由 n2 时，anSnSn1，化简可得所 求通项公式； （2）设等比数列的公比为 q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和 公比，由等比数列的求和公式和等比数列的定义，即可得证 【解答】解： （1）a11，前 n 项和 Sn3n2pn，可得 a1S13p1，可得 p2； n2 时，anSnSn13n22n3（n
34、1）2+2（n1）6n5，对 n1 也成立， 可得 an6n5，nN*； （2）证明：设等比数列的公比为 q，b1b2a1，b4a3+a4，b12q1，b1q313+1932， 解得 q4，b1，则 Tn（4n1） ， Tn+4n，由4， 可得数列为首项为，公比为 4 的等比数列 【点评】本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用， 考查化简运算能力，属于基础题 20 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的焦点 F 在 y 轴上，其准线与双 曲线 y2的下准线重合 （1）求抛物线的标准方程； （2）设 A（x0，y0） （x00）是抛物线上一点，
35、且 AF，B 是抛物线的准线与 y 轴的 交点过点 A 作抛物线的切线 l，过点 B 作 l 的平行线 l，直线 l与抛物线交于点 M， N，求AMN 的面积 第 19 页（共 25 页） 【分析】 （1）由题意求得 p，由此即可求得标准方程； （2）容易求得直线 l 的方程，进而得到直线 l的方程，与抛物线方程联立，由根与系 数的关系即可得解 【解答】解： （1）双曲线的下准线方程为， 设抛物线的标准方程为 x22py（p0） ， 由题意，解得 p1， 抛物线的标准方程为 x22y； （2）由得 y02，故点 A 的坐标为（2，2） ， 由 x22y，即得，yx， 抛物线在点 A 处切线 l
36、 的斜率为 2， 直线 l 的方程为 y22（x2） ，即 2xy20， 抛物线的准线与 y 轴的交点 B 的坐标为， 直线 l 的平行线 l的方程为， 由可得，x24x+10， 设点 M，N 的横坐标分别为 x1，x2，则 x1+x24，x1x21， ， 记直线 l 与 y 轴的交点为 P，则点 P 的坐标为（0，2） ， SAMNSPMNSPBMSPBN 第 20 页（共 25 页） 【点评】本题考查抛物线的定义及标准方程，考查直线与抛物线的综合问题，考查运算 能力及逻辑推理能力，属于中档题 21 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABCBAD90，AD AP
37、4，ABBC2，N 为 AD 的中点 （1）求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值； （2） 点M在线段PC上且满足， 直线MN与平面PBC所成角的正弦值为， 求实数 的值 【分析】 （1）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值 （2）求出平面 PBC 的法向量，利用直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为，能 求出 【解答】解： （1）证明：PA平面 ABCD，BAD90， 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， ADAP4
38、，ABBC2，N 为 AD 的中点， A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，D（0，4，0） ，P（0，0，4） ，N（0，2， 0） ， （2，0，4） ，（2，2，0） ， 设异面直线 PB 与 CD 所成角为 ， 则 cos 异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值为 （2）设平面 PBC 的法向量 （x，y，z） ， 第 21 页（共 25 页） （0，2，0） ，（2，0，4） ， ，取 z1，得 （2，0，1） ， （2，2，4） ，（2，2，4） ， （2，22，44） ， 直线 MN 与平面 PBC 所成角的正弦值为， |cos | ， 化简，得 1222
39、0+70， 解得或 M 在线段 PC 上， 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查满足结面角的实数值的求法， 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、向量法等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题 22 （14 分）设等差数列an的公差 d 大于 0，前 n 项的和为 Sn已知 S318，a1，a3，a7 成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）若对任意的 nN*，都有 k（Sn+18）an恒成立，求实数 k 的取值范围； （3）设 bn（nN*） 若 s，tN*，st1，且 bsbt，求 s，t 的值 第 22 页（共 25 页） 【分析】 （1）由等差数列的通项公式和等比数
40、列的中项性质，解方程可得首项和公差， 进而得到所求通项公式； （2）由等差数列的求和公式和不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数， 运用基本不等式可得最值，进而得到所求范围； （3）求得 bn，运用作差法，判断单调性，可得所求值 【解答】 解： （1） S318， a1， a3， a7成等比数列， 可得 3a1+3d18， a32a1a7， 即 （a1+2d） 2a1（a1+6d） ，即 a12d， 解得 d2，a14，则 an4+2（n1）2n+2； （2）Snn（4+2n+2）n2+3n， 对任意的 nN*，都有 k（Sn+18）an恒成立， 即为 k（n2+3n+18）2n+2
41、，即 k恒成立，设 f（n）， 由，当且仅当 n+1，即 n3 时， 上式取得等号，则 f（n）的最大值为，则 k； （3）， bn+1bn， 所以 b1b2b3b4b5 由 s，tN*，st1，可得 s3，t2，即 bsbt， 故符合题意的 s3，t2 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，考查 数列不等式恒成立问题解法、数列的单调性的判断和运用，考查化简运算能力，属于中 档题 23 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 E：（ab0）的离心率为， 且椭圆 E 的短轴的端点到焦点的距离等于 2 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）己知 A，
42、B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，过 x 轴上一点 P（异于原点）作斜率为 k 第 23 页（共 25 页） （k0）的直线 l 与椭圆 E 相交于 C，D 两点，且直线 AC 与 BD 相交于点 Q 若 k1，求线段 CD 中点横坐标的取值范围； 判断是否为定值，并说明理由 【分析】本题第（1）题根据题干可列出方程组，解出 a、c 的值，再通 过进一步计算可得椭圆 E 的标准方程；第（2）题第小题可设点 P 坐标为（m，0） ，m 0则直线 l：yxm联立直线 l 与椭圆 E 方程，消去 y 整理得到一元二次方程，则 64m2167（m23）48（m27）0，初步得到m0，或 0m 再根据韦
43、达定理有 x1+x2，则 x0由此可计算出线段 CD 中点横坐 标的取值范围；第小题设直线 l 斜率为 k，则直线 l：yk（xm） 联立直线 l 与椭圆 E 方程，消去 y 整理得到一元二次方程，根据韦达定理有则 x1+x2，x1x2 再写出直线 AC 与直线 BD 的直线方程，两个直线交点的横坐标即为 xQ， 则有（xQ+2）（xQ2） ，通过代入计算得到 xQ则xPxQ m4是为定值 【解答】解： （1）由题意，可得 ，解得 a24，b2a2c2413 椭圆 E 的标准方程为+1 （2）当 k1 时，设点 P 坐标为（m，0） ，m0则 直线 l：yxm 设 C（x1，y1） ，D（x2
44、，y2） ，设线段 CD 中点横坐标为 x0，则 x0 第 24 页（共 25 页） 联立， 整理，得 7x28mx+4（m23）0 则64m2167（m23）48（m27）0，即 m27， m0，m0，或 0m x1+x2， x0 0，或 0 x0的取值范围为（，0）（0，） 由题意，点 D（x2，y2）在椭圆 E 上，则 +1，（4） ，即， 设直线 l 斜率为 k，则直线 l：yk（xm） 联立， 整理，得（4k2+3）x28k2mx+4（k2m23）0 则 x1+x2，x1x2 直线 AC 的斜率 kAC，lAC：y（x+2） ； 直线 BD 的斜率 kBD，lBD：y（x2） 设 Q 点横坐标为 xQ，则 （xQ+2）（xQ2） 整理，得 第 25 页（共 25 页） （x1+2） （x2+2）x1x2+2（x1+x2）+4 +2+4 y1y2k2（x1m） （x2m） k2x1x2m（x1+x2）+m2 k2m+m2 解得 xQ xPxQm4 是一个定值 【点评】本题主要考查了直线与椭圆综合的问题，考查了转化思想的应用，设而不求方 法的应用，方程思想的应用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力本题属综合性较强 的较难题
