1、2018-2019 学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答题纸相应位分请把答案填写在答题纸相应位 置上置上 1 （5 分）抛物线 y22x 的焦点坐标为 2 （5 分）命题“xR，x210”的否定是 3 （5 分）已知函数 f（x）2lnx+x，则 f（1）的值为 4 （5 分）直线 2xy0 与直线 2xy+0 之间的距离为 5 （5 分）已知双曲线 C：1 的右焦点为 F，则 F 到双曲线 C 的渐近线的距离 为 6 （5 分）函数 y4x2+的单调递增区间是 7 （5 分）已知圆柱
2、的底面半径为 1，体积为 4，则这个圆柱的表面积是 8 （5 分）已知 AB 是圆 C：x2+y24x+2y+20 的一条弦，M（1，0）是弦 AB 的中点，则 直线 AB 的方程为 9 （5 分）已知椭圆1 的左焦点为 F1，点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为 坐标原点，若点 M 是线段 PF1的中点，则MOF1的周长为 10 （5 分） “a9”是“圆 x2+y21 与圆 x2+y2+6x8y+a0 相切”的 条件 （填写 “充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”之一） 11 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 6，E，F 分
3、别为线段 AA1，B1C 上的 点，则三棱锥 D1DEF 的体积为 12 （5 分）若函数 y2sinx+ax 在0，2上单调递增，则实数 a 的取值范围为 13 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的右焦点为 F，上顶点为 B，直线 BF 与 第 2 页（共 19 页） 椭圆 C 的另一个交点为 A，若，则椭圆 C 的离心率为 14 （5 分）已知函数 f（x），其中 e 是自然对数的底数若 集合xZ|x（f（x）m）0中有且仅有 4 个元素，则整数 m 的个数为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出分请在答题纸
4、指定的区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1是正方形，D，E，F，G 分别为线段 AB，AA1，CC1，B1C1的中点，DECG （1）求证：A1B平面 CDE； （2）求证：CG平面 A1BF 16 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，2） ，B（3，3） ，AOB 的外接圆为 圆 M （1）求圆 M 的标准方程； （2）若过点 C（1，0）的直线 l 被圆 M 截得的弦长为，求直线 l 的方程 17 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA平
5、面 ABCD，且四边形 ABCD 为直角 梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1，Q 为棱 PB 的中点 （1）求异面直线 DP 与 CQ 所成角的余弦值； （2）求直线 DP 与平面 CDQ 所成角的正弦值 第 3 页（共 19 页） 18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：l（ab0）的右顶点 为 A，右准线为 l：x4，离心率为，椭圆上的点 P，Q 关于原点 O 对称，且点 P 在 x 轴上方，直线 PA，QA 分别交右准线 l 于点 M，N （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 P 的横坐标为，求AMN 的面积； （3）是否存在点 P，使得AMN 的面
6、积是APQ 的面积的 2 倍？若存在，求出点 P 的 坐标：若不存在，说明理由 19 （16 分）现要设计一个杯形容器，它由上下两部分组成，上部杯盖的形状是圆台 OO1， 下部杯体的形状是圆台 OO2（如图所示） ，各底面半径满足 OA：O1B：O2C4：3：2 （1）若 O1B3OO12cm，求杯盖的侧面积； （2）若圆台 OO2的母线 AC 长 12cm，设 OO2xcm，当 x 为多少时，下部杯体的容积最 大？ 第 4 页（共 19 页） 20 （16 分）已知函数 f（x）2lnx+1，aR （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f （1） ）处的切线方程； （2）求函数 f
7、（x）在（1，+）上的极值； （3）设函数 g（x）（xa）2lnx，若对任意的实数 x1，e，不等式 g（x）4e2恒 成立（e 是自然对数的底数） ，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在答题纸相应位分请把答案填写在答题纸相应位 置上置上 1 （5 分）抛物线 y22x 的焦点坐标为 【分析】焦点在 x 轴的正
8、半轴上，且 p1，利用焦点为（，0） ，写出焦点坐标 【解答】解：抛物线 y22x 的焦点在 x 轴的正半轴上，且 p1，故焦点坐标 为（，0） ， 故答案为： （，0） 【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求的值是解题的关键 2 （5 分）命题“xR，x210”的否定是 xR，x210 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“xR，x210”的否定 是：xR，x210 故答案为：xR，x210 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题 3 （5 分）已知函数 f（x）2lnx+x，
9、则 f（1）的值为 3 【分析】求函数的导数，令 x1 进行求解即可 【解答】解：的导数为 f（x）+1， 则 f（1）2+13， 故答案为：3 【点评】本题主要考查函数的导数计算，根据函数的导数公式求出函数的导数是解决本 题的关键 4 （5 分）直线 2xy0 与直线 2xy+0 之间的距离为 1 【分析】直接利用两条平行直线间的距离公式，求得结果 第 6 页（共 19 页） 【解答】解：直线 2xy0 与直线 2xy+0 之间的距离为 1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，属于基础题 5 （5 分）已知双曲线 C：1 的右焦点为 F，则 F 到双曲线 C
10、的渐近线的距离为 4 【分析】求出双曲线的 a，b，c，可设 F（5，0） ，设双曲线的一条渐近线方程，运用点 到直线的距离公式计算即可得到 【解答】解：双曲线 C：1 的 a3，b4，c5， 则可设 F（5，0） ， 设双曲线的一条渐近线方程为 3y4x， 则 F 到渐近线的距离为 d4 故答案为：4 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离 公式，考查运算能力，属于中档题 6 （5 分）函数 y4x2+的单调递增区间是 （，+） 【分析】先对函数求导，然后由 y0 可得 x 的 范围，从而可求函数的单调递增区间 【解答】解析：y8x，令 y0，解得 x，
11、则函数的单调递增区 间为（，+） 故答案： （，+） 【点评】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用，属于基础试题 7 （5 分）已知圆柱的底面半径为 1，体积为 4，则这个圆柱的表面积是 10 【分析】根据圆柱的体积求出母线长，再计算圆柱的表面积 【解答】解：圆柱的体积为 V12l4，解得 l4； 所以圆柱的表面积为 S2r2+2rl212+21410 第 7 页（共 19 页） 故答案为：10 【点评】本题考查了圆柱的体积与表面积的计算问题，是基础题 8 （5 分）已知 AB 是圆 C：x2+y24x+2y+20 的一条弦，M（1，0）是弦 AB 的中点，则 直线 AB 的方程为
12、 xy10 【分析】根据题意，求出圆 C 的圆心，由垂径定理可得直线 CM 与直线 AB 垂直，求出 直线 CM 的斜率，即可得直线 AB 的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案 【解答】解：根据题意，圆 C：x2+y24x+2y+20，即（x2）2+（y+1）23，其圆心 C 为（2，1） ， M（1，0）是弦 AB 的中点，则直线 CM 与直线 AB 垂直， 又由 KCM1，则 KAB1， 则直线 AB 的方程为 y0（x1） ，即 xy10， 故答案为：xy10 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系以及垂径定理的应 用，属于基础题 9 （5 分）已知椭圆1 的左焦
13、点为 F1，点 P 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为 坐标原点，若点 M 是线段 PF1的中点，则MOF1的周长为 8 【分析】由椭圆的方程求出 a、b、c，画出图形，利用椭圆的性质以及椭圆的定义，求解 即可 【解答】解：椭圆1， 可得 a5，b4，c3 由题意可知如图： 连结 PF2，点 M 是线段 PF1的中点， 可得 OM 为PF1F2的中位线， OMPF2， 由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|2a， |MF1|+|MO|a5 F1OM 的周长为：a+c5+38 第 8 页（共 19 页） 故答案为：8 【点评】本题主要考查椭圆的定义的应用，根据中位线的性质是解决本题的关键 10（
14、5 分）“a9” 是 “圆 x2+y21 与圆 x2+y2+6x8y+a0 相切” 的 充分不必要 条件（填 写“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”之一） 【分析】根据利用内切和外切的等价条件求出 a 的值，结合充分条件和必要条件的定义 进行判断即可 【解答】解：由 x2+y2+6x8y+a0 得（x+3）2+（y4）225a，则 a25， 圆心 C（3，4） ，半径 R， 若两圆外切则|OC|1+5， 得4，得 25a16，得 a9， 若两圆内切，则|OC|15， 即6，得 25a36，得 a11， 即 a9”是“圆 x2+y21 与圆 x2+y2+6x
15、8y+a0 相切”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合圆外切和内切的等价条件是解 决本题的关键 11 （5 分）如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 6，E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的 点，则三棱锥 D1DEF 的体积为 36 第 9 页（共 19 页） 【分析】由已知直接利用等积法求三棱锥 D1DEF 的体积 【解答】解：B1C平面 EDD1，F 为线段 B1C 上的点， F 到平面 EDD1的距离为正方体的棱长为 6， E 为线段 AA1上的点，E 到 DD1的距离为 6， 故答案为：36 【点评】本题考查利用等积法
16、求多面体的体积，是基础题 12 （5 分） 若函数 y2sinx+ax 在0， 2上单调递增， 则实数 a 的取值范围为 2， +） 【分析】求出函数的导数，问题转化为 a（2cosx）max，x0，2，求出 a 的范围即 可 【解答】解：y2cosx+a， 若函数在0，2递增， 则 y2cosx+a0 在0，2恒成立， 即 a（2cosx）max，x0，2， 故 a2， 故答案为：2，+） 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道 常规题 13 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的右焦点为 F，上顶点为 B，直线 BF 与 第 10 页（共 19 页）
17、椭圆 C 的另一个交点为 A，若，则椭圆 C 的离心率为 【分析】利用直线方程以及椭圆方程，求出 A 的坐标，结合已知条件，求解离心率即可 【解答】解：由题意可知：B（0，b） ，F（c，0） ，AB 的方程：，椭圆 C： 1（ab0）可得： （c2+a2）y22bc2y+c2b2a2b20， 可得 A 的纵坐标：yB，yB+b，解得 yBb， ，可得：，解得 e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 14 （5 分）已知函数 f（x），其中 e 是自然对数的底数若 集合xZ|x（f（x）m）0中有且仅有 4 个元素，则整数 m 的个数为 34 【分析】由
18、 x0A，画出函数图象，x（f（x）m）0 等价于当 x0 时，f（x）m； 当 x0 时，mf（x） ，平移 ym，符合条件的整数根，除零外有三个即可，由此能求 出满足条件的整数 m 的个数 【解答】解：x0A，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可 画出 f（x）的图象如下图： 当 x0 时，f（x）m；当 x0 时，mf（x） 即 y 轴左侧的图象在 ym 下面，y 轴右侧的图象在 ym 上面， f（3）39+189，f（4）316+2424， f（3）（3）33（3）2+44， 第 11 页（共 19 页） f（4）（4）33（4）2+420， 平移 ya，由图可知： 当24a9 时
19、，A1，2，3，符合题意； a0 时，A1，1，2，符合题意； 2a3 时，A1，1，2，符合题意； 4a20 时，A1，2，3，符合题意； 整数 m 的值为23，22，21，20，19，18，17，16，15，14， 13，12，11，10，9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16， 17，18，19，共 34 个 故答案为：34 【点评】本题考查不等式的整数解的个数的求示，考查函数性质等基础知识，考查运算 求解能力，考查数形结合思想，是难题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写
20、出分请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1是正方形，D，E，F，G 分别为线段 AB，AA1，CC1，B1C1的中点，DECG （1）求证：A1B平面 CDE； （2）求证：CG平面 A1BF 第 12 页（共 19 页） 【分析】 （1）推导出 A1BDE，由此能证明 A1B平面 CDE （2）由 A1BDE，DECG，得 A1BCG，由 F、G 分别为线段 CC1，B1C1的中点，得 RtGC1CRtFCB， 从而CGC1BFC 进而BFCG， 由此能证明CG平
21、面A1BF 【解答】 证明： （1） 因为 D， E 分别为 AB， AA1的中点， 所以 A1BDE， （2 分） 又因为 DE平面 CDE，A1B平面 CDE， 所以 A1B平面 CDE（6 分） （2）由（1）知，A1BDE，因为 DECG，所以 A1BCG（8 分） 在正方形 BCC1B1中，F、G 分别为线段 CC1，B1C1的中点， 所以，所以 RtGC1CRtFCB， 所以CGC1BFC设 CGBFH， 则CHF（GCC1+BFC）（GCC1+CGC1）， 即 BFCG，（10 分） 又因为 A1BBFB，A1B，BF平面 A1BF， 所以 CG平面 A1BF（14 分） 【点评
22、】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 16 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，2） ，B（3，3） ，AOB 的外接圆为 第 13 页（共 19 页） 圆 M （1）求圆 M 的标准方程； （2）若过点 C（1，0）的直线 l 被圆 M 截得的弦长为，求直线 l 的方程 【分析】 （1）设出圆的标准方程，由已知列关于 a，b，r 的方程组，求解即可得到答案； （2）若直线 l 的斜率不存在，则方程为 x1，此时弦长为 4，不符合题意；因此直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 yk（x1） ，
23、利用垂径定理求弦长列式求得 k，则直线方程 可求 【解答】解： （1）设圆 M 的标准方程为（xa）2+（yb）2r2， 则，解得 故圆 M 的标准方程为（x2）2+（y1）25； （2）若直线 l 的斜率不存在，则方程为 x1，此时弦长为 4，不符合题意； 因此直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 yk（x1） ， 此时弦长为， 即 2k25k+20，解得 k或 k2， 直线 l 的方程为 x2y10 或 2xy20 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的标准方程的求法，是基础的计算 题 17 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，已知 PA平面 ABCD，且四边形 ABC
24、D 为直角 梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1，Q 为棱 PB 的中点 （1）求异面直线 DP 与 CQ 所成角的余弦值； （2）求直线 DP 与平面 CDQ 所成角的正弦值 第 14 页（共 19 页） 【分析】 （1）推导出 PAAB，PAAD以 A 为原点，AB，AD，AP 分别为 x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz，利用向量法能求出异面直线 DP 与 CQ 所成角的余弦 值 （2）求出平面 CDQ 的法向量和平面 CDQ 的一个法向量，利用向量法能求出直线 DP 与 平面 CDQ 所成角的正弦值 【解答】解： （1）因为 PA平面 ABCD，AB，AD平面
25、ABCD， 所以 PAAB，PAAD 以 A 为原点，AB，AD，AP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz， 则 B（1，0，0） ，C（1，1，0） ，D（0，2，0） ，P（0，0，2） ，Q（，0，1） （2 分） （0，2，2） ，（，1） ， cos， 故异面直线 DP 与 CQ 所成角的余弦值为（6 分） （2）（） ，（1，1，0） ， 设平面 CDQ 的法向量为 （x，y，z） ， 则，令 x2，则（2，2，3）是平面 CDQ 的一个法向 量，（10 分） 从而 cos， 故直线 DP 与平面 CDQ 所成角的正弦值为（14 分） 第 15 页（共 1
26、9 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档 题 18 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：l（ab0）的右顶点 为 A，右准线为 l：x4，离心率为，椭圆上的点 P，Q 关于原点 O 对称，且点 P 在 x 轴上方，直线 PA，QA 分别交右准线 l 于点 M，N （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 P 的横坐标为，求AMN 的面积； （3）是否存在点 P，使得AMN 的面积是APQ 的面积的 2 倍？若存在，求出点 P 的 坐标：若不存在，
27、说明理由 【分析】 （1）设椭圆 C 的右焦点为（c，0） ，通过已知条件求出 a，b，得到椭圆方程 （2）设 P（x0，y0） ，则 Q（x0，y0） ，求出直线 PA 的方程，求出 M 的坐标，直线 QA 的方程，求出 N 的坐标，然后求解三角形的面积 （3）由（2）知，而APQ 的面积是假设 存在点 P，使得AMN 的面积是APQ 的面积的 2 倍，列出方程转化求解即可 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）设椭圆 C 的右焦点为（c，0） ，则解得所以 b2a2c2 3， 故椭圆 C 的标准方程为（4 分） （2）由（1）知，A（2，0） ，设 P（x0，y0） ，则 Q（
28、x0，y0） ， 直线 PA 的方程为，所以， 直线 QA 的方程为，所以， 所以AMN 的面积为 当时，所以（10 分） （3）由（2）知，而APQ 的面积是 假设存在点 P，使得AMN 的面积是APQ 的面积的 2 倍，则， 解得，所以 故存在点，使得AMN 的面积是APQ 的面积的 2 倍（16 分） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的 应用，考查转化思想以及计算能力 19 （16 分）现要设计一个杯形容器，它由上下两部分组成，上部杯盖的形状是圆台 OO1， 下部杯体的形状是圆台 OO2（如图所示） ，各底面半径满足 OA：O1B：O2C4：3：
29、2 （1）若 O1B3OO12cm，求杯盖的侧面积； （2）若圆台 OO2的母线 AC 长 12cm，设 OO2xcm，当 x 为多少时，下部杯体的容积最 大？ 第 17 页（共 19 页） 【分析】 （1）由已知求得 AB，再由圆台侧面积公式求解； （2）设 O2Cr，则 OA2r用 x 表示 r，写出圆台体积公式，再由导数求最值 【解答】解： （1）O1B3OO12cm，cm， 杯盖的侧面积为（cm2） ； （2）设 O2Cr，则 OA2r ，r2144x2 下部杯体的容积 V ，0x12 ，令 V0，得或 x（舍） ， 当 0x时，V0，V 是单调增函数； 当x12 时，V0，V 是单调
30、减函数 当 x时，V 取得极大值，也是最大值 当 x 为cm 时，下部杯体的容积最大 【点评】本题考查柱、锥、台侧面积及体积的求法，训练了利用导数求最值，是中档题 20 （16 分）已知函数 f（x）2lnx+1，aR （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f （1） ）处的切线方程； （2）求函数 f（x）在（1，+）上的极值； （3）设函数 g（x）（xa）2lnx，若对任意的实数 x1，e，不等式 g（x）4e2恒 成立（e 是自然对数的底数） ，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）代入 a 的值，求出函数的导数，计算 f（1） ，f（1）的值，求出切线方程即 可； （2）
31、求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值 第 18 页（共 19 页） 即可； （3）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定 a 的范围即 可 【解答】解： （1）当 a1 时，所以 f（1）1， f（1）2， 所以曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 xy+10（2 分） （2），x（1，+） 当 a2 时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调增，所以 f（x）无极值； 当 a2 时，令 f（x）0，得，列表如下： x f（x） 0 + f（x） 极小值 所以 f（x）的极小值为 综上所述，当 a2 时，f（x
32、）无极值； 当 a2 时，f（x）的极小值为，无极大值（8 分） （3） 因为对任意的 x1，e，g（x）4e2恒成立，所以 解得ea3e（10 分） 当ea2 时，xa0，由（2）知， 所以 g（x）0，所以 g（x）在1，e上单调增， 则，解得ea3e，此时，ea2（12 分） 当2a1 时，xa0，当且仅当 ax1 时，取等号 由（2）知，f（x）在1，e上单调增，所以 f（x）f（1）1a0 所以 g（x）0，当且仅当 ax1 时，取等号， 所以 g（x）在1，e上单调增，则， 第 19 页（共 19 页） 解得ea3e，此时，2a1（14 分） 若 1a3e，则 f（x）在1，e上单调增，且 又 f（a）2lna0，所以存在 x0（1，a） ，且 x0（1，e，使得 f（x0）0， 所以 g（x）0 的解为 x0和 a，列表如下： x （1，x0） x0 （x0，a） a （a， +） g（x） + 0 0 + g（x） 极大值 极小值 所以，即， 又 x0e，所以恒成立此时，1a3e 综上所述，实数 a 的取值范围为e，3e（16 分） 【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查的应用以及分 类讨论思想，转化思想，是一道综合题
