1、2018-2019 学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答分不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上 ）案填写在答题卡相应的位置上 ） 1 （5 分）命题：xR，x2x+10 的否定是 2 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y28x 的焦点坐标为 3 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，三点 A（1，0） ，B（a，3） ，C（0，2）共线，则实数 a 的值为 4 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，方程表示
2、的曲线是双曲线，则实数 k 的取值范围是 5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x，y）在直线 x+y40 上，O 是坐标原点， 则 OP 的最小值为 6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（2，0） ，B（2，2） ，则以线段 AB 为直径的圆的 标准方程为 7 （5 分）函数 f（x）exx 的单调递增区间为 8 （5 分）已知直线 l，m 及平面 ，l，m，则“lm”是“l”的 条件 （请 用“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”填空） 9 （5 分） 九章算术
3、是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例 如： “堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱； “阳马”指底面为矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”ABCA1B1C1中，ACBC，若“阳马” BA1ACC1的体积为 20cm3，则“堑堵”ABCA1B1C1的体积为 cm3 10 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，F 分别是椭圆的 右顶点和右焦点，点 B，C 分别是椭圆的上、下顶点若 ABCF，则该椭圆离心率 第 2 页（共 20 页） 为 11 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面下列命题
4、中： 若 m，n，则 mn； 若 m，mn，则 n； 若 m，则 m 正确命题的序号是 12 （5 分）已知 ykx+b 是函数 f（x）lnx+x 的切线，则 2k+b 的最小值为 13 （5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 C： （x3） 2+ （y4）2r2 和点 A （0，） ， B（0，） ，若在圆 C 上存在点 P，使得APB60，则半径 r 的取值范围是 14 （5 分）若函数 f（x）（x1） （xa）2a+1 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范 围是 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共
5、 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ）说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知等腰梯形 ABCD，ABDC，ADBC 4，AB8，DC6以 A，B 为焦点的双曲线（a0，b0）过 C，D 两 点 （1）求双曲线的方程； （2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程 第 3 页（共 20 页） 16 （14 分）如图，AC，DF 分别为正方形 ABCD 和正方形 CDEF 的对角线，M，N 分别是 线段 AC，DF 上的点，且 AMMC，DNNF
6、 （1）证明：MN平面 BCF； （2）证明：MNDC 17 （15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2+y2+2x4y+30 （1）若圆 C 的切线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，且截距不为零，求切线 l 的方程； （2）已知点 P（x1，y1）为直线 y2x6 上一点，由点 P 向圆 C 引一条切线，切点为 M， 若 PMPO，求点 P 的坐标 18 （15 分）光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为 k1， 与光源距离的平方成反比， 比例系数为 k2（k1，k2均为正常数） 如图，强度分别为 8，1 的两个光源 A，B 之间的距 离为 10，物体 P 在连结两
7、光源的线段 AB 上（不含 A，B） 若物体 P 到光源 A 的距离为 x （1）试将物体 P 受到 A，B 两光源的总照度 y 表示为 x 的函数，并指明其定义域； （2）当物体 P 在线段 AB 上何处时，可使物体 P 受到 A，B 两光源的总照度最小？ 第 4 页（共 20 页） 19 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为 ，右准线方程为 x （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 已知斜率存在且不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， 且点 A 在第三象限内 M 为椭圆 C 的上顶点，记直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2
8、 若直线 l 经过原点，且 k1k2，求点 A 的坐标； 若直线 l 过点（2，1） ，试探究 k1+k2是否为定值？若是，请求出定值；若不是， 请说明理由 20 （16 分）已知函数 f（x）alnx+b（x1） （x2） ，其中 a，bR （1）当 b1 时，若 f（x）在 x2 处取得极小值，求 a 的值； （2）当 a1 时 若函数 f（x）在区间（1，2）上单调递增，求 b 的取值范围； 若存在实数 x01，使得 f（x0）0，求 b 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试
9、题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答分不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上 ）案填写在答题卡相应的位置上 ） 1 （5 分）命题：xR，x2x+10 的否定是 xR，x2x+10 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以xR，x2x+10 的否定是：xR，x2x+10 故答案为：xR，x2x+10 【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用 2 （5 分）在平面直角坐标系 xO
10、y 中，抛物线 y28x 的焦点坐标为 （2，0） 【分析】直接利用抛物线的标准方程，求解抛物线的焦点坐标 【解答】解：抛物线 y28x 的开口向右，P4，所以抛物线的焦点坐标（2，0） 故答案为： （2，0） 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 3 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，三点 A（1，0） ，B（a，3） ，C（0，2）共线，则实数 a 的值为 【分析】根据斜率的公式以及三点共线得到关于 a 的方程，解出即可 【解答】解：由题意得： ， 解得：a， 故答案为： 【点评】本题考查了三点共线问题，考查直线的斜率问题，是一道常规题 4 （5 分）在平面直角坐
11、标系 xOy 中，方程表示的曲线是双曲线，则实数 k 的取值范围是 （，1）（2，+） 【分析】由双曲线方程的特点可得（2k） （k1）0，解之可得 k 的范围 第 6 页（共 20 页） 【解答】解：若方程表示的曲线为双曲线， 则（2k） （k1）0，即（k2） （k1）0， 解得 k1，或 k2，即 k（，1）（2，+） ， 故答案为： （，1）（2，+） 【点评】本题考查双曲线的简单性质，得出（25k） （16+k）0 是解决问题的关键，属 基础题 5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x，y）在直线 x+y40 上，O 是坐标原点， 则 OP 的最小值为 2 【分析】OP
12、 的最小值为点 O（0，0）到直线 x+y40 的距离 【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x，y）在直线 x+y40 上， OP 的最小值为点 O（0，0）到直线 x+y40 的距离： d2 故答案为：2 【点评】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A（2，0） ，B（2，2） ，则以线段 AB 为直径的圆的 标准方程为 x2+（y1）25 【分析】求出线段 AB 的中点为圆心，半径为|AB|，再写出圆的标准方程 【解答】解：A（2，0） ，B（2，2） ， 则以线段 A
13、B 为直径的圆的圆心为 C（0，1） ， 半径为 r|AB|， 所求的圆的标准方程为 x2+（y1）25 故答案为：x2+（y1）25 【点评】本题考查了圆的标准方程与应用问题，是基础题 7 （5 分）函数 f（x）exx 的单调递增区间为 （0，+） 【分析】求出函数的导数，由导数大于 0，结合指数函数的单调性，解不等式即可得到所 求增区间 第 7 页（共 20 页） 【解答】解：函数 f（x）exx 的导数为 f（x）ex1， 由 f（x）0，即 ex10，ex1e0， 解得 x0， 故答案为： （0，+） 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查运算能力，属于基础题 8 （5 分）已
14、知直线 l，m 及平面 ，l，m，则“lm”是“l”的 必要不充分 条 件 （请用“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”填空） 【分析】由线面垂直的性质定理可知：若“l“则直线 l 垂直平面 中的任意直线， 又 l，m，得： “lm”是“l”的必要条件， 由线面垂直的判定定理可知：若“lm” ，则直线 l 不一定垂直平面 ， 【解答】解：由“l“则直线 l 垂直平面 中的任意直线，又 m，则“lm” ，即“l m”是“l”的必要条件， 由“lm” ，则直线 l 不一定垂直平面 ，即“lm”是“l”的不充分条件， 即“lm”是“l”的必要不充分条件， 故答案为
15、：必要不充分条件 【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，充分、必要条件，属简单题 9 （5 分） 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例 如： “堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱； “阳马”指底面为矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在“堑堵”ABCA1B1C1中，ACBC，若“阳马” BA1ACC1的体积为 20cm3，则“堑堵”ABCA1B1C1的体积为 30 cm3 【分析】连接 A1，C，把三棱柱分为体积相等的三个三棱锥，问题得解 【解答】解：如图，连接 A1C， 根据等底等高，易得： ， 第 8 页（共 20 页） BA1ACC1的体积
16、为 20cm3， ABCA1B1C1的体积为 30cm3， 故答案为：30 【点评】此题考查了三棱柱，三棱锥的体积，难度不大 10 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，F 分别是椭圆的 右顶点和右焦点，点 B，C 分别是椭圆的上、下顶点若 ABCF，则该椭圆离心率为 【分析】利用已知条件 ABCF，推出方程求出椭圆的离心率即可 【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，F 分别是椭圆的 右顶点和右焦点， 点 B，C 分别是椭圆的上、下顶点若 ABCF， 可得：1，可得 b2aca2c2， 可得 e2+e10，e（0，1） ，解得 e 故答案为： 第 9 页（共 20
17、页） 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 11 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面下列命题中： 若 m，n，则 mn； 若 m，mn，则 n； 若 m，则 m 正确命题的序号是 【分析】在中，m 与 n 相交、平行或异面；在中，n 或 n；在中，由面面 平行的性质定理得 m 【解答】解：由 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，知： 在中，若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故错误； 在中，若 m，mn，则 n 或 n，故错误； 在中，若 m，则由面面平行的性质定理得 m，故正确 故答案为： 【点评】本题考查命题真假的判断，
18、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 12 （5 分）已知 ykx+b 是函数 f（x）lnx+x 的切线，则 2k+b 的最小值为 ln2+2 【分析】根据题意，设切线的坐标为（m，lnm+m） ，求出函数 f（x）的导数，由导数的 几何意义可得切线的方程为：y（lnm+m）（+1） （xm） ，变形可得 y（+1） x+lnm1，分析可得 k+1，blnm1，进而可得 2k+b+2+lnm1lnm+1， 设 g（m）lnm+1，求出 g（m） ，利用函数的导数与单调性的关系，分析可得 g（m） 的最小值，即可得答案 【解答】 解： 根据题意， 直线
19、 ykx+b 与函数 f （x） lnx+x 相切， 设切点为 （m， lnm+m） ， 第 10 页（共 20 页） 函数 f（x）lnx+x，其导数 f（x）+1，则 f（m）+1， 则切线的方程为：y（lnm+m）（+1） （xm） ，变形可得 y（+1）x+lnm1， 又由切线的方程为 ykx+b， 则 k+1，blnm1， 则 2k+b+2+lnm1lnm+1， 设 g（m）lnm+1，其导数 g（m）， 在区间（0，2）上，g（m）0，则 g（m）lnm+1 为减函数， 在（2，+）上，g（m）0，则 g（m）lnm+1 为增函数， 则 g（m）ming（2）ln2+2
20、，即 2k+b 的最小值为 ln2+2； 故答案为：ln2+2 【点评】本题考查利用导数分析切线的方程以及函数的单调性与最值，关键是掌握导数 的几何意义 13 （5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 C： （x3） 2+ （y4）2r2 和点 A （0，） ， B（0，） ，若在圆 C 上存在点 P，使得APB60，则半径 r 的取值范围是 2 2，4+2 【分析】点 A（0，） ，B（0，） ，求出点 P 的轨迹方程，使得APB60，通 过两个圆的位置关系转化求解半径 r 的取值范围 【解答】解：在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，） ，B（0，） ，使得APB 60， 可
21、知 P 在以 AB 为弦的一个圆上， 圆的圆心在 AB 的中垂线上， 半径为： 2， 则 P 的方程为： （x1）2+y222， 或： （x+1）2+y222， 已知圆 C： （x3）2+（y4）2r2，若在圆 C 上存在点 P 和，使得APB60， 就是两个圆有公共点，可得：r+2，并且解得 r2，4+2 第 11 页（共 20 页） 故答案为：2，4+2 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，中档题 14 （5 分）若函数 f（x）（x1） （xa）2a+1 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范 围是 （，1）（1+，+） 【分析】求出导函数，利用函数的极值的符
22、号，列出不等式组求解即可 【解答】解：f（x）（x1） （xa）2a+1， f（x）（xa） （3xa2） 令 f（x）0，解得 xa 或 x， f（x）（x1） （xa）2a+1 有三个不同的零点， f（x）极大值f（x）极小值0， f（a）f（）0， 即（a+1）（1） （a）2a+10， 整理可得（a1）2（）0， 即 4（a1）2270， 解得 a1或 a1+ 故答案为： （，1）（1+，+） 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用函数的导数的应用，极值的求 法，考查分析问题解决问题的能力 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸
23、指定区域内作答，解答应写出文字分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ）说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知等腰梯形 ABCD，ABDC，ADBC 4，AB8，DC6以 A，B 为焦点的双曲线（a0，b0）过 C，D 两 点 （1）求双曲线的方程； （2）写出该双曲线的离心率和渐近线方程 第 12 页（共 20 页） 【分析】 （1）由勾股定理求得等腰梯形的高，求出 A，B，C，D 的坐标，可得 CA，CB 的距离，由双曲线的定义可得 a，再由 a，b，c 的关系可得 b，即可得到双曲线的方程； （2
24、）由离心率公式和渐近线方程即可得到所求 【解答】解： （1）等腰梯形 ABCD，ABDC，ADBC4，AB8，DC6， 等腰梯形的高为， 可得 A（4，0） ，B（4，0） ，C（3，） ，D（3，） ， 则 CA8，CB4， 由 2aCACB4，即 a2， 又 AB8，即 c4，b2， 则双曲线的方程为1； （2）双曲线的离心率 e2； 渐近线方程为 yx 【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查待定系数法和方程思想，以及运算 能力，属于基础题 第 13 页（共 20 页） 16 （14 分）如图，AC，DF 分别为正方形 ABCD 和正方形 CDEF 的对角线，M，N 分别是 线段
25、AC，DF 上的点，且 AMMC，DNNF （1）证明：MN平面 BCF； （2）证明：MNDC 【分析】 （1）取 DC 的三等分点 P，通过平面 MNP 平行平面 FCB 可得线面平行； （2）利用 DC 垂直平面 FBC，易证 【解答】解 （1）证明：取 DC 的三等分点 P，使 DP， ， MPAD， MPBC， MP平面 FBC， ， NPFC， NP平面 FBC， 平面 MNP平面 FBC， MN平面 FBC； （2）CDCB，CDCF， CD平面 FBC， CD平面 MNP， CDMN， 即 MNDC 第 14 页（共 20 页） 【点评】此题考查了线面平行，线面垂直等，难度不大
26、 17 （15 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2+y2+2x4y+30 （1）若圆 C 的切线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，且截距不为零，求切线 l 的方程； （2）已知点 P（x1，y1）为直线 y2x6 上一点，由点 P 向圆 C 引一条切线，切点为 M， 若 PMPO，求点 P 的坐标 【分析】 （1）根据题意，利用待定系数法给出切线的截距式方程，然后再利用圆心到切 线的距离等于半径列方程求系数即可； （2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得 PM2PC2MC2，又由 PMPO，则 2PO2PC2MC2，代入点的坐标可得（x1+2）2+（y12）222（x12
27、+y12） ，变形可 得：x12+y122x1+4y130，又由点 P（x1，y1）为直线 y2x6 上一点，则 y1 2x16，联立，解可得 x1的值，进而计算可得 y1的值，即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，圆 C 切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，则设切 线方程为 x+ya（a0） ， 又圆 C： （x+1）2+（y2）22，其圆心 C（1，2） ，半径 r， 则有， 解可得：a1 或 a3， 故所求切线方程为 x+y+10 或 x+y30； （2）根据题意，由于 PM 为切线且 M 为切点，则 PM2PC2MC2， 又由 PMPO，则 2PO2PC2MC2， 若点 P（x
28、1，y1） ，O（0，0） ，MCr， 则（x1+2）2+（y12）222（x12+y12） ， 变形可得：x12+y122x1+4y130， 点 P（x1，y1）为直线 y2x6 上一点，则 y12x16， 第 15 页（共 20 页） 联立可得：，变形可得：5x1218x1+90， 解可得 x1或 x13； 当 x1时，y1，此时 P 的坐标为（，） ， 当 x13 时，y10，此时 P 的坐标为（3，0） 则 P 的坐标为（，）或（3，0） 【点评】本题考查直线与圆的方程以及应用，涉及直线与圆的位置关系，直线与圆相切 的性质，属于基础题 18 （15 分）光对物体的照度与光的强度成正比，
29、比例系数为 k1， 与光源距离的平方成反比， 比例系数为 k2（k1，k2均为正常数） 如图，强度分别为 8，1 的两个光源 A，B 之间的距 离为 10，物体 P 在连结两光源的线段 AB 上（不含 A，B） 若物体 P 到光源 A 的距离为 x （1）试将物体 P 受到 A，B 两光源的总照度 y 表示为 x 的函数，并指明其定义域； （2）当物体 P 在线段 AB 上何处时，可使物体 P 受到 A，B 两光源的总照度最小？ 【分析】 （1）反比求出 P 点受 A 光源的照度，P 点受 B 光源的照度，求和即可； （2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调
30、区 间，从而求出函数的最小值即可 【解答】解： （1）若物体 P 到光源 A 的距离为 x，则物体 P 到光源 B 的距离为 10x， P 在线段 AB 上且不与 A，B 重合，故 0x10， 光对物体的照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比， 故 P 点受 A 光源的照度为：， P 点受 B 光源的照度为：， 故问题 P 收到 A，B 两光源的总照度 y+，x（0，10） ； 第 16 页（共 20 页） （2）f（x）+，x（0，10） ， f（x）， 令 f（x）0，解得：x， 当 0x时，f（x）0， 故 f（x）在（0，）递减， 当x10 时，f（x）0， 故 f（x）在（，1
31、0）递增， 故当 x时，f（x）取极小值，且是最小值， 故在线段 AB 上距光源 A 为处，物体 P 受到 A，B 两光源的总照度最小 【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的 应用以及转化思想，是一道综合题 19 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为 ，右准线方程为 x （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 已知斜率存在且不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， 且点 A 在第三象限内 M 为椭圆 C 的上顶点，记直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2 若直线 l 经过原点，且 k1k2，求点
32、 A 的坐标； 若直线 l 过点（2，1） ，试探究 k1+k2是否为定值？若是，请求出定值；若不是， 请说明理由 【分析】 （1）由已知列关于 a，c 的方程组，求解可得 a，c 的值，再由隐含条件求得 b， 则椭圆 C 的标准方程可求； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M 为椭圆的上顶点，则 M（0，1） ，由椭圆对称性 可知 B（x1，y1） ，由点 A（x1，y1）在椭圆上，得到，求出 k1k2，结 第 17 页（共 20 页） 合 k1k2，可得 k11，则直线 MA 的方程可求，再与椭圆方程联立即可求得 A 的坐 标； 直线 l 过点（2，1） ，设其方程为 y+
33、1k（x+2） ，与椭圆方程联立，利用根与系数 的关系即可得到 k1+k2是定值 【解答】解： （1）椭圆的离心率为，右准线方程为 x， ，解得 又， 椭圆 C 的标准方程为； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M 为椭圆的上顶点，则 M（0，1） ， 直线 l 经过原点，由椭圆对称性可知，B（x1，y1） ， 点 A（x1，y1）在椭圆上，即 ， ，解得或 点 A 在第三象限角，k1，则 k11 则直线 MA 的方程为 yx+1 联立，解得或，A（） 直线 l 过点（2，1） ，设其方程为 y+1k（x+2） 第 18 页（共 20 页） 联立方程组，消去 y 可得（4k2+
34、1）x2+8k（2k1）x+16k（k1）0 当0 时，由韦达定理可知， 2k+（12k）1 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力， 是中档题 20 （16 分）已知函数 f（x）alnx+b（x1） （x2） ，其中 a，bR （1）当 b1 时，若 f（x）在 x2 处取得极小值，求 a 的值； （2）当 a1 时 若函数 f（x）在区间（1，2）上单调递增，求 b 的取值范围； 若存在实数 x01，使得 f（x0）0，求 b 的取值范围 【分析】 （1）代入 b 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值 点，从而求出 a 的值即可；
35、 （2）代入 a 的值，求出函数的导数，通过讨论 b 的范围求出函数的单调区间，从而确 定 b 的范围即可； 通过讨论 b 的范围，求出函数的导数，结合函数的单调性确定 b 的范围即可 【解答】解： （1）当 b1 时，f（x）alnx+（x1） （x2） ， f（x）+2x3， f（x）在 x2 处取极小值，故 f（2）0，解得：a2， 此时，f（x）， 当 x（0，2）时，f（x）0，f（x）递减， 当 x（2，+）时，f（x）0，f（x）递增， 故 f（x）在 x2 处取极小值， 故 a2 符合题意； （2）当 a1 时，f（x）lnx+b（x1） （x2） ， 第 19 页（共 20
36、页） f（x）， 令 g（x）2bx23bx+1， f（x）在（1，2）递增， f（x）0 在（1，2）恒成立， 即 g（x）0 在（1，2）恒成立， 1当 b0 时，则 g（x）1，满足题意， 2当 b0 时，g（x）的对称轴是 x1， 故，解得：b0 或 0b1， 综上，实数 b 的范围是，1； 1当 b0 时，f（x）lnx，与题意不符， 2当 b0 时，取 x03，则 x01， 令 h（x）lnxx+1，则 h（x）1， 当 x（0，1）时，h（x）0，h（x）递增， 当 x（1，+）时，h（x）0，h（x）递减， 故 h（x）h（1）0，即 lnxx1， 故 f（x0）lnx0+b（
37、x01） （x02）（x01）+b（x01） （x02）2b10， 故 b0 符合题意； 3当 0b1 时， g（x）2bx23bx+1 在（1，+）递增且 g（1）1b0， 故 f（x）0 在（1，+）恒成立， 故 f（x）在（1，+）递增， 故 f（x）f（1）0 恒成立，与题意不符； 4当 b1 时， g（1）1b0，g（2）2b+10， 由零点存在性原理可知，存在 x1（1，2） ，使得 g（x1）0， 故当 x（1，x1）时，f（x）0，f（x）递减， 取 x0x11，则 f（x0）f（1）0，符合题意， 第 20 页（共 20 页） 综上，实数 b 的范围是（，0）（1，+） 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查分类讨论思想，转化思想以及函数 恒成立问题，是一道综合题
