1、2018-2019 学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答分不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上 ）案填写在答题卡相应的位置上 ） 1 （5 分）命题： “若 a0，则 ab0”的逆否命题是 2 （5 分）已知复数 z2i（i 是虚数单位） ，则|z| 3 （5 分）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是 4 （5 分） “ （x+2） （x1）0”是“3x1”成立的 条件（在“充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分又不必要”中选一个填写） 5
2、（5 分）函数，x（0，）的单调递减区间是 6 （5 分）若双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则的值为 7 （5 分）直线 l 过点（0，1） ，且与曲线 yf（x）相切于点（a，3） ，若 f（a）1，则实 数 a 的值是 8 （5 分）在实数中：要证明实数 a，b 相等，可以利用 ab 且 ab 来证明：类比到集合 中：要证明集合 A，B 相等，可以利用 来证明 9 （5 分）函数 f（x）的定义域为 R，若对任意的 xR，f（x）+xf（x）0，且， 则不等式（x2+1）f（x2+1）1 的解集为 10 （5 分） 古埃及发现如下有趣等式：， ， 按此规律， （nN*） 11 （5
3、分）若定义在 R 上的函数 f（x）|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间，则实数 m 的取值范围是 12 （5 分）已知椭圆 C：，过点 P（0，6）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点， 若 A 是线段 PB 的中点，则点 A 的坐标为 13 （5 分）已知椭圆 C：的右焦点为 F（2，0） ，F 关于直线的 对称点 Q 在椭圆 C 上，则 b 第 2 页（共 17 页） 14 （5 分）若函数在（l，+）上的最大值为 8，则实数 a 的值为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字分请在答题纸指定区域内
4、作答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤 ）说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （14 分） 已知 p： 复数 （a1） + （a4） i 所对应的点在复平面的第四象限内 （其中 aR） ， q：xR，（其中 aR） （1）如果“p 或 q”为真，求实数 a 的取值范围； （2）如果“p 且q”为真，求实数 a 的取值范围 16 （14 分）已知抛物线 C1：y22px 上一点 M（3，m） （m0）到其焦点的距离为 6，双 曲线 C2：（b0）的左焦点为 A，双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直 （1）求抛物线 C1的方程； （2）求双曲线 C2的方程 17 （14 分） （1）已知，
5、x0，+） ，如 x1，x20，+） ，且 x1x2，求证： ； （2）用数学归纳法证明：当 nN*时，32n+1+2n+2能被 7 整除 18 （16 分）如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 公路附近有一居民区 EFG 和一风景区，其中 OE1（单位：百米） ，OEF45，风 景区的部分边界为曲线 C，曲线 C 的方程为 y（x5） ，拟在居民和风景区间辟 出一个三角形区域 EMN 用于工作人员办公，点 M，N 分别在 x 轴和 EF 上，且 MN 与曲 线 C 相切于 P 点 （1）设 P 点的横坐标为 t，写出EMN 面积的函数表达式 S（t）
6、； （2）当 t 为何值时，EMN 面积最小？并求出最小面积 第 3 页（共 17 页） 19 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：的右准线方程 为 x4，右顶点为 A（2，0） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 M，N 是椭圆 C 上不同于 A 的两点，点 P 是线段 MN 的中点 如图 1，若OPA 为等腰直角三角形且直角顶点 P 在 x 轴上方，求直线 MN 的方程； 如图 2 所示，点 Q 是线段 NA 的中点，若 AMAN 且OPQ 的角平分线与 x 轴垂直， 求直线 AM 的斜率 20 （16 分）已知函数 f（x）xlnx，g（x）ex，h（x）kx2+e
7、x（kR） ，其中 e 为自 然对数的底数 （1）求函数 yf（x）的单调区间； （2）求证：g（x）f（x）+1； （3）若 f（x）+g（x）h（x）恒成立，求实数 k 的取值范围 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答分不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上 ）案填写在答题卡相应的位置上 ） 1 （5 分
8、）命题： “若 a0，则 ab0”的逆否命题是 若 ab0，则 a0 【分析】根据命题的逆否命题 书写即可 【解答】解： “若 a0，则 ab0” 逆否命题：若 ab0，则 a0 故答案为：若 ab0，则 a0 【点评】本题简单的考查了四个命题的概念，准确书写即可 2 （5 分）已知复数 z2i（i 是虚数单位） ，则|z| 【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可 【解答】解：复数 z2i， |z| 故答案为： 【点评】本题主要考查复数的长度的计算，比较基础 3 （5 分）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是 （3，0） ， （3，0） 【分析】根据椭圆的标准方程，利用 c2a2b2，即可求得椭圆
9、的焦点坐标 【解答】解：椭圆，a225，b216 c2a2b29 c3 椭圆的焦点坐标是（3，0） ， （3，0） 故答案为： （3，0） ， （3，0） 【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，运用 c2a2b2是关键 4 （5 分） “ （x+2） （x1）0”是“3x1”成立的 充分不必要 条件（在“充分不 必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分又不必要”中选一个填写） 第 5 页（共 17 页） 【分析】利用不等式的解法、简易逻辑的判定方法即可得出 【解答】解： （x+2） （x1）0，解得2x1 “ （x+2） （x1）0”是“3x1”成立的充分不必要条件 故答案
10、为：充分不必要 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5 （5 分）函数，x（0，）的单调递减区间是 （，） 【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于 0 求解三角不等式得答案 【解答】解：由，x（0，） ， 得 f（x）cosx，由 f（x）0，得 cosx， 即x 函数，x（0，）的单调递减区间是（，） 故答案为： （，） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查三角不等式的解法，是中档题 6 （5 分）若双曲线 C：（a0，b0）的离心率为，则的值为 3 【分析】利用双曲线方程，通过离心率转化求解的值即可 【解答】解：双曲线 C
11、：（a0，b0）的离心率为， 可得 e，可得 a2+b210a2，可得3 故答案为：3 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 7 （5 分）直线 l 过点（0，1） ，且与曲线 yf（x）相切于点（a，3） ，若 f（a）1，则实 数 a 的值是 2 【分析】利用已知条件求出切线方程，然后求解 a 的值即可 【解答】解：直线 l 经过点（0，1） ，且与曲线 yf（x）相切于点（a，3） 若 f（a） 1， 第 6 页（共 17 页） 切线的斜率为 1，切线方程为：y1x， 所以 31a，解得 a2 故答案为：2 【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，切点在切线上也
12、在曲线上，考查计算能力 8 （5 分）在实数中：要证明实数 a，b 相等，可以利用 ab 且 ab 来证明：类比到集合 中：要证明集合 A，B 相等，可以利用 AB 且 BA 来证明 【分析】由实数的不等关系类比到集合的包含关系即可 【解答】解：在实数中：要证明实数 a，b 相等，可以利用 ab 且 ab 来证明：类比到 集合中：要证明集合 A，B 相等，可以利用 AB 且 BA 来证明 故答案为：AB 且 BA 【点评】本题考查了类比推理，实数的不等关系类比到集合的包含关系，属简单题 9 （5 分）函数 f（x）的定义域为 R，若对任意的 xR，f（x）+xf（x）0，且， 则不等式（x2+
13、1）f（x2+1）1 的解集为 （，1）（1，+） 【分析】构造函数 g（x）xf（x） ，求导后由已知可知函数为增函数，把原不等式转化 为 g（x2+1）g（2）求解 【解答】解：令 g（x）xf（x） ，则 g（x）f（x）+xf（x）0， 可得 g（x）在（，+）上为增函数， 由，得 g（2）2f（2）1， 不等式（x2+1）f（x2+1）1 化为 g（x2+1）g（2） ， 又 g（x）在（，+）上为增函数， x2+12，得 x1 或 x1 不等式（x2+1）f（x2+1）1 的解集为（，1）（1，+） 故答案为： （，1）（1，+） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数
14、是关键，是中档题 10 （5 分） 古埃及发现如下有趣等式：， ， 按此规律， +， （nN*） 【分析】先观察再通过计算可归纳推理出答案 【解答】解：由，可归纳出： 第 7 页（共 17 页） +， 故答案为：+， 【点评】本题考查了观察能力及归纳推理能力，属简单题 11 （5 分）若定义在 R 上的函数 f（x）|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间，则实数 m 的取值范围是 （0，4） 【分析】令 g（x）x33x2+m，可得 g（x）在（，0） ， （2，+）递增，在（0，2） 递减 要使函数 f（x）|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间，则 g（0）0，g（2）0， 即可求
15、解 【解答】解：令 g（x）x33x2+m，由 g（x）3x26x0 可得，x0 或 x2 g（x）在（，0） ， （2，+）递增，在（0，2）递减 要使函数 f（x）|x33x2+m|有三个不同的单调递增区间，则 g（x）的图象只能如下图 所示， 0m4 故答案为： （0，4） 【点评】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，数形结合思想，属于中档题 12 （5 分）已知椭圆 C：，过点 P（0，6）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点， 若 A 是线段 PB 的中点，则点 A 的坐标为 （2，3）或（2，3） 【分析】设直线 AB 的方程 ykx+6，设 A（x1，y1） ，B（x2
16、，y2） ，根据中点坐标公式可 第 8 页（共 17 页） 得 2x1x2，再由，消 y 整理可得（3+4k2）x2+48kx+960，利用韦达 定理即可求 【解答】解：易知直线的斜率存在，设直线 AB 的方程 ykx+6，设 A（x1，y1） ，B（x2， y2） ， A 是线段 PB 的中点， 2x1x2， 由，消 y 整理可得（3+4k2）x2+48kx+960， x1+x2，x1x2， 由可得， 整理解得 4k29， x124， x12， y13， A（2，3）或（2，3） 故答案为： （2，3）或（2，3） 【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了韦达定理，考查了运算求解能力，
17、 属于中档题 13 （5 分）已知椭圆 C：的右焦点为 F（2，0） ，F 关于直线的 对称点 Q 在椭圆 C 上，则 b 2 【分析】设出 Q 的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，即 可求出 b 的值 【解答】解：设 Q（m，n） ， 由 F 关于直线的对称点 Q 在椭圆 C 上， 第 9 页（共 17 页） 1， （） ， 解得 m，n， 点 Q 在椭圆上，且 a24+b2， +1， 整理可得 b2（b2+4）2256， b（b2+4）16， 解得 b2， 故答案为：2 【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力，属于中档 题 14 （5 分
18、）若函数在（l，+）上的最大值为 8，则实数 a 的值为 【分析】函数在（l，+）上的最大值为 8，可得函数8， 在（l，+）上恒成立化为：a（2x37x2+8x）min，x（l，+） 令 f（x）2x3 7x2+8x，x（l，+） 利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 【解答】解：函数在（l，+）上的最大值为 8， 函数8，在（l，+）上恒成立 化为：a（2x37x2+8x）min，x（l，+） 令 f（x）2x37x2+8x，x（l，+） 则 f（x）6x214x+82（3x4） （x1） ， 可得 x时，函数 f（x）取得极小值即最小值， 实数 a 的值为 故答案为： 【点评】本题
19、考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不 等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字 第 10 页（共 17 页） 说明，证明过程或演算步骤 ）说明，证明过程或演算步骤 ） 15 （14 分） 已知 p： 复数 （a1） + （a4） i 所对应的点在复平面的第四象限内 （其中 aR） ， q：xR，（其中 aR） （1）如果“p 或 q”为真，求实数 a 的取值范围； （2）如果“p 且q”为真，求实数
20、a 的取值范围 【分析】 （1）由复数的概若 p：复数（a1）+（a4）i 所对应的点在复平面的第四象 限内（其中 aR） ，为真命题，则念得，即 1a4，由不等式恒成立问题得： 若 q：xR，（其中 aR） ，则124a0，即 a3，可得解 （2） “p 且q”为真，即 p 真 q 假，列不等式组求解即可 【解答】解： （1）若 p：复数（a1）+（a4）i 所对应的点在复平面的第四象限内（其 中 aR） ，为真命题，则，即 1a4， 若 q：xR，（其中 aR） ，则124a0，即 a3， 如果“p 或 q”为真，求实数 a 的取值范围； 则实数 a 的取值范围；1a4 或 a3， 即 a
21、1， 故答案为： （1，+） （2）如果“p 且q”为真，即 p 真 q 假，由（1）得： 即，即：1a3， 故答案为： （1，3） 【点评】本题考查了复合命题及其真假，复数的概念及不等式恒成立问题，属简单题 16 （14 分）已知抛物线 C1：y22px 上一点 M（3，m） （m0）到其焦点的距离为 6，双 曲线 C2：（b0）的左焦点为 A，双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直 （1）求抛物线 C1的方程； （2）求双曲线 C2的方程 【分析】 （1）由抛物线的定义可得 p 的方程，解得 p，即可得到所求抛物线方程； 第 11 页（共 17 页） （2）求得 A 的坐标，求得 M（3，6
22、） ，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，由双曲线 的渐近线方程可得 b 的方程，解方程可得 b，即可得到所求双曲线的方程 【解答】解： （1）抛物线 C1：y22px 上一点 M（3，m） （m0）到其焦点的距离为 6， 由抛物线的定义可得 3+6，即有 p6， 即有抛物线的方程为 y212x； （2）双曲线 C2：（b0）的左焦点为 A， 设 A（，0） ， 由（1）可得 M（3，6） ， 由 kAM， 双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直， 可得1， 解得 b4， 则双曲线的方程为1 【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础 题 17 （14 分） （1
23、）已知，x0，+） ，如 x1，x20，+） ，且 x1x2，求证： ； （2）用数学归纳法证明：当 nN*时，32n+1+2n+2能被 7 整除 【分析】 （1）运用分析法证明，结合两边平方和完全平方式的性质，即可得证； （2）运用数学归纳法证明，考虑检验 n1 成立，再假设 nk 成立，证明 nk+1 时， 注意变形，即可得证 【解答】证明： （1）要证， f（），f（x1），f（x2）， 第 12 页（共 17 页） 即证， 两边平方即为， 即为 x1+x22，即 x1+x220， 即为（）20， 由于 x1，x20，+） ，且 x1x2，上式显然成立， 以上均可逆，故； （2）当 n1
24、 时，32n+1+2n+233+2335 被 7 整除； 假设 nk 时，32k+1+2k+2能被 7 整除， 当 nk+1 时，32k+3+2k+3932k+1+22k+2 732k+1+232k+1+22k+2 732k+1+2 （32k+1+2k+2） ， 由于 32k+1+2k+2能被 7 整除，732k+1能被 7 整除， 可得 nk+1 时，32k+3+2k+3能被 7 整除， 综上可得当 nN*时，32n+1+2n+2能被 7 整除 【点评】本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，考查整除问题，注意运用数学 归纳法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题 18 （16 分）如图
25、，以两条互相垂直的公路所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系， 公路附近有一居民区 EFG 和一风景区，其中 OE1（单位：百米） ，OEF45，风 景区的部分边界为曲线 C，曲线 C 的方程为 y（x5） ，拟在居民和风景区间辟 出一个三角形区域 EMN 用于工作人员办公，点 M，N 分别在 x 轴和 EF 上，且 MN 与曲 线 C 相切于 P 点 （1）设 P 点的横坐标为 t，写出EMN 面积的函数表达式 S（t） ； （2）当 t 为何值时，EMN 面积最小？并求出最小面积 第 13 页（共 17 页） 【分析】 （1）求出直线 MN 和直线 EF 的方程，求出 M 和 N
26、 的坐标，从而得出 S（t） ； （2）利用导数判断 S（t）的单调性，再计算 S（t）的最小值 【解答】解： （1）由已知可知 P（t，） ，故直线 MN 的斜率为， 直线 MN 的方程为 y（xt）+， 令 y0 可得 x2t，M（2t，0） 又 E（1，0） ，OEF45， 直线 EF 的方程为 yx+1， 联立方程组，解得 x，y， yN， S（t）（2t1） （t5） （2）S（t） 当t2 时，S（t）0，当 2t时，S（t）0， 当 t2 时，S（t）取得最小值 S（2） 当 t2 时，EMN 面积最小，最小面积为 【点评】本题考查了导数与函数的关系，函数模型的应用，属于中档题
27、19 （16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：的右准线方程 为 x4，右顶点为 A（2，0） 第 14 页（共 17 页） （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 M，N 是椭圆 C 上不同于 A 的两点，点 P 是线段 MN 的中点 如图 1，若OPA 为等腰直角三角形且直角顶点 P 在 x 轴上方，求直线 MN 的方程； 如图 2 所示，点 Q 是线段 NA 的中点，若 AMAN 且OPQ 的角平分线与 x 轴垂直， 求直线 AM 的斜率 【分析】 （1）椭圆 C 的右准线为 x4，即4，及其 a2c2+b2，解出 a，b 即可 （2）可得 P（1，1） 由 kMN，可得 k
28、即可得直线 MN 的方程 设 AM 的斜率为 k，可得 kPQk 由 kOP+kPQ0，kMN，可得 设AM的方程为yk （x2） ， 可得， y， x， 由，整理可得：10k4+7k230，解得，k即可 【解答】解： （1）椭圆 C：的右准线方程为 x4，右顶点为 A （2，0） ，a2，c1，b2a2c23， 椭圆 C 的方程为 （2）OPA 为等腰直角三角形且直角顶点 P 在 x 轴上方 OP 的方程为：yx，AP 的方程为：yx2 第 15 页（共 17 页） 由可得 P（1，1） 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） 则 x1+x22，y1+y22 ， 两式相减可得0kMN kO
29、P1，即 k 直线 MN 的方程为 y1（x1） ，即 3x+4y70 设 AM 的斜率为 k，点 P 是线段 MN 的中点，点 Q 是线段 NA 的中点，kPQk OPQ 的角平分线与 x 轴垂直，kOP+kPQ0，kOPk 由可得 kMN， 设 AM 的方程为 yk（x2） 由可得（3+4k2）x216k2x+16k2120 2， x， 以换 k，可得，y， ， 整理可得：10k4+7k230，解得，k 直线 AM 的斜率为 【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的圆锥曲线的位置关系，考查 圆的方程及点到直线的距离公式，直线的斜率公式，考查计算能力，解题时要认真审题， 属于中档
30、题 第 16 页（共 17 页） 20 （16 分）已知函数 f（x）xlnx，g（x）ex，h（x）kx2+ex（kR） ，其中 e 为自 然对数的底数 （1）求函数 yf（x）的单调区间； （2）求证：g（x）f（x）+1； （3）若 f（x）+g（x）h（x）恒成立，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）求得 f（x）的导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间； （2）设 F（x）lnx（x0） ，求得导数，并化简，结合指数函数的单调性， 可得 F（x）在 x0 的单调性，可得最小值，即可得证； （3）f（x）+g（x）h（x）恒成立k恒成立，通过构造函数，求 得单调
31、性，可得最小值，即可得到 k 的范围 【解答】解： （1）函数 f（x）xlnx 的导数为 f（x）1+lnx， 由 f（x）0，可得 x；由 f（x）0，可得 0x； 即 f（x）的增区间为（，+） ，减区间为（0，） ； （2）证明：设 F（x）lnx（x0） ， 可得 F（x）+， 当 x1 时，ex1，F（x）0，F（x）递增； 当 0x1 时，ex1，F（x）0，F（x）递减； 可得 F（x）的最小值为 F（1）e10， 即有lnx0，即为 xlnx+1ex，可得 g（x）f（x）+1； （3）f（x）+g（x）h（x）恒成立k恒成立， 令 m （ x ） ， m （ x ） ， 第 17 页（共 17 页） 令 r （ x ） ex lnx+e+1 ， r （ x ） ， 设 G（x）exx+1，可得 G（x）ex1，当 x0 时，G（x）递增，可得 G（x） G（0）0， 即有 exx+1，即有 r（x）0，r（x）在 x0 递增，r（1）0， 而在（0，1）上，r（x）0；m（x）在（0，1）递减； 在1，+）上 r（x）0，m（x）在1，+）递增，可得 m（x）的最小值为 m（1） ，即 k， 综上可得 k 的取值范围是（， 【点评】本题考查导数的综合运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法和参数分 离，以及化简变形能力、推理能力，属于难题
