1、2018-2019 学年江苏省苏州市陆慕高中等三校高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答分不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上 ）案填写在答题卡相应的位置上 ） 1 （5 分）若集合 U1，2，3，4，5，M1，2，4，则UM 2 （5 分）已知复数 z2i（i 是虚数单位） ，则|z| 3 （5 分）若复数 z11+i，z23i，则 z1z2的虚部为 4 （5 分）完成下面的三段论： 大前提：互为共轭复数的乘积是实数 小前提：x+y
2、i 与 xyi 是互为共轭复数 结 论： 5 （5 分）用反证法证明命题“如果 ab，那么”时，假设的内容应为 6 （5 分）若（x21）+（x2+3x+2）i 是纯虚数，则实数 x 的值是 7 （5 分）函数 f（x）+的定义域是 8 （5 分） “0x1”是“log2（x+1）1”的 条件（填“充分不必要” “必要不充 分” “充要” “既不充分也不必要” ） 9 （5 分）设直线 yx+b 是曲线 ylnx（x0）的一条切线，则实数 b 的值为 10 （5 分） 11 （5 分）
3、已知ABC 的周长为 l，面积为 S，则ABC 的内切圆半径为 r将此结论 类比到空间，已知四面体 ABCD 的表面积为 S，体积为 V，则四面体 ABCD 的内切球的 半径 R 12（5 分） 函数的一个零点在区间 （1， 2） 内， 则实数 a 的取值范围是 13 （5 分）第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎” ，按如下的方式构造图形，图（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个，第 n 个图形包含 f（n）个“福娃 迎迎” ，则 f（n）f（n1） （答案用含 n 的解析式表示） 第 2
4、页（共 16 页） 14 （5 分）已知函数若，a，b，c，d 是互不相同的正数， 且 f（a）f（b）f（c）f（d） ，则 abcd 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤.【 15 （14 分）已知 z 为复数，z+2i 和均为实数，其中 i 是虚数单位 （）求复数 z； （）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围 16 （14 分）已知命题 p：函数 f（x
5、）x3+x2+mx+1 有两个不同的极值点；命题 q：函数 f（x）x2mx+3 在区间1，2是单调减函数若 p 且q 为真命题，求实数 m 的取值 范围 17 （15 分）方程 x2xm0 在（1，1）上有解 （1）求满足题意的实数 m 组成的集合 M； （2）设不等式（xa） （x+a2）0 的解集为 N，若 MN，求 a 的取值范围 18 （15 分）已知函数 f（x）是定义在（4，4）上的奇函数，满足 f（2）1，当4x 0 时，有 f（x） （1）求实数 a，b 的值； （2）求函数 f（x）在区间（0，4）上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性； （3）解关于
6、m 的不等式 f（m2+1）1 19 （16 分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用 时 某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤 分析显示： 当 S 中 x% （0x100） 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）（单位：分钟） ， 第 3 页（共 16 页） 而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问 题： （1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x）的表达式；讨论 g（x）的单调性，并说明 其实际意义 20 （
7、16 分）设函数 f（x）x2+（a+1）xlnx（aR） （1）当 a0 时，求函数 f（x）的极值； （2）当 a0 时，讨论函数 f（x）的单调性； （3）若对任意 a（2，3）及任意 x1，x21，2，恒有m+ln2|f（x1）f（x2）| 成立，求实数 m 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年江苏省苏州市陆慕高中等三校高二（下）期中数学年江苏省苏州市陆慕高中等三校高二（下）期中数 学试卷（文科）学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共计，共计 70 分不需要
8、写出解答过程，请将答分不需要写出解答过程，请将答 案填写在答题卡相应的位置上 ）案填写在答题卡相应的位置上 ） 1 （5 分）若集合 U1，2，3，4，5，M1，2，4，则UM 3，5 【分析】进行补集的运算即可 【解答】解：U1，2，3，4，5，M1，2，4； UM3，5 故答案为：3，5 【点评】考查列举法表示集合的定义，以及补集的运算 2 （5 分）已知复数 z2i（i 是虚数单位） ，则|z| 【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可 【解答】解：复数 z2i， |z| 故答案为： 【点评】本题主要考查复数的长度的计算，比较基础 3 （5 分）若复数 z11+i，z23i，则 z1z
9、2的虚部为 2 【分析】把 z11+i，z23i 代入 z1z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：z11+i，z23i， z1z2（1+i） （3i）4+2i， z1z2的虚部为 2 故答案为：2 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 4 （5 分）完成下面的三段论： 大前提：互为共轭复数的乘积是实数 小前提：x+yi 与 xyi 是互为共轭复数 第 5 页（共 16 页） 结 论： （x+yi） （xyi）是实数 【分析】三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结 论的演绎推理在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本
10、例中的“互为共轭复数的 乘积是实数” ； 含有小项的前提叫小前提， 如本例中的 “x+yi 与 xyi 是互为共轭复数” 另 外一个是结论 【解答】解：由演绎推理三段论可得 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是： “ “ （x+yi） （xyi）是实数， 故答案为： （x+yi） （xyi）是实数 【点评】三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理它包含两个性质判断构成的前 提，和一个性质判断构成的结论一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前 提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中， 又在结论中做主项的词项叫小项 5 （5 分） 用反证法证明命题 “
11、如果 ab， 那么” 时， 假设的内容应为 或 【分析】用反证法证明数学命题“如果 ab，那么”时，应假设它的否定 【解答】解：由于命题“”的否定为“或” ，故用反证法 证明命题“如果 ab，那么”时， 应假设或， 故答案为：或 【点评】本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“ ”的否定为“或” ，是解题的关键 6 （5 分）若（x21）+（x2+3x+2）i 是纯虚数，则实数 x 的值是 1 【分析】复数为纯虚数时，实部为 0，虚部不为 0，求解相应的方程与不等式，即可确定 x 的值 【解答】解：因为（x21）+（x2+3x+2）i 是纯虚数，xR 所以 第 6 页（
12、共 16 页） 解得：x1 故答案为：1 【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力，明确复数为纯虚数时，实部为 0，虚 部不为 0 是解题的关键 7 （5 分）函数 f（x）+的定义域是 x|x2，且 x2 【分析】可看出，要使得函数 f（x）有意义，则需满足，解出 x 的范围即可 【解答】解：要使 f（x）有意义，则：； x2，且 x2； f（x）的定义域为x|x2，且 x2 【点评】考查函数定义域的定义及求法，描述法表示集合的定义 8 （5 分） “0x1”是“log2（x+1）1”的 充分不必要 条件（填“充分不必要” “必 要不充分” “充要” “既不充分也不必要” ） 【分析】求
13、出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：log2（x+1）1log22， ，1x1， “0x1”是“log2（x+1）1”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以 及不等式的性质是解决本题的关键，属基础题 9 （5 分）设直线 yx+b 是曲线 ylnx（x0）的一条切线，则实数 b 的值为 ln21 【分析】欲实数 b 的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函 数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程 对照即可 【
14、解答】解：y（lnx），令得 x2， 切点为（2，ln2） ，代入直线方程 yx+b， 第 7 页（共 16 页） ln22+b，bln21 故答案为：ln21 【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 10 （5 分） i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， i2019i4 504+3i3i 故答案为：i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 11 （5 分）已知ABC 的周长为 l，面积为 S，则ABC 的内切圆半径为 r将此结论 类比到空间，已知四面体 ABCD 的表
15、面积为 S，体积为 V，则四面体 ABCD 的内切球的 半径 R 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平 面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积 的方法类比求四面体的体积即可 【解答】解：设四面体的内切球的球心为 O， 则球心 O 到四个面的距离都是 R， 所以四面体的体积等于以 O 为顶点， 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和 则四面体的体积为 V 四面体 ABCD（S1+S2+S3+S4）R R 故答案为： 第 8 页（共 16 页） 【点评】本题考查类比推理的应用，类比推理是指依据两类数学对象的相似性，
16、将已知 的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之 间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确 的命题（或猜想） 12 （5 分） 函数的一个零点在区间 （1， 2） 内， 则实数 a 的取值范围是 （0， 3） 【分析】由题意可得 f（1）f（2）（0a） （3a）0，解不等式求得实数 a 的取值 范围 【解答】解：由题意可得 f（1）f（2）（0a） （3a）0， 解得：0a3， 故实数 a 的取值范围是（0，3） ， 故答案为： （0，3） 【点评】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题 13 （5 分）第
17、二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎” ，按如下的方式构造图形，图（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个，第 n 个图形包含 f（n）个“福娃 迎迎” ，则 f（n）f（n1） （答案用含 n 的解析式表示） 【分析】本题可根据题意及图写出前 4 个算式的表达式，然后观察规律可得 f（n）及 f （n1） ，即可算出结果 【解答】解：由题意及图，可发现规律： 第 9 页（共 16 页） f（1）1， f（2）1+3+1， f（3）1+3+5+3+1， f（4）1+3+5+7+5+3+1， 通过已知的这四个算式的规律，可得： f（n）1+3+（2n3
18、）+（2n1）+（2n3）+3+1， f（n1）1+3+（2n5）+（2n3）+（2n5）+3+1， 通过上面两个算式，可得： f（n）f（n1）（2n1）+（2n3）4（n1） 故答案为：4（n1） 【点评】本题主要考查结合图形与题干的理解，先写出前面的简单项，发现规律并归纳 f （n） 本题属中档题 14 （5 分）已知函数若，a，b，c，d 是互不相同的正数， 且 f（a）f（b）f（c）f（d） ，则 abcd 的取值范围是 （24，25） 【分析】画出函数 yf（x）的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得 ab 1，由二次函数的性质可得 c+d10，运用基本不等式和二次函
19、数的性质，即可得到所 求范围 【解答】解：先画出函数的图象，如图： a，b，c，d 互不相同，不妨设 abcd 且 f（a）f（b）f（c）f（d） ， 而log4alog4b，即有 log4a+log4b0， 可得 ab1， 则 abcdcd， 由 c+d10，可得 cd（）225， 且 cdc（10c）（c5）2+25， 当 c4 时，d6，cd24，但此时 b，c 相等， 故 abcd 的范围为（24，25） 第 10 页（共 16 页） 故答案为： （24，25） 【点评】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注 意体会数形结合思想在本题中的运用 二、解答题
20、：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤字说明、证明或演算步骤.【 15 （14 分）已知 z 为复数，z+2i 和均为实数，其中 i 是虚数单位 （）求复数 z； （）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围 【分析】 （I）设出复数的代数形式，整理出 z+2i 和，根据两个都是实数虚部都等于 0，得到复数的代数形式 （II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算， 写出代数的标准形式，
21、根据复数对应的点在第一象限， 写出关于实部大于 0 和虚部大于 0， 解不等式组，得到结果 【解答】解： （）设复数 za+bi（a，bR） ， 由题意，z+2ia+bi+2ia+（b+2）iR， b+20，即 b2 又， 2b+a0，即 a2b4z42i （）由（）可知 z42i， （z+ai）2（42i+ai）24+（a2）i216（a2）2+8（a2）i 对应的点在复平面的第一象限， 解得 a 的取值范围为 2a6 第 11 页（共 16 页） 【点评】本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与 复平面上点的对应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题 16 （1
22、4 分）已知命题 p：函数 f（x）x3+x2+mx+1 有两个不同的极值点；命题 q：函数 f（x）x2mx+3 在区间1，2是单调减函数若 p 且q 为真命题，求实数 m 的取值 范围 【分析】首先，判定命题 p 和命题 q 都为真命题时，实数 m 的取值范围，然后，结合条 件 p 且q 为真命题，进一步确定实数 m 的取值范围 【解答】解：p 为真时：f（x）x2+2x+m 44m0 m1 q 为真时：m4 q 为真时：m4 由 得：m1 实数 m 的取值范围为（，1） 【点评】本题重点考查了简单命题和复合命题的真假判断，属于中档题，准确理解复合 命题的真假判断是解题关键 17 （15
23、分）方程 x2xm0 在（1，1）上有解 （1）求满足题意的实数 m 组成的集合 M； （2）设不等式（xa） （x+a2）0 的解集为 N，若 MN，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据方程有解转化为一元二次函数，求出对应的值域即可 （2）结合一元二次不等式的解法求出对应的解集 N，结合集合关系进行求解即可 【解答】解： （1）x2xm0 在（1，1）上有解 x2xm 在（1，1）上有解 设 f（x）x2x（x）2， 1x1，最小值为， 最大值为 f（1）2，即f（x）2， 即m2 第 12 页（共 16 页） （2）当 a1 时，解集 N 为空集，不满足题意 当 a1 时，a2a，此时
24、集合 N（2a，a） ，若 MN 则，解得 a 当 a1 时，a2a，此时集合 N（a，2a） ，若 MN 则，解得 a 综上，a或 a 【点评】本题主要考查集合关系的应用，结合方程与函数之间的关系以及不等式的解法 是解决本题的关键 18 （15 分）已知函数 f（x）是定义在（4，4）上的奇函数，满足 f（2）1，当4x 0 时，有 f（x） （1）求实数 a，b 的值； （2）求函数 f（x）在区间（0，4）上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性； （3）解关于 m 的不等式 f（m2+1）1 【分析】 （1）根据条件可得 f（0）0，f（2）1，解不等式组即可； （2
25、）将 a，b 的值代入 f（x）中，利用定义证明 f（x）的单调性即可； （3）根据 f（x）的单调性和 f（2）1，可得，解不等式即可； 【解答】解： （1）由题可知，解得； （2）由（1）可知当 x（4，0）时， 当 x（0，4）时，x（4，0） ， 任取 x1，x2（0，4） ，且 x1x2， x1，x2（0，4） ，且 x1x2，则 x140，x240，x1x20， 第 13 页（共 16 页） 于是 f（x1）f（x2）0，在 x（0，4）上单调递增； （3）函数 f（x）是定义在（4，4）上的奇函数，且 f（x）在 x（0，4）上单调递 增， 则 f（x）在 x（4，4）上单调递增
26、， f（m2+1）1f（2）， 1m或m1 解得，m1 或 1m， 不等式的解集为m|m1 或 1m 【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性以及不等式的解法，关键是利用定义证明单 调性，属基础题 19 （16 分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用 时 某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤 分析显示： 当 S 中 x% （0x100） 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为 f（x）（单位：分钟） ， 而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问 题： （1）当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于
27、自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族 S 的人均通勤时间 g（x）的表达式；讨论 g（x）的单调性，并说明 其实际意义 【分析】 （1）由题意知求出 f（x）40 时 x 的取值范围即可； （2）分段求出 g（x）的解析式，判断 g（x）的单调性，再说明其实际意义 【解答】解； （1）由题意知，当 30x100 时， f（x）2x+9040， 即 x265x+9000， 解得 x20 或 x45， x（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当 0x30 时， 第 14 页（共 16 页） g（x）30x%+40（1x%）40； 当 30x100 时
28、， g（x）（2x+90） x%+40（1x%）x+58； g（x）； 当 0x32.5 时，g（x）单调递减； 当 32.5x100 时，g（x）单调递增； 说明该地上班族 S 中有小于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于 32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最少 【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的 能力 20 （16 分）设函数 f（x）x2+（a+1）xlnx（aR） （1）当 a0 时，求函数 f（x）的极值； （2）当 a0 时，讨论函数 f（x）的单调性； （3）若对任意
29、a（2，3）及任意 x1，x21，2，恒有m+ln2|f（x1）f（x2）| 成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）由 f（x）1由 f（x）0x1； f（x）00x 1，从而函数 f （x）在区间（0，1）上递减，在（1，+）上递增进而 x1 时 f （x） 有极小值为 f （1）1ln11； （2）a0 时，f（x）当 f（x）0 时，x1 和 x分别讨 论当 a1 时，当1当1 的情况，从而得出答案； （3）由（2）知当 a（2，3）时，f （x）在区间1，2上单调递减，所以|f（x1）f（x2） |maxf （1）f （2）1+ln2，则有m+ln2|f（x1）f（x2）|ma
30、x，令 g（a） ，则 g（a）0 对 a（2，3）恒成立，从而求出 m 的范围 第 15 页（共 16 页） 【解答】解： （1）由题意得，定义域为（0，+） ， 当 a0 时，f （x）xlnx， f（x）1 由 f（x）0x1； f（x）00x1， 函数 f （x）在区间（0，1）上递减，在（1，+）上递增 x1 时 f （x）有极小值为 f （1）1ln11 （2）a0 时， f（x）ax+a+1 当 f（x）0 时，x1 和 x 当 a1 时，f（x）0 恒成立， 此时 f （x）在（0，+）上递减； 当1 即 0a1 时， f（x）01x；f（x）00x1 或 x； f （x）在（
31、1，）上递增，在（0，1）和（，+）上递减； 当1 即 a1 时，f（x）0x1；f（x）00x或 x1； f （x）在（，1）上递增，在（0，）和（1，+）上递减 （3）由（2）知当 a（2，3）时，f （x）在区间1，2上单调递减， 所以|f（x1）f（x2）|maxf （1）f （2）1+ln2， 要使对任意 x1，x21，2， 恒有m+ln2|f （x1）f （x2）|成立 则有m+ln2|f（x1）f（x2）|max， 即m+ln21+ln2 对任意 a（2，3）成立， 第 16 页（共 16 页） 亦即 m对任意 a（2，3）成立， 令 g（a）， 则 g（a）0 对 a（2，3）恒成立， 所以 g（a）在 a（2，3）上单调递增， g（a）g（3）， 故 m 的取值范围为 m 【点评】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，求参数的取值范围， 是一道综合题
