1、山东省实验中学 2020 届高三（4 月 5 日）高考 数学预测卷 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、单项选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z=(1+2i)(1+ai)(aR), 若 zR,则实数 a= ( ) 1 . 2 A 1 . 2 B C.2 D. -2 2.已知集合 M=x|-10,且对于函数 f(x)的图象上两点 P1 1122212 ( ,( ),(),(),x f xP xf xxx存在 012 ( ,),xx x使得函数 f(x)的图象在 0 xx处的切线 12 / /lPP.求证: 12 0
2、. 2 xx x 高考预测卷高考预测卷 答案答案 选择：选择： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B A D D A C ABD AB ACD BD 填空：填空：13. 14. 3 3 15. 5040 16. 3a 22 1 123 xy 3 8 10.【AB】01q，且 20192020 1,01aa，故 20202019 SS，A正确； 2 201920212020 110aaa ， 故B正确； 2019 T是数列 n T中的最大值，CD错误； 11【ACD】如图所示：易知平面 11/ BCC B平面 11 ADD A，BM 平面 11 BCC B， 故直线B
3、M与平面 11 ADD A平行，A正确； 平面 1 BMD截正方体所得的截面为 1 BMD N为四边形，故B错误； 连接 1 BC， 1 AB，易知 11 /ADBC，故异面直线 1 AD与 11 AC所成的角为 11 AC B， 1111 ABACBC，故 11 3 AC B ，故C正确； 延长DC到B使1CB ，易知BMB M，故 11 5MBMDD B，当M为 1 CC中点时等号成立，故D正确； 12.【BD】A.函数的 的定义域为（0，+） ，函数的导数 f（x） 22 212x xxx ，（0，2）上，f（x）0，函数单 调递减， （2，+）上，f（x）0，函数单调递增， x2 是
4、f（x）的极小值点，即 A 错误； B.yf（x）x 2 x lnxx，y 2 21 xx 1 2 2 2xx x 0， 函数在（0，+）上单调递减，且 f（1）12ln11=10，f（2）21 ln22= ln210，函数 yf（x）x 有 且只有 1 个零点，即 B 正确； C.若 f（x）kx，可得 k 2 2lnx xx ，令 g（x） 2 2lnx xx ，则 g（x） 3 4xxlnx x ， 令 h（x）4+xxlnx，则 h（x）lnx， 在 x（0，1）上，函数 h（x）单调递增，x（1，+）上函数 h（x）单调递减， h（x） h（1）0，g（x）0， 8 g（x） 2 2
5、lnx xx 在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值， 不存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立，即 C 不正确； D.令 t（0，2） ，则 2t（0，2） ，2+t2， 令 g（t）f（2+t）f（2t） 2 2t ln（2+t） 2 2t ln（2t） 2 4 4 t t ln 2 2 t t ， 则 g（t） 22 22 22222222 448 22241648 (4)2(2)(4)4(4) tt ttttt tttttt 0， g（t）在（0，2）上单调递减， 则 g（t）g（0）0， 令 x12t， 由 f（x1）f（x2） ，得 x22+t， 则 x1+x22t+2+t4
6、， 当 x24 时，x1+x24 显然成立， 对任意两个正实数 x1，x2，且 x2x1，若 f（x1）f（x2） ，则 x1+x24，故 D 正确 故正确的是 BD， 14.【解】 22 1212112122 ( 3) ()333eeeeee ee ee， 222 12121122 |3|( 3)32 32eeeeee ee， 22222 12121122 |()21eeeeee ee， 22 321cos601 ，解得： 3 3 15.分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为 32145 64265 144036005040NA AC C A。 16. 18. 19.【解】
7、 （）在棱AB上存在点E，使得/AF平面PCE，点E为棱AB的中点 理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，/ /FQDC且 1 2 FQCD， /AECD且 1 2 AECD，故/ /AEFQ且AEFQ.所以，四边形AEQF为平行四边形. 所以，/ /AFEQ，又EQ 平面PEC，AF 平面PEC，所以，/AF平面PEC. （）由题意知ABD为正三角形，所以EDAB，亦即EDCD， 又90ADP，所以PDAD，且平面ADP 平面ABCD，平面ADP平面ABCDAD， 所以PD 平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 设FDa，则由题意知0,0,0D，0,0,Fa，0
8、,2,0C，3,1,0B，0,2,FCa， 3, 1,0CB ， 设平面FBC的法向量为, ,mx y z， 则由 0 0 m FC m CB 得 20 30 yaz xy ，令1x ，则3y ， 2 3 z a ， 所以取 2 3 1, 3,m a ，显然可取平面DFC的法向量1,0,0n ， 由题意： 2 21 cos, 412 1 3 m n a ，所以3a . 由于PD 平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD， 所以PBD为直线PB与平面ABCD所成的角， 易知在Rt PBD中，tan3 PD PBDa BD ，从而60PBD， 所以直线PB与平面ABCD所成的角为60.
9、20. 21. 22.（1）解：易得，函数 f x的定义域为0,， 1 2 21 xxaa fxxa xx ， 令 0fx ，得1x 或 2 a x . 当0a时，01x时， 0fx，函数 f x单调递减； 1x 时， 0fx ，函数 f x单调递增.此时， f x的减区间为0,1，增区间为1,. 当20a 时， 1 2 a x时， 0fx， 函数 f x单调递减；0 2 a x 或1x 时， 0fx， 函数 f x单调递增.此时， f x的减区间为,1 2 a ，增区间为0, 2 a ，1,. 当2a 时，0x时， 2 21 0 x fx x ， 函数 f x单调递增； 此时， f x的减区
10、间为0,. 综上，当0a时， f x的减区间为0,1，增区间为1,： 当20a 时， f x的减区间为,1 2 a ，增区间为0, 2 a .1,； 当2a 时， f x增区间为0,. （2）证明：由题意及导数的几何意义，得 1 1 21 0 21 R P f xf x fxk xx 22 222111 21 1ln1lnxaxa xxaxa x xx 2 1 12 22 ln 2 x a x xxa xx 由（1）中 fx 得 12 12 12 2 2 2 xxa fxxa xx . 易知，导函数 21 a fxxa x (0)a 在0,上为增函数， 所以，要证 12 0 2 xx x ，只要证 12 0 2 xx fxf ，即 2 1 2112 ln 2 x a xa xxxx ，即证 21 2 112 2 ln xxx xxx . 因为 21 0xx，不妨令 2 1 x t x ，则 21 ln 1 t g tt t (1)t . 所以 2 22 114 0 11 t g t t tt t (1)t ，所以 g t在1,t上为增函数， 所以 10g tg，即 21 ln0 1 t t t ，所以 21 ln 1 t t t ，即 ln2 11 t tt ，即 21 2 112 2 ln xxx xxx . 故有 12 0 2 xx x （得证）.
