1、2019-2020 学年江西省宜春市高安中学高二（上）期中数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意）分，每小题只有一个选项符合题意） 1 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z2i（i 为虚数单位） ，则 z（ ） A1+i B1i C1+i D1i 2 （5 分）用反证法证明命题： “已知 a、bN*，如果 ab 可被 5 整除，那么 a、b 中至少有 一个能被 5 整除”时，假设的内容应为（ ） Aa、b 都能被 5 整除 Ba、b 都不能被 5 整除 Ca、b 不都能被 5 整除 Da
2、 不能被 5 整除 3 （5 分）若函数，则函数 f（x）的单调递减区间为（ ） A （，1）（3，+） B （1，3） C （0，3） D （3，+） 4 （5 分）函数图象大致为（ ） A B C D 5 （5 分）下列命题中，真命题是（ ） Ax0R，使得 2x00 Bsin2x+3（xk，kz） CxR，2xx3 Da2，b2 是 ab4 的充分不必要条件 6 （5 分）用 S 表示图中阴影部分的面积，有 6 个对面积 S 的表示，如图所示，Sf 第 2 页（共 21 页） （x）dx；S|f（x）dx|；S|f（x）|dx；
3、Sf（x）dxf（x）dx； Sf（x）dxf（x）dx；S|f（x）dxf（x）dx|则其中对面积 S 的表示正确序号的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 7（5 分） 设ABC 的三边长分别为 a、 b、 c， ABC 的面积为 S， 内切圆半径为 r， 则， 类比这个结论可知：四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球半径 为 R，四面体 SABC 的体积为 V，则 R（ ） A B C D 8 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABBC，ABBCPA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中 点，OP底面 ABC，则直线 OD 与平面 PBC 所成
4、角的正弦值（ ） A B C D 9 （5 分）已知函数 f（x）x（xc）2在 x2 处有极大值，则实数 c 的值为（ ） A2 B4 C5 D6 10 （5 分）圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O 为底面的中心，M 为 SO 的中 点， 动点 P 在圆锥底面内 （包括圆周） ， 若 AMMP， 则点 P 形成的轨迹的长度为 （ ） A B C D 11 （5 分）已知函数 f（x） 在 R 上满足 f（x）2f（2x）x2+8x8，则曲线 yf（x） 在点（1，f（1） ）处的切线方程是（ ） Ay2x+3 By2x1 Cy6x+7 Dy3x2 12 （5 分
5、）设 O 为坐标原点，F1，F2是双曲线1（a0，b0）的焦点，若在 第 3 页（共 21 页） 双曲线上存在点 P， 满足F1PF260， |OP|a， 则该双曲线的渐近线方程为 （ ） Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 二、填空题（本大题二、填空题（本大题共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 13 （5 分）设 f（x），则f（x）dx 14 （5 分）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同 的选法共有 种 （用数字填写答案
6、） 15 （5 分）已知椭圆的离心率，则 m 的值等于 16 （5 分）若函数 f（x）lnx 与函数 g（x）x2+2x+lna（x0）有公切线，则实数 a 的取 值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或步骤） 17 （10 分）如图，一个正方形花圃被分成 5 份 （1）若给这 5 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、 绿 4 种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？ （2）若向这 5 个部分放入 7 个不同的盆栽，要求每个
7、部分都有盆栽，问有多少种不同的 放法？ 18 （12 分） 命题 p： 函数 yx2+mx+1 在 （1， +） 上单调递增，命题 q：函数 ylg4x2+4 （m2）x+1的定义域为 R （1）若“p 或 q”为真命题，求 m 的取值范围； （2）若“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，求 m 的取值范围 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，BEDF，且 ABBEDF，AB平 面 BCE （1）证明：平面 AEC平面 BDFE； （2）求二面角 AFCD 的余弦值 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分）设函数 f（x）ln（1+x） ，g（x）xf'
8、;（x） ，x0，其中 f（x）是 f（x）的 导数，令 g1（x）g（x） ，gn+1（x）g（gn（x） ） ，nN* （1）求 g1（x） ，g2（x） ，g3（x） ，并猜想 gn（x） ； （2）证明：猜想的 gn（x）表达式成立 21 （12 分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为 （）求椭圆 E 的方程； （）设过椭圆右焦点的直线 l1交椭圆于 A、B 两点，过原点的直线 l2交椭圆于 C、D 两点若 l1l2，求证：为定值 22 （12 分）已知实数 a0，设函数 f（x）alnx+，x0 （）当 a时，求函数 f（x）的单调区间； （）对任意 x，+）均有 f（x），求 a 的取
9、值范围 注：e2.71828为自然对数的底数 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年江西省宜春市高安中学高二（上）期中数学试卷学年江西省宜春市高安中学高二（上）期中数学试卷 （理科） （理科） （A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大一、选择题（本大题共题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意）分，每小题只有一个选项符合题意） 1 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z2i（i 为虚数单位） ，则 z（ ） A1+i B1i C1+i D1i 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化
10、简得答案 【解答】解：由（1+i）z2i， 得 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 2 （5 分）用反证法证明命题： “已知 a、bN*，如果 ab 可被 5 整除，那么 a、b 中至少有 一个能被 5 整除”时，假设的内容应为（ ） Aa、b 都能被 5 整除 Ba、b 都不能被 5 整除 Ca、b 不都能被 5 整除 Da 不能被 5 整除 【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立， 由此得出此命题是成立的 【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其 否定成立进行推证 命题“a，bN，
11、如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有 1 个能被 5 整除”的否定是“a， b 都不能被 5 整除” 故选：B 【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明 问题的技巧 3 （5 分）若函数，则函数 f（x）的单调递减区间为（ ） A （，1）（3，+） B （1，3） C （0，3） D （3，+） 第 6 页（共 21 页） 【分析】求出导函数，通过导函数的符号转化求解函数的单调减区间即可 【解答】解：，函数的定义域为：x|x0 可得 f（x）x2， x0f（x）0，解得 x（0，3） ； 所以函数 f（x）的单调递减区间为： （0，
12、3） ； 故选：C 【点评】本题考查函数的单调性的求法，求出导函数，求解不等式组是解题的关键，是 中档题 4 （5 分）函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】求出函数定义域，再由 x0 时，f（x）+，当 x2 时，f（x）0，可知 f（x）在（2，+）上单调递减，则答案可求 【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，+） ， 当 x0 时，|lnx|+，0，则 f（x）+， 又当 x2 时， f（x）0，可知 f（x）在（2，+）上单调递减 由上可知，函数图象大致为 C 故选：C 【点评】本题考查函数的图象与图象变换，训练了利用导数研究函数的单调性，是基础 题 第 7 页
13、（共 21 页） 5 （5 分）下列命题中，真命题是（ ） Ax0R，使得 2x00 Bsin2x+3（xk，kz） CxR，2xx3 Da2，b2 是 ab4 的充分不必要条件 【分析】根据指数函数的值域为（0，+） ，可判断 A；举出反例，sinx1 可判断 B； 举出反例 x3，可判断 C；根据充要条件的定义，可判断 D 【解答】解：2x0 恒成立，x0R，使得，2x00 错误，故 A 错误； 当 sinx1 时，sin2x+1，故 B 错误； 当 x3 时，2332，故 C 错误； 当 a2，b2 时，ab4 成立， 反之，当 ab4 时，a2，b2
14、 不一定成立， 故 a2，b2 是 ab4 的充分不必要条件，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了全称命题，特称命题，充要条件等知识 点，难度不大，属于基础题 6 （5 分）用 S 表示图中阴影部分的面积，有 6 个对面积 S 的表示，如图所示，Sf （x）dx；S|f（x）dx|；S|f（x）|dx；Sf（x）dxf（x）dx； Sf（x）dxf（x）dx；S|f（x）dxf（x）dx|则其中对面积 S 的表示正确序号的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据定积分求面积关系，求出即可 【解答】解：根据定积分求面积，f（x）0 时，定积分等于面积，
15、第 8 页（共 21 页） f（x）0 时，定积分的相反数等于面积， 正确的有 故选：B 【点评】考查定积分和面积的关系，基础题 7（5 分） 设ABC 的三边长分别为 a、 b、 c， ABC 的面积为 S， 内切圆半径为 r， 则， 类比这个结论可知：四面体 SABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球半径 为 R，四面体 SABC 的体积为 V，则 R（ ） A B C D 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平 面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积 的方法类比求四面体的体积即可
16、 【解答】解：设四面体的内切球的球心为 O， 则球心 O 到四个面的距离都是 R， 所以四面体的体积等于以 O 为顶点， 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和 则四面体的体积为 R 故选：C 【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比 迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想） 第 9 页（共 21 页） 8 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABBC，ABBCPA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中 点，OP底面 ABC，则直线 OD 与平面
17、PBC 所成角的正弦值（ ） A B C D 【分析】首先利用三垂线定理作出直线 OD 与平面 PBC 所成角，就是取 BC 中点 E，连 接 PE，则 BC平面 POE 作 OFPE 于 F，连接 DF，得到 OF平面 PBC，然后解三角 形求出角即可 【解答】解：ABBC，OAOC，OAOBOC， 又OP平面 ABC PAPBPC取 BC 中点 E，连接 PE，则 BC平面 POE，作 OFPE 于 F，连接 DF，则 OF平面 PBC ODF 是 OD 与平面 PBC 所成的角设 ABBC1，PA2，在 RtPOC 中，PO ，在 RtPOC 中，D 是 PC 的中点，PC2， OD1，
18、在 RtPOE 中，OE，PE，OF， 在 RtODF 中，sinODF 故选：D 【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题 9 （5 分）已知函数 f（x）x（xc）2在 x2 处有极大值，则实数 c 的值为（ ） A2 B4 C5 D6 【分析】由题意可得 f（2）0，解出 c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得 极大值的充分条件 【解答】解：函数 f（x）x（xc）2的导数为 f（x）（xc）2+2x（xc） （xc） （3xc） ， 第 10 页（共 21 页） 由 f（x）在 x2 处有极大值，即有 f（2）0，即（c2） （c6
19、）0 解得 c2 或 6， 若 c2 时，f（x）0，可得 x2 或， 由 f（x）在 x2 处导数左负右正，取得极小值， 若 c6，f（x）0，可得 x6 或 2 由 f（x）在 x2 处导数左正右负，取得极大值 综上可得 c6 故选：D 【点评】题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题 和易错题 10 （5 分）圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形，O 为底面的中心，M 为 SO 的中 点， 动点 P 在圆锥底面内 （包括圆周） ， 若 AMMP， 则点 P 形成的轨迹的长度为 （ ） A B C D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的
20、坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式 求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点 P 的轨迹方程，得到 P 的轨 迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长 【解答】解：建立空间直角坐标系设 A（0，1，0） ，B（0，1，0） ，S（0，0，） ， M（0，0，） ，P（x，y，0） 于是有（0，1，） ，（x，y，） 由于 AMMP，所以（0，1，） （x，y，）0， 即 y，此为 P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为 2 故选：D 第 11 页（共 21 页） 【点评】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量 积公式、向量垂直的充要
21、条件、圆的弦长的求法属中档题 11 （5 分）已知函数 f（x） 在 R 上满足 f（x）2f（2x）x2+8x8，则曲线 yf（x） 在点（1，f（1） ）处的切线方程是（ ） Ay2x+3 By2x1 Cy6x+7 Dy3x2 【分析】取 x1，可求出 f（1）1对函数 f（x）求导，得 f'（x）2f'（2x）2x+8， 再取 x1 得曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 f'（1）2，最后用直线方 程的点斜率式，可得所求的切线方程 【解答】解：取 x1，得 f（1）2f（1）1，可得 f（1）1 对函数 f（x）求导，得 f'（x）2f&
22、#39;（2x）2x+8， f'（1）2f'（1）+6，得 f'（1）2 由此可得曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率 k2 所求切线方程为 y12（x1） ，化简得 y2x1 故选：B 【点评】本题给出定义在 R 上的复合形式的函数，求函数图象在 x1 处的切线方程，着 重考查了导数的运算法则和导数几何意义等知识点，属于中档题 12 （5 分）设 O 为坐标原点，F1，F2是双曲线1（a0，b0）的焦点，若在 双曲线上存在点 P， 满足F1PF260， |OP|a， 则该双曲线的渐近线方程为 （ ） Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 【
23、分析】假设|F1P|x，进而分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得 c2+5a214a2 第 12 页（共 21 页） 2c2， 求得 a 和 c 的关系， 进而根据 b求得 a 和的关系进而求得渐近线的方程 【解答】解：假设|F1P|x OP 为三角形 F1F2P 的中线， 根据三角形中线定理可知 x2+（2a+x）22（c2+7a2） 整理得 x（x+2a）c2+5a2 由余弦定理可知 x2+（2a+x）2x（2a+x）4c2 整理得 x（x+2a）14a22c2 进而可知 c2+5a214a22c2 求得 3a2c2 ca ba 那么渐近线为 yx，即xy0 故选：D 【点评
24、】本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程，几 何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在题中横线上）分，把答案填在题中横线上） 13 （5 分）设 f（x），则f（x）dx 1+ 【分析】直接利用定积分运算法则求解即可 【解答】解：f（x）dx+ sin0sin+ 1+， 故答案为：1+ 【点评】本题考查定积分的运算法则的应用，考查计算能力 14 （5 分）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同
25、第 13 页（共 21 页） 的选法共有 16 种 （用数字填写答案） 【分析】方法一：直接法，分类即可求出， 方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数 【解答】解：方法一：直接法，1 女 2 男，有 C21C4212，2 女 1 男，有 C22C414 根据分类计数原理可得，共有 12+416 种， 方法二，间接法：C63C4320416 种， 故答案为：16 【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题 15 （5 分）已知椭圆的离心率，则 m 的值等于 或 【分析】通过椭圆焦点在 x 轴上或焦点在 y 轴上进行讨论，根据椭圆的标准方程算出 a、 b、c 值，由离心率为建立
26、关于 m 的方程，解之即可得到实数 m 之值 【解答】解：椭圆， 当椭圆焦点在 x 轴上时，a2m+2，b24，可得 c， 离心率 e，解得 m； 当椭圆焦点在 y 轴上时，a24，b2m+2，可得 c离心率 e，解 得 m 综上所述 m或 故答案为：或 【点评】本题给出椭圆含有参数 m 的方程，在已知椭圆离心率的情况下求 m 的值着重 考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基本知识的考查 16 （5 分）若函数 f（x）lnx 与函数 g（x）x2+2x+lna（x0）有公切线，则实数 a 的取 值范围是 （，+） 【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点
27、的斜率公 式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方 程，借助于函数的极值和最值，即可得到 a 的范围 第 14 页（共 21 页） 【解答】解：f（x），g（x）2x+2， 设与 g（x）x2+2x+lna 相切的切点为（s，t） ，s0， 与曲线 f（x）lnx 相切的切点为（m，n） ，m0， 则有公共切线斜率为 2s+2， 又 ts2+2s+lna，nlnm， 即有 lnas21+ln（2s+2） ， 设 h（s）s21ln（2s+2） （1s0） ， 所以 h'（s）0， h（s）h（0）ln21，lnaln21， s（1，0） ，且趋近于1
28、 时，h（s）无限增大，a， 故答案为： （，+） 【点评】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值， 考查运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或步骤） 17 （10 分）如图，一个正方形花圃被分成 5 份 （1）若给这 5 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、 绿 4 种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？ （2）若向这 5 个部分放入 7 个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的 放法？ 【分析】
29、 （1）先对 A 部分种植，再对 B 部分种植，对 C 部分种植按与 B 相同及与 B 不同 两种情况进行分类； （2）先将 7 个盆栽分成 5 组，有 2 种分法，分好后再全排列即可 【解答】解： （1）先对 A 部分种植，有 4 种不同的种植方法；再对 B 部分种植，有 3 种 不同的种植方法；对 C 部分种植进行分类： 第 15 页（共 21 页） 若与 B 相同，D 有 2 种不同的种植方法，E 有 2 种不同的种植方法，共有 4312 248（种） ； 若与 B 不同，C 有 2 种不同的种植方法，D 有 1 种不同的种植方法，E 有 2 种不同的 种植方法，共有 4321248（种
30、） ； 综上所述，共有 96 种种植方法； （2）将 7 个盆栽分成 5 组，有 2 种分法： 若分成 22111 的 5 组，有种分法； 若分成 31111 的 5 组，有种分法； 将分好的 5 组全排列，对应 5 个部分，则一共有种分法 【点评】本题考查两个计数原理及排列组合的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解 能力，属于基础题 18 （12 分） 命题 p： 函数 yx2+mx+1 在 （1， +） 上单调递增，命题 q：函数 ylg4x2+4 （m2）x+1的定义域为 R （1）若“p 或 q”为真命题，求 m 的取值范围； （2）若“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题，
31、求 m 的取值范围 【分析】 （1）分别解出满足命题 p 与 q 的 m 的范围， “p 或 q”为真命题，则取并集即可； （2）由“p 或 q”为真命题， “p 且 q”为假命题可知命题 p 与命题 q 一真一假，解出 m 的取值范围即可 【解答】解：命题 p：函数 yx2+mx+1 在（1，+）上单调递增，解得，所 以 m2， 命题 q：函数 ylg4x2+4（m2）x+1的定义域为 R，4x2+4（m2）x+10 恒成立， 所以16（m2）2160，解得 1m3， （1） “p 或 q”为真命题，则 m2 或 1m3，所以 m1； （2） “p 或 q”为真命题， “p 且
32、q”为假命题，则 p 与 q 一真一假， p 真 q 假，解得 m3， q 真 p 假，解得 1m2， 第 16 页（共 21 页） 综上：m3 或 1m2 【点评】本题主要考查复合命题及其真假，属于基础题 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，BEDF，且 ABBEDF，AB平 面 BCE （1）证明：平面 AEC平面 BDFE； （2）求二面角 AFCD 的余弦值 【分析】 （1） 推导出 ACBD， BEBC， ABBE， 从而 BE平面 ABCD， 进而 BEAC， 由此能证明 AC平面 BDFE，从而平面 AEC平面 BDEF （2） 推导出 DF平面 ABCD 以 D
33、 为坐标原点建立空间直角坐标系 Dxyz， 令 AB1， 利用向量法能求出二面角 AFCD 的余弦值 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 为正方形，ACBD ABBCBE，BE2+BC2EC2，BEBC 又AB平面 BCE，ABBE ABBCB，BE平面 ABCD，BEAC 又 BEBDB，AC平面 BDFE， AC平面 AEC，平面 AEC平面 BDEF 解： （2）BE平面 ABCD，BEDF，DF平面 ABCD 以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，令 AB1， 则 A（1，0，0） ，C（0，1，0） ，E（1，1，1） ，F（0，0，1） ， 则（0，1，1）
34、 ，（1，1，0） ， 第 17 页（共 21 页） 设平面 AFC 的法向量为 （x，y，z） ， 则，令 x1，则 （1，1，1） 平面 FCD 的一个法向量 （1，0，0） ， cos 二面角 AFCD 为锐角， 二面角 AFCD 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）设函数 f（x）ln（1+x） ，g（x）xf'（x） ，x0，其中 f（x）是 f（x）的 导数，令 g1（x）g（x） ，gn+1（x）g（gn（x） ） ，nN* （1）求 g1（
35、x） ，g2（x） ，g3（x） ，并猜想 gn（x） ； （2）证明：猜想的 gn（x）表达式成立 【 分 析 】（ 1 ） 可 先 得 出， 进 而 可 求 出， ，从而猜想； （2）根据数学归纳法证明：n1 时，显然成立；假设 nk 时成立，然后说明 nk+1 时也成立即可 第 18 页（共 21 页） 【解答】解： （1）， ， 猜想； （2）下面用数学归纳法证明： 当 n1 时，成立； 假设 nk 时结论成立，即， 那么，nk+1 时，即结论成 立， 由可知，nN*，成立 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，复合函数的求导公式，已知 f（x）求 fg （x）的方法，数学归纳法证
36、明的一般过程，考查了计算和推理能力，属于中档题 21 （12 分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为 （）求椭圆 E 的方程； （）设过椭圆右焦点的直线 l1交椭圆于 A、B 两点，过原点的直线 l2交椭圆于 C、D 两点若 l1l2，求证：为定值 【分析】 （）依题意，结合离心率求出 a，然后求解椭圆方程 （） （1）当直线 AB 的斜率不存在时，验证结果 （2）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的斜率为 k，依题意 k0，则直线 AB 的方程 为 yk（x1） ，直线 CD 的方程为 ykx设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D （x4，y4） ，联立直线与
37、椭圆方程，结合弦长公式转化求解即可 【解答】 （本小题 14 分） 解： （）依题意， 第 19 页（共 21 页） 由，得 椭圆 E 的方程为 （）证明： （1）当直线 AB 的斜率不存在时，易求|AB|3， 则 （2）当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的斜率为 k，依题意 k0， 则直线 AB 的方程为 yk（x1） ，直线 CD 的方程为 ykx 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） ， 由得（3+4k2）x28k2x+4k2120， 则， 由整理得， 则. 综合（1） （2） ，为定值 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用
38、，椭圆的方程的求法以及简单性质 的应用，考查分析问题解决问题的能力 22 （12 分）已知实数 a0，设函数 f（x）alnx+，x0 （）当 a时，求函数 f（x）的单调区间； 第 20 页（共 21 页） （）对任意 x，+）均有 f（x），求 a 的取值范围 注：e2.71828为自然对数的底数 【分析】 （1）当 a时，f（x），利 用导数性质能求出函数 f（x）的单调区间 （2） 由 f （1） ， 得 0a， 当 0a时， f （x） ， 等价于 2lnx0，令 t，则 t，设 g（t）t22t2lnx，t，则 g（t） （t）22lnx，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出 a
39、的取值 范围 【解答】解： （1）当 a时，f（x），x0， f（x）， 函数 f（x）的单调递减区间为（0，3） ，单调递增区间为（3，+） （2）由 f（1），得 0a， 当 0a时，f（x），等价于2lnx0， 令 t，则 t， 设 g（t）t22t2lnx，t， 则 g（t）（t）22lnx， （i）当 x，+）时， 则 g（x）g（2）， 记 p（x）42lnx，x， 则 p（x） ， 列表讨论： 第 21 页（共 21 页） x （） 1 （1，+） p（x） 0 + P（x） p（） 单调递减 极小值 p（1） 单调递增 p（x）p（1）0， g（t）g（22p（x）0 （ii）当 x）时，g（t）g（）， 令 q（x）2lnx+（x+1） ，x， 则 q（x）+10， 故 q（x）在，上单调递增，q（x）q（） ， 由（i）得 q（）p（）p（1）0， q（x）0，g（t）g（）0， 由（i） （ii）知对任意 x，+） ，t2，+） ，g（t）0， 即对任意 x，+） ，均有 f（x）， 综上所述，所求的 a 的取值范围是（0， 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合 应用能力
