1、2019-2020 学年江西省景德镇一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题给出的四个选项中，只有每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求.） 1 （5 分）下列命题正确的是（ ） A若|a|b，则 a2b2 B若 a|b|，则 a2b2 C若 a2b2，则 a|b| D若 a2b2，则 2 （5 分）已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且，则 （ ） A B C D 3 （5 分） 九章算术是我国古代内容极丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女 子善织，
2、日增等尺，前七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺， 则第十日所织尺数为（ ） A11 B10 C9 D8 4 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则 z3x+y 的最小值是（ ） A1 B5 C8 D10 5 （5 分）若关于 x 的不等式|ax2|3 的解集为，则 a（ ） A2 B2 C3 D3 6 （5 分）在等比数列an中，a2、a14是方程 x25x+60 的两个根，则 a8的值为（ ） A或 B C D或 7 （5 分）方程 x22ax+10 的两根分别在（0，1）与（1，3）内，则实数 a 的取值范围 为（ ） A Ba1 或 C D 8 （5 分）已知
3、1a+b4，1ab2，则 2a4b 的取值范围是（ ） A7，5 B10，8 C16，14 D2，10 第 2 页（共 18 页） 9 （5 分）数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，an+13Sn（n1） ，则 a7（ ） A345 B345+1 C45 D45+1 10 （5 分） 数列an满足 a11， 对任意 nN*都有 an+1an+n+1， 则 （ ） A B C D 11 （5 分）已知等差数列an的公差 d0，且 a1，a3，a13成等比数列，若 a11，Sn为数 列an的前 n 项和，则的最小值为（ ） A4 B3 C22 D2 12 （5 分）若数列an，bn的通项公
4、式分别是， 且 anbn对任意 nN*恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）不等式的解集为 14 （5 分）数列an中，a160，且 an+1an+3，则这个数列的前 40 项的绝对值之和 为 15 （5 分）下列结论正确的序号是 当 x2 时，的最小值为 2 当 x0 时， 当 0x2 时，无最大值 当 x0 且 x1 时， 当时， 16 （5 分）在数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和为 Sn满足， 设， 数列bn的前 n 项和为 T
5、n， 则满足 Tn6 的最小正整数 n 是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 第 3 页（共 18 页） 17 （10 分）已知不等式 ax23x+20 的解集为 Ax|1xb （1）求 a，b 的值； （2）求函数 f（x）（2a+b）x（xA）的最小值 18 （12 分）已知函数 f（x）|2x+3|+|2x1| （）求不等式 f（x）8 的解集； （）若关于 x 的不等式 f（x）|3m+1|有解，求实数 m 的取值范围 19 （12 分）已知数列an满足
6、a11，an+13an+4，nN* （）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式； （）设 bn（a2n+2）log3（an+2） ，求数列bn的前 n 项和 Tn 20 （12 分）设 f（x）ax2+（1a）x+a3 （1）若不等式 f（x）3 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）解关于 x 的不等式 f（x）a2（aR） 21 （12 分）已知数列an满足（1） （1）（1），nN*，Sn是数 列an的前 n 项的和 （1）求数列an的通项公式； （2）若 ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数 p，q 的值； （3）是否存在 k
7、N*，使得为数列an中的项？若存在，求出所有满足条 件的 k 的值；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知数列an中，a11，a2a，且 an+1k（an+an+2）对任意正整数 n 都成立， 数列an的前 n 项和为 Sn （1）若，且 S20192019，求 a； （2）是否存在实数 k，使数列an是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项 am，am+1， am+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有 k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若，求 Sn 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年江西省景德镇一中高二（上）期中数学试卷（理学年江西省景德镇一中高二（上
8、）期中数学试卷（理 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题给出的四个选项中，只有每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求一项符合题目要求.） 1 （5 分）下列命题正确的是（ ） A若|a|b，则 a2b2 B若 a|b|，则 a2b2 C若 a2b2，则 a|b| D若 a2b2，则 【分析】利用不等式的基本性质或取特殊值即可判断出正误 【解答】解：A取 a2，b3 满足条件，则 a2b2不成立； B由 a|b|，利用不等式的基本性质可得：a2b2，成立； C取
9、a2，b1 满足条件 a2b2，则 a|b|不成立； Da2b2|a|b|，则不成立 故选：B 【点评】本题考查了不等式的基本性质、取特殊值法，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 2 （5 分）已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且，则 （ ） A B C D 【分析】因为数列an和bn为等差数列，所以 A99a5，B99b5，将转化为即 可 【解答】解：依题意，数列an和bn为等差数列， 所以 A99a5， 同理 B99b5， 第 5 页（共 18 页） 所以 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的前 n 项和，等差数列的通项与前 n 项和的关系，属于基 础题
10、3 （5 分） 九章算术是我国古代内容极丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女 子善织，日增等尺，前七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺， 则第十日所织尺数为（ ） A11 B10 C9 D8 【分析】设此数列为an，由题意可知为等差数列，公差为 d利用等差数列的前 n 项和 公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果 【解答】解：设此数列为an，由题意可知为等差数列，公差为 d 则 S728，a2+a5+a815， 则 7a1+21d28，3a1+12d15， 解得 a11，d1 a101+9110 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其
11、前 n 项和公式，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题 4 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则 z3x+y 的最小值是（ ） A1 B5 C8 D10 【分析】由题意作平面区域，化 z3x+y 为 y3x+z，从而结合图象求最小值 【解答】解：由题意作实数 x，y 满足约束条件平面区域如下， 第 6 页（共 18 页） ， 化 z3x+y 为 y3x+z， 从而可得当过点（3，1）时，有最小值， 故 z3x+y 的最小值为33+18 故选：C 【点评】本题考查了学生的作图能力及线性规划，同时考查了数形结合的思想应用 5 （5 分）若关于 x 的不等式|ax2|3 的解集为，则 a（
12、） A2 B2 C3 D3 【分析】去掉绝对值，不等式化为1ax5，讨论 a0 和 a0 与 a0 时，解不等式 求得 a 的值 【解答】解：不等式|ax2|3 可化为3ax23， 即1ax5； 当 a0 时，解不等式得x， 由不等式的解集为，得 a3； 当 a0 时，不等式的解集为 R，不满足题意； 当 a0 时，解不等式得x，不满足题意； 综上知，a3 故选：C 【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法问题，是基础题 6 （5 分）在等比数列an中，a2、a14是方程 x25x+60 的两个根，则 a8的值为（ ） A或 B C D或 【分析】由题意利用 一元二次方程根与系数的关系，等比数
13、列的性质，求得 a8的值 第 7 页（共 18 页） 【解答】解：等比数列an中，a2、a14是方程 x25x+60 的两个根， a2+a145，a2a146，解得 a2和 a14中，一个等于 2，另一个等于 3， 故有 a2a146，a8再根据 a8a2q60，a8， 故选：B 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，属于基础题 7 （5 分）方程 x22ax+10 的两根分别在（0，1）与（1，3）内，则实数 a 的取值范围 为（ ） A Ba1 或 C D 【分析】令 f（x）x22ax+1，根据条件可得，然后解出 a 的范围 【解答】解：令 f（x）x22ax+
14、1， 方程 x22ax+10 的两根分别在（0，1）与（1，3）内， ， 1a， a 的取值范围为（1，） 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，考查了数形结合思想和函数 思想，属基础题 8 （5 分）已知 1a+b4，1ab2，则 2a4b 的取值范围是（ ） A7，5 B10，8 C16，14 D2，10 【分析】先根据约束条件在坐标系 aob 中画出可行域，再利用几何意义求最值，z2a 4b 表示直线在纵轴上的截距，只需求出可行域直线在纵轴上的截距最大最小值即可 【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 当直线 z2a4b 过点 A（，）时，z 最小是7， 当直线
15、z2a4b 过点 B（，）时，z 最大是 5， 第 8 页（共 18 页） 故选：A 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题 9 （5 分）数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，an+13Sn（n1） ，则 a7（ ） A345 B345+1 C45 D45+1 【分析】直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果 【解答】解：数列an的前 n 项和为 Sn，若 a11，an+13Sn（n1）， 当 n2 时， 得 an+1an3an， 所以， 所以数列an是以 3 为首项，4 为公比的等比数列 所以 所以 故选：A 【点评】本题考查
16、的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题型 10 （5 分） 数列an满足 a11， 对任意 nN*都有 an+1an+n+1， 则 （ ） A B C D 【分析】由题意可得 n2 时，anan1n，再由数列的恒等式：ana1+（a2a1）+（a3 第 9 页（共 18 页） a2）+（anan1） ，运用等差数列的求和公式，可得 an，求得2（ ） ，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和 【解答】解：数列an满足 a11，对任意 nN*都有 an+1an+n+1， 即有 n2 时，anan1n， 可得 ana1+（a2a1）+（a
17、3a2）+（anan1） 1+2+3+nn（n+1） ， 2（） ， 则2（1+） 2（1） 故选：B 【点评】本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求 和，考查化简运算能力，属于中档题 11 （5 分）已知等差数列an的公差 d0，且 a1，a3，a13成等比数列，若 a11，Sn为数 列an的前 n 项和，则的最小值为（ ） A4 B3 C22 D2 【分析】a1，a3，a13成等比数列，a11，可得：a32a1a13，即（1+2d）21+12d，d 0，解得 d可得 an，Sn代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出 式子的最小值 【解答】解：a1，a3，
18、a13成等比数列，a11， a32a1a13， （1+2d）21+12d，d0， 解得 d2 an1+2（n1）2n1 Snn+2n2 第 10 页（共 18 页） n+1+222 4， 当且仅当 n+1时取等号，此时 n2，且取到最小值 4， 故选：A 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式，等比中项的性质，基本不等 式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值 12 （5 分）若数列an，bn的通项公式分别是， 且 anbn对任意 nN*恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】分 n 为奇数偶数两种情况各自求出对应的 a 的取值范围，再
19、综合到一起即可 【解答】解：当 n 为奇数时，ana，bn2+，且当 n 增加时，bn减少； （bn）min2； anbn对任意 nN*恒成立 a2，即 a2； 当 n 为偶数时，ana，bn2，且当 n 增加时，bn增加； （bn）min2； anbn对任意 nN*恒成立 a 综上可得：2a 故选：C 【点评】本题主要考查分类讨论思想在数列中的应用，以及数列与不等式的综合，属于 基础题目 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）不等式的解集为 第 11 页（共 18 页） 【分析】可将不等式转化为不等式组
20、为或，解 不等式组即可 【 解 答 】 解 ： 由得 ，或， 解 得 ， 原不等式的解集为 故答案为： 【点评】本题考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础 题 14 （5 分）数列an中，a160，且 an+1an+3，则这个数列的前 40 项的绝对值之和为 570 【分析】首先利用分类讨论思想的应用求出数列的求和公式，进一步求出结果 【解答】解：数列an中，a160，且 an+1an+3，则 an+1an3（常数） ， 故数列an是以首项为 a160，公差为 3 的等差数列 所以 an60+3（n1）3n63， 当 n21 时，a210， 当 0n21，|an|an
21、， 则 Sn|a1|+|a2|+|an|（a1+a2+a3+an） 当 n22 时，|an|an， 则 Sn|a1|+|a2|+|an|a1a2a21+a22+an， 2（a1+a2+a21）+（a1+a2+a3+an） ， ， 630+， 当 n40 时，63060570 故答案为：570 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分类讨论思想的应用， 第 12 页（共 18 页） 数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 15 （5 分）下列结论正确的序号是 当 x2 时，的最小值为 2 当 x0 时， 当 0x2 时，无最大值 当 x0 且
22、 x1 时， 当时， 【分析】分别利用对勾函数 y的单调性和最值，yx的单调性，基本不等式判 断即可 【解答】解：当 x2 时，y单调递增，最小值为 x2 时，y2.5，故不成立； 当 x0 时，当 x1 时成立， 当 0x2 时，y，y，递增，x2 时，取最大值，故有最大值， 当 x0 且 x1 时，lgx 可能小于 0，故不成立， 当时，x0，y0，而，故利用基本不等式，又 x 不 等于 y，故成立 故答案为： 【点评】 考查了对勾函数 y的性质， yx的性质， 基本不等式的应用， 基础题 16 （5 分）在数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和为 Sn满足， 设，数列bn的前
23、n 项和为 Tn，则满足 Tn6 的最小正整数 n 是 10 【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用对数的运算和裂 项相消法在数列求和中的应用求出结果 【解答】解：数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和为 Sn满足， 整理得， 第 13 页（共 18 页） 所以（常数） ， 所以数列是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 所以， 则， 所以， 所以（n+1） （n+2）128，所以当 n10 时，满足条件 故答案为：10 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数的计算的应用，裂 项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维
24、能力，属于基础 题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知不等式 ax23x+20 的解集为 Ax|1xb （1）求 a，b 的值； （2）求函数 f（x）（2a+b）x（xA）的最小值 【分析】 （1）利用不等式的解集与方程解的关系，利用韦达定理组成方程组，即可求得 结论； （2）利用基本不等式，可求函数的最小值 【解答】解： （1）由题意知：，解得 a1，b2 （2）由（1）知 a1，b2，Ax|1x2， 而 x0 时，当且仅当，即时取等号
25、， 而， f（x）的最小值为 12 【点评】本题考查一元二次不等式的解集，考查基本不等式的运用，属于基础题 18 （12 分）已知函数 f（x）|2x+3|+|2x1| 第 14 页（共 18 页） （）求不等式 f（x）8 的解集； （）若关于 x 的不等式 f（x）|3m+1|有解，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可； （）求出 f（x） 的最小值，解关于 m 的不等式，解出即可 【解答】解： （）不等式 f（x）8，即|2x+3|+|2x1|8， 可化为或或，（3 分） 解得x，解得x，解得x， 综合得：x，即原不等式的解集为x
26、|x（5 分） （）因为f（x）|2x+3|+|2x1|（2x+3）（2x1）|4， 当且仅当x时，等号成立，即 f（x）min4，（8 分） 又不等式 f（x）|3m+1|有解，则|3m+1|4，解得：m或 m1（10 分） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题 19 （12 分）已知数列an满足 a11，an+13an+4，nN* （）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式； （）设 bn（a2n+2）log3（an+2） ，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）首项利用定义得出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式 （）利用数列的通
27、项公式，求出通项，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列 的和 【解答】 证明： （） 数列an满足 a11， an+13an+4， 整理得 an+1+23 （an+2） ， nN* 即（常数） ， 所以数列an+2是以 3 为首项，3 为公比的等比数列 故， 整理得 （）由于，所以 bn（a2n+2）log3（an+2）n9n， 所以， 第 15 页（共 18 页） 9， 得：， 所以 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数 列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题 20 （12 分）设 f（x）ax2+（1a）x+a3
28、（1）若不等式 f（x）3 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）解关于 x 的不等式 f（x）a2（aR） 【分析】 （1）根据条件不等式 f（x）3 对一切实数 x 恒成立，转化为 ax2+（1a）x+a 0 对一切实数 x 恒成立；分 a0 和 a0 两种情况讨论，即可得出结论； （2）不等式 f（x）a2 代入化简得 ax2+（1a）x10，对 a 的取值进行分类讨论， 即可得不等式的解集 【解答】解： （1）由条件知不等式 f（x）3 对一切实数 x 恒成立； 即 ax2+（1a）x+a0 对一切实数 x 恒成立； 当 a0 时，x0，显然不能恒成立； 当 a0 时
29、，要使得 ax2+（1a）x+a0 对一切实数 x 恒成立， 满足，解得 a； 综上述，实数 a 的取值范围是，+） （2）由条件化简不等式 f（x）a2， 得 ax2+（1a）x10， 当 a0 时，不等式等价于：x10，x1，不等式的解集为（，1） ； 当 a0 时，方程（x1） （ax+1）0 有两个实根，1 和； 当 a0 时，1，不等式等价于（x1） （x+）0， 不等式的解集为（，1） ； 当 a0 时，不等式等价于（x1） （x+）0， 第 16 页（共 18 页） 当1a0 时，1，不等式的解集为（，1）（，+） ； 当 a1 时，1，不等式的解集为x|x1 当 a1 时，1，
30、不等式的解集为（，）（1，+） ； 【点评】本题考查了一元二次函数恒成立问题，含参数的一元二次不等式解法问题，注 意分类讨论的思想方法和数形结合的思想方法的运用，属于中档题 21 （12 分）已知数列an满足（1） （1）（1），nN*，Sn是数 列an的前 n 项的和 （1）求数列an的通项公式； （2）若 ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数 p，q 的值； （3）是否存在 kN*，使得为数列an中的项？若存在，求出所有满足条 件的 k 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由等式可得 a12，将 n 换为 n1，两式相除可得 anan11，由等差数 列的
31、通项公式可得所求； （2） 运用等差数列求和公式和等差数列、 等比数列的中项性质， 解方程即可得到所求值； （3）假设存在 kN*，使得为数列an中的项，即有， 可令n+1，由两边平方和因式分解，列举即可得到所求值 【解答】解： （1）数列an满足（1） （1）（1）， 可得 1， 可得 a12， 当 n2 时， （1） （1）（1）， 由可得（1）， 即有 anan11， 可得 an2+n1n+1，nN*； （2）Sn， ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列， 可得 ap+Sq60，apSq182324， 第 17 页（共 18 页） 即有 p+1+60， （p+1） 32
32、4， 解得 p5，q9； （3）假设存在 kN*，使得为数列an中的项， 即有， 可令n+1， 即有（2n+2）2（2k+3）263， 即（2n+2k+5） （2n2k1）63， 即有 n5，k3；n15，k14 则存在正整数 k3，14，使得为数列an中的项 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列、等 比数列中项性质，以及方程思想和存在性问题的解法，考查推理能力与计算能力，属于 较难题 22 （12 分）已知数列an中，a11，a2a，且 an+1k（an+an+2）对任意正整数 n 都成立， 数列an的前 n 项和为 Sn （1）若，且 S20192019
33、，求 a； （2）是否存在实数 k，使数列an是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项 am，am+1， am+2按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有 k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若，求 Sn 【分析】 （1）由题意求得首项为 1，公差 da1，结合等差数列前 n 项和公式列方程可 得 a； （2）假设存在满足题意的实数 k，分类讨论可得 k； （3） k， an+1 （an+an+2） ， an+2+an+1 （an+1+an） ， an+3+an+2 （an+2+an+1） an+1+an，结合题意分类讨论，然后分组求和可得 Sn 【解答】解： （1）k，an+1（an
34、+an+2） ，数列an为等差数列， a11，a2a，公差 da1， S201920192019+（a1） ，解得 a1； 第 18 页（共 18 页） （2）设数列an是公比不为 1 的等比数列，则它的公比 qa， amam 1，a m+1am，am+2am+1，任意相邻三项 am，am+1，am+2按某顺序排列后成 等差数列， an+1为等差中项，则 2am+1am+am+2 即 am 1+am+12am，解得 a1，不合题意； am为等差中项，则 2amam+1+am+2， 即 2am 1am+1+am，化简 a2+a20，解得 a2 或 a1（舍去） ； 若 am+2为等差中项，则 2
35、am+2am+1+am， 即 2am+1am+am 1，化简得：2a2a10，解得 a ； k 综上可得，满足要求的实数 k 有且仅有一个； （3）k，则 an+1（an+an+2） ， an+2+an+1（an+1+an） ，an+3+an+2（an+2+an+1）an+1+an， 当 n 是偶数时，Sna1+a2+an（a1+a2）+（an1+an）（a1+a2）（a+1） 当 n 是奇数时，Sna1+（a2+a3）+（an1+an） 1+（a2+a3）1+（a1+a2）1（a+1） （n1） ， n1 也适合上式， 综上可得，Sn 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论 方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题
