1、2018-2019学年江西省新余市分宜中学高二（下）第二次段考数学试卷（理科）一、单选题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分） “ （2x1）x0”是“x0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2 （5 分）椭圆 5x2+ky25 的一个焦点是（0，2） ，那么实数 k 的值为（ ） A25 B25 C1 D1 3 （5 分） 函数 f （x） ax2+sinx 的图象在 x处的切线方程为 yx+b， 则 a 的值为 （ ） A1 B C D1 4 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足 f（x）2xf（
2、e）+lnx（e 为自然对数 的底数） ，则 f（e）等于（ ） A Be C De 5 （5 分）设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m，则“”是“ab”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）用数学归纳法证明不等式“+（n2） ”时的过程中，由 n k 到 nk+1 时，不等式的左边（ ） A增加了一项 B增加了两项 C增加了两项，又减少了一项 D增加了一项，又减少了一项 7 （5 分）已知命题 p： “x1，2，x2+1a”命题 q： “xR，x2+2ax+2a0” ，若命题 “p
3、q”是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa2，或 a1 Ba2，或 1a2 第 2 页（共 21 页） Ca1 D2a1 8 （5 分）如图，M 是三棱锥 PABC 的底面ABC 的重心，若（x、y、 xR） ，则 x+y+z 的值为（ ） A B C D1 9 （5 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA12，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点，则直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为（ ） A B C D 10 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）满足：函数 yf（x+1）的图象关于直线 x 1 对称，且当 x（，0）时，f（x）+xf（x）0
4、若 a0.76f（0.76） ，b（log0.76） f（log0.76） ，c60.6f（60.6） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Ccab Dacb 11 （5 分）抛物线 x28y 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 M、N 两点，点 P 为 x 轴 正半轴上任意一点，则（+） （）（ ） A20 B12 C12 D20 12 （5 分）已知 lnaln3lnc，bd3，则（ab）2+（dc）2的最小值为（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）曲线 y2ln（x+1）在点（0，0）处
5、的切线方程为 第 3 页（共 21 页） 14 （5 分）设命题 p：1x2；命题 q： （xa） （x1）0，若 p 是 q 的充分不必要条件， 则实数 a 的取值范围是 15 （5 分） 已知函数 f （x） exe x+x3， 则不等式 f （2x+1） +f （4x） 0 的解集为 16 （5 分）已知 F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P 是椭圆上位于 第二象限内的一点，延长 PF1交椭圆于点 Q，若 PF2PQ，且|PF2|PQ|，则椭圆的离 心率 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （10 分）已知函数 f（x）x3+3x2+9x2，求： （1）函数 yf（x）的
6、图象在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）f（x）的单调递减区间 18 （12 分）设命题 p：函数 f（x）lg的定义域是 R；命题 q：不等式 3x 9xa 对一切正实数 x 均成立 （1）如果 p 是真命题，求实数 a 的取值范围； （2）如果“p 或 q”为真命题，命题“p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围 19 （12 分）如图，F1、F2分别是椭圆 C：（ab0）的左、右焦点，A 是椭 圆 C 的顶点，B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点，F1AF260 （）求椭圆 C 的离心率； （）已知AF1B 的面积为 40，求 a，b 的值 20 （12 分）如图，已知
7、四棱锥 EABCD 的底面为菱形，且ABC60，ABEC2， AEBE （）求证：平面 EAB平面 ABCD； （）求二面角 AECD 的余弦值 第 4 页（共 21 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）exe x2x （）讨论 f（x）的单调性； （）设 g（x）f（2x）4bf（x） ，当 x0 时，g（x）0，求 b 的最大值 22 （12 分）已知椭圆 C 的方程为+1，A 是椭圆上的一点，且 A 在第一象限内， 过 A 且斜率等于l 的直线与椭圆 C 交于另一点 B，点 A 关于原点的对称点为 D （）证明：直线 BD 的斜率为定值； （）求ABD 面积的最大值 第 5 页（共
8、 21 页） 2018-2019 学年江西省新余市分宜中学高二（下）第二次段考数学年江西省新余市分宜中学高二（下）第二次段考数 学试卷（理科） （学试卷（理科） （5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分） “ （2x1）x0”是“x0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断 【解答】解：若（2x1）x0 则 x0 或 x即（2x1）x0 推不出 x0 反之，若 x0，则（2x
9、1）x0，即 x0 推出（2x1）x0 所以“ （2x1）x0”是“x0”的 必要不充分条件 故选：B 【点评】判定条件种类，根据定义转化成相关命题的真假来判定 一般的，若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件； 若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件； 若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件 2 （5 分）椭圆 5x2+ky25 的一个焦点是（0，2） ，那么实数 k 的值为（ ） A25 B2
10、5 C1 D1 【分析】把椭圆化为标准方程后，找出 a 与 b 的值，然后根据 a2b2+c2，表示出 c，并 根据焦点坐标求出 c 的值，两者相等即可列出关于 k 的方程，求出方程的解即可得到 k 的值 【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+1， 因为焦点坐标为（0，2） ，所以长半轴在 y 轴上， 则 c2，解得 k1 故选：D 第 6 页（共 21 页） 【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质 3 （5 分） 函数 f （x） ax2+sinx 的图象在 x处的切线方程为 yx+b， 则 a 的值为 （ ） A1 B C D1 【分析】求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，
11、由斜率相等求得 a 【解答】解：函数 f（x）ax2+sinx 的导数为 f（x）2ax+cosx， 可得图象在 x处的切线斜率为 a+cosa， 切线方程为 yx+b，可得 a 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题 4 （5 分）已知函数 f（x）的导函数为 f（x） ，且满足 f（x）2xf（e）+lnx（e 为自然对数 的底数） ，则 f（e）等于（ ） A Be C De 【分析】根据题意，由函数的解析式对 f（x）求导可得 f（x）2f（e）+，将 xe 代入计算可得 f（e）2f（e）+，变形可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）2xf（e）
12、+lnx， 其导数 f（x）2f（e）+， 令 xe，可得 f（e）2f（e）+， 变形可得 f（e）， 故选：C 【点评】本题考查导数的计算，注意 f（e）为常数，要正确求出函数 f（x）的导数 5 （5 分）设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m，则“”是“ab”的（ ） A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论 【解答】解：bm，当 ，则由面面垂直的性质可得 ab 成立， 第 7 页（共 21 页） 若 ab，则 不一定成立， 故“”是“a
13、b”的充分不必要条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的 关键 6 （5 分）用数学归纳法证明不等式“+（n2） ”时的过程中，由 n k 到 nk+1 时，不等式的左边（ ） A增加了一项 B增加了两项 C增加了两项，又减少了一项 D增加了一项，又减少了一项 【分析】本题考查的知识点是数学归纳法，观察不等式“+（n 2）左边的各项，他们都是以开始，以项结束，共 n 项，当由 nk 到 nk+1 时， 项数也由 k 变到 k+1 时，但前边少了一项，后面多了两项，分析四个答案，即可求出结 论 【解答】解：， 故选：C 【点评】数学归纳法常常
14、用来证明一个与自然数集 N 相关的性质，其步骤为：设 P（n） 是关于自然数 n 的命题，若 1） （奠基） P（n）在 n1 时成立；2） （归纳） 在 P（k） （k 为任意自然数）成立的假设下可以推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一切自然数 n 都 成立 7 （5 分）已知命题 p： “x1，2，x2+1a”命题 q： “xR，x2+2ax+2a0” ，若命题 “pq”是真命题，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa2，或 a1 Ba2，或 1a2 第 8 页（共 21 页） Ca1 D2a1 【分析】由已知可得 p、q 命题的真假，根据逻辑连词命题定义可判断若 pq 为真讨论 可得答
15、案 【解答】解：若 p 真，命题 p： “x1，2，x2+1a”则有：ax2+1的最小值1+12； 若 q 真，命题 q： “xR，x2+2ax+2a0” ，则有：0，即：a1 或 a2； 若命题“pq”是真命题，则有：p 真 q 真， 则实数 a 的取值范围是：a2，或 1a2； 故选：B 【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意 pq、 ，pq 的真假判断，数形结合法是 中档题 8 （5 分）如图，M 是三棱锥 PABC 的底面ABC 的重心，若（x、y、 xR） ，则 x+y+z 的值为（ ） A B C D1 【分析】可想着再用，表示，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法 则，（）
16、，从而便可得到+，由此可求出 x+y+z 【解答】解：如图，连结 PM， M 是三棱锥 PABC 的底面ABC 的重心， ， +， （x、y、xR） ， x1，yz， x+y+z 故选：A 第 9 页（共 21 页） 【点评】本题考查代数和的求法，考查重心定理、向量加法法则等基础知识，考查运算 求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 9 （5 分）如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAA12，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点，则直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为（ ） A B C D 【分析】以 Q 为原点，QA 为 x 轴，QB 为 y 轴，过 Q 作平面 ABC
17、 的垂线为 z 轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值 【解答】解：以 Q 为原点，QA 为 x 轴，QB 为 y 轴，过 Q 作平面 ABC 的垂线为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 C（0，1，0） ，C1（0，1，2） ，A（，0，0） ，Q（0，0，0） ， （0，0，2） ，（，0，0） ，（0，1，2） ， 设平面 AQC1的法向量 （x，y，z） ， 则，取 z1，得 （0，2，1） ， 第 10 页（共 21 页） 设直线 CC1与平面 AQC1所成角为 ， 则 sin 直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为 故选：D 【
18、点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 10 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）满足：函数 yf（x+1）的图象关于直线 x 1 对称，且当 x（，0）时，f（x）+xf（x）0若 a0.76f（0.76） ，b（log0.76） f（log0.76） ，c60.6f（60.6） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bbac Ccab Dacb 【分析】利用导数判断函数的单调性，判断函数的奇偶性，然后求解 a，b，c 的大小 【解答】解：定义在 R 上的函数 yf（x）满足：函数 yf（x+1）
19、的图象关于直线 x 1 对称，可知函数 yf（x）是偶函数，xf（x）是奇函数， 当 x（，0）时，f（x）+xf（x）0 成立（f（x）是函数 f（x）的导函数） ，可 知函数 yxf（x）在 x（，0）时是减函数，x0 时 xf（x）是减函数； 0.76（0，1） ，60.6（2，4） ，log0，76（6，4） ， log0，7660.60.76， 所以 bac 故选：B 第 11 页（共 21 页） 【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查转化思想以及计算能力 11 （5 分）抛物线 x28y 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 M、N 两点，点 P 为 x 轴
20、正半轴上任意一点，则（+） （）（ ） A20 B12 C12 D20 【分析】根据直线和抛物线的位置关系，以及韦达定理和向量的数量积即可求出 【解答】解：设 M，N 的坐标为（x1，y1） ， （x2，y2） ， 抛物线 x28y 的焦点为 F（0，2） 不妨设直线 MN 的方程为 ykx+2， 由， x28kx160， x1+x28k，x1x216， y1y2（kx1+2） （kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+416k2+16k2+44 （+） （）（x1，y1） （x2，y2）x1x2y1y2164 12， 故选：B 【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了运算能力和
21、转化能力，属于中档 题 12 （5 分）已知 lnaln3lnc，bd3，则（ab）2+（dc）2的最小值为（ ） A B C D 【分析】lnaln3lnc，化为 lnlnc，即 a3cbd3，令 y3x，y，则（a 第 12 页（共 21 页） b）2+（dc）2表示直线 yf（x）3x 上的点与曲线 yg（x）上的点的最小距 离的平方利用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出 【解答】解：lnaln3lnc，化为 lnlnc，即 a3cbd3， 令 y3x，y，则（ab）2+（dc）2表示直线 yf（x）3x 上的点与曲线 yg （x）上的点的最小距离的平方 设直线 y
22、f（x）3x+m 与曲线 yg（x）相切于点 P（x0，y0） 不妨取（x00） g（x），3，解得 x01 可得切点 P（1，3） ，33+m，解得 m6 切点到直线 y3x 的距离 d （ab）2+（dc）2的最小值 故选：B 【点评】本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）曲线 y2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y2x 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x0 处的导函数 值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率
23、从而问题解决 【解答】解：y2ln（x+1） ， y， 当 x0 时，y2， 曲线 y2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y2x 故答案为：y2x 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 14 （5 分）设命题 p：1x2；命题 q： （xa） （x1）0，若 p 是 q 的充分不必要条件， 则实数 a 的取值范围是 第 13 页（共 21 页） 【分析】命题 q： （xa） （x1）0，对 a 分类讨论，解出不等式再根据 p 是 q 的充 分不必要条件，即可得出实数 a 的取值范围 【解答】解：命题
24、q： （xa） （x1）0， a1 时，解得 1xa a1 时，解得 x1，解集为1 a1 时，解得 ax1 p 是 q 的充分不必要条件， a2， 因此实数 a 的取值范围是2，+） 故答案为：2，+） 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、分类讨论方法，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 15 （5 分）已知函数 f（x）exe x+x3，则不等式 f（2x+1）+f（4x）0 的解集为 （ ，5） 【分析】判断函数的极限以及函数的单调性，然后转化求解不等式即可 【解答】解：函数 f（x）exe x+x3，因为 f（x）（exex+x3）f（x） ，所 以函数是减函数；
25、而函数 f（x）exe x+x3，是增函数， 所以不等式 f（2x+1）+f（4x）0 化为：f（2x+1）f（x4） ， 可得 2x+1x4，所以 x5 故答案为： （，5） 【点评】本题考查函数的单调性以及函数的极限的判断与应用，考查转化思想以及计算 能力，函数的单调性可以利用函数的导数判断证明，也可以通过简单函数的单调性判断 求解 16 （5 分）已知 F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P 是椭圆上位于 第二象限内的一点，延长 PF1交椭圆于点 Q，若 PF2PQ，且|PF2|PQ|，则椭圆的离 心率 【分析】如图所示，设|PF1|m，|QF1|n由椭圆的定义可得|PF2|2am，|QF
26、2|2a 第 14 页（共 21 页） n根据 PF2PQ，且|PF2|PQ|，可得（2c）2m2+（2am）2，2amm+n，2a n（2am） ，解出即可得出 【解答】解：如图所示，设|PF1|m，|QF1|n 则|PF2|2am，|QF2|2an PF2PQ，且|PF2|PQ|， （2c）2m2+（2am）2，2amm+n，2an（2am） ， 可得 n2a2m，m2（1）a， 4c24a2+， 化简整理可得： 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数形结合方法、方程点解法，考查了推 理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17 （10
27、 分）已知函数 f（x）x3+3x2+9x2，求： （1）函数 yf（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）f（x）的单调递减区间 【分析】 （1）求出 f（x）3x2+6x+9，f（0）9，f（0）2，由此利用导数的 几何意义能求出函数 yf（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程 （2）由 f（x）3x2+6x+90，能求出 f（x）的单调递减区间 【解答】解： （1）f（x）x3+3x2+9x2， f（x）3x2+6x+9， f（0）9，f（0）2， 函数 yf（x）的图象在点（0，f（0） ）处的切线方程为： 第 15 页（共 21 页） y+29x，即 9xy2
28、0 （2）f（x）x3+3x2+9x2， f（x）3x2+6x+9， 由 f（x）3x2+6x+90， 解得 x1 或 x3 f（x）的单调递减区间为（，1） ， （3，+） 【点评】本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的减区间的求法，考查导数的几何 意义、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、 函数与方程思想，是中档题 18 （12 分）设命题 p：函数 f（x）lg的定义域是 R；命题 q：不等式 3x 9xa 对一切正实数 x 均成立 （1）如果 p 是真命题，求实数 a 的取值范围； （2）如果“p 或 q”为真命题，命题“p 且 q”为假命题，求实
29、数 a 的取值范围 【分析】 （1）由题意，若 p 是真命题，则对任意实数都成立，由此能 够求出 p 是真命题时，实数 a 的取值范围 （ 2 ） 若 命 题 q 为 真 命 题 时 ， 则 3x 9x a 对 一 切 正 实 数 x 均 成 立 由 （，0） ， 知 q 是真命题时， a0 再由 p 或 q 为真命题， 命题 p 且 q 为假命题， 知或， 能求出实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）由题意，若 p 是真命题， 则对任意实数都成立， 若 a0，显然不成立； 若 a0，解得 a2 故如果 p 是真命题时， 实数 a 的取值范围是（2，+） （2）若命题 q 为真命题时， 则
30、 3x9xa 对一切正实数 x 均成立 第 16 页（共 21 页） x0 3x1 3x9x（，0） 所以如果 q 是真命题时，a0 又 p 或 q 为真命题，命题 p 且 q 为假命题 所以命题 p 与 q 一真一假 或 解得 0a2 综上所述，实数 a 的取值范围是0，2 【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用 19 （12 分）如图，F1、F2分别是椭圆 C：（ab0）的左、右焦点，A 是椭 圆 C 的顶点，B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点，F1AF260 （）求椭圆 C 的离心率； （）已知AF1B 的面积为 40，求 a，b 的值 【分析】 （）直
31、接利用F1AF260，求椭圆 C 的离心率； （）设|BF2|m，则|BF1|2am，利用余弦定理以及已知AF1B 的面积为 40，直 接求 a，b 的值 【解答】解： （）F1AF260a2ce （）设|BF2|m，则|BF1|2am， 在三角形 BF1F2中，|BF1|2|BF2|2+|F1F2|22|BF2|F1F2|cos120 （2am）2m2+a2+amm 第 17 页（共 21 页） AF1B 面积 S|BA|F1A|sin60 40 a10， c5，b5 【点评】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力 20 （12 分）如图，已知四棱锥 EABCD 的底面为菱形，
32、且ABC60，ABEC2， AEBE （）求证：平面 EAB平面 ABCD； （）求二面角 AECD 的余弦值 【分析】 （I）取 AB 的中点 O，连接 EO，CO由题意，可得AEB 是以 AB 为斜边的等 腰直角三角形，得 EOAB，再由等边三角形ACB 的高线 CO，得到平方关系：EC2EO2+CO2，得 EOCO，所以 EO平面 ABCD， 从而得到平面 EAB平面 ABCD； （II）以 AB 中点 O 为坐标原点，以 OB、OE 所在直线分别为 y 轴、z 轴，建立如图空间 直角坐标系，求出 A、C、D、E 各点的坐标，从而得到向量、的坐标，利用 垂直向量数量积为 0 的方法，建立
33、方程组并解之，分别可求得平面 DEC 和平面 EAC 的 法向量 、 的坐标， 最后利用空间向量的夹角公式， 可算出二面角 AECD 的余弦值 【解答】解： （I）取 AB 的中点 O，连接 EO，CO AEB 中， 第 18 页（共 21 页） AE2+EB22AB2，得AEB 为等腰直角三角形 EOAB，EO1（2 分） 又ABC 中，ABBC，ABC60 ACB 是等边三角形，得， 又EC2，ECO 中，EC24EO2+CO2，得 EOCO（4 分） AB、CO 是平面 ABCD 内的相交直线，EO平面 ABCD， 又EO平面 EAB，平面 EAB平面 ABCD；（6 分） （II）以
34、AB 中点 O 为坐标原点，以 OB 所在直线为 y 轴，OE 所在直线为 z 轴，建立如 图所示空间直角坐标系， 则 （8 分） 设平面 DCE 的法向量 ，即，解得， 设平面 EAC 的法向量 ，即，解得，（10 分） 根据空间向量的夹角公式，得 二面角 AECD 的余弦值为（12 分） 【点评】本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了空间线 面垂直、面面垂直的判定与性质和利用空间向量的方法求面面所成角的知识，属于中档 题 第 19 页（共 21 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）exe x2x （）讨论 f（x）的单调性； （）设 g（x）f（2x）4bf（
35、x） ，当 x0 时，g（x）0，求 b 的最大值 【分析】对第（）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的； 对第（）问，先验证 g（0）0，只需说明 g（x）在0+）上为增函数即可，从而问 题转化为“判断 g（x）0 是否成立”的问题 【解答】解： （）由 f（x）得 f（x）ex+e x22 20， 即 f（x）0，当且仅当 exe x 即 x0 时，f（x）0， 函数 f（x）在 R 上为增函数； （）g（x）f（2x）4bf（x）e2xe 2x4b（exex）+（8b4）x， 则 g（x）2e2x+e 2x2b（ex+ex）+（4b2） 2（ex+e x）22b（ex+ex）+（4b
36、4） 2（ex+e x2） （ex+ex2b+2） ex+e x2，ex+ex+24， 当 2b4，即 b2 时，g（x）0，当且仅当 x0 时取等号， 从而 g（x）在 R 上为增函数，而 g（0）0， x0 时，g（x）0，符合题意 当 b2 时，若 x 满足 2ex+e x2b2 即 0xln（b1 ）时，g（x） 0， 又由 g（0）0 知，当 0xln（b1）时，g（x）0，不符合题意 综合、知，b2，得 b 的最大值为 2 【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查分类讨论的思想方法 和运算求解能力，属于中档题和易错题 22 （12 分）已知椭圆 C 的方程为+1，
37、A 是椭圆上的一点，且 A 在第一象限内， 过 A 且斜率等于l 的直线与椭圆 C 交于另一点 B，点 A 关于原点的对称点为 D （）证明：直线 BD 的斜率为定值； （）求ABD 面积的最大值 第 20 页（共 21 页） 【分析】 （）利用点差法即可求证直线 BD 的斜率为定值； （）设直线 BD 的方程，由 SABD2SOBD，将直线 BD 的方程代入椭圆方程，利用韦 达定理及弦长公式及基本不等式即可求得ABD 面积的最大值 【解答】 （）证明：设 D（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 A（x1，y1） ，直线 BD 的斜率 k， 由，两式相减， 由直线 kAB1，所以 k， 所以直线 BD 的斜率为定值； （）解：因为 A，D 关于原点对称，所以 SABD2SOBD， 由（）知 BD 的斜率 k，设 BD 方程为 yx+t， 因为 D 在第三象限， 所以t1 且 t0， O 到 BD 的距离 d， 由，整理得：3x2+4tx+4（t22）0， 所以 x1+x2，x1x2， 所以 SABD2SOBD2|BD|d|t| 第 21 页（共 21 页） 2， 当且仅当 t时等号成立，所以ABD 面积的最大值为 2 【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦 长公式及基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题
