1、2018-2019 学年江西省上饶市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一分，在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求项是符合题目要求. 1 （5 分）复数 z，则|z|（ ） A1 B2 C D 2 （5 分）已知命题 p：xR，x2+2x30，则命题 p 的否定p 为（ ） Ax0R，x02+2x030 BxR，x2+2x30 Cx0R，x02+2x030 DxR，x2+2x30 3 （5 分）空间直角坐标系中，点 A（10，4，2）关于点 M（0，3，5）的对称点
2、的坐 标是（ ） A （10，2，8） B （10，2，8） C （5，2，8） D （10，3，8） 4 （5 分）函数 f（x）ex+1 在点（0，f（0） ）处的切线方程为（ ） Ayx1 Byx+2 Cy2x1 Dy2x+2 5 （5 分）ABC 的两个顶点为 A（4，0） ，B（4，0） ，ABC 周长为 18，则 C 点轨迹为 （ ） A1（y0） B1（y0） C1 （y0） D1 （y0） 6 （5 分）计算：（ ） A1 B1 C8 D8 7 （5 分）观察下列等式，13+2332，13+23+3362，13+23+33+43102根据上述规律， 13+23+33
3、+43+53+63（ ） A192 B202 C212 D222 8 （5 分）已知点 F 是抛物线 x24y 的焦点，点 P 为抛物线上的任意一点，M（1，2）为 平面上点，则|PM|+|PF|的最小值为（ ） A3 B2 C4 D 9 （5 分）若函数 f（x）x2+lnx 在 x1 处取得极小值，则 f（x）的最小值为（ ） 第 2 页（共 20 页） A3 B4 C5 D6 10 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABBC2，AC2，PB面 ABC，M，N，Q 分别 为 AC，PB，AB 的中点，MN，则异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为（ ） A B C D 11 （5 分）
4、已知双曲线1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c， 0） ， 以线段 F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为 P， 若直线 PF2与圆 E：（x） 2+y2 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） Ayx By2x Cyx Dyx 12 （5 分）已知函数 f（x）2xln（2x+2） ，g（x）e2x a+4ea2x，其中 e 为自然对数的 底数，若存在实数 x0使得 f（x0）+g（x0）3，则实数 a 的值为（ ） Aln 2 Bln 2 C1ln2 D1+ln2 二、填：本大题共二、填：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填
5、在答题卡上分请把答案填在答题卡上. 13 （5 分）函数 f（x）|x2|x3|的最大值为 14 （5 分）函数 f（x）xlnx 的单调递增区间是 15 （5 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA12，点 G， E，D 分别是棱 A1B1，CC1，AC 的中点，点 F 是棱 AB 上的点若1，则线段 DF 的长度为 16 （5 分）已知 A，B 是过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3，则|AB|的值为 三、解答题本大题共三、解答题本大题共 6 题，第题
6、，第 17 题题 10 分，其他题各分，其他题各 12 分，共分，共 70 分分. 第 3 页（共 20 页） 17 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，以坐 标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 cos2 sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，P（1，2） ，求|PA|PB| 18 （12 分）设函数 f（x）|x+1|+|xa| （1）当 a1 时，解不等式 f（x）4 （2）若关于 x 的不等式 f（x）1 恒成立，求实数 a
7、 的取值范围 19 （12 分）若函数 f（x）ax3bx+4，当 x2 时，函数 f（x）有极值为， （）求函数 f（x）的解析式； （）若 f（x）k 有 3 个解，求实数 k 的取值范围 20 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，DAB，侧面ADP 为等 腰直角三角形，PAPD，点 E 为棱 AD 的中点 （1）求证：面 PEB面 ABCD； （2）若 ABPB2，求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 21 （12 分）已知椭圆 E：+1（ab0）的离心率为，F1，F2分别是它的左、 右焦点，|F1F2|2 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过椭圆 E
8、的上顶点 A 作斜率为 k1，k2的两条直线 AB，AC，两直线分别与椭圆交于 B，C 两点，当 k1k21 时，直线 BC 是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理 由 22 （12 分）已知函数 f（x）（ax+1）ex，aR 第 4 页（共 20 页） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的最小值 （2）当 a时，对于两个不相等的实数 x1，x2，有 f（x1）f（x2） ，求证：x1+x22 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年江西省上饶市高二（下）期末数学试卷（理科）学年江西省上饶市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一
9、、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一分，在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求项是符合题目要求. 1 （5 分）复数 z，则|z|（ ） A1 B2 C D 【分析】利用复数的运算法则即可得出 【解答】解：i， |z|1 故选：A 【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题 2 （5 分）已知命题 p：xR，x2+2x30，则命题 p 的否定p 为（ ） Ax0R，x02+2x030 BxR，x2+2x30 Cx0R，x02+2x030 DxR，x2+2x30 【分析】直接利用全称
10、命题的否定是特称命题写出结果即可 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 p：xR，x2+2x30，则命 题 p 的否定p 为：x0R，x02+2x030 故选：A 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查 3 （5 分）空间直角坐标系中，点 A（10，4，2）关于点 M（0，3，5）的对称点的坐 标是（ ） A （10，2，8） B （10，2，8） C （5，2，8） D （10，3，8） 【分析】设 A 关于 M 的对称点为 B（x，y，z） ，然后利用中点坐标公式求解 【解答】解：设 A 关于 M 的对称点为 B（x，y，z） ， 第 6 页（
11、共 20 页） 则，解得 点 A（10，4，2）关于点 M（0，3，5）的对称点的坐标是（10，2，8） 故选：B 【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间中中点坐标公式的应用，是基础题 4 （5 分）函数 f（x）ex+1 在点（0，f（0） ）处的切线方程为（ ） Ayx1 Byx+2 Cy2x1 Dy2x+2 【分析】求出函数的导数，计算 f（0） ，f（0） ，求出切线方程即可； 【解答】解：函数 f（x）ex+1 可得 f（x）ex， f（0）1，f（0）2， 故切线方程是：y2x0， 整理为：yx+2； 故选：B 【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中
12、档题 5 （5 分）ABC 的两个顶点为 A（4，0） ，B（4，0） ，ABC 周长为 18，则 C 点轨迹为 （ ） A1（y0） B1（y0） C1 （y0） D1 （y0） 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值，得到点 A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在 y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点 【解答】解：ABC 的两顶点 A（4，0） ，B（4，0） ，周长为 18， AB8，BC+AC10， 108，点 C 到两个定点的距离之和等于定值， 点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆， 2a10，2c8，b3， 第 7 页（共 20 页）
13、 椭圆的标准方程是1（y0） 故选：A 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用是关键 6 （5 分）计算：（ ） A1 B1 C8 D8 【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得（x2+2x），进而计 算可得答案 【解答】解：根据题意，（x2+2x）（4+4）（44）8； 故选：D 【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式，属于基础题 7 （5 分）观察下列等式，13+2332，13+23+3362，13+23+33+43102根据上述规律， 13+23+33+43+53+63（ ） A192 B202 C212 D222 【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式
14、子进行分析找出规律观察前几个式子的 变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加， 右边的底数也在增加从中找规律性即可 【解答】解：所给等式左边的底数依次分别为 1，2；1，2，3；1，2，3，4； 右边的底数依次分别为 3，6，10， （注意：这里 3+36，6+410） ， 由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为 1，2，3，4，5，6， 右边的底数为 10+5+621又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有 13+23+33+43+53+63212 故选：C 【点评】本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理它与 演绎推理的思维进程不
15、同归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进 程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程属于基础题 8 （5 分）已知点 F 是抛物线 x24y 的焦点，点 P 为抛物线上的任意一点，M（1，2）为 平面上点，则|PM|+|PF|的最小值为（ ） A3 B2 C4 D 第 8 页（共 20 页） 【分析】根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得 |PM|+|PF|PA|+|PM|AM|，故|AM|（M 到准线的距离）为所求 【解答】解：抛物线标准方程 x24y，p2，焦点 F（0，1） ， 准线方程为 y1 设 p 到准线的距离为 PA， （即 PA 垂
16、直于准线，A 为垂足） ， 则|PM|+|PF|PA|+|PM|AM|3， （当且仅当 P、A、M 共线时取等号） ， 故选：A 【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到|PM|+|PF| |PA|+|PM|AM|，是解题的关键 9 （5 分）若函数 f（x）x2+lnx 在 x1 处取得极小值，则 f（x）的最小值为（ ） A3 B4 C5 D6 【分析】求出函数的导数，根据 f（1）0，求出 a 的值，然后判断函数的单调性求解 函数的最小值即可 【解答】解： （1）f（x）x2+lnx， f'（x）2x，函数 f（x）x2+lnx 在 x1 处取得极小值，
17、2a+10，a3， 函数 f（x）x2+lnx，可知 x（0，1） ，函数是减函数，x（1，+）函数是增函数， 满足在 x1 处取得极小值， f（1）4 则 f（x）的最小值为：4 第 9 页（共 20 页） 故选：B 【点评】本题考查了函数的单调性、极值以及最值的求法，考查导数的应用，是一道中 档题 10 （5 分）在三棱锥 PABC 中，ABBC2，AC2，PB面 ABC，M，N，Q 分别 为 AC，PB，AB 的中点，MN，则异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为（ ） A B C D 【分析】推导出 ABBC，PB面 ABC，以 B 为原点，BA，BC，BP 所在直线分别为 x，
18、y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值 【解答】解：在三棱锥 PABC 中，ABBC2，AC2， AB2+BC2AC2，ABBC，又 PB面 ABC， 以 B 为原点，BA，BC，BP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 设 PBt，M，N，Q 分别为 AC，PB，AB 的中点，MN， P（0，0，t） ，N（0，0，） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，M（1，1，0） ， MN，解得 t2， P（0，0，2） ，Q（1，0，0） ，N（0，0，1） ， （1，0，2） ，（1，1，1） ， 设异面直线
19、PQ 与 MN 所成角为 ， 则 cos， 异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为 故选：B 第 10 页（共 20 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 11 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c， 0） ， 以线段 F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为 P， 若直线 PF2与圆 E：（x） 2+y2 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） Ayx By2x Cyx Dyx 【分析】求出|PF1|4rb，所以|PF2|2a+b，因此 b2+（2a+b）24
20、c2，即可求出双曲 线的渐近线方程 【解答】解：设切点为 M，则 EMPF1，又，所以|PF1|4rb，所以|PF2| 2a+b，因此 b2+（2a+b）24c2， 所以 b2a，所以渐近线方程为 y2x 故选：B 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）2xln（2x+2） ，g（x）e2x a+4ea2x，其中 e 为自然对数的 底数，若存在实数 x0使得 f（x0）+g（x0）3，则实数 a 的值为（ ） Aln 2 Bln 2 C1ln2 D1+ln2 【分析】令 f（x）+g（x）2xln（2x+2）+e2x a+ea
21、2x，运用导数求出 y2xln（2x+2） 第 11 页（共 20 页） 的最小值；运用基本不等式可得 e2x a+4ea2x4，从而可证明 f（x）+g（x）3，由等 号成立的条件，从而得 a 【解答】解：令 f（x）+g（x）2xln（2x+2）+e2x a+4ea2x， 令 y2xln（2x+2） ，y2， 故 y2xln（2x+2）在（1，）上是减函数， （，+）上是增函数， 故当 x时，y 有最小值101， 而 e2x a+4ea2x4（当且仅当 e2xa4ea2x，即 x 时，等号成立） ， 故 f（x）+g（x）3（当且仅当等号成立时，等号成立） ， 故 x， 即 a1ln2 故
22、选：C 【点评】本题考查了函数与方程的知识，涉及了求导判断单调性，最值等知识，属于综 合题型，难度较大 二、填：本大题共二、填：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案填在答题卡上分请把答案填在答题卡上. 13 （5 分）函数 f（x）|x2|x3|的最大值为 1 【分析】由绝对值的意义，考虑零点 2，3，去绝对值，即可得到所求最大值 【解答】解：函数 f（x）|x2|x3| ， 可得 f（x）的值域为1，1， 即有最大值为 1 故答案为：1 【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想，本题也可运用绝对值不 等式的性质，考查运算能力，属于基础题 1
23、4 （5 分）函数 f（x）xlnx 的单调递增区间是 （1，+） 【分析】先求函数的定义域，然后求函数 f（x）的导数，令导函数大于 0 求出 x 的范围 与定义域求交集即可 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：yxlnx 定义域是x|x0 y'1当 0 时，x1 或 x0（舍） 故答案为： （1，+） 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系属基础题 15 （5 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA12，点 G， E，D 分别是棱 A1B1，CC1，AC 的中点，点 F 是棱 AB 上的点若1，则线段 DF 的长度为 【分
24、析】 建立空间直角坐标系， 根据1， 得 F 的坐标， 即可求得线段 DF 的长 【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，则 D（0，1，0） ，E（0，2，1） ，G（1，0， 2） ， 设 F（x，0，0） ， ，（x，2，1） ，解得 x1 即 F 为 AB 的中点，DF 故答案为： 【点评】本题考查了空间向量的数量积，空间距离，属于基础题 第 13 页（共 20 页） 16 （5 分）已知 A，B 是过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3，则|AB|的值为 9 【分析】过 A，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 C，D，由
25、AB3FB，|AC|2|BD|， 求得|BE|，根据三角形的面积公式，求得 p 的值，求得直线 AB 的方程，代入抛物线方程， 利用韦达定理及抛物线的弦长公式，即可求得|AB| 【解答】解：不妨设直线 AB 的斜率 k0，过 A， B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 C，D， 过 B 作 BEAC 于 E，由满足3， 即为|AF|2|FB|， 可得|AC|2|BD|， E 为 AC 的中点，即|AE|AB|， |BE|AB|， 由 SOABSOAF+SOBF|BE|OF|p|AB|， SOAB|AB|， p|AB|AB|，即 p4， 由|AE|AB|， 则直线 AB 斜率为 kAB2， 直线
26、AB 的方程 y2（x2） ，整理得：x25x+40， 则 x1+x25，则|AB|x1+x2+p5+49， 故答案为：9 第 14 页（共 20 页） 【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物 线的焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题 三、解答题本大题共三、解答题本大题共 6 题，第题，第 17 题题 10 分，其他题各分，其他题各 12 分，共分，共 70 分分. 17 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，以坐 标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 cos2 sin （
27、1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，P（1，2） ，求|PA|PB| 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转 换 （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ， 转换为直角坐标方程为：x+y10 曲线 C 的极坐标方程为 cos2sin 转化内直角坐标方程为：yx2， 第 15 页（共 20 页） （2）把直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，代入 yx2， 得到：（t1和 t2为 A、B 对应的参数） ， 所
28、以：t1t22， 则：|PA|PB|t1t2|2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18 （12 分）设函数 f（x）|x+1|+|xa| （1）当 a1 时，解不等式 f（x）4 （2）若关于 x 的不等式 f（x）1 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由绝对值的意义，求得 f（x）的零点1，1，讨论 x 的范围，去绝对值， 解不等式，求并集，可得所求解集； （2）由题意可得|x+1|+|xa|1 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得不等式右边的最 小值，再由绝
29、对值不等式的解法，可得 a 的范围 【解答】解： （1）f（x）4 即为|x+1|+|x1|4， 当 x1 时，x1+1x4，解得2x1； 当1x1 时，x+1+1x4，可得1x1； 当 x1 时，x+1+x14，解得 1x2， 综上可得原不等式的解集为2，2； （2）关于 x 的不等式 f（x）1 恒成立， 即为|x+1|+|xa|1 恒成立， 由|x+1|+|xa|（x+1）（xa）|a+1|， 可得|a+1|1，解得 a0 或 a2 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查运算能力和推理 能力，属于中档题 19 （12 分）若函数 f（x）ax3bx+4，当 x2
30、时，函数 f（x）有极值为， （）求函数 f（x）的解析式； （）若 f（x）k 有 3 个解，求实数 k 的取值范围 第 16 页（共 20 页） 【分析】 （1）先对函数进行求导，然后根据 f（2）f'（2）0 可求出 a，b 的值， 进而确定函数的解析式 （2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于 0 求出 x 的值，然后根据函数的 单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性， 进而确定函数的大致图象， 最后找出 k 的范围 【解答】解： （）f（x）3ax2b 由题意；，解得， 所求的解析式为 （）由（1）可得 f（x）x24（x2） （x+2） 令 f（x）0，得 x
31、2 或 x2， 当 x2 时，f（x）0，当2x2 时，f（x）0，当 x2 时，f（x）0 因此，当 x2 时，f（x）有极大值， 当 x2 时，f（x）有极小值， 函数的图象大致如图 由图可知： 【点评】本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系导数是高等数学下 放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视 20 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，DAB，侧面ADP 为等 腰直角三角形，PAPD，点 E 为棱 AD 的中点 （1）求证：面 PEB面 ABCD； （2）若 ABPB2，求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 第 17 页
32、（共 20 页） 【分析】 （1）由题意可证明 PEAD，EBAD，从而可证 AD面 PEB，再由线面垂直 的判定可得面 PEB面 ABCD； （2）由已知证明 PEEB，以 E 为坐标原点，分别以 EA，EB，EP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 求出与平面 PBC 的一个法向量， 由两向量所成角的余弦值可 得直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：PAPD，E 为 AD 中点，PEAD， 又ABCD 为菱形且DAB60，EBAD， PEEBE，AD面 PEB， AD面 ABCD，面 PEB面 ABCD； （2）解：AB2，BAD60，BE，PE1，
33、又 PB2，PE2+EB2PB2，则 PEEB 以 E 为坐标原点，分别以 EA，EB，EP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 则 A（1，0，0） ，B（0，0） ，P（0，0，1） ，C（2，0） ， ， 设平面 PBC 的一个法向量为 由，取 y1，得 设直线 AB 与平面 PBC 所成角为 sin|cos| 第 18 页（共 20 页） 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 空间向量求解空间角，是中档题 21 （12 分）已知椭圆 E：+1（ab0）的离心率为，F1，F2分别是它的左、 右焦点，|F1F2|2 （1）求椭圆 E 的方程
34、； （2）过椭圆 E 的上顶点 A 作斜率为 k1，k2的两条直线 AB，AC，两直线分别与椭圆交于 B，C 两点，当 k1k21 时，直线 BC 是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理 由 【分析】 （1）由题意，结合 a，b，c 的关系即可求解 （2）设直线 lBC：ykx+m（m1） ，B（x1，y1） ，C（x2，y2） ，联立方程可得 （2k2+1） x2+4kmx+2m220， 又， 结合韦达定理可得 （kx1+m 1） （kx2+m1）+x1x20，化简计算即可求解 【解答】解： （1）因为，所以 c1，b2a2c21， 椭圆的方程为； （2）因为 k1k20，所
35、以直线 BC 斜率存在 设直线 lBC：ykx+m（m1） ，B（x1，y1） ，C（x2，y2） ，联立方程， 消 y 得（2k2+1）x2+4kmx+2m220， ， （*） 第 19 页（共 20 页） 又，理得（y11） （y21）+x1x20， 即（kx1+m1） （kx2+m1）+x1x20， 所以（k2+1）x1x2+k（m1） （x1+x2）+（m1）20（*）代入得 ， 整理得 3m+10 得，所以直线 BC 过定点 【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，直线恒过定点问题，意在考查学生对这些基础 知识的理解程度和掌握水平，属中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）（ax+1
36、）ex，aR （1）当 a1 时，求函数 f（x）的最小值 （2）当 a时，对于两个不相等的实数 x1，x2，有 f（x1）f（x2） ，求证：x1+x22 【分析】 （1）先求导，根据单调性求得最值， （2）先判断函数 f（x）的单调区间，再构造函数 g（x）f（x）f（2x） ，证明函数 g（x）的单调性，根据 x1x2，且 f（x1）f（x2） ，不妨设 x11x2，利用函数的单调 性即可证明 【解答】解： （1）当 a1，f（x）（x+1）ex， f（x）（x+2）ex， f（x）在（，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增， f（x）minf（2） （2）当 a时，f（x
37、）（x+1）ex， 对于两个不相等的实数 x1，x2，有 f（x1）f（x2） ， f（x）（1x）ex， f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 不妨设 x11x2，令 g（x）f（x）f（2x） ， （x1） g（x）（1x） （exe2 x） ， 当 x1 时，1x0，x2x，exe2 x0， g（x）0， 第 20 页（共 20 页） g（x）在（，1）单调递减， g（x）g（1）f（1）f（1）0，即 f（x）f（2x）0， 不妨设 x11x2，则 2x11， 由以上可知 f（x1）f（2x1） ， f（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， f（x1）f（x2） ， f（x2）f（2x1） ， x21，2x11， f（x）在（1，+）上单调递减， x22x1， x1+x22 【点评】本题考查了导数和函数的单调性，最值的关系，不等式的证明，考查了运算能 力，推理论证能力，转化与化归能力，属于中档题
