1、2018-2019 学年江西省宜春市上高二中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题只有一个选项符合题意每小题只有一个选项符合题意.） 1 （5 分）2019 年 6 月 21 日，令人期待、激人奋进、引人遐想，相邻那将会属于你的“福 数” ， 此时， 映入你眼帘的是： “i， 一个虚数单位， 复数 zi2019+i6+i21， 那么|z| （ ） ” A B3 C1 D 2 （5 分）用反证法证明某命题时，对结论： “自然数 a，b，c 中至少有一个偶数 ”正确的 反设为（ ） Aa，b，c 中至少有两个偶数 B
2、a，b，c 都是奇数 Ca，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 Da，b，c 都是偶数 3 （5 分）某单位为了了解某办公楼用电量 y（度）与气温 x（）之间的关系，随机统计 了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表（若右图） ：得到的回归方程为 ，则（ ） 气温（） 18 13 10 1 用电量（度） 24 34 38 64 Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0 4 （5 分）已知 2112，221334，23135456，以此类推，第 5 个等式为（ ） A2413575678 B251357956789 C2413579678910 D251357967891
3、0 5 （5 分）若函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称，则 f（x）的解析式可能为（ ） Af（x）2cosx Bf（x）x3+x2 Cf（x）sinxcosx+1 Df（x）ex+x 6 （5 分）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 第 2 页（共 21 页） 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分， 得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始 评分相比，不变的数字特征是（ ） A中位数 B平均数 C方差 D极差 7 （5 分）若 ab0，则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A B C D 8 （5 分）现有 A、B、C、
4、D 四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个都是办公室时，A 说： 我去过的教师办公室比 B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我 和 A、 B 去过同一个教师办公室； D 说： 我去过丙办公室， 我还和 B 去过同一个办公室 由 此可判断 B 去过的教师办公室为（ ） A甲 B乙 C丙 D不能确定 9 （5 分）过点 P（1，1）且不垂直于 y 轴的直线 l 与圆 M：x2+y22x30 交于 A、 B 两点，点 C 在圆 M 上，若ABC 是正三角形，则直线 l 的斜率是（ ） A B C D 10 （5 分）若 f（x）x22x4lnx，则 f（x）0 的解集为（ ）
5、A （0，+） B （1，0）（2，+） C （2，+） D （1，0） 11 （5 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1，AA1AB2，BC3，点 P 在线段 B1D1上， 的方向为正（主）视方向，当 AP 最短时，棱锥 PAA1B1B 的左（侧）视图为（ ） A B 第 3 页（共 21 页） C D 12 （5 分）已知关于 x 的不等式 m（x22x）ex+1ex在（，0上恒成立，则实数 m 的 取值范围是（ ） A1，+） B0，+） C D 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的
6、 S 值为 14 （5 分）设函数 f（x）lnx+ax2，若 x1 是函数 f（x）是极大值点，则函数 f（x） 的极小值为 15 （5 分）双曲线的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐进线上，O 为坐标原 点，若|PO|PF|，则PFO 的面积为 16 （5 分）我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中，用图的数表列出了一 些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形” ，该数表的规律是每行首尾数 字均为 1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和现将杨辉三角形 中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到图所示的由数字 0 和 1 组成的三角形数表，由上往 下数，记第 n
7、 行各数字的和为 Sn，如 S11，S22，S32，S44，S52，则 S33 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 17 题题 10 分，其余每题分，其余每题 12 分，分， 共共 70 分分. 第 4 页（共 21 页） 17 （10 分）设函数 f（x）|2x+1|+|xa|（a0） （1）当 a2 时，求不等式 f（x）8 的解集； （2）若xR，使得 f（x）成立，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）为了让税收政策更好的为社会发展服务，国家在修订中华人民共和国个人所 得税法之后，发布了个人所得税专项附加扣除暂
8、行办法 ，明确“专项附加扣除”就 是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了 相应的定额扣除标准，决定自 2019 年 1 月 1 日起施行，某机关为了调查内部职员对新个 税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下 22 列联表： 40 岁及以下 40 岁以上 合计 基本满意 15 10 25 很满意 25 30 55 合计 40 40 80 （1）根据列联表，能否有 85%的把握认为满意程度与年龄有关？ （2）若已经在满意程度为“基本满意”的职员中用分层抽样的方式选取了 5 名职员，现 从这 5 名职员中随机选取 3 名进行面谈求面谈的职员中
9、恰有 2 名年龄在 40 岁及以下的概 率 附：，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19 （12 分）以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A（4，） ， 曲线 E 的极坐标方程为（a0） ，过点 A 作直线 （R）的垂线 l，分别交曲线 E 于 B，C 两点 （1）写出曲线 E 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求实数 a
10、的值 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，M 为侧棱 PC 上一点，侧棱 PA底面 ABCD， 底面 ABCD 是 第 5 页（共 21 页） 边长为 2 的菱形，O 为 AC 与 BD 交点，且BAD60，PBD 面积为 2 （I）证明：OMBD； （）若 M 为 PC 三等分点（靠近 C 点） ，求三棱锥 PDOM 的体积 21 （12 分）已知椭圆的离心率为，抛物线 y22px（p0） 的焦点是，是抛物线上的点，H 为直线 ya 上任一点，A，B 分别 为椭圆 C 的上、下顶点，且 A，B，H 三点的连线可以构成三角形 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 HA，HB 与
11、椭圆 C 的另一交点分别为点 D，E，求证：直线 DE 过定点 22 （12 分）已知函数，g（x）ax2+bx （1）当 a2，b3 时，求函数 f（x）在 x1 处的切线方程，并求函数 f（x）的最大 值； （2）若函数 yf（x）的两个零点分别为 x1，x2，且 x1x2，求证： 第 6 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省宜春市上高二中高二（下）期末数学试卷学年江西省宜春市上高二中高二（下）期末数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本一、选择题（本大题共大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题只有
12、一个选项符合题意每小题只有一个选项符合题意.） 1 （5 分）2019 年 6 月 21 日，令人期待、激人奋进、引人遐想，相邻那将会属于你的“福 数” ， 此时， 映入你眼帘的是： “i， 一个虚数单位， 复数 zi2019+i6+i21， 那么|z| （ ） ” A B3 C1 D 【分析】利用虚数单位 i 的运算性质化简，再由复数模的计算公式求解 【解答】解：zi2019+i6+i21i4 504+3+i4+2+i45+1 i3+i2+ii1+i1 |z|1 故选：C 【点评】本题考查虚数单位 i 的运算性质，考查复数模的求法，是基础题 2 （5 分）用反证法证明某命题时，对结论： “自
13、然数 a，b，c 中至少有一个偶数 ”正确的 反设为（ ） Aa，b，c 中至少有两个偶数 Ba，b，c 都是奇数 Ca，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 Da，b，c 都是偶数 【分析】用反证法法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否 定，即为所求 【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的 命题的否定成立， 而命题： “自然数 a，b，c 中至少有一个是偶数”的否定为： “a，b，c 都是奇数” ， 故选：B 【点评】本题主要考查用反证法法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题 3 （5 分）某单位为了了解某办公楼用电量 y（度）
14、与气温 x（）之间的关系，随机统计 了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表（若右图） ：得到的回归方程为 第 7 页（共 21 页） ，则（ ） 气温（） 18 13 10 1 用电量（度） 24 34 38 64 Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0 【分析】直接由已知数据求得 b 与 a 的值得答案 【解答】解：由表中数据，计算 （18+13+101）10， （24+34+38+64）40， 2.11， a0，b0 故选：B 【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题 4 （5 分）已知 2112，221334，23135456，以此类推，第 5 个
15、等式为（ ） A2413575678 B251357956789 C2413579678910 D2513579678910 【分析】根据已知可以得出规律，即可得出结论 【解答】解：2112，221334，23135456， 第 5 个等式为 2513579678910 故选：D 【点评】此题主要考查了数字变化规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规 律，并应用发现的规律解决问题对于等式，要注意分别发现：等式的左边和右边的规 律 5 （5 分）若函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称，则 f（x）的解析式可能为（ ） 第 8 页（共 21 页） Af（x）2cosx Bf（x）x3
16、+x2 Cf（x）sinxcosx+1 Df（x）ex+x 【分析】根据题意，依次计算选项中函数的导数，判定导函数的奇偶性，综合即可得答 案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，f（x）2cosx，其导数 f（x）2sinx，其导数为奇函数，图象关于原点对称， 不符合题意； 对于 B，f（x）x3+x2，其导数 f（x）3x2+2x，其导数不是偶函数，不符合题意， 对于 C，f（x）sinxcosx+1，其导数 f（x）cos2x，其导数为偶函数，图象关于 y 轴对称，符合题意； 对于 D，f（x）ex+x，其导数 f（x）ex+1，其导数不是偶函数，不符合题意， 故选：C 【点评
17、】本题考查导数的计算，涉及导数的计算公式以函数奇偶性的判定，属于基础题 6 （5 分）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、 1 个最低分， 得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始 评分相比，不变的数字特征是（ ） A中位数 B平均数 C方差 D极差 【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案 【解答】解：根据题意，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效 评分， 7 个有效评分与 9 个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选：A 【点评】本题考查数据的
18、数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的 定义以及计算方法，属于基础题 7 （5 分）若 ab0，则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A B C D 【分析】利用不等式的性质即可得出 【解答】解：ab0， 则 aab0，a（ab）0， 第 9 页（共 21 页） ，化为 因此 B 不成立 故选：B 【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题 8 （5 分）现有 A、B、C、D 四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个都是办公室时，A 说： 我去过的教师办公室比 B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我 和 A、 B 去过同一个教师办公室； D 说： 我去过丙办
19、公室， 我还和 B 去过同一个办公室 由 此可判断 B 去过的教师办公室为（ ） A甲 B乙 C丙 D不能确定 【分析】根据各人所说做出排除，得出可能的结果即可 【解答】解：由已知，A 没去过乙办公室，C 没去过丙和乙办公室， 而 A、B、C 三人同去过一个教师办公室， 所以他们去的为甲办公室， 又 A 去过的教师办公室比 B 多，则只可能是 A 去过甲和丙办公室，B 去过甲办公室，C 去过甲办公室， 又 D 去过丙办公室，还和 B 去过同一个办公室，可知 D 去过丙和甲办公室 故选：A 【点评】本题主要考查逻辑推理，属于一般基础题 9 （5 分）过点 P（1，1）且不垂直于 y 轴的直线 l
20、 与圆 M：x2+y22x30 交于 A、 B 两点，点 C 在圆 M 上，若ABC 是正三角形，则直线 l 的斜率是（ ） A B C D 【分析】ABC 为正三角形，圆心 M 为ABC 的中心，圆心到直线 l 的距离为圆的 半径的一半，即为 21 再根据点到直线的距离公式可得 【解答】解：ABC 为正三角形，圆心 M 为ABC 的中心，圆心到直线 l 的距离为 圆的半径的一半，即为 21， 设直线 l：y+1k（x+1） ，即 kxy+k10， d1，解得 k0（舍）或 k 第 10 页（共 21 页） 故选：D 【点评】本题考查了直线与圆的为位置关系，属中档题 10 （5 分）若 f（x
21、）x22x4lnx，则 f（x）0 的解集为（ ） A （0，+） B （1，0）（2，+） C （2，+） D （1，0） 【分析】由题意，可先求出函数的定义域及函数的导数，再解出不等式 f（x）0 的解 集与函数的定义域取交集，即可选出正确选项 【解答】解：由题，f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）2x2， 令 2x20，整理得 x2x20，解得 x2 或 x1， 结合函数的定义域知，f（x）0 的解集为（2，+） 故选：C 【点评】本题考查导数的加法与减法法则，一元二次不等式的解法，计算题，基本题型， 属于基础题 11 （5 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1，AA1AB2，
22、BC3，点 P 在线段 B1D1上， 的方向为正（主）视方向，当 AP 最短时，棱锥 PAA1B1B 的左（侧）视图为（ ） A B C D 【分析】依题意，棱锥 PAA1B1B 的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱 AP，BP 被底面 AA1B1B 遮挡，显示为虚线，当 AP 最短时，APB1D1，因为 A1B12，A1D13， 第 11 页（共 21 页） 所以 B1PD1P，所以两虚线的交点离点 B1更近，即离右下角更近 【解答】解：依题意，棱锥 PAA1B1B 的左（侧）视图外部轮廓为正方形， 且侧棱 AP，BP 被底面 AA1B1B 遮挡，显示为虚线， 当 AP 最短时，APB1D
23、1，因为 A1B12，A1D13，所以 B1PD1P，所以两虚线的交 点离点 B1更近，即离右下角更近 故选：B 【点评】本题考查了空间几何体的三视图，注意在三视图中看不到的线画成虚线本题 属于基础题 12 （5 分）已知关于 x 的不等式 m（x22x）ex+1ex在（，0上恒成立，则实数 m 的 取值范围是（ ） A1，+） B0，+） C D 【分析】令 f（x）m（x22x）ex+1ex，则 f（x）（mx22m1）ex，由此根据 m0，m0，m分类讨论，结合导数性质能求出实数 m 的取值范围 【解答】解：关于 x 的不等式 m（x22x）ex+1ex在（，0上恒成立， 令 f（x）m
24、（x22x）ex+1ex，则 f（x）（mx22m1）ex， x（，0） ，x22x0， 当 m0 时，f（x）1ex1e00，符合题意， 当 m0 时，f（x）m（x22x）ex+1ex1ex0，符合题意， 当m0 时，f（x）（mx22m1）ex0 恒成立，则 f（x）在（，0上单 调递减， f（x）f（0）0，符合题意， 当 m时，令 f（x）0，得x0， 则 f（x）在（，0）上单调递增， f（x）f（0）0，不合题意，舍去 综上，实数 m 的取值范围为，+） 故选：C 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数性质等基础知识，考查推理论证能 力、运算求解能力，考查函数与方程思想、
25、分类与整合思想，是中档题 第 12 页（共 21 页） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 36 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S0，i1 执行循环体，S1，i3 满足条件 i13，执行循环体，S4，i5 满足条件 i13，执行循环体，S9，i7 满足条件 i13，执行循环体，S16，i9 满足条件 i13，执行循环体，S25，i11
26、满足条件 i13，执行循环体，S36，i13 此时，不满足条件 i13，退出循环，输出 S 的值为 36 故答案为：36 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 14 （5 分）设函数 f（x）lnx+ax2，若 x1 是函数 f（x）是极大值点，则函数 f（x） 的极小值为 ln22 【分析】利用函数的导函数判断函数的单调区间，从而判断函数的极值 【解答】解：函数 f（x）lnx+ax2，函数定义域为： （0，+） f（x）+2ax； 若 x1 是函数 f（x）是极大值点， 则：f（1）0，解得：a； 所以：f（x）lnx+x2，
27、f（x）+x； 当 f（x）0 时，0x1 或 x2；函数在（0，1）和（2，+）上单调递增； 第 13 页（共 21 页） 当 f（x）0 时，1x2；函数在（1，2）上单调递减； 所以函数在 x1 时有极大值；函数在 x2 时有极小值为：f（2）ln22； 故答案为：ln22； 【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题 15 （5 分）双曲线的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐进线上，O 为坐标原 点，若|PO|PF|，则PFO 的面积为 【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出三角形 POF 的顶点 P 的坐标，然后求解面积即 可 【解答】解：双曲线的右焦
28、点为 F（，0） ，渐近线方程为：yx， 不妨 P 在第一象限， 由|PO|PF|，可得 tanPOF，P（，） ， 所以PFO 的面积为： 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查 16 （5 分）我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中，用图的数表列出了一 些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形” ，该数表的规律是每行首尾数 字均为 1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和现将杨辉三角形 中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到图所示的由数字 0 和 1 组成的三角形数表，由上往 下数，记第 n 行各数字的和为 Sn，如 S11，S22
29、，S32，S44，S52，则 S33 2 【分析】根据所给杨辉三角的三角形数表图，找出全行数字为 1 的行的规律，继而看看 所求行与全为 1 行的关系可以得出结果 第 14 页（共 21 页） 【解答】解：将杨辉三角形中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到图所示的由数字 0 和 1 组成的三角形数表，从上往下数，第 1 次全行的数为 1 的是第 1 行，有 1 个 1；第 2 次 全行的数都为 1 的是第 2 行，有 2 个 1；第 3 次全行的数都为 1 的是第 4 行，有 4 个 1， 依此类推，第 n 次全行的数都为 1 的是第 2n 1 行，有 2n 1 个 1，故 n6 时，第 26
30、1 2532 行有 32 个 1，即 S3232，则下一行是 2 个 1，即 S332， 故答案为：2 【点评】本题考查杨辉三角知识，数形结合，发现规律是关键 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 17 题题 10 分，其余每题分，其余每题 12 分，分， 共共 70 分分. 17 （10 分）设函数 f（x）|2x+1|+|xa|（a0） （1）当 a2 时，求不等式 f（x）8 的解集； （2）若xR，使得 f（x）成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）代入 a 的值，得到关于 x 的不等式组，解出即可； （2）
31、问题转化为 f（x）min，求出 f（x）的最小值，得到关于 a 的不等式，解出即可 【解答】解： （1）当 a2 时，f（x）8|2x+1|+|x2|8 或或（3 分） x3 或 x或 x x3 或 x， 所以原不等式解集为（，）（3，+） （5 分） （2）因为xR，使得 f（x）成立，所以 f（x）min， （6 分） 因为 f（x）， 所以 f（x）在（，）上单调递减，在（，+）上单调递增， （8 分） 所以 f（x）minf（）+a，所以+a，所以 a1， 又 a0，所以实数 a 的取值范围（0，1 （10 分） 第 15 页（共 21 页） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考
32、查分类讨论思想有解转化思想，是一道综 合题 18 （12 分）为了让税收政策更好的为社会发展服务，国家在修订中华人民共和国个人所 得税法之后，发布了个人所得税专项附加扣除暂行办法 ，明确“专项附加扣除”就 是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了 相应的定额扣除标准，决定自 2019 年 1 月 1 日起施行，某机关为了调查内部职员对新个 税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下 22 列联表： 40 岁及以下 40 岁以上 合计 基本满意 15 10 25 很满意 25 30 55 合计 40 40 80 （1）根据列联表，能否有 85%
33、的把握认为满意程度与年龄有关？ （2）若已经在满意程度为“基本满意”的职员中用分层抽样的方式选取了 5 名职员，现 从这 5 名职员中随机选取 3 名进行面谈求面谈的职员中恰有 2 名年龄在 40 岁及以下的概 率 附：，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【分析】 （1）根据列联表可以求得 K2的观测值，结合临界值表可得； （2）由题意，在满意程度为“基本满意“的职员中用分层抽样的方式选取 5
34、 名职员，应 抽取 40 岁以下和 40 岁以上分别为 3 名和 2 名，记为 A，B，C，d，e， 然后用列举法列举出随机选 3 名的基本事件和面谈的职员中恰有 2 名年龄在40 岁及以下 的基本事件，然后用古典概型的概率公式可得 【解答】解： （1）根据列联表可以求得 K2的观测值：K2 1.455 1.4552.072， 没有 85%的把握认为满意程度与年龄有关 第 16 页（共 21 页） （2）由题意，在满意程度为“基本满意“的职员中用分层抽样的方式选取 5 名职员，应 抽取 40 岁以下和 40 岁以上分别为 3 名和 2 名，记为 A，B，C，d，e， 则随机选 3 名，基本事件
35、为：ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde， 共 10 个， 满足题意得基本事件为：ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，共 6 个， 则所求事件的概率为 【点评】本题考查了独立性检验，属中档题 19 （12 分）以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A（4，） ， 曲线 E 的极坐标方程为（a0） ，过点 A 作直线 （R）的垂线 l，分别交曲线 E 于 B，C 两点 （1）写出曲线 E 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求实数 a 的值 【分析】 （1）利用极坐标和直角坐标
36、的互化公式来求解； （2）根据|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，建立等量关系，利用参数的几何意义求解 【解答】解： （1）由曲线 E 的极坐标方程为（a0） ， 转换为直角坐标方程为：， 点 A（4，）转换为直角坐标为 A（2，2） 又直线 l 的斜率为 1且过点 A 故直线 l 的直角坐标方程为：xy0 （2）在直角坐标系 xoy 中， 直线 l 参数方程为：（t 为参数） 代入， 得：t2（8+2a）t+8a0（t1和 t2为 B、C 对应的参数） 所以：t1+t28+2a，t1t216+8a， 由于：|AB|，|BC|，|AC|成等比数列， 所以：|BC|2|AB|AC|， 第 1
37、7 页（共 21 页） 即：， 故：， 所以：a22a40， 解得：， 由于：a0， 所以：a1+ 【点评】本题主要考查参数方程和极坐标，极坐标与直角坐标的相互转化要熟记公式， 利用参数的几何意义能简化求解过程 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，M 为侧棱 PC 上一点，侧棱 PA底面 ABCD， 底面 ABCD 是 边长为 2 的菱形，O 为 AC 与 BD 交点，且BAD60，PBD 面积为 2 （I）证明：OMBD； （）若 M 为 PC 三等分点（靠近 C 点） ，求三棱锥 PDOM 的体积 【分析】 （）由 PA底面 ABCD，可得 PABD，结合四边形 ABCD 是
38、菱形，得 BD AC，则 BD平面 PAC，进一步得到 BDOM； （）设 PAh，连接 PO，由（）知，BDPO，且 PO2h2+AO2，求解三角形求得 h，再由 M 为 PC 三等分点（靠近 C 点） ，可得 M 到平面 ABCD 的距离为，然后利 用等积法求三棱锥 PDOM 的体积 【解答】 （）证明：PA底面 ABCD，BD平面 ABCD，PABD， 四边形 ABCD 是菱形，BDAC， 又 PAACA，BD平面 PAC， OM平面 PAC，BDOM； （）解：设 PAh，连接 PO， 由（）知，BDPO，且 PO2h2+AO2， 第 18 页（共 21 页） 菱形 ABCD 的边长为
39、 2，BAD60，BD2，AO， 由，解得 h1 M 为 PC 三等分点（靠近 C 点） ，M 到平面 ABCD 的距离为， VPDOM2VCDOM2VMCDO 【点评】本题考查空间直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了 利用等积法求多面体的体积，是中档题 21 （12 分）已知椭圆的离心率为，抛物线 y22px（p0） 的焦点是，是抛物线上的点，H 为直线 ya 上任一点，A，B 分别 为椭圆 C 的上、下顶点，且 A，B，H 三点的连线可以构成三角形 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 HA，HB 与椭圆 C 的另一交点分别为点 D，E，求证：直线 DE 过定点 【分
40、析】 （1）利用已知条件列出方程组，求出 a，b 即可得到椭圆方程 （2）设点 H（m，2） （m0） ，求出直线 HA 的方程为，直线 HB 的方程为 与椭圆方程联立，求出 D，E 坐标，得到直线 DE 方程，然后求解经过的定 点 【解答】解： （1）由题意知，解得， 椭圆 C 的方程为 （2）设点 H（m，2） （m0） ，易知 A（0，1） ，B（0，1） ， 第 19 页（共 21 页） 直线 HA 的方程为，直线 HB 的方程为 联立，得， ， 同理可得， 直线 DE 的斜率为， 直线 DE 的方程为， 即， 直线 DE 过定点 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的
41、简单性质的应用，是中档 题 22 （12 分）已知函数，g（x）ax2+bx （1）当 a2，b3 时，求函数 f（x）在 x1 处的切线方程，并求函数 f（x）的最大 值； （2）若函数 yf（x）的两个零点分别为 x1，x2，且 x1x2，求证： 【分析】 （1）代入 a，b 的值，求出函数的导数，求出切点坐标，求出切线方程，求出函 数的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值即可； （2）根据函数的单调性求出令，即证 0t1， ，令 ，根据函数的单调性证明即可 【解答】 （1）解：当 a2，b3 时，（x0） 第 20 页（共 21 页） 则 f（e）1，切点为， 故函数 f（x）在 x1
42、 处的切线方程为 ， 令 h（x）1lnxx2，则 h（x）1lnxx2在（0，+）是减函数 又 h（1）0x（0，1） ，h（x）0，f（x）0， x（1，+） ，h（x）0，f（x）0， f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）是减函数， f（x）maxf（1）2； （2）证明：x1，x2是 f（x）的两个零点，不妨设 x1x2， f（x1）f（x2）0， ， 相减得：， ， ， ， ， 第 21 页（共 21 页） 令，即证0t1时， ， 令， 在（0，1）上是增函数， 又m（1）0， t（0，1） ，m（t）0，命题得证 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题
