1、2018-2019 学年江西省宜春市高安中学高二（下）期末数学试卷（理科）一.选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分） 已知集合 Px|0x6， 集合 Qx| （x+2） （x3） 0， 则集合 PQ （ ） A0，2 B0，3 C2，6 D3，6 2 （5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A （1，1） B （2，1） C （1，2） D （2，2） 3 （5 分）设 xR，则“|x+1|2”是
2、“3x0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件 4 （5 分）已知函数，若 f（a）2，则实数 a 的值为（ ） A2 B2 C2 或 1 D1 或 2 5 （5 分）已知命题 p：若 ab，则 a3b3，命题 q：若 ab0，则 a2+b20下列命题中 为真命题的是（ ） Ap 或 q Bp 且 q Cp 或 q Dp 且q 6 （5 分）已知随机变量 XN（12，25） ，随机变量 Y2X+5，则 DY 的值为（ ） A20 B48 C100 D105 7 （5 分）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单位：厘米）
3、的关系，从 该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系， 设其回归直线方程为 ya+bx已知，b4该班某学生的 脚长为 23，据此估计其身高为（ ） A160 B166 C170 D172 8 （5 分） （1x） （12x）5展开式中 x4的系数为（ ） A160 B80 C0 D160 9 （5 分）某单位安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名工作人员从周日到周五值班，每天有且只有 1 人值班，每人至少安排一天，且安排值班两天的人员提出安排在不连续的两天，则不同 第 2 页（共 18 页） 的安排方法种数为（ ） A600 B1200 C1800 D2
4、400 10 （5 分）已知，则 x，y，z 的大小关系为（ ） Axyz Bxzy Czxy Dzyx 11 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 若 P（0，1） ，直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点， 则|PA|PB|的值为（ ） A2 B C D5 12 （5 分）下列命题中真命题的个数为（ ） 已知集合 Ax|ax10，集合 B1，1，若 AB，则实数 a1； 命题“若 ab，则 log2alog2b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有 3 个； 函数的递减区间为1，+） ； 用数学归纳法证明“”时，
5、由 nk 的假设证明 nk+1 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为 A1 B2 C3 D4 二填空题（每小题二填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）命题“任意 xN， （x1）21”的否定为 14 （5 分）曲线在点 P（1，f（1） ）处的切线的方程为 15 （5 分）甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看郁金香花展，她们选择 骑共享电动车出行，每辆电动车只能带一个孩子，但是孩子们都表示不坐自己妈妈的车， 则她们坐车不同的搭配方式有 16 （5 分）如图所示的数阵中，用 A（n，k）表示第 n 行的第
6、k 个数，则依次规律 A（7，3） 为 第 3 页（共 18 页） 三解答题（本题共三解答题（本题共 6 小题，满分小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系，直线 l 的极坐标方程为 （cos+sin）+60，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）已知点 M 在曲线 C 上，求出点 M 到直线 l 的距离的最值 18 （12 分）已知函数 f（x
7、）|x+1|2x+1| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若函数 f（x）的最大值为 m，且正实数 a，b 满足 a+bm，求证： 19 （12 分）阿尔法狗（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界 冠军的人工智能程序，由谷歌（Google）公司的团队开发其主要工作原理是“深度学 习” .2017 年 5 月， 在中国乌镇围棋峰会上， 它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战， 以 3 比 0 的总比分获胜围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水 平为了激发广大中学生对人工智能的兴趣，宜春市教育局组织了一次全市中学生“人 工智能”软件设计竞赛，从参
8、加比赛的学生中随机抽取了 20 名学生，并把他们的比赛成 绩按五个等级进行了统计，得到如下数据表： 成绩等级 A B C D E 成绩（分） 5 4 3 2 1 人数（名） 4 6 4 3 3 （1）在某学生的比赛成绩等级为“A 或 B”的条件下，求该生的比赛成绩等级为“A” 的概率； 第 4 页（共 18 页） （2）以频率估计概率，若从该地区参加比赛的学生（参赛人数很多）中任选 4 人，记 X 表示抽到成绩等级为“A 或 B”的学生人数，求 X 的数学期望 EX 与方差 DX 20 （12 分）已知函数 （其中 aR，且 a0） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的极值； （2）讨论函数
9、 f（x）的单调性 21 （12 分）2019 央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人 的零下 20C 春晚现场表演了精彩的节目石墨烯发热服的制作原理：从石墨中分离出 石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内 （1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结 晶现在有 A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在 A 材料上再结晶做了 20 次试验， 成功 19 次；对附着在 B 材料上再结晶做了 30 次试验，成功 16 次 用 22 列联表判断：是否有 99%的把握认为试验是否成功与材料 A 和材料 B 的选择有 关？ A
10、材料 B 材料 成功 不成功 （2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节： 透明基底及 UV 胶层；石墨烯层；银浆线路；表面封装层，前三个环节生产合 格的概率为，最后一个环节生产合格的概率为，求制作石墨烯发热膜的四个环节中 至少有三个环节生产合格的概率； （3）只要把石墨烯发热膜铺到衣服内就能制作完成一件石墨烯发热服现有制作完的石 墨烯发热服 6 件，其中生产合格的有 4 件，现在从中任意抽取 3 件，用 X 表示取出的合 格品的件数，求随机变量 X 的分布列 附：，其中 na+b+c+d P（2k0） 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.
11、841 6.635 22 （12 分）已知函数图象经过（1，1） 若命题 p：实数 m 满足 f（m 第 5 页（共 18 页） 2）f（10m2） ；命题 q：函数在 R 上递增，是否存在实数 m 满足命题“p 或 q”为真命题？若存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由 第 6 页（共 18 页） 2018-2019 学年江西省宜春市高安中学高二（下）期末数学试卷学年江西省宜春市高安中学高二（下）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项
12、中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分） 已知集合 Px|0x6， 集合 Qx| （x+2） （x3） 0， 则集合 PQ （ ） A0，2 B0，3 C2，6 D3，6 【分析】先利用二次不等式的解法求集合 Q，再利用集合的运算求 PQ 即可得解 【解答】解：解不等式（x+2） （x3）0 得：2x3， 即 Qx|2x3， 又集合 Px|0x6， 即集合 PQ0，3， 故选：B 【点评】本题考查了二次不等式的解法及集合的运算，属基础题 2 （5 分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ） A （1，1） B （2，1） C
13、 （1，2） D （2，2） 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：， 复数对应的点的坐标为（1，2） 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）设 xR，则“|x+1|2”是“3x0”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件 【分析】 将|x+1|2 去绝对值， 求出3x1， 从而与 x3 进行范围的比较， 即可求出 【解答】解：|x+1|2，2x+123x1； 第 7 页（共 18 页） 又3x0x3； “|x+1|2“是“3x0“
14、的充分而不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了去绝对值求不等式的解集，能正确理解充分、必要条件是解本题的 关键 4 （5 分）已知函数，若 f（a）2，则实数 a 的值为（ ） A2 B2 C2 或 1 D1 或 2 【分析】由已知分段列出指数方程和一元二次方程，求解得答案 【解答】解：由函数，且 f（a）2， 得，或 解得 a1；解得 a2 实数 a 的值为2 或 1 故选：C 【点评】本题考查了分段函数，考查了指数方程与一次方程的解法，是基础题 5 （5 分）已知命题 p：若 ab，则 a3b3，命题 q：若 ab0，则 a2+b20下列命题中 为真命题的是（ ） Ap 或 q Bp 且
15、 q Cp 或 q Dp 且q 【分析】由不等式的性质判断命题 p 为真命题，举例说明命题 q 为假命题，再由复合命 题的真假判断得答案 【解答】由 ab，得 a3b3，命题 p 为真命题； 若 a0，b0，则 ab0，此时 a2+b20，命题 q 为假命题 p 或 q 为真命题；p 且 q，p 或 q，p 且q 为假命题 故选：A 【点评】本题考查不等式的性质，考查复合命题的真假判断，是基础题 6 （5 分）已知随机变量 XN（12，25） ，随机变量 Y2X+5，则 DY 的值为（ ） A20 B48 C100 D105 【分析】直接利用已知条件转化求解即可 第 8 页（共 18 页） 【
16、解答】解：随机变量 XN（12，25） ， 所以 D（X）25， 随机变量 Y2X+5，则 DY2225100 故选：C 【点评】本题考查正态分布的期望与方差的求法，考查计算能力 7 （5 分）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单位：厘米）的关系，从 该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系， 设其回归直线方程为 ya+bx已知，b4该班某学生的 脚长为 23，据此估计其身高为（ ） A160 B166 C170 D172 【分析】依题意，计算出 ， ，根据样本点中心（ ， ）在回归直线 ybx+a 上，又 b 4，所以可以求出
17、 a 的值，即得到回归方程，将 x 代成 23 即可估计身高 【解答】解：依题意， 25， 174， 样本点中心（ ， ）在回归直线 ybx+a 上， 所以 a b17442574， 所以回归方程为：y4x+74， 当 x23 时，y423+74166 故选：B 【点评】本题考查了平均数的求法，回归直线的性质，回归方程的应用，属于基础题 8 （5 分） （1x） （12x）5展开式中 x4的系数为（ ） A160 B80 C0 D160 【分析】根据二项展开式的通项公式进行计算即可 【解答】解： （12x）5展开式的通项公式为 Tt+1C （2x）t（2）tC xt， 则（1x） （12x）5
18、展开式中 x4的系数为 1（2）4C （2）3C 80+80160， 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式进行计算是解决本题的关键 9 （5 分）某单位安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名工作人员从周日到周五值班，每天有且只有 第 9 页（共 18 页） 1 人值班，每人至少安排一天，且安排值班两天的人员提出安排在不连续的两天，则不同 的安排方法种数为（ ） A600 B1200 C1800 D2400 【分析】由排列、组合中的不相邻问题，采用插空处理即可得解 【解答】解：由题意可知，甲、乙、丙、丁、戊 5 名工作人员有一名工作人员值班两天， 先将其余
19、 4 名工作人员全排，再将值班两天的工作人员插空即可， 即不同的安排方法种数为1200， 故选：B 【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，属中档题 10 （5 分）已知，则 x，y，z 的大小关系为（ ） Axyz Bxzy Czxy Dzyx 【分析】根据基本不等式可以推出 x 的范围，根据指数函数的性质可以推出 y 的范围， 根据定积分的几何意义可以推出 z 的值，进而可以得到 x，y，z 的大小关系 【解答】解：依题意，因为 a1，所以 a10， 所以 xa+a1+12+15， 当且仅当 a3 时取得等号； 因为 bR，所以 b211，所以 0y2； 依题意，可得+22，所以 2z5
20、； 综上：xzy， 故选：B 【点评】本题考查了基本不等式，指数函数的图象与性质，定积分及其几何意义等，属 于中档题 11 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 若 P（0，1） ，直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点， 则|PA|PB|的值为（ ） 第 10 页（共 18 页） A2 B C D5 【分析】把曲线参数方程中参数 消去，可得曲线 C 的普通方程，再把直线的参数方程 代入曲线 C 的普通方程， 可得关于 t 的一元二次方程， 再由根与系数的关系及此时 t 的几 何意义求解 【解答】解：由曲线 C 的参数
21、方程为（ 为参数） ，得 x2+（y+1）29 曲线 C 的普通方程为 x2+（y+1）29 把直线 l 的参数方程代入 x2+（y+1）29，得 t2+2t50 设 A 对应的参数为 tA，B 对应的参数为 tB，则 tAtB5 |PA|PB|tAtB|5 故选：D 【点评】本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数 t 的几何意义的应 用，是中档题 12 （5 分）下列命题中真命题的个数为（ ） 已知集合 Ax|ax10，集合 B1，1，若 AB，则实数 a1； 命题“若 ab，则 log2alog2b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题有 3 个； 函数的递减区间为1，+） ；
22、 用数学归纳法证明“”时， 由 nk 的假设证明 nk+1 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为 A1 B2 C3 D4 【分析】利用集合与元素的关系判断的正误；四中命题的真假关系判断的正误；复 合函数的单调性判断的正误；数学归纳法判断的正误；即可推出结果 【解答】解：集合 Ax|ax10，集合 B1，1，若 AB，A 不是空集时实数 a1；A 是空集时 a0，所以不正确； 命题“若 ab，则 log2alog2b” ，命题的逆命题：如果 log2alog2b，则 ab，所以 逆命题是正确的；可知否命题正确；逆否命题不正确；真命题个数为 2，所以不正确； 第 11 页（共
23、18 页） 函数， 由复合函数的单调性的性质以及二次函数的性质可知， 正确； 用数学归纳法证明“”时， 由 nk 的假设证明 nk+1 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为应该是： 所以不正确； 所以只有是真命题； 故选：A 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，数据元素与集合的关系，四中命题的真假 的判断复合命题的真假以及数学归纳法的判断，是基本知识的考查 二填空题（每小题二填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）命题“任意 xN， （x1）21”的否定为 存在 xN， （x1）21 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论 【解答】解：命
24、题为全称命题，则命题“任意 xN， （x1）21”的否定为：存在 xN， （x1）21， 故答案为：存在 xN， （x1）21 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础 14 （5 分）曲线在点 P（1，f（1） ）处的切线的方程为 2xy30 【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可 【解答】解：由题意得 f（1）1， 因为曲线，则 f（x）， 所以 kf（1）2， 由直线方程的点斜式得切线方程为：y+12（x1） ， 即 2xy30 故答案为：2xy30 【点评】本题主要考查函数切线的求解，根据导数的几何意义，求出切线斜率是解决本 题的关键 15 （5 分）甲、乙、丙
25、、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看郁金香花展，她们选择 骑共享电动车出行，每辆电动车只能带一个孩子，但是孩子们都表示不坐自己妈妈的车， 则她们坐车不同的搭配方式有 44 第 12 页（共 18 页） 【分析】由排列、组合及简单计数问题分类讨论各小孩选择坐车情况即可得解 【解答】解：当甲的小孩先选择坐车，共有 4 种不同选择，不妨坐乙的车， 在乙的小孩选择坐车的前提下，当选择坐甲的车，则丙、丁、戊的小孩共有 2 种不同 选择，当选择坐丙、丁、戊的车，丙、丁、戊的小孩共 339 种不同选择， 即共有 2+911 种不同选择， 综合得：她们坐车不同的搭配方式有 41144 种， 故答案为：44
26、【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，属中档题 16 （5 分）如图所示的数阵中，用 A（n，k）表示第 n 行的第 k 个数，则依次规律 A（7，3） 为 【分析】根据题意可得各项数字的分母之间的关系，列出等量关系，通过首尾相消求出 答案 【解答】解：设每一行的第一个数字的分母为 an，则观察数阵有：a13，a2a13， a3a24，a4a35，anan1n+1， 将所有的等式的左边和右边分别相加可得：anan1+a3a2+a2a1n+1+n+ +5+4+3， 所以解得， 从第三行起，每一行的第二个数字的分母都等于前一行的第一个数的分母和第二个数字 的分母之和，分子均为 1， 设从第三行
27、开始第二个数字为 bn（n3） ， 所以 b4b3a3，b5b4a4，b7b6a6， 第 13 页（共 18 页） 将所有等式的左边和右边分别相加得，b7b3a3+a4+a5+a6 74， 所以 b774+1286 37+4481；37+2158；58+81139； 综上，A（7，3） 故答案为： 【点评】本题主要考查合情推理与演绎推理，综合性强，难度较大 三解答题（本题共三解答题（本题共 6 小题，满分小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴
28、为极轴建立极坐 标系，直线 l 的极坐标方程为 （cos+sin）+60，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） （1）写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程； （2）已知点 M 在曲线 C 上，求出点 M 到直线 l 的距离的最值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换求出最值 【解答】解： （1）由 l：（cos+sin）+60，及 xcos，ysin l 的直角坐标方程为 x+y+60 由，消去 得 （2）设，则点 M 到直线 l 的距离为 d， 则 ， 点 M 到直线
29、 l 的距离的最大值为，最小值为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换你，点 到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主 要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 18 （12 分）已知函数 f（x）|x+1|2x+1| （1）求不等式 f（x）2 的解集； 第 14 页（共 18 页） （2）若函数 f（x）的最大值为 m，且正实数 a，b 满足 a+bm，求证： 【分析】 （1）求得 f（x）的零点，由零点分区间法，可得 f（x）的分段函数，解 f（x） 2，分别求解，再求并集即可； （2）由 f（x）的单调性可得 f
30、（x）的最大值，再由分析法和基本不等式，即可得到所求 结论 【解答】解： （1）， f（x）2或或， 原不等式的解集为（2，2） ； （2）证明：由（1）得 f（x）在上递增，在上递减， ，即， 要证，只需证， 即证，即证， 而，所以成立，所以原不等式成立 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式的证 明，注意运用分析法和基本不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题 19 （12 分）阿尔法狗（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界 冠军的人工智能程序，由谷歌（Google）公司的团队开发其主要工作原理是“深度学 习” .2017
31、 年 5 月， 在中国乌镇围棋峰会上， 它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战， 以 3 比 0 的总比分获胜围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水 平为了激发广大中学生对人工智能的兴趣，宜春市教育局组织了一次全市中学生“人 工智能”软件设计竞赛，从参加比赛的学生中随机抽取了 20 名学生，并把他们的比赛成 绩按五个等级进行了统计，得到如下数据表： 成绩等级 A B C D E 成绩（分） 5 4 3 2 1 第 15 页（共 18 页） 人数（名） 4 6 4 3 3 （1）在某学生的比赛成绩等级为“A 或 B”的条件下，求该生的比赛成绩等级为“A” 的概率； （2）以频率估计
32、概率，若从该地区参加比赛的学生（参赛人数很多）中任选 4 人，记 X 表示抽到成绩等级为“A 或 B”的学生人数，求 X 的数学期望 EX 与方差 DX 【分析】 （1）记“某学生的比赛成绩等级为“A 或 B” ”为事件 M，记“该学生的比赛成 绩等级为“A” ”为事件 N，利用条件概率求解即可 （2）随机变量 X 可取 0，1，2，3，4；推出分布列，然后求解期望与方差即可 【解答】解： （1）记“某学生的比赛成绩等级为“A 或 B” ”为事件 M， 记“该学生的比赛成绩等级为“A” ”为事件 N， 由题意知， 即在某学生的比赛成绩等级为“A 或 B”的条件下， 该生的比赛成绩等级为“A”的
33、概率 （2）由（1）知每个学生的比赛成绩等级为“A 或 B”的频率为， 又因为随机变量 X 可取 0，1，2，3，4 则， 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 则， 所以随机变量 X 的期望值为 2，方差为 1 【点评】本题考查条件概率以及离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能 力 20 （12 分）已知函数 （其中 aR，且 a0） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的极值； 第 16 页（共 18 页） （2）讨论函数 f（x）的单调性 【分析】 （1）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值 （2）利用函数的导数，通过 a 的范围，判断导函
34、数的符号，然后推出函数的单调区间即 可 【解答】解： （1）因为， 所以当 a1 时，f（x） ，f'（x）随 x 变化的变化情况为 x （0，1） 1 （1，a） a （a，+） f'（x） + 0 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 可知 f（x）的极大值为，极小值为 （2）由（1）知当 a1 时，f（x）在（0，1） ， （a，+）上递增，在（1，a）上递减； 当 a1 时，f（x）在（0，+）上递增； 当 0a1 时，f（x）在（0，a） ， （1，+）上递增，在（a，1）上递减； 当 a0 时，f（x）在（0，1）上递减在（1，+）上递增
35、【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查分 类讨论思想以及转化思想的应用 21 （12 分）2019 央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人 的零下 20C 春晚现场表演了精彩的节目石墨烯发热服的制作原理：从石墨中分离出 石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内 （1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结 晶现在有 A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在 A 材料上再结晶做了 20 次试验， 成功 19 次；对附着在 B 材料上再结晶做了 30 次试验，成功 16 次 用 22 列联
36、表判断：是否有 99%的把握认为试验是否成功与材料 A 和材料 B 的选择有 关？ A 材料 B 材料 成功 不成功 （2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节： 第 17 页（共 18 页） 透明基底及 UV 胶层；石墨烯层；银浆线路；表面封装层，前三个环节生产合 格的概率为，最后一个环节生产合格的概率为，求制作石墨烯发热膜的四个环节中 至少有三个环节生产合格的概率； （3）只要把石墨烯发热膜铺到衣服内就能制作完成一件石墨烯发热服现有制作完的石 墨烯发热服 6 件，其中生产合格的有 4 件，现在从中任意抽取 3 件，用 X 表示取出的合 格品的件数，求随
37、机变量 X 的分布列 附：，其中 na+b+c+d P（2k0） 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 【分析】 （1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （2）利用独立重复实验的概率公式计算即可； （3）由题意知 X 的可能取值，计算对应的概率值，写出 X 的分布列 【解答】解： （1）由题意可列联表如下； A 材料 B 材料 合计 成功 19 16 35 不成功 1 14 15 合计 20 30 50 计算观测值为， 所以有 99%的把握认为试验是否成功与材料 A 和材料 B 的选择有关； （2）记“制作石墨烯发热膜的四个环节中
38、至少有三个环节生产合格”为事件 D， 则； （3）由题意知 X 可取 1，2，3； 计算； 所以随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 P 第 18 页（共 18 页） 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列，是中 档题 22 （12 分）已知函数图象经过（1，1） 若命题 p：实数 m 满足 f（m 2）f（10m2） ；命题 q：函数在 R 上递增，是否存在实数 m 满足命题“p 或 q”为真命题？若存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由 【分析】f（1）1+a11，解得：a利用导数研究函数 f（x）的单调性即可得出 m 的取值范围若命题 q 为真，
39、则 g'（x）0 在 R 上恒成立，利用二次函数的性质即可得 出 m 的取值范围要使“p 或 q”为真命题，则命题 p 为真或命题 q 为真，即可得出 m 的取值范围 【解答】解：f（1）1+a11，解得：a1 又恒成立，函数在 f（x）在（0，+）上递增， 若命题 p 为真，则 若命题 q 为真，则 g'（x）x2mx2m0 在 R 上恒成立， 即（m）2+8m0，解得8m0 要使“p 或 q”为真命题，则命题 p 为真或命题 q 为真，即 2m3 或8m0 所以存在实数 m8，0（2，3）满足条件 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、简易逻辑的判定 方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
