1、2018-2019 学年江西省南昌二中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题： （每小题只有一个正确答案，每题 5 分，分，12 小题，共计小题，共计 60 分）分） 1 （5 分）下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是（ ） A将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和 B某篮球运动员 6 次罚球中投进的球数 C电视机的使用寿命 D从含有 3 件次品的 50 件产品中，任取 2 件，其中抽到次品的件数 2 （5 分）已知如表为 x 与 y 之间的一组数据，若 y 与 x 线性相关，则 y 与 x 的回归直线 y bx+a 必过点（ ） x 0 1
2、 2 3 y 1 3 5 7 A （2，2） B （1.5，0） C （1，2） D （1.5，4） 3 （5 分）有 8 名学生，其中有 5 名男生从中选出 4 名代表，选出的代表中男生人数为 X， 则其数学期望为 E（X）（ ） A2 B2.5 C3 D3.5 4 （5 分）命题 p：若 x0，则 ln（x+1）0；q 是 p 的逆命题，则（ ） Ap 真，q 真 Bp 真，q 假 Cp 假，q 真 Dp 假，q 假 5 （5 分）已知三个正态分布密度函数（xR，i1，2，3） 的图象如图所示，则（ ） A123，123 B123，123 C123，123 D123，123 6
3、 （5 分）把边长为 a 的正ABC 沿 BC 边上的高线 AD 折成 60的二面角，则点 A 到 BC 的距离是（ ） 第 2 页（共 24 页） Aa B C D 7 （5 分）下列命题： 在一个 22 列联表中，由计算得 k26.679，则有 99%的把握确认这两类指标间有关 联 若二项式（x+）n的展开式中所有项的系数之和为 243，则展开式中 x 4 的系数是 40 随机变量 X 服从正态分布 N（1，2） ，则 P（X0）P（X2） 若正数 x，y 满足 2x+y30，则的最小值为 3 其中正确命题的序号为（ ） A B C D 8 （5 分）小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的
4、两个路口，根据经验，在第一个路口 遇到红灯的概率为 0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为 0.5，在两个路口连续遇到红灯 的概率是 0.2某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的 概率是（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.5 9 （5 分）已知 x0，y0，且，若 x+2ym2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围 是（ ） Am4 或 m2 Bm2 或 m4 C4m2 D2m4 10（5 分） 已知一个几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积为， 则 a 的值为 （ ） 第 3 页（共 24 页） A B C D 11 （5 分）已知 f（x）a
5、x2+xa（1x1） ，且|a|1，则|f（x）|的最大值为（ ） A B C3 D1 12 （5 分）已知函数 f（x）|2x3|2x+1|，g（x）+，若对t（， +） ，s1，7，使 f（t）+ag（s） （a0）成立，则实数的 a 取值范围是（ ） A （0，2 B （2，3 C3，6 D4，+） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 13 （5 分）出租车司机从南昌二中新校区到老校区（苏圃路）途中有 8 个交通岗，假设他 在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是则这位司机在途中遇到红灯数 的期望为 （用分数表示） 14 （5 分
6、）半径为 R 的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥圆锥的体积最 大值为 15 （5 分）设 f（x）|x2|+|x3|，若不等式 f（x）对任意实数 a0 恒成立，则 x 取值集合是 16 （5 分） “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种 几何排列如图所示，去除所有为 1 的项，依此构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10， 5，则此数列的前 46 项和为 第 4 页（共 24 页） 三解答题（共计三解答题（共计 70 分）分） 17 （10 分）已知展开式中的倒数第三项的系数为 45，求
7、： （1）含 x3的项； （2）系数最大的项 18 （12 分） （）解不等式：|x+1|+|x2|5 （）已知 x，y，z 均为正数求证： 19 （12 分）时下，租车自驾游已经比较流行了某租车点的收费标准为：不超过 2 天收费 300 元，超过 2 天的部分每天收费 100 元（不足 1 天按 1 天计算） 甲、乙两人要到该租 车点租车自驾到某景区游览，他们不超过 2 天还车的概率分别为和，2 天以上且不超 过 3 天还车的概率分别为和，两人租车都不会超过 4 天 （）求甲所付租车费比乙多的概率； （）设甲、乙两人所付的租车费之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 20 （12 分）继共
8、享单车之后，又一种新型的出行方式“共享汽车”也开始亮 相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇 瑞 eQ” ，每次租车收费按行驶里程加用车时间，标准是“1 元/公里+0.1 元/分钟” ，李先 生家离上班地点 10 公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费 的时间是一个随机变量， 根据一段时间统计 40 次路上开车花费时间在各时间段内的情况 如下： 时间（分钟） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65 次数 8 14 8 8 2 以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 第
9、5 页（共 24 页） 15，65分钟 （）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过 45 分钟，便是所有可选择 的交通工具中的一次最优选择，设 是 4 次使用共享汽车中最优选择的次数，求 的分 布列和期望 （）若李先生每天上下班使用共享汽车 2 次，一个月（以 20 天计算）平均用车费用大 约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表） 21 （12 分）如图，棱长为 a 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的点，且 BE BF，将AED，DCF 沿 DE，DF 折起，使得 A，C 两点重合于 P 点上，设 EF 与 BD 交于 M 点，过点 P 作 POBD
10、于 O 点 （1）求证：PO平面 BFDE； （2）求直线 MD 与平面 PDF 所成角的正弦值 22 （12 分）2020 年开始，国家逐步推行全新的高考制度新高考不再分文理科，采用 3+3 模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还要依据想考 取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、 化学、生物 6 门科目中自选 3 门参加考试（6 选 3） ，每科目满分 100 分为了应对新高 考，某高中从高一年级 1000 名学生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，根据性别分层， 采用分层抽样的方法从中抽取 100 名学生进
11、行调查 （1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生 对这两个科目的选课情况，对抽取到的 100 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两 个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） ，如表是根据调查结果得到的 22 列 联表请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明 你的理由； （2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9 名女生，再从 这 9 名女生中随机抽取 4 人，设这 4 人中选择“地理”的人数为 X，求 X 的分布列及数 第 6 页（共 24 页） 学期望 选择“物理” 选择“地理” 总计 男
12、生 10 女生 25 总计 附参考公式及数据：X2，其中 na+b+c+d P（X2k） 0.05 0.01 k 3.841 6.635 第 7 页（共 24 页） 2018-2019 学年江西省南昌二中高二（下）期末数学试卷（理科）学年江西省南昌二中高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （每小题只有一个正确答案，每题一、选择题： （每小题只有一个正确答案，每题 5 分，分，12 小题，共
13、计小题，共计 60 分分） 1 （5 分）下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是（ ） A将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和 B某篮球运动员 6 次罚球中投进的球数 C电视机的使用寿命 D从含有 3 件次品的 50 件产品中，任取 2 件，其中抽到次品的件数 【分析】离散型随机变量指它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个的随 机变量，根据定义分析即可 【解答】解：离散型随机变量指它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个 的随机变量， 依题意，显然 A，B，D 中的变量均为有限个，故可以用离散型随机变量表示； C 选项中电视机
14、的使用寿命个数有无限个，且不可列，故 C 中变量不能用离散型随机变 量表示 故选：C 【点评】本题考查了离散型随机变量的定义，属于基础题 2 （5 分）已知如表为 x 与 y 之间的一组数据，若 y 与 x 线性相关，则 y 与 x 的回归直线 y bx+a 必过点（ ） x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A （2，2） B （1.5，0） C （1，2） D （1.5，4） 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标得答案 【解答】解：， 样本点的中心的坐标为（1.5，4） ， y 与 x 的回归直线 ybx+a 必过点（1.5，4） ， 故选：D 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归
15、方程恒过样本点的中心是关键，是基础 第 8 页（共 24 页） 题 3 （5 分）有 8 名学生，其中有 5 名男生从中选出 4 名代表，选出的代表中男生人数为 X， 则其数学期望为 E（X）（ ） A2 B2.5 C3 D3.5 【分析】X 的可能取值为 1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望为 E （X） 【解答】解：有 8 名学生，其中有 5 名男生从中选出 4 名代表，选出的代表中男生人 数为 X， 则 X 的可能取值为 1，2，3，4， P（X1）， P（X2）， P（X3）， P（X4）， 数学期望为 E（X）2.5 故选：B 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期
16、望求法，考查离散型随机变量的分布列、数 学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能 力，是中档题 4 （5 分）命题 p：若 x0，则 ln（x+1）0；q 是 p 的逆命题，则（ ） Ap 真，q 真 Bp 真，q 假 Cp 假，q 真 Dp 假，q 假 【分析】先求出原命题 p 的逆命题 q，再根据对数函数的性质判断出真假，以及命题 p 的真假，得出结论 【解答】解：命题 q：若 ln（x+1）0，则 x0， 若 ln（x+1）0ln1， 则 0x+11， 第 9 页（共 24 页） 1x0， 命题 q 正确； 若 x0， 而 ln（x+1）成立，需 x1
17、， 命题 p 错误； 故选：C 【点评】本题考查四种命题的写法，以及判断命题的真假，属于基础题 5 （5 分）已知三个正态分布密度函数（xR，i1，2，3） 的图象如图所示，则（ ） A123，123 B123，123 C123，123 D123，123 【分析】正态曲线关于 x 对称，且 越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二 和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有越小图象越瘦长，得到正确 的结果 【解答】解：正态曲线关于 x 对称，且 越大图象越靠近右边， 第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等， 只能从 A，D 两个答案中选一个，
18、越小图象越瘦长， 得到第二个图象的比第三个的要小， 故选：D 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征 数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题 6 （5 分）把边长为 a 的正ABC 沿 BC 边上的高线 AD 折成 60的二面角，则点 A 到 BC 第 10 页（共 24 页） 的距离是（ ） Aa B C D 【分析】推导出 ACABa，BDCDBC，过点 A 作 AOBC，交 BC 于 O，由 此能求出点 A 到 BC 的距离 【解答】解：如图，边长为 a 的正ABC 沿 BC 边上的高线 AD 折成 60的二面角， ACABa，BDCD
19、BC， 过点 A 作 AOBC，交 BC 于 O， 则 AO 点 A 到 BC 的距离为a 故选：D 【点评】本题考查点到直线的距离的求法，考查线线、线面、面面的位置关系等基础知 识，考查运算求解能力，是中档题 7 （5 分）下列命题： 在一个 22 列联表中，由计算得 k26.679，则有 99%的把握确认这两类指标间有关 联 若二项式（x+）n的展开式中所有项的系数之和为 243，则展开式中 x 4 的系数是 40 随机变量 X 服从正态分布 N（1，2） ，则 P（X0）P（X2） 若正数 x，y 满足 2x+y30，则的最小值为 3 第 11 页（共 24 页） 其中正确命题的序号为（
20、 ） A B C D 【分析】由随机变量相关概率表格，可判断；可令 x1 可得各项系数和，求得 n，再 由展开式的通项公式可申请项系数，可判断；由正态分布曲线的特点可判断；由基 本不等式的运用和乘“1”法，计算可得最小值，可判断 【解答】解：在一个 22 列联表中，由计算得 k26.679，由 6.6796.635， 则有 99%的把握确认这两类指标间有关联，故正确 若二项式（x+）n的展开式中所有项的系数之和为 243，可令 x1 可得 3n243， 解得 n5，则展开式中的通项公式为 Tr+1x5 r （） r 2rx5 3r，令 53r4， 可得 r3， 可得 x 4 的系数是2380，
21、故错误； 随机变量 X 服从正态分布 N（1，2） ，曲线关于直线 x1 对称， 则 P（X0）P（X2） ，故正确； 若正数 x，y 满足 2x+y30，即 2x+y3，则（2x+y） （+） （5+）（5+2）3，当且仅当 xy1 时，取得最小值 3，故正 确 故选：B 【点评】本题考查命题的真假判断，主要是二项式展开式的通项公式和正态分布曲线的 特点、基本不等式的运用，以及两类指标的关系，考查化简运算能力，属于基础题 8 （5 分）小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口 遇到红灯的概率为 0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为 0.5，在两个路口连续遇到红灯
22、 的概率是 0.2某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的 概率是（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.5 【分析】由条件概率的求法得：，得解 【解答】解：记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件 A， “小明在第二个路口遇到红灯” 为事件 B， 则 P（A）0.4，P（B）0.5，P（AB）0.2， 第 12 页（共 24 页） 所以， 故选：D 【点评】本题考查了条件概率的求法，属基础题 9 （5 分）已知 x0，y0，且，若 x+2ym2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围 是（ ） Am4 或 m2 Bm2 或 m4 C4m2 D2m4 【分析】先把 x+2
23、y 转会为（x+2y） （）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后 根据 x+2ym2+2m 求得 m2+2m8，进而求得 m 的范围 【解答】解： x+2y（x+2y） （）4+4+28 x+2ym2+2m 恒成立， m2+2m8，求得4m2 故选：C 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决 问题的能力 10（5 分） 已知一个几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积为， 则 a 的值为 （ ） A B C D 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可 第 13 页（共 24 页） 【解答】解：由三视图可知，几何体的直
24、观图如图：是一个三棱锥和一个三棱柱的组合 体 ， 底 面 都 是的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 高 为a ， 所 以 体 积 为 ： ，解得 a 故选：A 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键 11 （5 分）已知 f（x）ax2+xa（1x1） ，且|a|1，则|f（x）|的最大值为（ ） A B C3 D1 【分析】求|f（x）|的最大值，通过利用绝对值不等式|ab|a|+|b|从而将|f（x）|通过拆 分项化简为与之相关的式子，则|f（x）|（|x|）2+，则可求出最大值 【解答】解：|x|1，|a|1， |f（x）|a（x21）+x|a（x21）|+
25、|x|a|x21|+|x|x21|+|x| 1|x2|+|x|x2|+|x|+1（|x|）2+ 当|x|时，|f（x）|取得最大值为 故选：A 【点评】本题考查了绝对值不等式的应用，能熟练化简函数式是解决本题的关键，属于 中等题 12 （5 分）已知函数 f（x）|2x3|2x+1|，g（x）+，若对t（， +） ，s1，7，使 f（t）+ag（s） （a0）成立，则实数的 a 取值范围是（ ） A （0，2 B （2，3 C3，6 D4，+） 【分析】求出两个函数的最值，利用已知条件列出不等式求解即可 第 14 页（共 24 页） 【解答】解：函数 f（x）|2x3|2x+1|，f（x）4，
26、4 g（x）+，x1，7，令 x1+6cos2，0， g（）cos+sin6sin（+） ，其中 tan 所以 s1，7，g（s），6， 对t（，+） ，s1，7，使 f（t）+ag（s） （a0）成立， 可得 4+a6，解得 0a2 故选：A 【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 13 （5 分）出租车司机从南昌二中新校区到老校区（苏圃路）途中有 8 个交通岗，假设他 在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是则这位司机在途中遇到红灯数 的期望为 （用分数表示）
27、【分析】由题意知 B（8，） ，由此能求出这位司机在途中遇到红灯数 的期望 【解答】解：由题意知 B（8，） ， E8 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查注意离散型随机变量的分布列和数学期望的求法， 是基础题，在历年高考中都是必考题型 14 （5 分）半径为 R 的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥圆锥的体积最 大值为 【分析】在半径为 R 的圆形铁皮上割去一个圆心角为 的扇形，设剩下部分的圆周角为 ，圆锥的底面半径为 r，高为 h，体积为 V，求出 r2+h2R2，表示出体积表达式，利用 导数求出函数的最大值，得到圆锥的体积最大值 【解答】解：在半径为 R 的
28、圆形铁皮上割去一个圆心角为 的扇形， 第 15 页（共 24 页） 设剩下部分的圆周角为 ，圆锥的底面半径为 r，高为 h，体积为 V， 那么 r2+h2R2，2， Vr2h（R2h2）hR2hh3（0hR） VR2h2 令 V'0，即R2h20，得 hR 当 0hR 时，V'0 当RhR 时，V'0 hR 时，V 取得极大值，并且这个极大值是最大值 把 hR，代入 r2+h2R2，得 rR 由 R2r，得 ， 则 2， 圆锥的体积最大值 VmaxR3 故答案为：R3 【点评】本题考查圆锥与扇形展开图的关系，体积的计算，考查计算能力，导数的应用， 解题的关键是建立起体积
29、的函数模型， 理解函数的单调性与最值的关系是解本题的重点 15 （5 分）设 f（x）|x2|+|x3|，若不等式 f（x）对任意实数 a0 恒成立，则 x 取值集合是 （，01，+） 【分析】由题意可得，f（x）|x2|+|x3|的最小值大于或等于，而由 绝对值三角不等式求得|x2|+|x3|的最小值为 1，可得 1，即|a|+|2a 第 16 页（共 24 页） 1|a+1|分类讨论，去掉绝对值，求得 a 的范围，综合可得结论 【解答】解：由题意可得，f（x）|x2|+|x3|的最小值大于或等于， 而由|x2|+|x3|（x2）（x3）|1，可得 1，即|a|+|2a1| |a
30、+1| 由此可得 ，或 或，或 解求得 a1，解求得1a0，解求得 a0，解求得 a1， 综上可得，a 的范围是（，01，+） ， 故答案为： （，01，+） 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题， 体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题 16 （5 分） “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种 几何排列如图所示，去除所有为 1 的项，依此构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10， 5，则此数列的前 46 项和为 2037 【分析】利用 n 次二项式系数对应杨辉三角形的第 n+1 行，然后令 x1 得到对应项的系
31、 数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可 【解答】解：n 次二项式系数对应杨辉三角形的第 n+1 行，例如： （x+1）2x2+2x+1，系 数分别为 1，2，1，对应杨辉三角形的第三行； 令 x1，就可以求出该行的系数和，第 1 行为 20，第 2 行为 21，第 3 行为 22，依此类推 即每一行数字和为首项为 1，公比为 2 的等比数列， 第 17 页（共 24 页） 则杨辉三角形的前 n 项和为 若去除所有为 1 的项，则剩下的每一行的个数为 1，2，3，4，可以看成构成一个首项 为 1，公差为 1 的等差数列，则， 可得当 n9 即第 11 行，再加上第 12 行的前 1
32、 个数（去除两边的 1） ，所有项的个数和为 46，则杨辉三角形的前 11 项和为 则此数列前 46 项的和为 S11112037 故答案为：2037 【点评】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以 及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性强，难度较大 三解答题（共计三解答题（共计 70 分）分） 17 （10 分）已知展开式中的倒数第三项的系数为 45，求： （1）含 x3的项； （2）系数最大的项 【分析】 （1）利用二项展开式的通项公式求出倒数第三项的系数列出方程求出 n； 利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为 3 求出展开式含
33、x3的项 （2）由通项得到项的系数与二项式系数相等，据二项式系数的性质：展开式中间项的二 项式系数最大求出系数最大的项 【解答】解： （1）由题设知nn 245，即 n245， n10.， 令，得 r6， 含 x3的项为 T7C106x3C104x3210x3 （2）由通项知，展开式项的系数是二项式系数 据二项式系数的性质：展开式中间项的二项式系数最大 故系数最大的项为中间项，即 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；二项式系 第 18 页（共 24 页） 数的性质：展开式中间项的二项式系数最大 18 （12 分） （）解不等式：|x+1|+|x2|5 （）已知
34、x，y，z 均为正数求证： 【 分 析 】（ ） 根 条 件 可 得或或 ，然后解不等式组即可 （）运用基本不等式证得+，+，+，将 三式相加即可证得； 【解答】解： （）|x+1|+|x2|5， 或或， x3 或 x或 x2， 不等式的解集为x|x3 或 x2； （）证明：x，y，z 均为正数， +，同理可得+，+， 当且仅当 xyz 时，以上三式等号都成立， 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2， 得 【点评】本题考查了解绝对值不等和基本不等式，考查了利用综合法证明不等式，考查 了转化思想和计算能力，属中档题 19 （12 分）时下，租车自驾游已经比较流行了某租车点的收费标准为：不超过
35、 2 天收费 300 元，超过 2 天的部分每天收费 100 元（不足 1 天按 1 天计算） 甲、乙两人要到该租 车点租车自驾到某景区游览，他们不超过 2 天还车的概率分别为和，2 天以上且不超 过 3 天还车的概率分别为和，两人租车都不会超过 4 天 （）求甲所付租车费比乙多的概率； （）设甲、乙两人所付的租车费之和为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 【分析】 （）根据题意，甲租车 2 天，3 天，4 天的概率分别为，乙租车 2 天，3 天，4 天的概率分别为， ， ，甲所付租车费比乙多包含两种情况甲租 3 天， 第 19 页（共 24 页） 乙组两天，甲租 4 天乙租 2 天或 3 天
36、分别计算即可 （）甲、乙两人所付的租车费之和为随机变量 的所有可能的结果有 600，700，800， 900，1000，分别计算概率，列出分布列求数学期望即可 【解答】解： （）根据题意，甲租车 2 天，3 天，4 天的概率分别为，乙租 车 2 天，3 天，4 天的概率分别为， 甲租 3 天，乙组两天的概率 p1， 甲租 4 天乙租 2 天或 3 天的概率 p2， 所以甲所付租车费比乙多的概率 Pp1+p2； （）甲、乙两人所付的租车费之和为随机变量 的所有可能的结果有 600，700，800， 900，1000， P（600），P（700），P（800） +， P （900） ， P （10
37、00） 所以随机变量 的分布列为： 600 700 800 900 1000 P E（）600+700+800+900+1000750 【点评】本题主要考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率 统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力 20 （12 分）继共享单车之后，又一种新型的出行方式“共享汽车”也开始亮 相北上广深等十余大中城市，一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇 瑞 eQ” ，每次租车收费按行驶里程加用车时间，标准是“1 元/公里+0.1 元/分钟” ，李先 生家离上班地点 10 公里，每天租用共享汽车上下班，由于堵车因素，每次路上开车花费
38、的时间是一个随机变量， 根据一段时间统计 40 次路上开车花费时间在各时间段内的情况 如下： 时间（分钟） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65 第 20 页（共 24 页） 次数 8 14 8 8 2 以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 15，65分钟 （）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过 45 分钟，便是所有可选择 的交通工具中的一次最优选择，设 是 4 次使用共享汽车中最优选择的次数，求 的分 布列和期望 （）若李先生每天上下班使用共享汽车 2 次，一个月（以 20 天计算）平均用车费用大 约是多少（
39、同一时段，用该区间的中点值作代表） 【分析】 （）依题意 的值可能为 0，1，2，3，4，且 B（4，） ，由此能求出 的 分布列和数学期望 （）先求出每次用车路上平均花的时间，从而求出每次租车的费用，由此能求出一个 月的平均用车费用 【解答】解： （）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率 依题意 的值可能为 0，1，2，3，4，且 B（4，） ，（2 分） ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 P （6 分） （或） （8 分） （）每次用车路上平均花的时间 第 21 页（共 24 页） （分钟）10 分 每次租车的费用约为 10+35.50.113.55 元 一个月的平
40、均用车费用约为 542 元（12 分） 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用， 考查二项公布的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归 转化思想，是中档题 21 （12 分）如图，棱长为 a 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的点，且 BE BF，将AED，DCF 沿 DE，DF 折起，使得 A，C 两点重合于 P 点上，设 EF 与 BD 交于 M 点，过点 P 作 POBD 于 O 点 （1）求证：PO平面 BFDE； （2）求直线 MD 与平面 PDF 所成角的正弦值 【分析】 （I）由 PD平面 P
41、EF 可得 EFPD，结合 EFBD 可得 EF平面 PBD，故 EF PO，又 POBD 得出 PO平面 BFDE； （II）建立空间坐标系，求出各点坐标，计算平面 PDF 的法向量 ，则|cos ，| 为直线 MD 与平面 PDF 所成角的正弦值 【解答】 （）证明：在正方形 ABCD 中，BEBF，DEDF， B，D 在 EF 的垂直平分线上，EFBD， DPPF，PDPE，PEPFP， PD平面 PEF，EFPD， 又 EFBD，PDBDD， EF平面 PBD，EFPO， 又 POBD，EFBDM， PO底面 BFDE 第 22 页（共 24 页） （）解：如图过点 O 作与 EF 平
42、行直线为 x 轴，BD 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直 角坐标系， M（0，0） ，D（0，a，0） ，P（0，0，） ，E（， 0） ，F（，0） （0，a， 0） ， （0，a， ） ， （， ， ） ， 设平面 PDF 的法向量 （x，y，z） ，则，即， 取 （5，3） ， 记直线 MD 与平面 PDF 所成角为 ，则 sin|cos| 故直线 MD 与平面 PDF 所成角的正弦值为 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量与空间角的计算，属于中档题 22 （12 分）2020 年开始，国家逐步推行全新的高考制度新高考不再分文理科，采用 3+3 模式，其中
43、语文、数学、外语三科为必考科目，满分各 150 分，另外考生还要依据想考 取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、 化学、生物 6 门科目中自选 3 门参加考试（6 选 3） ，每科目满分 100 分为了应对新高 考，某高中从高一年级 1000 名学生（其中男生 550 人，女生 450 人）中，根据性别分层， 第 23 页（共 24 页） 采用分层抽样的方法从中抽取 100 名学生进行调查 （1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生 对这两个科目的选课情况，对抽取到的 100 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两 个
44、科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目） ，如表是根据调查结果得到的 22 列 联表请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明 你的理由； （2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出 9 名女生，再从 这 9 名女生中随机抽取 4 人，设这 4 人中选择“地理”的人数为 X，求 X 的分布列及数 学期望 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 45 10 55 女生 25 20 45 总计 70 30 100 附参考公式及数据：X2，其中 na+b+c+d P（X2k
45、） 0.05 0.01 k 3.841 6.635 【分析】 （1）根据列联表求出 K2，结合临界值表可得； （2）先求出分布列，再求出数学期望 【解答】解： （1）抽取到男生人数为 10055，女生人数为 10045 所以 22 列联表为： 选择“物理” 选择“地理” 总计 男生 45 10 55 女生 25 20 45 总计 70 30 100 （2 分） 所以 K28.12896.635， 第 24 页（共 24 页） 所以有 99%的把握认为选择科目与性别有关（5 分） （2）从 45 名女生中分层抽样抽 9 名女生，所以这 9 名女生中有 5 人选择物理，4 人选择 地理，9 名女生中再选择 4 名女生，则这 4 名女生中选择地理的人数 X 可为 0，1，2，3， 4 （7 分） 设事件 X 发生概率为 P（X） ， 则 P（X0），P（X1），P（X2），P （X3），P（X4） （10 分） 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 期望 EX+2+3+4（12 分） 【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题
