1、2018-2019 学年江西省赣州市十五县（市）高二（下）期中数学试卷（文科）一.选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）复数 z2+i，则它的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）设 a，b 是实数，则“a+b0”是“ab0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分） 用反证法证明命题
2、“三角形中最多只有一个内角是钝角” 时， 结论的否定是 （ ） A没有一个内角是钝角 B有两个内角是钝角 C有三个内角是钝角 D至少有两个内角是钝角 4 （5 分）某镇有 ABC 三个村，它们的精准扶贫的人口数量之比为 3：4：5，现在用分 层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，样本中 A 村有 15 人，则样本容量为（ ） A50 B60 C70 D80 5 （5 分）某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表： 广告费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 x+ 中的 为 9.4，据此模型预报广告费用为
3、 6 万元时销售额 为（ ） A63.6 万元 B67.7 万元 C65.5 万元 D72.0 万元 6 （5 分）一组数据中的每一个数据都减去 80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是 1.2，方差是 4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ） A81.2，4.4 B78.8，4.4 C81.2，84.4 D78.8，75.6 7 （5 分）已知点 P（1，4） ，过点 P 恰存在两条直线与抛物线 C 有且只有一个公共点， 则抛物线 C 的标准方程为（ ） Ax2 Bx24y 或 y216x 第 2 页（共 23 页） Cy216x Dx2y 或 y216x 8 （5 分）如
4、图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色 部分的概率是（ ） A B C D 9 （5 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一问题： “今有方物一束，外周 一匝有三十二枚，问积几何？“该著作中提出了一种解决此问题的方法： “重置二位，左 位减八，余加右位，至尽虚减一，即得 ”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝 的枚数 n 是 8 的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若 输入 n24，则输出的结果为（ ） 第 3 页（共 23 页） A23 B47
5、 C24 D48 10 （5 分）已知函数 f（x），则 yf（x）的图象大致为（ ） A B C D 11 （5 分）过双曲线（a0，b0）的右焦点 F 且平行于其一条渐近线的直线 l 与另一条渐近线交于点 A，直线 l 与双曲线交于点 B，且|BF|2|AB|，则双曲线的离心 率为（ ） A B C D2 12 （5 分）已知函数 f（x）axlnx+a 有且只有一个极值点，则实数 a 构成的集合是 （ ） Aa|a0 Ba|a0 Ca|a1 Da|a1 二二.填空题（本题共填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卷中的横线上）分
6、，把答案填在答题卷中的横线上） 13 （5 分）函数 yf（x）在 x5 处的切线方程是 yx+8，则 f（5）+f（5） 14 （5 分）甲，乙，丙三人独立破译同一份密码已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率 分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有 1 人破译出密码的概率 是 15 （5 分）若命题“xR，x2x+a0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的离心率为 2，F1，F2分别是双曲线的 左、右焦点，点 M（a，0） ，N（0，b） ，点 P 为线段 MN 上的动点，当取得 第 4 页（
7、共 23 页） 最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为 S1，S2，则 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1，2，3，这三张卡片除标记的数 字外完全相同，随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记 为 a，b，c （1）求“抽取的卡片上的数字满足 a+bc”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率 （注：若三个数 a，b，c 满足 abc，则称
8、 b 为这三个数的中位数） 18 （12 分）已知集合 Ax|1x7，Bx|2mx3m+1，设命题 p：满足 AB B，命题 q：只有一个实数 x 满足不等式 x2+2mx+2m0，若命题“p 或 q”是假命题， 求 m 的取值范围 19 （12 分）2018 年 11 月 21 日，意大利奢侈品牌“D&G”在广告中涉嫌辱华，中国明星 纷纷站出来抵制该品牌，随后京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商 品，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了 100 名 网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分 成 6 组：0
9、，10） ，10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50） ，50，60，得到如图所示 的频率分布直方图；并将其中留言不低于 40 条的规定为“强烈关注” ，否则为“一般关 注” ，对这 100 名网友进一步统计得到列联表的部分数据如表 （1）根据如图所示的频率分布直方图，求网友留言条数的中位数； （2）在答题卡上补全 22 列联表中数据； （3）判断能否有 95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？ 一般关注 强烈关注 合计 男 45 女 10 55 合计 100 参考公式及数据： P（K2K0） 0.05 0.025 0.010 0.0
10、05 第 5 页（共 23 页） k0 3.841 5.024 6.635 7.879 20 （12 分）如图，椭圆 E：+1（ab0）经过点 A（0，1） ，且离心率为 （）求椭圆 E 的方程； （）经过点（1，1） ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A） ， 证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2（2a+1）x+2lnx（aR） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）当 a0 时，设 g（x）（x22x）ex，求证：对任意 x1（0，2，均存在 x2（0， 2，使得 f（x1）
11、g（x2）成立 【选做】请考生在第【选做】请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做如果多做， 则按所做的第一个题目计分则按所做的第一个题目计分 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x+6）2+y225 （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 （R） ，l 与 C 交于 A，B 两点，求 l 的 斜率 23设函数 f（x）5|x+a|x2| 第 6 页（共 23 页） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集；
12、（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围 第 7 页（共 23 页） 2018-2019 学年江西省赣州市十五县（市）高二（下）期中数学学年江西省赣州市十五县（市）高二（下）期中数学 试卷（文科）试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）复数 z2+i，则它的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据复数共轭
13、的定义以及复数的几何意义，即可得到结论 【解答】解：z2+i， 它的共轭复数 2i，对应的坐标为（2，1）位于第三象限， 故选：C 【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及共轭复数的概念，比较基础 2 （5 分）设 a，b 是实数，则“a+b0”是“ab0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可 【解答】解：a，b 是实数，如果 a1，b2 则“a+b0” ，则“ab0”不成立 如果 a1，b2，ab0，但是 a+b0 不成立， 所以设 a，b 是实数，则“a+b0”是“ab0”
14、的既不充分也不必要条件 故选：D 【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查 3 （5 分） 用反证法证明命题 “三角形中最多只有一个内角是钝角” 时， 结论的否定是 （ ） A没有一个内角是钝角 B有两个内角是钝角 C有三个内角是钝角 D至少有两个内角是钝角 【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可 【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个 内角是钝角” 故选：D 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查命题的否定，命题中含有量词最多，书写否定是用的量词是至少，注 意积累这一类量词的对应 4
15、（5 分）某镇有 ABC 三个村，它们的精准扶贫的人口数量之比为 3：4：5，现在用分 层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，样本中 A 村有 15 人，则样本容量为（ ） A50 B60 C70 D80 【分析】由分层抽样的特点，用 A 村的样本数除以 A 村所占的比例，即得样本的容量 n 【解答】解：A 村所占的比例为， 1560，故样本容量 n60， 故选：B 【点评】本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之 比，属于基础题 5 （5 分）某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表： 广告费用 x（万元） 4 2 3 5 销售额 y（万元）
16、49 26 39 54 根据上表可得回归方程 x+ 中的 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为（ ） A63.6 万元 B67.7 万元 C65.5 万元 D72.0 万元 【分析】根据表中所给的数据，广告费用 x 与销售额 y（万元）的平均数，得到样本中心 点，代入样本中心点求出 的值，写出线性回归方程将 x6 代入回归直线方程，得 y， 可以预报广告费用为 6 万元时销售额 【解答】解：由表中数据得：3.5， 42， 又回归方程 x+ 中的 为 9.4， 故 429.43.59.1， 9.4x+9.1 将 x6 代入回归直线方程，得 y9.46+9.165.5（万元）
17、此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 65.5（万元） 故选：C 第 9 页（共 23 页） 【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出 线性回归方程的系数的运算，是一个中档题目 6 （5 分）一组数据中的每一个数据都减去 80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是 1.2，方差是 4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ） A81.2，4.4 B78.8，4.4 C81.2，84.4 D78.8，75.6 【分析】根据平均数和方差的定义，进行推导，即可得出答案 【解答】解：设这组数据为 x1，x2，xn，平均数为 ，方差为 s2； 则新数据为 x180
18、，x280，xn80， 它的平均数是 80 1.2， 81.2； 方差为 s 2 + + 4.4s2 故选：A 【点评】本题考查了平均数与方差的应用问题，解题时可以推导出正确的答案，是基础 题目 7 （5 分）已知点 P（1，4） ，过点 P 恰存在两条直线与抛物线 C 有且只有一个公共点， 则抛物线 C 的标准方程为（ ） Ax2 Bx24y 或 y216x Cy216x Dx2y 或 y216x 【分析】过点 P 恰存在两条直线与抛物线 C 有且只有一个公共点，说明 P 在抛物线上， 转化求解即可 【解答】解：过点 P 恰存在两条直线与抛物线 C 有且只有一个公共点，说明 P
19、在抛物线 上， 设抛物线方程为：y22px，代入点 P（1，4） ，可得 162p， 第 10 页（共 23 页） 所求抛物线方程为：y216x， 设抛物线方程为：x22py，代入点 P（1，4） ，可得 18p，2p 所求抛物线方程为：x2y， 故选：D 【点评】本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，考查计算能力 8 （5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部 分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色 部分的概率是（ ） A B C D 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解
20、即 可 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1，则正方 形的边长为 2， 则黑色部分的面积 S， 则对应概率 P， 故选：B 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解 决本题的关键 9 （5 分） 孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一问题： “今有方物一束，外周 一匝有三十二枚，问积几何？“该著作中提出了一种解决此问题的方法： “重置二位，左 位减八，余加右位，至尽虚减一，即得 ”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝 的枚数 n 是 8 的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解决这类问题的程序框图，若 输入 n24
21、，则输出的结果为（ ） 第 11 页（共 23 页） A23 B47 C24 D48 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 n，S 的值，当 n0 时，满足条件 退出循环，即可得到输出的 S 值 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n24，S24 执行循环体，n16，S40 不满足条件 n0，执行循环体，n8，S48 不满足条件 n0，执行循环体，n0，S48 满足条件 n0，可得 S47，退出循环，输出 S 的值为 47 故选：B 【点评】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我 们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管
22、 理，属于基础题 10 （5 分）已知函数 f（x），则 yf（x）的图象大致为（ ） 第 12 页（共 23 页） A B C D 【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除 B，D，通过函数的单调性排除 C，推出结 果即可 【解答】解：令 g（x）xlnx1，则， 由 g'（x）0，得 x1，即函数 g（x）在（1，+）上单调递增， 由 g'（x）0 得 0x1，即函数 g（x）在（0，1）上单调递减， 所以当 x1 时，函数 g（x）有最小值，g（x）ming（0）0， 于是对任意的 x（0，1）（1，+） ，有 g（x）0，故排除 B、D， 因函数 g（x）在
23、（0，1）上单调递减，则函数 f（x）在（0，1）上递增，故排除 C， 故选：A 【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的 判断，考查分析问题解决问题的能力 11 （5 分）过双曲线（a0，b0）的右焦点 F 且平行于其一条渐近线的直线 l 与另一条渐近线交于点 A，直线 l 与双曲线交于点 B，且|BF|2|AB|，则双曲线的离心 率为（ ） A B C D2 【分析】求出 AB 坐标，焦点坐标，然后利用|BF|2|AB|，结合双曲线方程，求解离心率 即可 【解答】解：双曲线（a0，b0）的右焦点 F（c，0） ， 第 13 页（共 23 页） 过双曲线（
24、a0，b0）的右焦点 F 且平行于其一条渐近线的直线 l 与另一 条渐近线交于点 A， ，解得 A（，） ，|BF|2|AB|，解得 B（，） ， 直线 l 与双曲线交于点 B，e1，解得 e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 12 （5 分）已知函数 f（x）axlnx+a 有且只有一个极值点，则实数 a 构成的集合是 （ ） Aa|a0 Ba|a0 Ca|a1 Da|a1 【分析】求出函数的导数，构造新函数，利用导函数判断函数的单调性利用函数的极值， 列出不等式求解 a 的范围 【解答】解：当 a0 时，函数 f（x），因为 x0，所以函数没有极值
25、点； 当 a0 时，f'（x）a（1+lnx）x，令 f'（x）0， 得 a（1+lnx）x0， 设， 当 g'（x）0 时，得 x1；当 g'（x）0 时，得或， 所以函数 g（x）在区间和上单调递减，在区间（1，+）上单调递增 因为函数有且只有一个极值点， 所以直线 ya 与函数的图象有一个交点，所以 a0 或 a 1 当 a1 时 f'（x）lnxx+10 恒成立，所以 yf（x）无极值，所以 a0 故选：A 【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及导函数的应用，考查转化思想以 第 14 页（共 23 页） 及计算能力以及构造法
26、的应用 二二.填空题（本题共填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卷中的横线上）分，把答案填在答题卷中的横线上） 13 （5 分）函数 yf（x）在 x5 处的切线方程是 yx+8，则 f（5）+f（5） 2 【分析】根据导数的几何意义和切线方程求出 f（5） ，把 x5 代入切线方程求出 f（5） ， 代入即可求出 f（5）+f（5）的值 【解答】解：函数 yf（x）的图象在点 x5 处的切线方程是 yx+8， f（5）1，f（5）5+83， f（5）+f（5）312， 故答案为：2 【点评】本题考查导数的几何意义，以及切点在切线
27、上的灵活应用，属于基础题 14 （5 分）甲，乙，丙三人独立破译同一份密码已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率 分别为，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有 1 人破译出密码的概率 是 【分析】设 A 表示至少有 1 人破译出密码，则 A 的对立事件 表示三人都没有破译密码， 则 P（A）1P（ ） ，计算概率即可 【解答】解：依题意，设 A 表示至少有 1 人破译出密码， 则 A 的对立事件 表示三人都没有破译密码， 则 P（A）1P（ ）1（1） 故填： 【点评】本题考查了事件的对立事件，相互独立事件的积事件的概率求法属于基础题 15 （5 分）若命题“xR，x2x+a0”是假
28、命题，则实数 a 的取值范围是 ，+） 【分析】考虑命题的否定为真，运用判别式不大于 0，解出 a 即可判断 【解答】解：命题“xR，x2x+a0”是假命题， 则命题的否定“xR，x2x+a0”为真命题， 14a0，解得 a， 实数 a 的取值范围是，+） 故答案为：，+） 第 15 页（共 23 页） 【点评】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题与命题的否定的关系、 充分必要条件的判断，属于基础题 16 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的离心率为 2，F1，F2分别是双曲线的 左、右焦点，点 M（a，0） ，N（0，b） ，点 P 为线段 MN 上的动点，当取得 最
29、小值和最大值时，PF1F2的面积分别为 S1，S2，则 4 【分析】由离心率公式和 a，b，c 的关系，设出 MN 的方程，以及 P（m，n） ，F1（c， 0） ，F2（c，0） ，运用向量数量积的坐标表示，以及两点的距离公式，可得取得最值时的 P 的位置，由三角形的面积公式，可得所求值 【解答】解：离心率为 e2，即 c2a，ba， M（a，0） ，N（0，b） ，可得 MN 的方程为 bxay+ab0， 设 P（m，n） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ， 可得（cm，n） （cm，n）m2+n2c2， 由 m2+n2（）2表示原点 O 与 P 的距离的平方， 显然 OP 垂直于 M
30、N 时，|OP|最小， 由 OP：yx，即 yx，联立直线xy+a0， 可得 P（a，a） ，即 S12caa2， 当 P 与 N 重合时，可得 OP 的距离最大， 可得 S22cb2a2， 即有4 故答案为：4 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及三角形的面 积公式，考查化简运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （12 分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1，2，3，这三张卡片除标记的数 第 16 页（共 23
31、 页） 字外完全相同，随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记 为 a，b，c （1）求“抽取的卡片上的数字满足 a+bc”的概率； （2）求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率 （注：若三个数 a，b，c 满足 abc，则称 b 为这三个数的中位数） 【分析】 （）所有的可能结果（a，b，c）共有 33327 种，一一列举即可，而满 足 a+bc 的（a，b，c）有 3 个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足 a+bc”的概率 （）所有的可能结果（a，b，c）共有 333 种，用列举法求得满足“抽取的卡片上 的数字 a，b，c 完全相同
32、”的（a，b，c）共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字 a， b，c 完全相同”的概率，再用 1 减去此概率，即得所求 【解答】解： （）由题意， （a，b，c）所有的可能为： （1，1，1） ， （1，1，2） ， （1，1，3） ， （1，2，1） ， （1，2，2） ， （1，2，3） ， （1，3，1） ， （1，3，2） ， （1，3，3） ， （2，1，1） ， （1，1，2） ， （2，1，3） ， （2，2，1） ， （2，2，2） ， （2，2，3） ， （2，3，1） ， （2，3，2） ， （2，3，3） ， （3，1，1） ， （3，1，2） ， （3，1，3） ，
33、（3，2，1） ， （3，2，2） ， （3，2，3） ， （3，3，1） ， （3，3，2） ， （3，3，3） ，共 27 种 设“抽取的卡片上的数字满足 a+bc”为事件 A，则事件 A 包括（1，1，2） ， （1，2，3） ， （2，1，3） ，共 3 种， 所以 P（A） 因此， “抽取的卡片上的数字满足 a+bc”的概率为 （）设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，
34、则事件包括（1，1，1） ， （2，2，2） ， （3，3，3） ，共 3 种 所以 P（B）1P（ ）1 因此， “抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于中档题 18 （12 分）已知集合 Ax|1x7，Bx|2mx3m+1，设命题 p：满足 AB B，命题 q：只有一个实数 x 满足不等式 x2+2mx+2m0，若命题“p 或 q”是假命题， 求 m 的取值范围 第 17 页（共 23 页） 【分析】求出命题 p，q 的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可 【解答】解：若 ABB 得 BA， 若 B 是空集，则
35、 2m3m+1，得 4m1，得 m； 若 B 不是空集，则满足，得得m2； 综上 m2，即 p：m2 若只有一个实数 x 满足不等式 x2+2mx+2m0，则判别式4m28m0 得 m0 或 m 2， 即 q：m0 或 m2， 若命题“p 或 q”是假命题，则命题 p 和 q 都是假命题，即，即 m2， 即实数 m 的取值范围是（2，+） 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求解命题 p，q 为真命题的等 价条件是解决本题的关键 19 （12 分）2018 年 11 月 21 日，意大利奢侈品牌“D&G”在广告中涉嫌辱华，中国明星 纷纷站出来抵制该品牌，随后京东、天猫、
36、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商 品，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了 100 名 网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分 成 6 组：0，10） ，10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50） ，50，60，得到如图所示 的频率分布直方图；并将其中留言不低于 40 条的规定为“强烈关注” ，否则为“一般关 注” ，对这 100 名网友进一步统计得到列联表的部分数据如表 （1）根据如图所示的频率分布直方图，求网友留言条数的中位数； （2）在答题卡上补全 22 列联表中数据； （3）判断能否有 95%的
37、把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？ 一般关注 强烈关注 合计 男 45 女 10 55 合计 100 第 18 页（共 23 页） 参考公式及数据： P（K2K0） 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 【分析】 （1）根据中位数处在中间位置，小于中位数的数据和大于中位数的数据频率各 占 0.5，求解即可； （2）根据频率分布直方图中的频率，计算强烈关注的频率进而得到强烈关注的人数，结 合表中的数据即可得到其余数据，补全列联表； （3）根据列联表中的数据计算 K2的值，结合临界值表中的数据判断
38、即可 【解答】解： （1）依题意，10（0.010+0.018+0.022）0.5， 所以网友留言条数的中位数为 30； （2）根据频率分布直方图得，网友强烈关注的频率为 10（0.020+0.005）0.25， 所以强烈关注的人数为 1000.2525，因为强烈关注的女行有 10 人，所以强烈关注的 男性有 15 人， 所以一般关注的男性有 451530 人，一般关注的女性有 551045 人， 所以 22 列联表如下： 一般关注 强烈关注 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 （3）由（2）中的 22 列联表中数据可得： 3.0303.841 第 19
39、 页（共 23 页） 所以没有 95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关 【点评】本题考查了独立性检验、根据频率分布直方图求估计数据的中位数、22 列联 表等知识属于中档题 20 （12 分）如图，椭圆 E：+1（ab0）经过点 A（0，1） ，且离心率为 （）求椭圆 E 的方程； （）经过点（1，1） ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A） ， 证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值 【分析】 （I）运用离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a，进而得到椭圆方程； （II）把直线 PQ 的方程代入椭圆方程，运用韦达定
40、理和直线的斜率公式，化简计算即可 得到结论 【解答】 （I）解：椭圆 E 经过点 A（0，1） ，且离心率为， b1， c1，a 椭圆 E 的方程为：+y21 （II）证明：由题设知，直线 PQ 的方程为 yk（x1）+1（k2） ， 代入+y21，得（1+2k2）x24k（k1）x+2k（k2）0 由条件可知0， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，x1x20， 则 x1+x2，x1x2， 从而直线 AP，AQ 的斜率之和为： 第 20 页（共 23 页） kAP+kAQ+2k+（2k）2k+（2k） 2k2（k1）2 所以直线 AP、AQ 斜率之和为定值 2 【点评】本题考查椭圆的
41、方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线 方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ax2（2a+1）x+2lnx（aR） （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调区间； （2）当 a0 时，设 g（x）（x22x）ex，求证：对任意 x1（0，2，均存在 x2（0， 2，使得 f（x1）g（x2）成立 【分析】 （1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出单调区间； （2）问题转化为 f（x）maxg（x）max，根据导数和函数最值的关系求出 g（x）max0， 再对 a 进行分类讨论，根据导数和函数最值的关系即可证明 【解
42、答】解： （1）因为 f（x）x23x+2lnx，x0， 所以 f（x）x3+， 令 f（x）0，解得 x1，或 x2， 当 f（x）0 时，解得 0x1 或 x2， 当 f（x）0 时，解得 1x2， 所以其单调递增区间为（0，1） ， （2，+） ，单调递减区间为（1，2） （2）若要命题成立，只需当 x（0，2时，f（x）maxg（x）max由 g（x）（x2 2）ex， 可知，当 x（0，2时，g（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，2上单调 递增， g（0）g（2）0，故 g（x）max0， 所以只需 f（x）max0 对函数 f（x）来说，f（x）ax（2a+1）+
43、 当2 时，即 0a，函数 f（x）在区间 x（0，2上单调递增， 所以，f（x）maxf（2）2a2+2ln20， 第 21 页（共 23 页） 所以，aln21 即 0a， 当 02 时，即 a，函数 f（x）在区间（0，）上单调递增，在区间（，2 上单调递减， 所以 f（x）maxf（）2lna2 当 a1 时，显然小于 0，满足题意； 当a1 时，可令 h（a）2lna2， 所以 h（a）， 可知该函数在 a（，1）时单调递减，h（a）h（）2ln230，满足题意， 所以 a 满足题意 综上所述：当 a0 时，对任意 x1（0，2，均存在 x2（0，2，使得 f
44、（x1）g（x2） 成立 （2）另法】f（x）ax2（2a+1）x+2lnx（x2lnx） ， 因为 a0，x（0，2， 所以0 令 h（x）x2lnx，则 h（x）1， 所以 h（x）在（0，2为单调递减，h（x）h（2）22ln20， 因此，在 a0，x（0，2时，f（x）0， 故当 a0 时，对任意 x1（0，2，均存在 x2（0，2，使得 f（x1）g（x2）成立 【点评】本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题和存在性的问题的处理方 法，属于中档题 【选做】请考生在第【选做】请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意
45、：只能做所选定的题目.如果多做，如果多做， 则按所做的第一个题目计分则按所做的第一个题目计分 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为（x+6）2+y225 （1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 （R） ，l 与 C 交于 A，B 两点，求 l 的 斜率 第 22 页（共 23 页） 【分析】 （1）化圆的标准方程为一般方程，把 x2+y22，xcos 代入可得 C 的极坐标 方程； （2）把 代入 2+12cos+110，利用根与系数的关系及弦长公式列式求得 tan 得答案 【解答】解： （1）由圆
46、 C 的方程为（x+6）2+y225，得 x2+y2+12x+110， 把 x2+y22，xcos 代入，得 C 的极坐标方程为 2+12cos+110； （2）把 代入 2+12cos+110， 得 2+12cos+110，则 A+B12cos，AB11 |AB|AB| 则 cos2，sin2， tan，即 l 的斜率为 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查利用极坐标方程求弦长，是中档题 23设函数 f（x）5|x+a|x2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集； （2）若 f（x）1，求 a 的取值范围 【分析】 （1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可， （2）由题意可得|x+a|+|x2|4，根据据绝对值的几何意义即可求出 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）5|x+1|x2| 当 x1 时，f（x）2x+40，解得2x1， 当1x2 时，f（x）20 恒成立，即1x2， 当 x2 时，f（x）2x+60，解得 2x3， 综上所述不等式 f（x）0 的解集为2，3， （2）f（x）1， 5|x+a|x2|1， |x+a|+|x2|4， |x+a|+|x2|x+a|+|2x|x+a+2x|a+2|， |a+2|4， 第 23 页（共 23 页） 解得 a6 或 a2， 故 a 的取值范围（，62，+）
