1、2018-2019 学年江西省南昌二中高二（下）第一次月考数学试卷（文科） （3 月份）一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 1 （5 分）如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的旋转体形状为（ ） A一个球体 B一个球体中间挖去一个圆柱 C一个圆柱 D一个球体中间挖去一个棱柱 2 （5 分）下列选项中表述正确的是（ ） A空间中任意三点确定一个平面 B直线上的两点和直线外的一点可以确定一个平面 C分别在三条不同的直线上的三点确定一个平面 D不共线的四点确定一
2、个平面 3 （5 分）已知 a，b，c 是空间中三条不重合的直线， 是三个不重合的平面，现给 出以下四个命题： ac，bcab；a，bab；c，c；， 其中正确的命题是（ ） A B C D 4 （5 分）设 m，n，l 表示不同直线， 表示三个不同平面，则下列命题正确是（ ） A若 ml，nl，则 mn B若 m，m，则 C若 ，则 D若 m，n，mn，则 第 2 页（共 27 页） 5 （5 分） 圆台轴截面的两条对角线互相垂直， 且上、 下底面半径比为 3： 4， 又其高为 14， 则母线长为（ ） A10 B25 C10 D20 6 （5
3、 分）如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，PA平面 ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是（ ） A90 B60 C45 D30 7 （5 分）如图是正方体的平面展开图在这个正方体中， BM 与 ED 平行； CN 与 BE 是异面直线； CN 与 BM 成 60角； DM 与 BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A B C D 8 （5 分）如图是一个几何体的三视图，正视图是一个等腰直角三角形，且斜边 BD 长为 2， 侧视图为一个直角三角形，俯视图是一个直角梯形，且 ABBC1，则此几何体的表面 积是（ ） 第 3 页（共 27 页） A B C
4、D+ 9 （5 分）如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的体积为（ ） A B C4 D 10 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E、F 分别是边 AA1、CC1上的中点， 点 M 是 BB1上的动点，过点 E、M、F 的平面与棱 DD1交于点 N，设 BMx，平行四边 形 EMFN 的面积为 S，设 yS2，则 y 关于 x 的函数 yf（x）的图象大致是（ ） 第 4 页（共 27 页） A B C D 11 （5 分）如图所示，在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是棱 C1D1，
5、 B1C1的中点，过 A，E，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ） A B C D 12 （5 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB2DC2，DAB60，E 为 AB 的中点， 将ADE 与BEC 分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 PDCE 三棱锥 的外接球的体积为（ ） 第 5 页（共 27 页） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）如图所示，四边形 ABCD 是一个梯形，CDAB，CDBO1，AOD 为等腰 直角三角形，O 为 AB 的中点，试求梯形
6、ABCD 水平放置的直观图的面积 14（5 分） 有一个正四棱台形状的油槽， 可以装油 190L， 假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm，求它的深度为 cm 15 （5 分）体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为 16 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2BC4，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻转成A1DE若 M 为线段 A1C 的中点，则在ADE 翻折过程中： |BM|是定值； 点 M 在某个球面上运动； 存在某个位置，使 DEA1C； 存在某个位置，使 MB平面 A1DE 其中正确的命题是 &nb
7、sp; 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 已知四棱锥 SABCD 的底面为平行四边形， 且 SD面 ABCD， AB2AD2SD， DCB60，M、N 分别为 SB、SC 中点，过 MN 作平面 MNPQ 分别与线段 CD、AB 相交于点 P、Q 第 6 页（共 27 页） （）在图中作出平面 MNPQ 使面 MNPQ面 SAD（不要求证明） ； （ II）若，在（）的条件下求多面体 MNCBPQ 的体积 18 （12 分）在平面四边形 ACBD（图）中，AB
8、C 与ABD 均为直角三角形且有公共 斜边 AB，设 AB2，BAD30，BAC45，将ABC 沿 AB 折起，构成如图 所示的三棱锥 CABC （）当时，求证：平面 CAB平面 DAB； （）当 ACBD 时，求三棱锥 CABD 的高 19 （12 分）如图，三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形，平面 ABC平面 BCGF，CB 2GF，BFCF （）求证：ABCG； （）若ABC 和梯形 BCGF 的面积都等于，求三棱锥 GABE 的体积 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC 90， 平面 PAD底面 ABCD， Q 为 AD 的
9、中点， M 是棱 PC 上的点， PAPD， BCAD 第 7 页（共 27 页） （I）求证：平面 PQB平面 PAD （）若三棱锥 ABMQ 的体积是四棱锥 PABCD 体积的，设 PMtMC，试确定 t 的值 21 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 F（2，0） ，且长轴长与短轴长的比是 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 M（m，0）在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点当最小时， 点 P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围 22 （12 分）已知函数 f（x）（ax2+bx+ab）ex（x1） （x2+2x+2） ，aR，且曲线 y f（x）与
10、x 轴切于原点 O （1）求实数 a，b 的值； （2）若 f（x） （x2+mxn）0 恒成立，求 m+n 的值 第 8 页（共 27 页） 2018-2019 学年江西省南昌二中高二（下）第一次月考数学试卷学年江西省南昌二中高二（下）第一次月考数学试卷 （文科） （文科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 1 （5 分）如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的旋转体形状为（ ） A一个球体 B一个球体中间挖去一个圆柱 C一个圆柱
11、 D一个球体中间挖去一个棱柱 【分析】根据旋转体的定义与性质，判断所得旋转体是球体中挖去一个圆柱体 【解答】解：圆绕直径所在的直线旋转一周所得几何体是球体， 中间矩形旋转一周所得几何体是圆柱， 则平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周， 所得旋转体是一个球体中间挖去一个圆柱 故选：B 【点评】本题考查了旋转体的定义与应用问题，是基础题 2 （5 分）下列选项中表述正确的是（ ） A空间中任意三点确定一个平面 B直线上的两点和直线外的一点可以确定一个平面 C分别在三条不同的直线上的三点确定一个平面 D不共线的四点确定一个平面 【分析】A，空间中不共线三
12、点确定一个平面； B，直线上的两点和直线外的一点可以确定一个平面； 第 9 页（共 27 页） C，分别在三条不同的直线上的三点可能共线，不能确定一个平面； D，不共线的四点可以确定多个个平面 【解答】解：对于 A，空间中不共线三点确定一个平面，故错； 对于 B，直线上的两点和直线外的一点可以确定一个平面，正确； 对于 C，分别在三条不同的直线上的三点可能共线，不能确定一个平面，故错； 对于 D，不共线的四点可以确定多个个平面，故错 故选：B 【点评】本题考查了空间确定平面的条件，熟记公理是关键，属于中档题 3 （5 分）已知 a，b，c 是空间中三条不重合的直线， 是三个不重合的平面，现给
13、出以下四个命题： ac，bcab；a，bab；c，c；， 其中正确的命题是（ ） A B C D 【分析】利用直线与直线的平行以及直线与平面的平行关系，判断选项的正误即可 【解答】解：对于可利用公理 4 加以判定 ac，bc，可得 ab 正确，所以正确 对于，a 与 b 也可能相交或异面所以不正确； 对于，c，c， 与 也可能相交所以不正确； 对于，由平面平行的传递性可知 ，可得 ，所以正确 故选：C 【点评】本题考查命题的真假的判断，空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位 置关系的综合应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力 4 （5 分）设 m，n，l 表示不同直线， 表示三
14、个不同平面，则下列命题正确是（ ） A若 ml，nl，则 mn B若 m，m，则 C若 ，则 D若 m，n，mn，则 【分析】由 m，n，l 表示不同直线， 表示三个不同平面，知：若 ml，nl， 则 m 与 n 平行，相交或异面；若 m，m，则 ；若 ，则 与 相 交或平行；若 m，n，mn，则 与 相交或平行 第 10 页（共 27 页） 【解答】解：m，n，l 表示不同直线， 表示三个不同平面， 若 ml，nl，则 m 与 n 平行，相交或异面，故 A 错误； 若 m，m，则 ，故 B 正确； 若 ，则 与 相交或平行，故 C 不正确； 若
15、 m，n，mn，则 与 相交或平行，故 D 不正确 故选：B 【点评】本题考查平面的基本性质和推论，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答， 注意合理地进行等价转化 5 （5 分） 圆台轴截面的两条对角线互相垂直， 且上、 下底面半径比为 3： 4， 又其高为 14， 则母线长为（ ） A10 B25 C10 D20 【分析】设圆台的上、下底面半径为 3x，4x，则圆台轴截面是上底为 6x，下底为 8x，高 为 14的等腰梯形，结合圆台轴截面的两条对角线互相垂直，可得 x 值，进而求出圆台 的母线长 【解答】解：圆台的上、下底面半径之比为 3：4， 设圆台的上、下底面半径为 3x，4x， 则圆台
16、轴截面是上底为 6x，下底为 8x，高为 14的等腰梯形， 又圆台轴截面的两条对角线互相垂直， 6x+8x214， 解得：x2， 故圆台的母线长 l20， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆台的几何特征，是解答的关键 6 （5 分）如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，PA平面 ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是（ ） A90 B60 C45 D30 第 11 页（共 27 页） 【分析】将其还原成正方体 ABCDPQRS，连接 SC，AS，可得ACS（或其补角）即为 所求角 【解答】解：将其还原成正方体 ABCDPQRS，连接 SC，AS，则
17、PBSC， ACS（或其补角）是 PB 与 AC 所成的角 ACS 为正三角形， ACS60 PB 与 AC 所成的角是 60 故选：B 【点评】本题考查线线角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 7 （5 分）如图是正方体的平面展开图在这个正方体中， BM 与 ED 平行； CN 与 BE 是异面直线； CN 与 BM 成 60角； DM 与 BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题 【解答】解：由题意画出正方体的图形如图： 第 12 页（共 27 页） 显然不正确；CN 与 BM 成 60角，即ANC
18、60 正确；DM平面 BCN，所以正确； 故选：C 【点评】本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线与直线的 垂直，是基础题 8 （5 分）如图是一个几何体的三视图，正视图是一个等腰直角三角形，且斜边 BD 长为 2， 侧视图为一个直角三角形，俯视图是一个直角梯形，且 ABBC1，则此几何体的表面 积是（ ） A B C D+ 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的表面积即可 【解答】解：由三视图知，原几何体是一个四棱锥与三棱锥的组合体，其直观图如图， 根据三视图中正视图是一个等腰直角三角形，且斜边 DB2， ， 直角梯形的面积为， 由勾股定理可得 第
19、13 页（共 27 页） PAPCPD， SPABSPCB，SPCD， 几何体的表面积是： 故选：D 【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键 9 （5 分）如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何 体的体积为（ ） A B C4 D 【分析】依三视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度，利 用椎体的体积公式求出答案 【解答】解：依三视图知该几何体为三棱锥 DABC，连接 AF， 过 D 作 DEAE，则 DE 为底面 ABC 的高， 由三视图可得 SABC，DE 所以其体积 V 第 14 页（共 27 页） 故
20、选：B 【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体和补形是解题的关 键，考查空间想象能力属于中档题 10 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E、F 分别是边 AA1、CC1上的中点， 点 M 是 BB1上的动点，过点 E、M、F 的平面与棱 DD1交于点 N，设 BMx，平行四边 形 EMFN 的面积为 S，设 yS2，则 y 关于 x 的函数 yf（x）的图象大致是（ ） A B C D 第 15 页（共 27 页） 【分析】根据正方体的对称知道四边形 MENF 是一个菱形，所以它的面积为两对角积的 一半，又知一对角线 EF 的长等于正
21、方体的面对角线，另一条可以构造直角三角形，用勾 股定理可以用 x 表示出来，从而求出 f（x）的表达式 【解答】解：由对称性易知四边形 MENF 为菱形， EF，MN22 故选：A 【点评】本题建立 S 与 x 的关系式是关键，在空间中求线段的长，构造直角三角形是常 用的思路属于中档题 11 （5 分）如图所示，在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F 分别是棱 C1D1， B1C1的中点，过 A，E，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ） A B C D 【分析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案 【解答】解：如图， 延长 EF、A1B1
22、相交于 M，连接 AM 交 BB1 于 H， 第 16 页（共 27 页） 延长 FE、A1D1 相交于 N，连接 AN 交 DD1 于 G， 可得截面五边形 AHFEG ABCDA1B1C1D1是边长为 6 的正方体，且 E，F 分别是棱 C1D1，B1C1的中点， EF3，AGAH，EGFH 截面的周长为 故选：B 【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题 12 （5 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB2DC2，DAB60，E 为 AB 的中点， 将ADE 与BEC 分别沿 ED、EC 向上折起，使 A、B 重合于点 P，则 PDCE 三棱锥 的外接球的体
23、积为（ ） A B C D 【分析】判定三棱锥的形状，然后求出它的外接球的半径，再求体积 【解答】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为 1， 故外接球半径为，外接球的体积为， 故选：C 【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）如图所示，四边形 ABCD 是一个梯形，CDAB，CDBO1，AOD 为等腰 直角三角形，O 为 AB 的中点，试求梯形 ABCD 水平放置的直观图的面积 【分析】由题意画出梯形 ABCD 水平放置的直观图，根据直
24、观图的画法法则求出它的直 观图面积 第 17 页（共 27 页） 【解答】解：在梯形 ABCD 中，AB2，高 OD1， 梯形 ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底 CD 和下底 AB 的长度都不变， 如图所示； 在直观图中，ODOD，梯形的高为 DE， 于是梯形 ABCD的面积为 S（1+2） 故答案为： 【点评】本题出来平面图形的直观图画法与应用问题，是基础题 14（5 分） 有一个正四棱台形状的油槽， 可以装油 190L， 假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm，求它的深度为 75 cm 【分析】直接利用棱台的体积公式，转化求解即可 【解答】解：， 一个正四棱台形状的油
25、槽， 可以装油 190L， 假如它的两底面边长分别等于 60cm 和 40cm， cm 故答案为：75 【点评】本题考查棱台的体积的求法，是基本知识的考查 15 （5 分）体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为 6 【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切， 得球的半径和棱柱底面正边长的关系，求出边长，即求出底面正的面积，从而得出 棱柱的体积 【解答】解：由球的体积公式，得R3， R1 正三棱柱的高 h2R2 第 18 页（共 27 页） 设正三棱柱的底面边长为 a，则其内切圆的半径为：a1， a2， 该棱柱的体积为6， 故答案为
26、6 【点评】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长， 这是通过正的内切圆与边长的关系得出的 16 （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB2BC4，E 为边 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻转成A1DE若 M 为线段 A1C 的中点，则在ADE 翻折过程中： |BM|是定值； 点 M 在某个球面上运动； 存在某个位置，使 DEA1C； 存在某个位置，使 MB平面 A1DE 其中正确的命题是 【分析】取 A1D 的中点 N，连结 MN，EN，则可证明四边形 MNEB 是平行四边形，从而 BMEN，于是 BM平面 A1DE，从而可判断一定成立，假设成立，则可推
27、出 DEA1E，得出矛盾 【解答】解：取 A1D 的中点 N，连结 MN，EN， 则 MN 为A1CD 的中位线，MNCD， E 是矩形 ABCD 的边 AB 的中点，BECD， MNBE， 四边形 MNEB 是平行四边形， BMEN， BM 为定值，M 在以 B 为球心，以 BM 为半径的球面上，故正确，正确； 第 19 页（共 27 页） 又 NE平面 A1DE，BM平面 A1DE， BM平面 A1DE，故正确； 由勾股定理可得 DECE2，DE2+CE2CD2， DECE，若 DEA1C，又 A1CCEC， DE平面 A1CE，又 A1E平面 A1CE， DEA1E，而这与AED45矛盾
28、故错误 故答案为： 【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题 三解答题：本大题共三解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 已知四棱锥 SABCD 的底面为平行四边形， 且 SD面 ABCD， AB2AD2SD， DCB60，M、N 分别为 SB、SC 中点，过 MN 作平面 MNPQ 分别与线段 CD、AB 相交于点 P、Q （）在图中作出平面 MNPQ 使面 MNPQ面 SAD（不要求证明） ； （ II）若，在（）的条件下求多面体 MNCBPQ 的体积 【分析】 （）利
29、用 Q 是 AB 的中点推出图形即可 （）连接 PB，NB，由题可知在（）情况下，说明平面 MNPQ 与平面 ABCD 垂直， 通过 VMNCBQPVBMNPQ+VNPBC，推出此多面体 MNCBPQ 的体积 【解答】解： （） ：如图，Q 是 AB 的中点（若 NPPQ 不是虚线，扣两分）（4 分） （）连接 PB，NB，由题可知在（）情况下， 平面 MNPQ 与平面 ABCD 垂直，由题知 AB4，BCPC2，SD2，NP1 第 20 页（共 27 页） 且 SD面 ABCD，NPSD，则 NP面 ABCD，PCB 是边长为 2 的等边三角形则 （6 分） 由 MNBC，MN面
30、 SAD，面 MNPQ 是直角梯形，MNNP1，PQ2， 连接 BD 交 PQ 于点 H，在ABD 中，由余弦定理可知，AB2AD2+BD2则 BD AD， 即 BHPQ，且 BHNP，故 BH面 MNPQ（9 分） ， （10 分） 故 VMNCBQPVBMNPQ+VNPBC（11 分） 故此多面体 MNCBPQ 的体积为 （12 分） 【点评】本题考查直线与平面的位置关系的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象 能力以及计算能力 18 （12 分）在平面四边形 ACBD（图）中，ABC 与ABD 均为直角三角形且有公共 斜边 AB，设 AB2，BAD30，BAC45，将ABC 沿 AB 折
31、起，构成如图 所示的三棱锥 CABC （）当时，求证：平面 CAB平面 DAB； （）当 ACBD 时，求三棱锥 CABD 的高 【分析】 （I）取 AB 的中点 O，连 CO，DO，利用直角三角形的性质解出 OC，DO， 第 21 页（共 27 页） 利用勾股定理的逆定理得出 OCOD，由等腰三角形三线合一得 OCAB，故 OC 平面 ABD，于是平面 CAB平面 DAB； （II）由 ACBC，ACBD 得出 AC平面 BCD，故 ACCD，利用勾 股定理解出 CD，由勾股定理的逆定理得出 BDCD，使用等积法求出棱锥的高 【解答】解： （I）取 AB 的中点 O，连 C'O，DO
32、， ABC，ABD 是直角三角形，ACBADB90，AB2， CODO1，又 CD， CO2+DO2CD2，即 COOD， BAC45，ACBC， O 是 AB 中点，OCAB， 又ABODO，AB平面 ABD，OD平面 ABD， CO平面 ABD，OC平面 ABC， 平面 CAB平面 DAB （II）ACBD，ACBC，BD平面 BCD，BC平面 BCD， AC平面 BDC，又 CD平面 BDC'， ACCD，ACD 为直角三角形 AB2，BAC45，BAD30，ACBADB90， ACBC，BD1，AD， CD1，CD2+BD2BC2， VABCDSBCDAC， 设三棱锥 C
33、9;ABD 的高为 h， 则 VCABD， 解得 第 22 页（共 27 页） 【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积公式，属于 中档题 19 （12 分）如图，三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形，平面 ABC平面 BCGF，CB 2GF，BFCF （）求证：ABCG； （）若ABC 和梯形 BCGF 的面积都等于，求三棱锥 GABE 的体积 【分析】 （）取 BC 的中点为 D，连结 DF推导出 BCFG，四边形 CDFG 为平行四 边形，从而 CGDF再求出 DFBC，从而 CGBC进而 CG平面 ABC，由此能证 明 CGAB （）由能求出三棱锥 GABE
34、 的体积 【解答】 （本小题满分 12 分） 证明： （）取 BC 的中点为 D，连结 DF 由 ABCEFG 是三棱台得，平面 ABC平面 EFG，BCFG CB2GF， ， 四边形 CDFG 为平行四边形，CGDF BFCF，D 为 BC 的中点， DFBC，CGBC 第 23 页（共 27 页） 平面 ABC平面 BCGF，且交线为 BC，CG平面 BCGF， CG平面 ABC，而 AB平面 ABC， CGAB（5 分） （）三棱台 ABCEFG 的底面是正三角形，且 CB2GF， AC2EG，SACG2SAEG， 由（）知，CG平面 ABC 正ABC 的面积等于，BC2，GF1 直角梯
35、形 BCGF 的面积等于， ， （12 分） 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC 90， 平面 PAD底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC 上的点， PAPD， BCAD （I）求证：平面 PQB平面 PAD （）若三棱锥 ABMQ 的体积是四棱锥 PABCD 体积的，设 PMtMC，试确定 t 的值 第 24 页（共 27 页） 【分析】 （I）由 ADBC，B
36、CAD，Q 为 AD 的中点，可得四边形 BCDQ 为平行四边 形，CDBQ可得：QBAD 又平面 PAD平面 ABCD，可得 BQ平面 PAD即可证明平面 PQB平面 PAD （）由 PAPD，Q 为 AD 的中点，可得 PQAD由平面 PAD平面 ABCD，可得 PQ 平面 ABCD设 PQh，梯形 ABCD 的面积为 S，则 SABQS.，利 用 VABQMVMABQ，即可得出 【解答】 （I）证明：ADBC，BCAD，Q 为 AD 的中点， 四边形 BCDQ 为平行四边形，CDBQ ADC90，AQB90，即 QBAD 又平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD，
37、BQ平面 PAD BQ平面 PQB，平面 PQB平面 PAD （）解：PAPD，Q 为 AD 的中点，PQAD 平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD，PQ平面 ABCD 设 PQh，梯形 ABCD 的面积为 S，则 SABQS ， 又设 M 到平面 ABC 的距离为 h，则 VABQMVMABQ， 根据题意可得：， h，故，M 为 PC 的中点，t1 第 25 页（共 27 页） 【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形的性质、三棱锥的体 积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 21 （12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点 F（2，
38、0） ，且长轴长与短轴长的比是 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 M（m，0）在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点当最小时， 点 P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）设椭圆 C 的标准方程，根据焦点坐标和长轴长与短轴长的比联立方程求得 a 和 b，进而可得椭圆的方程 （）设 P（x，y）为椭圆上的动点，根据椭圆的性质可判断 x 的范围代入判断因 为当最小时，点 P 恰好落在椭圆的右顶点，进而求得 m 的范围点 M 在椭圆的长 轴上进而推脱 m 的最大和最小值综合可得 m 的范围 【解答】解： （）设椭圆 C 的方程为 由题意 解得 a216，b212
39、 所以椭圆 C 的方程为 （）设 P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故4x4 因为， 第 26 页（共 27 页） 所以 因为当最小时，点 P 恰好落在椭圆的右顶点， 即当 x4m 时，取得最小值而 x4，4， 故有 4m4，解得 m1 又点 M 在椭圆的长轴上，即4m4 故实数 m 的取值范围是 m1，4 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程求标准方程时常需先设椭圆的标准方程 ，根据题设中关于长短轴、焦点、准线方程等求得 a 和 b，进而 得到答案 22 （12 分）已知函数 f（x）（ax2+bx+ab）ex（x1） （x2+2x+2） ，aR，且曲线 y f（x）与 x 轴切于
40、原点 O （1）求实数 a，b 的值； （2）若 f（x） （x2+mxn）0 恒成立，求 m+n 的值 【分析】 （1）求出 f（x）的导数，由题意可得 f（0）a0，f（0）（ab）+10， 即可得到 a，b 的值； （2）由题意可得（x1）ex（x2+2x+2） （x2+mxn）0， （*）由 g（x）ex （x2+2x+2） ，求出导数和单调区间，可得（x1） （x2+mxn）0 恒成立，即有 0，1 为二次方程 x2+mxn0 的两根，即可得到 m，n 的值，进而得到 m+n 的值 【解答】解： （1）函数 f（x）（ax2+bx+ab）ex（x1） （x2+2x+2）的导数为 f（
41、x）ex（2ax+ax2+bx+a）（3x2+2x） ， 由曲线 yf（x）与 x 轴切于原点 O，可得 f（0）a0，f（0）（ab）+10， 即有 a0，b1； （2）f（x） （x2+mxn）0 恒成立，即为 （x1）ex（x1） （x2+2x+2） （x2+mxn）0， 第 27 页（共 27 页） 即有（x1）ex（x2+2x+2） （x2+mxn）0， （*） 由 g（x）ex（x2+2x+2）的导数为 g（x）exx1， 设 h（x）exx1，h（x）ex1， 当 x0 时，h（x）0，h（x）递增，可得 h（x）h（0）0， 即 g（x）0，g（x）在0，+）递增， 可得 g（x）g（0）0，即 ex（x2+2x+2）0； 当 x0 时，h（x）0，h（x）递减，可得 h（x）h（0）0， 即 g（x）0，g（x）在0，+）递减， 可得 g（x）g（0）0，即 ex（x2+2x+2）0 由（*）恒成立，可得 x0 时， （x1） （x2+mxn）0 恒成立， 且 x0 时， （x1） （x2+mxn）0 恒成立， 即有 0，1 为二次方程 x2+mxn0 的两根， 可得 n0，m1， 则 m+n1 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，注意运用函数的单调性，考 查化简整理的运算能力，属于中档题
