1、2018-2019 学年江西省抚州市临川一中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）（4月份）一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）设全集 UR，则 AB（ ） A （cos2，1 Bcos2，1 C （1，2） D （1，cos2 2 （5 分）直线 ykx+1 与曲线 yx3+ax+b 相切于点 A（1，3） ，则 k 的值等于（ ） A2 B1 C1 D2 3 （5 分）已知| |5，| |5， 3，则| + |（ ） A23 B35 C2 D 4 （5 分）对任意非零实数 a，b，若 a*b 的运算原理如图
2、所示，那么 （ ） A B C D 5 （5 分）已知命题 p：xR，x2+2ax+a0若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是 （ ） Aa0 或 a1 Ba0 或 a1 C0a1 D0a1 6 （5 分）设 a0，b0，则“a2+b21”是“a+bab+1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）若平面 平面 ，直线 n，m，mn，则（ ） 第 2 页（共 25 页） An Bn 且 m Cm Dn 与 m 中至少有一个成立 8 （5 分）已知正数 x、y 满足，则 zlog2
3、x+log2y+1 的最大值为（ ） A1 B2 C4 D8 9 （5 分）已知双曲线1 上的一点 P 到 F（3，0）的距离为 6，O 为坐标原点， （+） ，则|（ ） A1 B5 C2 或 5 D1 或 5 10 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0）的图象关于直线 x对称，且 f（） 0，则 的最小值为（ ） A2 B4 C6 D8 11 （5 分）如图，动点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的对角线 BD1上，过点 P 作垂直于平 面 BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于 M，N设 BPx，BMN 的面积是 y，则函数 yf（x）的图象大致是（ ） A B &
4、nbsp;C D 12 （5 分）已知，f（x）在 xx0处取得最大值，以下各式中正确的序号 第 3 页（共 25 页） 为（ ） f（x0）x0； f（x0）x0； f（x0）x0； ； A B C D 二二、填空题： （本大题共、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡上请把答案填在答题卡上.） 13 （5 分）（+）dx 14（5 分） 已知ABC 的三个内角 A、 B、 C 成等差数列， 且 AB2， AC3， 则 cosC 15 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，沿对角线
5、 AC 把矩形折成二面角 DACB 的平面角为 60时，则|BD| 16 （ 5 分 ） 已 知 数 列 an 的 通 项 公 式 为， 数 列 cn 的 通 项 公 式 为 ，若数列cn递增，则 的取值范围是 三、解答题： （共计三、解答题： （共计 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17 （10 分）已知：函数 （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调递增区间； （2）当 a0 时，函数 f（x）的值域是2，4，求 ab 的值 18 （12 分）已知：f（x）x3+ax2+bx 在与 x1 时都
6、取得极值 （1）求 a，b 的值； （2）若 f（x）在区间（c，c2） （c0）上不单调，求 c 的取值范围 19 （12 分）某名校从 2009 年到 2018 年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出 来 （为了方便计算，将 2009 年编号为 1，2010 年编为 2，以此类推） 年份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 y 8 9 9 10 12 24 29 21 20 16 （1）将这 10 年的数据分为人数不少于 20 人和少于 20 人两组，按分层抽样抽取 5 年， 第 4 页（共 25 页） 问考入清华、北大的人数不少于 20 的应抽多少年？在抽取的这 5
7、 年里，若随机的抽取两 年恰有一年考入清华、北大的人数不少于 20 的概率是多少？； （2）根据最近 5 年的数据，利用最小二乘法求出 y 与 x 之间的线性回归方程，并用以预 测 2019 年该校考入清华、北大的人数 （结果要求四舍五入至个位） 参考公式： ， ，xiyi855 20 （12 分）如图：正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 3，D 是 CB 延长线上一点，且 BD BC二面角 B1ADB 的大小为 60； （1）求点 C1到平面 ADB1的距离； （2）若 P 是线段 AD 上的一点，且 2DPAA1，在线段 DC1上是否存在一点 Q，使直线 PQ平面 ABC1？若存在，
8、请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知：函数 （1）此函数在点（e1，f（e1） ）处的切线与直线（e1）2ey+（e+1）x200 平行， 求实数 t 的值； （2）在（1）的条件下，若（kZ）恒成立，求 k 的最大值 22 （12 分）已知曲线 C 是中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是 其对应双曲线的实轴长， 且一条渐近线方程是 yx， 线段 PQ 是过曲线 C 右焦点 F 的 一条弦，R 是弦 PQ 的中点 （1）求曲线 C 的方程； （2）当点 P 在曲线 C 上运动时，求点 R 到 y 轴距离的最小值； （3）若作出直线，使点 R
9、在直线 m 上的射影 S 满足当 第 5 页（共 25 页） 点 P 在曲线 C 上运动时， 求 t 的取值范围【参考公式： 若 T （x0， y0） 为双曲线 （a，bR+）右支上的点，F 为右焦点，则|TF|ex0a） （e 为离心率） 】 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年江西省抚州市临川一中高二（下）第二次月考数学年江西省抚州市临川一中高二（下）第二次月考数 学试卷（理科） （学试卷（理科） （4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分）
10、1 （5 分）设全集 UR，则 AB（ ） A （cos2，1 Bcos2，1 C （1，2） D （1，cos2 【分析】根据集合 A 中的不等式 得到 x2 与 x+1 异号，列出不等式求出解集 即可得到集合 A，再根据正弦函数的图象得到集合 B，求出 A 与 B 的交集即可 【解答】解：由 得到 ， 即 或 ，解得1x2； 根据正弦函数图象得到：cos2y1 所以 A（1，2） ，B（cos2，1） AB（cos2，1） 故选：A 【点评】 此题要求学生会根据正弦函数的图象求值域， 掌握 这种不等式的解法， 以及会求两个集合的交集运算属于基础题 2 （5 分）直线 ykx+1
11、 与曲线 yx3+ax+b 相切于点 A（1，3） ，则 k 的值等于（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】由题意可得，点 A（1，3）适合 ykx+1，代入可得 k 值 【解答】解：直线 ykx+1 与曲线 yx3+ax+b 相切于点 A（1，3） ， 点 A（1，3）适合 ykx+1， 则 3k+1，即 k2 第 7 页（共 25 页） 故选：A 【点评】本题考查了导数的几何意义，考查灵活应用能力，是基础题 3 （5 分）已知| |5，| |5， 3，则| + |（ ） A23 B35 C2 D 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，利用向量的运算法则展开求出向量的模 【解答】解：|
12、+ |2 故选：C 【点评】本题考查向量的模的性质：向量的模平方等于向量的平方，并利用此性质求向 量的模 4 （5 分）对任意非零实数 a，b，若 a*b 的运算原理如图所示，那么 （ ） A B C D 【分析】先根据流程图分析出计算的类型，然后利用定积分的定义求出0sinxdx，与 进行比较，代入相应的解析式即可求出所求 【解答】解：该算法流程图表示了输入 a 和 b， 当 ab 时，输出 ，反之输出， 0sinxdx（cosx）|0cos+cos02， 2， 第 8 页（共 25 页） ， 故选：C 【点评】本题主要考查了定积分，以及选择结构，根据流程图分析出计算的类型是解题 的关键，属
13、于基础题之列 5 （5 分）已知命题 p：xR，x2+2ax+a0若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是 （ ） Aa0 或 a1 Ba0 或 a1 C0a1 D0a1 【分析】将变为，结论否定写出命题 p 的否定；利用 p 与p 真假相反得到p 为真命 题；令判别式小于 0 求出 a 即可 【解答】解：命题 p：xR，x2+2ax+a0 的否定为： 命题p：xR，x2+2ax+a0， 命题 p 为假命题，命题p 为真命题， 即 x2+2ax+a0 恒成立， 4a24a0， 解得 0a1， 故选：D 【点评】本题考查含量词的命题的否定形式、考查命题 p 与命题p 真假相反、考查二次 不
14、等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑 6 （5 分）设 a0，b0，则“a2+b21”是“a+bab+1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结 论 【解答】解：若 ab2，满足 a2+b21，但 a+bab+1 不成立，即充分性不成立， a+bab+1 等价为 a+bab10， 即 （a1）（b1） 0， 即 或此时 “a2+b2 1”成立，即必要性成立， 则“a2+b21”是“a+bab+1”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条
15、件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关 第 9 页（共 25 页） 键 7 （5 分）若平面 平面 ，直线 n，m，mn，则（ ） An Bn 且 m Cm Dn 与 m 中至少有一个成立 【分析】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，及直线与平面间的位置关系， 我们根据平面 平面 ，直线 n，m，mn，不难判断 n 与 及 m 与 的关系， 进而得到答案 【解答】解：若平面 平面 ，直线 n，m，mn 若 m 垂直平面 与平面 的交线，此时 m，n 与 关系不确定； 若 n 垂直平面 与平面 的交线，此时 n，m 与 关系不确定； 假设
16、m，n 均不垂直于平面 与平面 的交线， 则过 m 上不在交线上一点 O，做平面 与平面 的交线的垂线 l， 则 l，则 ln，由于 lmO，l，m，则 n 此时 n平面 与平面 的交线 这与假设矛盾，故 m，n 至少有一条与平面 与平面 的交线垂直， 由 n 与 m 中至少有一个成立 故选：D 【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面 内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知 想性质，由求证想判定” ，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证 的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来 8
17、 （5 分）已知正数 x、y 满足，则 zlog2x+log2y+1 的最大值为（ ） A1 B2 C4 D8 【分析】满足条件的点（x，y）的区域为OAB 及其内部区域，如图所示，目标函数 z log2xy+1，函数 txy 表示以 x、y 为长和宽的矩形的面积，故点 A 的坐标满足使函数 t xy 取得最大值，此时，x1，y2，求得 t 的最大值，可得 z 的最大值 【解答】解：正数 x、y 满足， 第 10 页（共 25 页） 故满足条件的点（x，y）的区域为OAB 及其内部区域，如图所示： 目标函数 zlog2x+log2y+1log2xy+1， 故只有函数 txy 取得最大值时，z
18、才取得最大值 而函数 txy 表示以 x、y 为长和宽的矩形的面积，易得 A（1，2） 、B（0，） ， 故点 A 的坐标为最优解，满足使函数 txy 取得最大值，此时，x1，y2， tmax122，故 z 的最大值为 log22+12， 故选：B 【点评】本题主要考查简单的线性规划问题，体现了数形结合以及转化的数学思想 9 （5 分）已知双曲线1 上的一点 P 到 F（3，0）的距离为 6，O 为坐标原点， （+） ，则|（ ） A1 B5 C2 或 5 D1 或 5 【分析】分类讨论，利用双曲线的第二定义，求出 P 的坐标，利用向量知识，即可求解 【解答】解：设 P（x，y）
19、，则 P 在右支上，F（3，0）右是焦点，右准线方程为 x， ，x，y， O 为坐标原点，（+） ，|5； P 在左支上， （3，0）是左焦点，左准线方程为 x， 第 11 页（共 25 页） ，x，y， O 为坐标原点，（+） ，|1 故选：D 【点评】本题考查双曲线的方程于性质，考查分类讨论的数学思想，考查向量知识的运 用，属于中档题 10 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0）的图象关于直线 x对称，且 f（） 0，则 的最小值为（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】求 的最小值，由周期和 的关系，需要求周期的最大值，对称轴与对称中心 最近为周期，可求最大周期，从而求得最
20、小的 值 【解答】解：，T，2 故选：A 【点评】注意利用数形结合，数形结合比较直观，一目了然，可求得对称轴与对称中心 最近为周期 11 （5 分）如图，动点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1的对角线 BD1上，过点 P 作垂直于平 面 BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于 M，N设 BPx，BMN 的面积是 y，则函数 yf（x）的图象大致是（ ） A B 第 12 页（共 25 页） C D 【分析】根据题意和正方体的特征，分析点 P 动的过程中，x 随着 y 变化情况以及变化速 度，再对照选项中的图形选出 【解答】解：由题意知，MN平面 BB1D1D，其轨迹经过 B
21、，D1和侧棱 AA1，CC1的中 点 E，F， 设对角线 BD1的中点为 O， 则当 P 点位于线段 BO 上时， 当 BP 增大时，MN 随 BP 线性增加，则函数 yf（x）的图象应为开口朝上二次函数图象 递增的一部分，故可排除 A，C， 当 P 点位于线段 OD1上时， 第 13 页（共 25 页） 当 BP 增大时，MN 随（BD1BP）线性变化，则函数 yf（x）的图象应为开口朝下二 次函数图象递减的一部分，故可排除 B， 故选：D 【点评】本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变 化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力 12 （5 分）已知，f（
22、x）在 xx0处取得最大值，以下各式中正确的序号 为（ ） f（x0）x0； f（x0）x0； f（x0）x0； ； A B C D 【分析】求导函数，可得 令 g（x）x+1+lnx，则函数有唯一零点， 即 x0，代入验证，即可得到结论 【解答】解：求导函数，可得 令 g（x）x+1+lnx，则函数有唯一 零点，即 x0， x01lnx0 f（x0）x0，即正确 第 14 页（共 25 页） x01lnx0， x时，f（）0f（x0） x0在 x左侧 x0 12x00 0 正确 综上知，正确 故选：B 【点评】本题考查导数知识的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度 二、填空题
23、： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡上请把答案填在答题卡上.） 13 （5 分）（+）dx + 【分析】根据题意，设函数 f（x），g（x），由奇偶性的定义可得 f （x） 为奇函数， g （x） 为偶函数， 据此可得（+） dx（） dx+dx0+2dx，计算可得答案 【解答】解：根据题意，设函数 f（x），g（x）， 第 15 页（共 25 页） 有 f（x）f（x） ，则函数 f（x）为奇函数， g（x）g（x） ，则 g（x）为偶函数， 则 有（+） dx （） dx+dx 0+2dx， 而dx 的几何意
24、义为曲边梯形 OABC 的面积， 易得 2dx+， 故答案为：+ 【点评】本题考查定积分的计算，注意函数的奇偶性与定积分的关系 14 （5 分）已知ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，且 AB2，AC3，则 cosC 【分析】ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，求得 B，再由正弦定理求得 sinC 的值，再根据大边对大角可得 C 为锐角，由 cosC，计算求得结果 【解答】解：ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，2BA+C，再根据 A+B+C ，求得 B 由正弦定理可得 ，即，求得 sinC 再根据大边对大角可得 C 为锐角，cosC， 第 16 页（共 25 页） 故
25、答案为： 【点评】本题主要考查等差数列的定义，正弦定理、同角三角函数的基本关系，属于基 础题 15 （5 分）在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，沿对角线 AC 把矩形折成二面角 DACB 的平面角为 60时，则|BD| 【分析】根据题意画出图形，结合图形过点 D 作 DEAC 于点 E，过点 B 作 BFAC 于 点 F； 利用直角三角形的边角关系和平面向量的线性表示，求出模长即可 【解答】解： 【向量法】矩形 ABCD 中，AB4，BC3， 过点 D 作 DEAC 于点 E， 过点 B 作 BFAC 于点 F，如图所示， 则|， |52； 沿对角线 AC 把矩形折成二面角 DACB 的平
26、面角为 60时， 则+， +2+2+2 2+0+0+2cos（18060） ， |BD| 【公式法】由 DEBF，EF； 异面直线 DE 与 BF 所成的角为 60， 则 BD 故答案为： 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想， 是中档题 16 （ 5 分 ） 已 知 数 列 an 的 通 项 公 式 为， 数 列 cn 的 通 项 公 式 为 ，若数列cn递增，则 的取值范围是 【分析】直接利用利用数列的通项公式的求法及应用，进一步利用数列的单调性求出参 数的取值范围 【解答】解：数列an的通项公式为， 数列cn的通项公式为
27、， 则：5n+1+（2）n， 由于数列cn单调递增， 所以：， 即：， 化简得：， 解得：， 即 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，单调函数的性质的应用 三、解答题： （共计三、解答题： （共计 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17 （10 分）已知：函数 （1）当 a1 时，求函数 f（x）的单调递增区间； 第 18 页（共 25 页） （2）当 a0 时，函数 f（x）的值域是2，4，求 ab 的值 【分析】 （1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函
28、数， 进一步求出函数的单调区间 （2）利用分类讨论思想的应用和函数的值域的应用求出 a 的值 【解答】解：根据函数 整理得：， （1）当 a1 时， 函数， 当时， f（x）是增函数， 函数 f（x）的单调递增区间为 （2）当 a0 时， 由题意得：， 当 a0 时， 由题意得：， 综上知： 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用， 分类讨论思想的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 18 （12 分）已知：f（x）x3+ax2+bx 在与 x1 时都取得极值 （1）求 a，b 的值； （2）若 f（x）在区间（c，c2） （c0）上不单调，
29、求 c 的取值范围 【分析】 （1）求导并令导数为 0，由于方程的解为 x，x1，代入求 a，b 值； 第 19 页（共 25 页） （2）由（1）得，求导可得 f'（x）（3x+2） （x1） ，可得 f（x） 在处分别取得极大值与极小值，由题意可得两个极值点至少有一个在区间 （c，c2）内，可得：或c1c2， （c0） ，进而解得 c 的取值范围 【解答】解： （1）由题意可得：f'（x）3x2+2ax+b， 在与 x1 时都取得极值， ， （2）由（1）得， f'（x）3x2x2（3x+2） （x1） ， f（x）在处分别取得极大值与极小值， f（x）
30、在区间（c，c2）上不单调， 两个极值点至少有一个在区间（c，c2）内， 故或c1c2， （c0） ， 解得： 【点评】本题考查函数的极值的应用，解题的关键是写出函数的最值，将函数的最值同 要比较的量进行比较，再利用不等式或方程思想，属于中档题 19 （12 分）某名校从 2009 年到 2018 年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出 来 （为了方便计算，将 2009 年编号为 1，2010 年编为 2，以此类推） 年份 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 y 8 9 9 10 12 24 29 21 20 16 （1）将这 10 年的数据分为人数不少于 20 人和少于
31、 20 人两组，按分层抽样抽取 5 年， 问考入清华、北大的人数不少于 20 的应抽多少年？在抽取的这 5 年里，若随机的抽取两 年恰有一年考入清华、北大的人数不少于 20 的概率是多少？； （2）根据最近 5 年的数据，利用最小二乘法求出 y 与 x 之间的线性回归方程，并用以预 测 2019 年该校考入清华、北大的人数 （结果要求四舍五入至个位） 第 20 页（共 25 页） 参考公式： ， ，xiyi855 【分析】 （1）利用分层抽样法求出抽取 5 年中考入清华、北大的人数不少于 20 和少于 20 应抽取的 3 年数，利用列举法求出基本事件数，再计算所求的概率值； （2）根据题意计算
32、 、 ，求出回归系数 、 ，写出线性回归方程，计算 x11 时 y 的 值 【解答】解： （1）人数不少于 20 人有 4 年，少于 20 人有 6 年，按分层抽样抽取 5 年， 则考入清华、北大的人数不少于 20 的应抽 2 年，记为 A、B，少于 20 的应抽取 3 年，记 为 c、d、e； 从这 5 年里随机抽取 2 年，基本事件为：AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de 共 10 个； 恰有 1 年考入清华、北大的人数不少于 20 的基本事件是：Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be 共 6 个； 故所求的概率是 P； （2）计算 （6+7+8+9+10）8， （24+
33、29+21+16）22， 则 2.5， 22（2.5）842， y 关于 x 的线性回归方程为 2.5x+42； 当 x11 时，计算 y15， 所以 2019 年该校考入清华北大的人数约为 15 人 【点评】本题考查了列举法求古典概型的概率应用问题，也考查了回归直线方程的求法 应用问题，是基础题 20 （12 分）如图：正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 3，D 是 CB 延长线上一点，且 BD BC二面角 B1ADB 的大小为 60； （1）求点 C1到平面 ADB1的距离； 第 21 页（共 25 页） （2）若 P 是线段 AD 上的一点，且 2DPAA1，在线段 DC1上是否存
34、在一点 Q，使直线 PQ平面 ABC1？若存在，请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）求该距离的方法有很多，如等体积法，坐标法，三角法等 （2）因为 DP2DPAA1，故 DP：PA1：3，所以在DAC1中，只需让 DQ： QC11：3 即可得到 PQAC1，进而得到 PQ平面 ABC1 【解答】解： （1）设 E 为 AD 的中点，则 BEAD，B1EADBE B1为二面角 B1AD B 的平面角BE B160ABD120，BE3/2 tanBE B1侧棱 AA1BB1； 法 1： （等体积法） VC1ADB1VAC1DB1VABB1 C1 又知 点 C1到平面 ADB1
35、的距离 法 2： （向量法） 设 BC，B1C1的中点分别为 O，E，分别以 BC，OE，OA 为 x 轴，y 轴，z 轴，建坐标系 Oxyz， 可求出面 ADB1的一法向量，如：，而， 点 C1到平面 ADB1的距离 法 3：四边形 BDB1C1为平行四边形，所以 BC1B1D，又因为 BC1不在平面 ADB1内， B1D平面 ADB1，所以 BC1平面 ADB1，故点 C1到平面 ADB1的距离等于点 B 到平面 ADB1的距离，该距离等于 BEsinBE B1 第 22 页（共 25 页） （2）存在，当点 Q 分的定比为时，PQAC1知 PQ平面 ABC1 【点评】本题考查了空间距离的
36、求法，空间中线面平行的判断，属于中档题 21 （12 分）已知：函数 （1）此函数在点（e1，f（e1） ）处的切线与直线（e1）2ey+（e+1）x200 平行， 求实数 t 的值； （2）在（1）的条件下，若（kZ）恒成立，求 k 的最大值 【分析】 （1）由二者平行可知，导函数在 xe1 处的值 f'（e1）与直线的斜率相等， 得到 t 的值 （2）常规方法是分离参数转化为 kh（x）恒成立，求函数 h（x）的最小值 【解答】解： （1） 故 而直线的斜率，由平行可知 kf'（e1） ，解得 t1 （2）当 x0 时，恒成立， 即对 x0 恒成立， 即 h（x） （x0）
37、的最小值大于 k，以下求 h（x）的最小值 ， 则 第 23 页（共 25 页） ， 令 （x）x1ln（x+1） （x0） ， 则， 故 （x）在（0，+）上连续递增， 又 （2）1ln30，（3）22ln20， 故 （x）0 存在唯一实根 a，且满足： a（2，3） ，且 a1+ln（a+1） ， 由 xa 时，（x）0，h'（x）0，h（x）单调递增； 0xa 时，（x）0，h'（x）0，h（x）单调递减； 故， 故 k3，又 kZ，则 k 的最大值为 3 【点评】 （1）通过解方程求得 t 值，但具体的运算是本题的难点， （2）通过分离参数的方法，转化为 kh（x） ，
38、在求函数 h（x）的最小值时需要用到零 点存在性定理，并且还需要注意几个细节，如 a（2，3）及 a1+ln（a+1） 等，这样才能更好的求得函数 h（x）的最小值的范围 22 （12 分）已知曲线 C 是中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的右支，它的离心率刚好是 其对应双曲线的实轴长， 且一条渐近线方程是 yx， 线段 PQ 是过曲线 C 右焦点 F 的 一条弦，R 是弦 PQ 的中点 （1）求曲线 C 的方程； （2）当点 P 在曲线 C 上运动时，求点 R 到 y 轴距离的最小值； （3）若作出直线，使点 R 在直线 m 上的射影 S 满足当 点 P 在曲线 C 上运动时， 求 t 的
39、取值范围【参考公式： 若 T （x0， y0） 为双曲线 （a，bR+）右支上的点，F 为右焦点，则|TF|ex0a） （e 为离心率） 】 【分析】 （1）设双曲线的方程为1，运用离心率公式和渐近线方程、结合 a， b，c 的关系，解方程可得 a，b，即可得到所求方程； （2）设 PQ 的方程代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合不等式的解 第 24 页（共 25 页） 法和性质，即可得到所求最小值； （3） 运用向量垂直的条件和双曲线的焦半径公式， 解方程和不等式， 即可得到所求范围 【解答】解： （1）设双曲线的方程为1， 由题意可得 e2a，ba， 由 a2+b
40、2c2，解得 a1，b，c2， 即有曲线 C 的方程是 x21（x1） ； （2）由（1）知，曲线 C 的右焦点 F 的坐标为（2，0） ，若弦 PQ 的斜率存在， 则弦 PQ 的方程为：yk（x2） ，代入双曲线方程得： （3k2）x2+4k2x4k230， 设点 P（x1，y1） ，Q（ x2，y2） ， 由16k4+4（3k2） （3+4k2）0，可得 1+k20，显然成立； x1+x20，x1x20， 解得 k23， 点 R 到 y 轴距离：|xR|2+2， 而当弦 PQ 的斜率不存在时，点 R 到 y 轴距离为|xR|2 所以点 R 到 y 轴距离的最小值为 2 （3）点 R 在直线 m 上的射影 S 满足，PSQS， R 到直线 m：xt（t）的距离为|RS|xRt 由焦半径公式|TF|ex0a， 可得|PQ|PF|+|QF|2（x1+x21）4xR2 将代入，得：2xR1xRt， xR1t2，且 t， t1 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线的方程联立，韦达定理 第 25 页（共 25 页） 和中点坐标公式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题
