1、2018-2019 学年江西省新余市分宜中学高二（下）第二次段考数学试卷（文科）（5月份）一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）命题“若 ab，则 a1b1”的否命题是（ ） A若 ab，则 a1b1 B若 ab，则 a1b1 C若 ab，则 a1b1 D若 ab，则 a1b1 2 （5 分）复数 z（1+i）2的实部是（ ） A2 B1 C0 D1 3 （5 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y2x 的是（ ） Ax21 By21 Cx21 Dy21 4 （5 分）在曲线 yx2上切线倾斜角为的点是（ ） A （0，0） B （2，4） C （，
2、） D （，） 5 （5 分）观察下列各式：a+b1，a2+b23，a3+b34，a4+b47，a5+b511，则 a6+b6 等于（ ） A16 B17 C18 D19 6 （5 分）设 p：1x2，q：2x1，则 p 是 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）抛物线 y22px 上横坐标为 4 的点到此抛物线焦点的距离为 9，则该抛物线的焦 点到准线的距离为（ ） A4 B9 C10 D18 8 （5 分）若对xR，kx2kx10 是真命题，则 k 的取值范围是（ ） A4k0 B4k0 C4k0 D4k0 9（5 分）
3、 从一箱产品中随机地抽取一件， 设事件 A抽到一等品， 事件 B抽到二等品， 事件 C抽到三等品，且已知 P（A）0.65，P（B）0.2，P（C）0.1则事件“抽 到的不是一等品”的概率为（ ） A0.7 B0.65 C0.35 D0.3 第 2 页（共 15 页） 10 （5 分）对函数 f（x）xlnx，下列结论正确的是（ ） A有最小值 B有最小值 C有最大值 D有最大值 11 （5 分）若，eab，则（ ） Af（a）f（b） Bf（a）f（b） Cf（a）f（b） Df（a） f（b）1 12 （5 分）已知过双曲线1（a0，b0）右焦点且倾斜角为 45的直线与双 曲线右支有两个交
4、点，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） A （1，） B （1，） C （，） D （，） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设 aR，若复数（1+i） （a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a 14 （5 分）若直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，则直线 l 的直角坐标方程 15 （5 分）F1、F2是椭圆的两个焦点，过点 F2作 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两 点，则F1AB 的周长为 16 （5 分）设 x1，x2是函数 f（x）x32ax2+a2x 的两个极值点，若 x12x2，则实数 a 的取值范围是 三、解答题
5、（共三、解答题（共 70 分）分） 17已知 c0，且 c1，设 p：函数 ycx在 R 上单调递减；q：函数 f（x）x22cx+1 在（，+）上为增函数，若“p 且 q”为假， “p 或 q”为真，求实数 c 的取值范围 18如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生 产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3.5 4 5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ； （2）已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤试根据（2）求出的线性回 第 3 页（共 15 页）
6、归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ 19已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin2cos （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）当时，求直线 l 与曲线 C 交点的直角坐标 20设函数 f（x）x3x2+bx+c，曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y 1 （1）求 b，c 的值； （2）若 a0，求函数 f（x）的单调区间 21已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|2，点 （1，）在椭圆 C
7、 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且AF2B 的面积为，求直线 l 的方程 22设函数 f（x）lnx+，mR （）当 me（e 为自然对数的底数）时，求 f（x）的极小值； （）讨论函数 g（x）f（x）零点的个数 第 4 页（共 15 页） 2018-2019 学年江西省新余市分宜中学高二（下）第二次段考数学年江西省新余市分宜中学高二（下）第二次段考数 学试卷（文科） （学试卷（文科） （5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）命
8、题“若 ab，则 a1b1”的否命题是（ ） A若 ab，则 a1b1 B若 ab，则 a1b1 C若 ab，则 a1b1 D若 ab，则 a1b1 【分析】根据命题“若 p，则 q”的否命题是“若p，则q” ，直接写出它的否命题 【解答】解：命题“若 ab，则 a1b1”的否命题是 “若 ab，则 a1b1” 故选：C 【点评】本题考查了命题与它的否命题之间的关系，解题时应熟悉四种命题之间的关系， 是基础题 2 （5 分）复数 z（1+i）2的实部是（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可 【解答】解：z（1+i）22i 所以复数 z（1+i）2的实部是
9、 0 故选：C 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，基本知识的考查 3 （5 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y2x 的是（ ） Ax21 By21 Cx21 Dy21 【分析】对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案 【解答】解：由 A 可得焦点在 x 轴上，不符合条件； 由 B 可得焦点在 x 轴上，不符合条件； 由 C 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 y2x，符合条件； 第 5 页（共 15 页） 由 D 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 yx，不符合条件 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近
10、线方程的求法， 属于基础题 4 （5 分）在曲线 yx2上切线倾斜角为的点是（ ） A （0，0） B （2，4） C （，） D （，） 【分析】根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数 求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 【解答】解：y2x，设切点为（a，a2） y2a，得切线的斜率为 2a，所以 2atan451， a， 在曲线 yx2上切线倾斜角为的点是（，） 故选：D 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 5 （5 分）观察下列各式：
11、a+b1，a2+b23，a3+b34，a4+b47，a5+b511，则 a6+b6 等于（ ） A16 B17 C18 D19 【分析】先观察再结合数据归纳推理可得解 【解答】解：因为 a+b1，a2+b23，a3+b31+34，a4+b43+47，a5+b54+7 11， 归纳得：a6+b67+1118， 故选：C 【点评】本题考查了观察能力及归纳推理能力，属简单题 6 （5 分）设 p：1x2，q：2x1，则 p 是 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断 第 6 页（共
12、15 页） 【解答】解：由 1x2 可得 22x4，则由 p 推得 q 成立， 若 2x1 可得 x0，推不出 1x2 由充分必要条件的定义可得 p 是 q 成立的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础 题 7 （5 分）抛物线 y22px 上横坐标为 4 的点到此抛物线焦点的距离为 9，则该抛物线的焦 点到准线的距离为（ ） A4 B9 C10 D18 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得抛物线的焦半径公式，由题意解得 p10， 即可得到所求值 【解答】解：抛物线 y22px 的焦点为（，0） ，准线为 x， 即有抛物线的焦
13、半径为|PF|x+， 由题意可得 4+9，解得 p10， 则该抛物线的焦点到准线的距离为 p10 故选：C 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查抛物线的焦半径公式的运用，考查 运算能力，属于基础题 8 （5 分）若对xR，kx2kx10 是真命题，则 k 的取值范围是（ ） A4k0 B4k0 C4k0 D4k0 【分析】对 k0 与 k0，k0，分别利用xR，kx2kx10 是真命题，求出 k 的范 围 【解答】解：当 ko 时，对xR，kx2kx10，10 即是真命题，成立 当 k0 时，对xR，kx2kx10 是真命题，必有（k）2+4k0， 解得，4k0， 当 k0 时，对x
14、R，kx2kx10 是真命题，显然不成立 综上，4k0 故选：C 【点评】本题考查不等式的解法，恒成立问题，考查转化思想，分类讨论 第 7 页（共 15 页） 9（5 分） 从一箱产品中随机地抽取一件， 设事件 A抽到一等品， 事件 B抽到二等品， 事件 C抽到三等品，且已知 P（A）0.65，P（B）0.2，P（C）0.1则事件“抽 到的不是一等品”的概率为（ ） A0.7 B0.65 C0.35 D0.3 【分析】根据对立事件的概率和为 1，结合题意，即可求出结果来 【解答】解：根据对立事件的概率和为 1，得； 事件 A抽到一等品，且 P（A）0.65， 事件“抽到的不是一等品”的概率为
15、P1P（A）10.650.35 故选：C 【点评】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，是基础题目 10 （5 分）对函数 f（x）xlnx，下列结论正确的是（ ） A有最小值 B有最小值 C有最大值 D有最大值 【分析】求出函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值 【解答】解：f（x）xlnx，x（0，+） ， f（x）lnx+1，令 f（x）0，解得：x，列表得， x （0，） （，+） f（x） 0 + f（x） 单调减 极小值 单调增 f（x）的单调减区间为（0，） ，单调增区间为（，+） ，f（x）minf（）； 故选：B 【点评】本题考查函数的单调性
16、以及函数的极值的求法，函数的最值的求法，考查转化 思想以及计算能力 11 （5 分）若，eab，则（ ） Af（a）f（b） Bf（a）f（b） Cf（a）f（b） Df（a） f（b）1 第 8 页（共 15 页） 【分析】利用导数的四则运算，求函数 f（x）的导函数，利用导数证明函数 f（x）为（e， +）上的单调减函数，最后利用函数单调性比较大小即可 【解答】解：f（x） 当 x（e，+）时，f（x）0， 函数 f（x）为（e，+）上的单调减函数 eab， f（a）f（b） 故选：A 【点评】本题主要考查了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，利用函数单调 性比较大小的方法，属基础题
17、 12 （5 分）已知过双曲线1（a0，b0）右焦点且倾斜角为 45的直线与双 曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ） A （1，） B （1，） C （，） D （，） 【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直 线的斜率，即tan451，求得 a 和 b 的不等式关系，进而根据 b转化成 a 和 c 的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于 1，综合可 得求得 e 的范围 【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小 于直线的斜率， 即tan451，即 ba， a， 整理得 ca，
18、 e 双曲线中 e1 e 的范围是（1，） 故选：B 第 9 页（共 15 页） 【点评】本题以双曲线为载体，考查了双曲线的简单性质在求离心率的范围时，注意 双曲线的离心率大于 1 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设 aR，若复数（1+i） （a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a 1 【分析】 （1+i） （a+i）a1+（a+1）i，则 a+10，解得答案 【解答】解： （1+i） （a+i）a1+（a+1）i， 若复数（1+i） （a+i）在复平面内对应的点位于实轴上， 则 a+10， 解得：a1， 故答案为：1 【点评】本题
19、考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于基础题 14 （5 分）若直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，则直线 l 的直角坐标方程 4x+3y 100 【分析】根据直线 l 的参数方程，消去参数 t，即可得到 l 的直角坐标方程 【解答】解：直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 消去 t，得直线 l 的直角坐标方程为：4x+3y100 故答案为：4x+3y100 【点评】本题考查了由直线的参数方程求直线的直角坐标方程，属基础题 15 （5 分）F1、F2是椭圆的两个焦点，过点 F2作 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两 点，则F1AB 的周长为 8 【分析】确定椭圆的几何
20、量，利用椭圆的定义，可得结论 【解答】解：椭圆中 a2 根据椭圆的定义，可知F1AB 的周长为|F1A+|F1B|+|AB|4a8 故答案为：8 【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于基础题 16 （5 分）设 x1，x2是函数 f（x）x32ax2+a2x 的两个极值点，若 x12x2，则实数 a 的取值范围是 （2，6） 第 10 页（共 15 页） 【分析】 由题意可得 x1， x2是方程 3x24ax+a20 的两个实数根， 故有 3224a2+a2 0，由此求得 a 的范围 【解答】解：x1，x2是函数 f（x）x32ax2+a2x 的两个极值点， x1，x2是方程的两
21、个实数根， 3224a2+a20，即 a28a+12（a2） （a6）0， 解得 2a6， 故答案为： （2，6） 【点评】本题主要考查函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于基础题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17已知 c0，且 c1，设 p：函数 ycx在 R 上单调递减；q：函数 f（x）x22cx+1 在（，+）上为增函数，若“p 且 q”为假， “p 或 q”为真，求实数 c 的取值范围 【分析】由函数 ycx在 R 上单调递减， 知 p： 0c1，p：c1；由 f（x） x22cx+1 在（，+）上为增函数，知 q：0c，q：c且 c1由“p 或 q”为真，
22、“p 且 q”为假，知 p 真 q 假，或 p 假 q 真，由此能求出实数 c 的取值范围 【解答】解函数 ycx在 R 上单调递减，0c1 （2 分） 即 p：0c1， c0 且 c1，p：c1 （3 分） 又f（x）x22cx+1 在（，+）上为增函数，c 即 q：0c， c0 且 c1，q：c且 c1 （5 分） 又“p 或 q”为真， “p 且 q”为假， p 真 q 假，或 p 假 q 真 （6 分） 当 p 真，q 假时，c|0c1c|c，且 c1c| （8 分） 当 p 假，q 真时，c|c1c|0c（10 分） 综上所述，实数 c 的取值范围是c| （12 分） 【点评】本题考
23、查复合命题的真假判断及应用，解题时要认真审题，注意指数函数和二 次函数的性质的灵活运用 第 11 页（共 15 页） 18如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生 产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3.5 4 5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+ ； （2）已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤试根据（2）求出的线性回 归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？ 【分析】 （1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的
24、几个数据，代入求系数 b 的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出 的值，得到线性回归方程 （2）根据上一问所求的线性回归方程，把 x100 代入线性回归方程，预测生产 100 吨 甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量 【解答】解： （1）由对照数据，计算得 4.5， 3.5， 0.8 0.15， 所求线性回归方程为 0.8x+0.15； （2）由（1）求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90（0.8100+0.15）9.85（吨） 【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题是非常符合新课标中对于线性回归 方程的要求，注意通过这个题目掌握一类问题，注
25、意数字的运算 19已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin2cos （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）当时，求直线 l 与曲线 C 交点的直角坐标 【分析】 （1）直接利用转换关系把极坐标方程转换为直角坐标方程 （2）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，建立二元二次方程组，解方 程组进一步求出结果 第 12 页（共 15 页） 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为 2sin2cos 转换为直角坐标方程为：x2+y22y2x， 即：x2+y22y+2x0 （2）由于， 故：直线
26、的参数方程为（t 为参数） ， 转换为直角坐标方程为：xy+20， 所以：， 解得：或 故：直线和曲线的交点直角坐标为（0，2）和（2，0） 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线 和曲线的位置关系的应用，二元二次方程组的解法的应用，主要考察学生的运算能力和 转换能力，属于基础题型 20设函数 f（x）x3x2+bx+c，曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y 1 （1）求 b，c 的值； （2）若 a0，求函数 f（x）的单调区间 【分析】 （1）求出函数的导数，得到关于 b，c 的方程组，解出即可； （2）求出函数的导 数，解关于导函
27、数的不等式，求出函数的单调区间即可 【解答】解： （1）函数的定义域为（，+） ，f（x）x2ax+b， 由题意得即； （2）由（1）得，f（x）x2axx（xa） （a0） ， 当 x（，0）时，f（x）0，当 x（0，a）时，f（x）0， 当 x（a，+）时，f（x）0 所以函数 f（x）的单调递增区间为（，0） ， （a，+） ，单调递减区间为（0，a） 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题 21已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，左右焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|2，点 第 13 页（共 15 页） （1，）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C
28、 的方程； （2）过 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且AF2B 的面积为，求直线 l 的方程 【分析】 （1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点（1，） 在椭圆 C 上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆 C 的方程； （2）为避免讨论可设过 F1的直线 l 的方程为 xty1，和椭圆方程联立后化为关于 y 的 一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，AF2B 的面积就是，由此求出 t 的值，则直线 l 的方程可求 【解答】解： （1）由题意可设椭圆 C 的方程为（ab0） ， 由|F1F2|2 得 c1，F1（1，0
29、） ，F2（1，0） ， 又点（1，）在椭圆 C 上，a2则 b2a2c2413 椭圆 C 的方程为； （2）如图， 设直线 l 的方程为 xty1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 把 xty1 代入，得： （3t2+4）y26ty90 ， ， ， t21， 第 14 页（共 15 页） 解得：（舍）或 t21，t1 故所求直线方程为：xy+10 【点评】本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系， 采用了设而不求的数学方法， 该题把直线 l 的方程设为 xty1， 避免了讨论直线斜率存 在和不存在的情况，此题属中档题 22设函数 f（x）lnx+，mR （）
30、当 me（e 为自然对数的底数）时，求 f（x）的极小值； （）讨论函数 g（x）f（x）零点的个数 【分析】 （）求出导数，令它大于 0，得到增区间，令小于 0，得到减区间，从而求出 极小值； （）求出 g（x）的表达式，令它为 0，则有 mx3+x设 h（x）x3+x，其定 义域为（0，+） 则 g（x）的零点个数为 h（x）与 ym 的交点个数，求出单调区间得 到最值，画出 h（x）的图象，由图象即可得到零点个数 【解答】解： （）当 me 时，f（x）lnx+，其定义域为（0，+） f（x） 令 f（x）0，xef（x）0，则 0xe；f（x）0，则 xe 故当 xe 时，f（x）取得
31、极小值 f（e）lne+2 （）g（x）f（x），其定义域为（0，+） 令 g（x）0，得 mx3+x 设 h（x）x3+x，其定义域为（0，+） ， 则 g（x）的零点个数为 h（x）与 ym 的交点个数 第 15 页（共 15 页） h（x）x2+1（x+1） （x1） x （0，1） 1 （1，+） h（x） + 0 h（x） 递增 极大值 递减 故当 x1 时，h（x）取得最大值 h（1） 作出 h（x）的图象，由图象可得， 当 m时，g（x）无零点； 当 m或 m0 时，g（x）有且仅有 1 个零点； 当 0m时，g（x）有两个零点 【点评】本题考查导数的综合运用：求单调区间和求极值，考查函数的零点问题，同时 考查分类讨论的思想方法，属于中档题
