1、2018-2019 学年江西省抚州市临川一中高二（下）第二次月考数学试卷（文科）（4月份）一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）复数 z1，z2在复平面内对应的点的坐标分别为（0，2） ， （1，1） ，则的模为 （ ） A1 B1+i C D2 2 （5 分）已知变量 x，y 之间的线性回归方程为，且变量 x，y 之间的一组 相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A变量 x，y 之间呈现负相关关系 B可以预测，当 x20 时，y3.7 Cm4 D该回归直线必过点（9，4）
2、 3 （5 分） “三角函数是周期函数，ytanx，是三角函数，所以 ytanx， 是周期函数” 在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ） A推理完全正确 B大前提不正确 C小前提不正确 D推理形式不正确 4 （5 分）正项等差数列an中的 a11，a4027是函数的极值点，则 （ ） A2 B3 C4 D5 5 （5 分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ） 第 2 页（共 23 页） A2 B3 C4 D5 6 （5 分）如果把 RtABC 的三边 a，b，c 的长度都增加 m（m0） ，则得到的新三角形的 形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D由增加
3、的长度决定 7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥 4 个侧面 中，直角三角形共有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 8 （5 分）已知命题 p：xR，x22ax+10；命题 q：xR，ax2+20若 pq 为假命 题，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，+） B （，1 C （，2 D1，1 9 （5 分）已知抛物线 y24x，焦点为 F，点 P（1，1） ，直线 l 过点 F 与抛物线交于 A， B 两点，若，则直线 l 的斜率等于（ ） A B2 C D 10 （5 分）已知正数 a，b 均小于 2，若 a、b、2 能作为三角形的三条边
4、长，则它们能构成 钝角三角形的三条边长的概率是（ ） A B C D 11 （5 分）已知双曲线中，左右顶点为 A1，A2，左焦点为 F1， B 为虚轴的上端点，点 P 在线段 BF1上（不含端点） ，满足，且这样的 P 点有两个，则双曲线离心率 e 的取值范围是（ ） 第 3 页（共 23 页） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）ex（x2）ax+a， （a2） ，若不等式 f（x）0 恰有三个不 同的整数，则的取值范围（ ） A B C D 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡上请把
5、答案填在答题卡上.） 13 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+tanx，则 14 （5 分）已知向量，且，若实数 x，y 均为正数，则 最小值是 15 （5 分）不难证明：一个边长为 a，面积为 S 的正三角形的内切圆半径，由此类比 到空间，若一个正四面体的一个面的面积为 S，体积为 V，则其内切球的半径为 16 （5 分）若函数 f（x）x2+1 与 g（x）2alnx+1 的图象存在公共切线，则实数 a 的最 大值为 三、解答题： （共计三、解答题： （共计 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17 （10 分）设极坐标
6、系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，已知曲线 C 的 极坐标方程为 4cos （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设直线（t 为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，求 AB 的长 18 （12 分） 南昌市在 2018 年召开了全球 VR 产业大会， 为了增强对青少年 VR 知识的普及， 某中学举行了一次普及 VR 知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了 50 人，女生中 随机抽取了 70 人参加 VR 知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得 到如 22 列联表： 优秀 非优秀 总计 男生 a 35 50 女生 30 d 70 总计 45 75 120
7、 （1）确定 a，d 的值； （2）试判断能否有 90%的把握认为 VR 知识测试成绩优秀与否与性别有关； 第 4 页（共 23 页） P （2k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 （3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出 6 名组 成宣传普及小组从这 6 人中随机抽取 2 名到校外宣传，求“到校外宣传的 2 名同学中 至少有 1 名是男生”的概率 附： 19 （12 分）如图，在三棱锥 SABC 中，SCA60，ASCABC90，ABBC， ，AC2
8、 （1）证明：平面 SAC平面 ABC； （2）已知 D 为棱 SC 上一点，若，求线段 AD 的长 20 （12 分）已知数列an满足 an+1an4n+1（nN*） ，且 a11， （ I）求数列an的通项公式； （ II）若 bn（1）n，求数列bn的前 n 项和 Sn 21 （12 分）已知椭圆 ：+1（ab0）的焦距为 2，且经过点（1，） （）求椭圆 的方程； （）A 是椭圆 与 y 轴正半轴的交点，椭圆 上是否存在两点 M、N，使得AMN 是 以 A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知函数 f（x）x2+axalnx，a
9、R （1）若 a1，求 f（x）的单调区间和极值； （2）设 g（x）f（x）+（a+2）lnx（a+2b2）x，且 g（x）有两个极值点 x1，x2（x1 第 5 页（共 23 页） x2） ，若，求 g（x1）g（x2）的最小值 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年江西省抚州市临川一中高二（下）第二次月考数学年江西省抚州市临川一中高二（下）第二次月考数 学试卷（文科） （学试卷（文科） （4 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分
10、）复数 z1，z2在复平面内对应的点的坐标分别为（0，2） ， （1，1） ，则的模为 （ ） A1 B1+i C D2 【分析】由已知可得 z1，z2，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简，根据复 数求模公式计算得答案 【解答】解：由复数 z1，z2在复平面内对应的点的坐标分别为（0，2） ， （1，1） ， 得 z12i，z21i， 则， 的模为： 故选：C 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 2 （5 分）已知变量 x，y 之间的线性回归方程为，且变量 x，y 之间的一组 相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y 6
11、m 3 2 A变量 x，y 之间呈现负相关关系 B可以预测，当 x20 时，y3.7 Cm4 D该回归直线必过点（9，4） 第 7 页（共 23 页） 【分析】根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可 【解答】解：对于 A：根据 b 的正负即可判断正负相关关系线性回归方程为 ，b0.70，负相关 对于 B，当 x20 时，代入可得 y3.7 对于 C：根据表中数据：9可得4即 ，解得：m5 对于 D：由线性回归方程一定过（） ，即（9，4） 故选：C 【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题 3 （5 分） “三角函数是周期函数，ytanx，是三角函数，所以 ytanx， 是周期
12、函数” 在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ） A推理完全正确 B大前提不正确 C小前提不正确 D推理形式不正确 【分析】根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一 步一步往下推，若错误，则无须往下推 【解答】解：对于 ytanx，而言，由于其定义域为， 不符合周期函数的定义，它不是三角函数， 对于“三角函数是周期函数，ytanx，是三角函数，所以 ytanx， 是周期函数”这段推理中，大前提正确，小前提不正确，故结论不正 确但推理形式是三段论形式，是正确的 故选：C 【点评】此题考查演绎推理的基本方法，前提的正确与否，直接影响后面的结论，此题 比较简单 4 （5
13、分）正项等差数列an中的 a11，a4027是函数的极值点，则 （ ） A2 B3 C4 D5 第 8 页（共 23 页） 【分析】先由极值点的概念得出 a11+a4027，再根据等差数列的性质求出 a2019，计算 的值 【解答】解：由题意知，f（x）x28x+4，a11+a40278， 根据等差数列的性质可知，a20194，故； 故选：C 【点评】本题考查极值的概念与等差数列的性质，属于基础题 5 （5 分）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据程序框图进行模拟运行即可 【解答】解：第一次循环，sinsin0，即 10 成立，a1，T1
14、，k2，k6 成立， 第二次循环，sinsin，即 01 不成立，a0，T1，k3，k6 成立， 第三次循环，sinsin，即10 不成立，a0，T1，k4，k6 成立， 第四次循环，sin2sin，即 01 成立，a1，T1+12，k5，k6 成立， 第五次循环，sinsin2，即 10 成立，a1，T2+13，k6，k6 不成立， 输出 T3， 故选：B 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关 键 6 （5 分）如果把 RtABC 的三边 a，b，c 的长度都增加 m（m0） ，则得到的新三角形的 形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形
15、 D由增加的长度决定 【分析】先设出原来的三边为 a、b、c 且 c2a2+b2，以及增加同样的长度为 x，得到新 第 9 页（共 23 页） 的三角形的三边为 a+x、b+x、c+x，知 c+x 为最大边，可得所对的角最大，然后根据余弦 定理判断出余弦值为正数，可得最大角为锐角，得到三角形为锐角三角形 【解答】解：设增加同样的长度为 m，原三边长为 a、b、c，且 c2a2+b2，c 为最大边； 新的三角形的三边长为 a+m、b+m、c+m，知 c+m 为最大边，其对应角最大 而（a+m）2+（b+m）2（c+m）2m2+2（a+bc）m0， 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦0， 则为锐
16、角， 那么它为锐角三角形 故选：A 【点评】考查学生灵活运用余弦定理解决实际问题的能力，以及掌握三角形一些基本性 质的能力，属于基础题 7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥 4 个侧面 中，直角三角形共有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】由已知中的某四棱锥的三视图，画出几何体的直观图，通过直线与平面以及直 线与直线的位置关系，可得答案 【解答】解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得： 该几何体的直观图如下图所示：PABCD 四棱锥， 俯视图是直角三角形， DA底面 APB， 所以PAD 是直角三角形， PBC 是直角三角形， CDPD
17、，所以PCD 也是直角三角形 故选：A 第 10 页（共 23 页） 【点评】本题考查的知识点是简单几何体的三视图，判断直线与直线的位置关系 8 （5 分）已知命题 p：xR，x22ax+10；命题 q：xR，ax2+20若 pq 为假命 题，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，+） B （，1 C （，2 D1，1 【分析】 分别求出命题 p， q 为真命题的等价条件， 结合复合命题真假关系进行求解即可 【解答】解：若xR，x22ax+10；则判别式4a240， 得 a21，即1a1，即 p：1a1， 若：xR，ax2+20， 则当 a0 时，不成立， 则 a0，即 q：a0， 若 pq
18、为假命题，则 p，q 同时为假命题， 则，即 a1， 即实数 a 的取值范围是1，+） ， 故选：A 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合不等式的性质求出命题为真命题 的等价条件是解决本题的关键 9 （5 分）已知抛物线 y24x，焦点为 F，点 P（1，1） ，直线 l 过点 F 与抛物线交于 A， B 两点，若，则直线 l 的斜率等于（ ） A B2 C D 【分析】设直线斜率为 k，联立方程组，利用根与系数的关系得出 A，B 坐标的关系，根 据若列方程解出 k 的值， 【解答】解：抛物线的焦点坐标为 F（1，0） ， 设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为：yk（x1
19、） ， 第 11 页（共 23 页） 联立方程组，消去 x 得：ky24y4k0， 消去 y 得：k2x2（2k2+4）x+k20， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y1y24，y1+y2， x1x21，x1+x22+， 又（x1+1，y11） ，（x2+1，y21） ， （x1+1） （x2+1）+（y11） （y21）0， 即 x1x2+（x1+x2）+1+y1y2（y1+y2）+10， 1+2+14+10，解得 k2 故选：B 【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题 10 （5 分）已知正数 a，b 均小于 2，若 a、b、2 能作为三角形的三
20、条边长，则它们能构成 钝角三角形的三条边长的概率是（ ） A B C D 【分析】0a2，0b2，a，b，c 能作为三角形的三条边长，则，它们能 构造钝角三角形的三边长，则，再根据几何概型概率公式可得 【解答】解：0a2，0b2，a，b，c 能作为三角形的三条边长，则，它 们能构造钝角三角形的三边长，则， 如图：表示的图形的面积为2， 第 12 页（共 23 页） 表示图形的面积为22222， 所以根据几何概型可得所求概率为1 故选：B 【点评】本题考查了几何概型，属中档题 11 （5 分）已知双曲线中，左右顶点为 A1，A2，左焦点为 F1， B 为虚轴的上端点，点 P 在线段 BF1上（不
21、含端点） ，满足，且这样的 P 点有两个，则双曲线离心率 e 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】求出直线 BF 的方程为 bx+cybc0，利用直线与圆的位置关系，结合 e1， 以及 P 与 B 重合，即可求出双曲线离心率 e 的取值范围 【解答】解：由题意，F（c，0） ，B（0，b） ，则直线 BF 的方程为 bx+cybc0， 满足，且这样的 P 点有两个， 可得在线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点 Pi（i1，2） ， 使得PiA1A2（i1，2）构成以线段 A1A2为斜边的直角三角形， a，且 a2+b2c2，e， 可得 c43a2c2+a40， 第 13 页（共 2
22、3 页） e43e2+10， 1e， 当 P 与 B 重合时，可得 ba，即 e， 则e， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中 档题 12 （5 分）已知函数 f（x）ex（x2）ax+a， （a2） ，若不等式 f（x）0 恰有三个不 同的整数，则的取值范围（ ） A B C D 【分析】根据函数与方程之间的关系转化为两个函数图象关系，利用数形结合进行转化 求解即可 【解答】解：由 f（x）ex（x2）ax+a0， 得 ex（x2）axa， 令 g（x）（x2）ex，h（x）axaa（x1） ，则 h（x）过定点（1，0） 由题意知，存在
23、3 个正整数，使 g（x）在直线 h（x）的下方， g（x）（x1）ex， 当 x1 时，g（x）0，此时 g（x）为增函数， 当 x1 时，g（x）0，此时 g（x）为减函数， 即当 x1 时，g（x）取得极小值，同时也是最小值 g（x）ming（1）e， 且 g（0）2，g（2）0，g（3）e3，g（1） 直线 h（x）恒过点（1，0） ，且斜率为 a， 由题意可知当 a0 时，不满足条件有很多整数解， 则 a0， 此时 x1，x2 满足条件，由图象知，此时只能 x0 时，满足条件， 则满足，即得，即a2， 第 14 页（共 23 页） 故实数 a 的取值范围是，2） ， 故选：D 【点评
24、】本题主要考查函数与方程的应用，结合导数研究函数的单调性和图象，利用数 形结合是解决本题的关键综合性较强 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡上请把答案填在答题卡上.） 13 （5 分）已知函数 f（x）sin2x+tanx，则 3 【分析】根据题意，求出函数的导数，将 x带入其中计算可得答案 【解答】解：根据题意，f（x）sin2x+tanxsin2x+， 其导数 f（x）2cos2x+， 则2cos+3； 故答案为：3 【点评】本题考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题 14 （5
25、 分）已知向量，且，若实数 x，y 均为正数，则 最小值是 16 【分析】 由向量平行求出 3x+y1， 再由实数 x， y 均为正数， 得到 （）（3x+y） 9+10+216由此能求出的最小值 【解答】解：向量，且， ，3x+y1， 实数 x，y 均为正数， 第 15 页（共 23 页） （） （3x+y）9+10+216 当且仅当时取等号， 最小值是 16 故答案为：16 【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查向量平行、不等式性质等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题 15 （5 分）不难证明：一个边长为 a，面积为 S 的正三角形的内切圆半径，由此类比 到空间，若一个正四面体的一
26、个面的面积为 S，体积为 V，则其内切球的半径为 【分析】由类比推理的规则点类比线，线类比面，面类比体，由此类比规则求解本题即 可 【解答】解：由已知若一个边长为 a，面积为 S 的正三角形的内切圆半径： r， 三角形是平面图形，二维的，四面体是空间图形是三维的， 三角形有三个边，四面体有四个面，三角形有面积，四面体有体积， 则类比得：若一个正四面体的一个面的面积为 S，体积为 V，则其内切球的半径 r 故答案为： 【点评】本题考查类比推理，求解的关键是熟练掌握类比的规则以及平面与空间两种图 形之间类比的对应的量如：点类比线，线类比面，面类比体 16 （5 分）若函数 f（x）x2+1 与 g
27、（x）2alnx+1 的图象存在公共切线，则实数 a 的最 大值为 e 【分析】设公切线与 f（x） 、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化 简，分离出 a 后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数 a 的取 值范围和最大值 【解答】解：f（x）的导数为 2x，g（x）的导数为，a0， 设公共切线与 f（x）x2+1 的图象切于点（m，m2+1） ， 与 g（x）2alnx+1 切于点（n，2alnn+1） ， 第 16 页（共 23 页） 2m， 化简可得，amn，2mn2m22alnnm2， 可得 2a（1lnn）， 即有n2（1lnn） ， 设 h（x
28、）x2（1lnx） ，x0， 则 h（x）x2xlnx， h（x）在（0，）上递增，在（，+）上递减， h（x）maxh（）， 实数 a 的取值范围为（，e， 即 a 的最大值为 e 故答案为：e 【点评】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应 用，及方程思想和构造函数法，属于中档题 三、解答题： （共计三、解答题： （共计 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17 （10 分）设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，已知曲线 C 的 极坐标方程为 4cos （1）求曲线 C 的直
29、角坐标方程； （2）设直线（t 为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，求 AB 的长 【分析】 （1）把 4cos 两边同时乘以 ，结合 2x2+y2，cosx 可得曲线 C 的直 角坐标方程； （2）化直线的参数方程为普通方程，由圆的方程求出圆心坐标与半径，由点到直线的距 离公式求得圆心距，再由垂径定理求 AB 的长 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为 4cos，即 24cos 把 2x2+y2，cosx 代入，得 x2+y24x， 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y24x； （2）直线（t 为参数）的直角坐标方程为 yx1 化 x2+y24x 为（x2）2+y24， 第 17
30、 页（共 23 页） 可得圆心 C（2，0） ，半径 r2 圆心 C 到直线的距离， 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了直线被圆 所截弦长的求法，是中档题 18 （12 分） 南昌市在 2018 年召开了全球 VR 产业大会， 为了增强对青少年 VR 知识的普及， 某中学举行了一次普及 VR 知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了 50 人，女生中 随机抽取了 70 人参加 VR 知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得 到如 22 列联表： 优秀 非优秀 总计 男生 a 35 50 女生 30 d 70 总计 45 75 120 （1）确定
31、a，d 的值； （2）试判断能否有 90%的把握认为 VR 知识测试成绩优秀与否与性别有关； P （2k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 （3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出 6 名组 成宣传普及小组从这 6 人中随机抽取 2 名到校外宣传，求“到校外宣传的 2 名同学中 至少有 1 名是男生”的概率 附： 【分析】 （1）由列联表计算 a、d 的值即可； （2）由题意计算观测值，对照数表得出结论； （3）根据分层抽样原理，利用列举法求出基本事件
32、数，计算所求的概率值 【解答】解： （1）由列联表知 a+3550，30+d70， 解得 a15，d40；（2 分） （2）由题可知 n120，计算 K22.0572.706， 第 18 页（共 23 页） 所以没有 90%的把握认为 VR 知识测试成绩优秀与否与性别有关；（6 分） （3）由 a15，结合分层抽样原理知，抽取 6 人， 则男生中抽取 2 人，记 A1，A2；女生抽取 4 人，记 B1，B2，B3，B4； 从 6 人中抽取 2 人，基本事件是： （A1A2） 、 （A1B1） 、 （A1B2） 、 （A1B3） 、 （A1B4） 、 （A2B1） 、 （A2B2） 、 （A2B
33、3） 、 （A2B4） 、 （B1B2） 、 （B1B3） 、 （B1B4） 、 （B2B3） 、 （B2B4） 、 （B3B4）共有 15 种； 如果 2 人都是女生，即： （B1B2） 、 （B1B3） 、 （B1B4） 、 （B2B3） 、 （B2B4） 、 （B3B4）共有 6 种，（10 分） 故所求的概率为（12 分） 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概 率问题，是中档题 19 （12 分）如图，在三棱锥 SABC 中，SCA60，ASCABC90，ABBC， ，AC2 （1）证明：平面 SAC平面 ABC； （2）已知 D 为棱 SC 上
34、一点，若，求线段 AD 的长 【分析】 （1）取 AC 的中点 M，连接 SM，BM，由已知求得 BMSM1，又 SB， 利用勾股定理证明 BMSM，再由 BMAC，利用线面垂直的判定可得 BM平面 SAC， 再由面面垂直的判定得平面 SAC平面 ABC； （2）由已知求出三角形 SAC 的面积，结合（1）求出 BASC 的体积，结合已知利用四 棱锥 BACD 与三棱锥 BASC 的体积比求得 SD，进一步求解线段 AD 的长 【解答】 （1）证明：取 AC 的中点 M，连接 SM，BM， ABCASC90，AC2， 第 19 页（共 23 页） BMSM1，又 SB， SM2+BM2SB2，
35、则 BMSM， ABBC，BMAC， 又 ACSMM，BM平面 SAC， 而 BM平面 ABC， 平面 SAC平面 ABC； （2）解：由已知， 由（1）知 BM平面 SAC，且，则 ， 则， 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练 了多面体体积的求法，是中档题 20 （12 分）已知数列an满足 an+1an4n+1（nN*） ，且 a11， （ I）求数列an的通项公式； （ II）若 bn（1）n，求数列bn的前 n 项和 Sn 【分析】 （I）an+1an4n+1（nN*） ，即 anan14n3，且 a11，利用 an（an an1）+（an1a
36、n2）+（a2a1）+a1即可得出 第 20 页（共 23 页） （II）bn（1）n（1）n对 n 分类讨论即可得出 【解答】解： （I）an+1an4n+1（nN*） ，即 anan14n3，且 a11， an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1（4n3）+（4n7）+4 23+1 2n2n （II）bn（1）n（1）n n2k（kN*）时，数列bn的前 n 项和 SnS2k+ + 1+ n 2k 1 （ kN*） 时 ， 数 列 bn 的 前 n 项 和 Sn + + 1 【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、累加求和与裂项 求和方法、分类讨论方法
37、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 21 （12 分）已知椭圆 ：+1（ab0）的焦距为 2，且经过点（1，） （）求椭圆 的方程； （）A 是椭圆 与 y 轴正半轴的交点，椭圆 上是否存在两点 M、N，使得AMN 是 以 A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由 【分析】 （）由椭圆的 a，b，c 的关系和已知点在椭圆上，解方程即可得到 a，b，进而 得到椭圆方程； （）由题意可知，直角边 AM，AN 不可能垂直或平行于 x 轴，故可设 AM 所在直线的 方程为 ykx+1，不妨设 k0，联立直线方程和椭圆方程，消去 y，解方程求得 M 的坐 标，同样求
38、得 N 的坐标，由 AMAN，求得 k，讨论 k，即可判断符合条件的三角形的个 第 21 页（共 23 页） 数 【解答】解： （）由题意可得，解得 a24，b21， 所以椭圆 的方程为 （）由题意可知，直角边 AM，AN 不可能垂直或平行于 x 轴， 故可设 AM 所在直线的方程为 ykx+1，不妨设 k0， 则直线 AM 所在的方程为 联立方程，消去 y，整理得（1+4k2）x2+8kx0， 解得， 将，代入 ykx+1 可得， 故点 所以 同理可得，由|AM|AN|，得 k（4+k2）1+4k2， 所以 k34k2+4k10，则（k1） （k23k+1）0，解得 k1 或 当 AM 斜率
39、 k1 时，AN 斜率1；当 AM 斜率时，AN 斜率； 当 AM 斜率时，AN 斜率 综上所述，符合条件的三角形有 3 个 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，解交点，考查两 直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）x2+axalnx，aR （1）若 a1，求 f（x）的单调区间和极值； （2）设 g（x）f（x）+（a+2）lnx（a+2b2）x，且 g（x）有两个极值点 x1，x2（x1 第 22 页（共 23 页） x2） ，若，求 g（x1）g（x2）的最小值 【分析】 （1）先求出导数，判断出函数的单调性，求出极小值；
40、 （2）先根据极值概念得出 x1+x2b1，x1x21，然后对 g（x1）g（x2）进行化简整 理，采用换元法，构造新函数，再研究新函数的单调性求出最小值即可 【解答】解： （1）将 a1 代入 f（x）中，得到 f（x）x2+xlnx，求导， 得到，结合 x0， 当 f（x）0 得到：f（x）在单调递增，当 f（x）0，得 f（x）到在 单调递减， 且f（x）在时有极小值 ，（4 分） （2）将 f（x）解析式代入，得 g（x）x2（2b2）x+2lnx，求导 得到， 令 g（x）0，得到 x2（b1）x+10， 所以x1+x2b1，x1x21， （8 分） 因为 0x1x2，所以设， 令， 第 23 页（共 23 页） 则 所以 h（t）在（0，1）单调递减， 又因为 所以， 所以或 t3 又因为 0t1，所以 所以， 所以g（x1）g（x2）的最小值为 （12 分） 【点评】本题考查函数的极值、最值的综合问题，属于较难题目
