1、2018-2019 学年江西省南昌二中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）在每小题给出的四个选项中，只有分）在每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内一项是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内 1 （3 分）下列“QQ 表情”中属于轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax2+x2x4 B （xy）2x2y2 C （x2y）3x6y D （x）2x3x5 3 （3 分）若点 A（1+m，1n）与点 B（3，2）关于 y 轴对称，则 m
2、+n 的值是（ ） A5 B3 C3 D1 4 （3 分）如图，直线 lmn，等边ABC 的顶点 B、C 分别在直线 n 和 m 上，边 BC 与 直线 n 所夹锐角为 28，则 的度数为（ ） A28 B30 C32 D45 5 （3 分）下列运算结果为 x1 的是（ ） A1 B C D 6 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，BAD130，BD90，点 E，F 分别是 线段 BC，DC 上的动点当AEF 的周长最小时，则EAF 的度数为（ ） 第 2 页（共 26 页） A90 B80 C70 D60 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题
3、 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）使分式有意义的 x 的取值范围为 8 （3 分）计算：x （2x2）3 9 （3 分） 我们规定： 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 “特征值” ， 记作 k，若 k，则该等腰三角形的顶角为 度 10 （3 分）已知实数 a，b 满足 a2b21，则（a+b）2019 （ab）2019的值是 11 （3 分）已知 am3，an2，则 a2m n 的值为 12 （3 分）在ABC 中，CACB，ACB120，将一块足够大的直角三角尺 PMN（ M90、MPN
4、30）按如图所示放置，顶点 P 在线段 AB 上滑动，三角尺的直角 边 PM 始终经过点 C，并且与 CB 的夹角PCB，斜边 PN 交 AC 于点 D在点 P 的滑 动过程中，若PCD 是等腰三角形，则夹角 的大小是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分，解答应写出演算步分，解答应写出演算步 13 （6 分） （1）因式分解：6xy29x2yy3； （2）已知如图，四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，求证：AC 14 （6 分）先化简，再求值： （9x3y12xy3+3xy2）（3xy）（2y+x） （2yx）
5、 ，其中 x 第 3 页（共 26 页） 1，y2 15 （6 分）有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘 米，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2（a+b）2， 对于方案一，小明是这样验证的： a2+ab+ab+b2a2+2ab+b2（a+b）2 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程 方案二： 方案三： 16 （6 分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为 1 个单位长度的等边三角形组成） ，其 中已经涂黑了 3 个小三角形（阴影部分表示） ，请你分别在甲、乙、丙三个图中涂黑一个 小三角形，使它与阴
6、影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形 17 （6 分）图 1 中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图 2当伞收紧时，点 P 与点 A 重合； 当伞慢慢撑开时， 动点 P 由 A 向 B 移动； 当点 P 到过点 B 时， 伞张得最开 已 知伞在撑开的过程中，总有 PMPNCMCN6.0 分米，CECF18.0 分米，BC 2.0 分米 （1）求 AP 长的取值范围； （2）当CPN60时，求 AP 的值 第 4 页（共 26 页） 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）数学课上，张老师举了下面的例题：
7、 例例 1 等腰三角形 ABC 中，A110，求B 的度数 （答案：35） 例例 2 等腰三角形 ABC 中，A40，求B 的度数， （答案：40或 70或 100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式变式 等腰三角形 ABC 中，A80，求B 的度数 （1）请你解答以上的变式题 （2）解（1）后，小敏发现，A 的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同，如果 在等腰三角形 ABC 中，设Ax，当B 有三个不同的度数时，请你探索 x 的取值范 围 19 （8 分）如图，已知线段 ACy 轴，点 B 在第一象限，且 AO 平分BAC，AB 交 y 轴于 G，连 OB、OC （1）
8、判断AOG 的形状，并予以证明； （2）若点 B、C 关于 y 轴对称，求证：AOBO 20 （8 分）阅读材料：若 m22mm+2n24n+40，求 m，n 的值 解：m22mn+2n24n+40 （m22mn+n2）+（n24n+4）0 （mn）2+（n2）20， （mn）20， （n2）20 （mn）20， （n2）20 第 5 页（共 26 页） m2，n2 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b26a2b+100，则 a ，b ； （2）已知 x2+2y22xy+8y+160，求 xy 的值； （3）已知ABC 的三边长 a，b，c 都是正整数，且
9、满足 2a2+b24a8b+180，求 ABC 的周长 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分） （1）若 a+2，则 a2+ ，a4+ （2）若 a+n，则 a2+ ，a4+ ， （用含有 n 的式子的表示） （3）若 a+2，下列等式： （a2+）+（a4+）+（a2n+）2n； （a2+）+（a4+）+（a2n+）2n， 当 n 为自然数时，有且仅有一个成立，请选择，并说明理由 22 （9 分）已知ABC 在平面直角坐标系中的位
10、置如图所示，直线 l 过点 M（3，0）且平 行于 y 轴 （1）作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1，并写出A1B1C1各顶点的坐标 （2）如果点 P 的坐标是（a，0） ，其中 a0，点 P 关于 y 轴的对称点是 P1，点 P1关 于直线 l 的对称点是 P2，求 P1P2的长 （用含 a 的代数式表示） （3）通过计算加以判断，PP2的长会不会随点 P 位置的变化而变化 六、解答题（本大题六、解答题（本大题 1 小题，共小题，共 12 分）分） 23 （12 分）在 RtABC 中，ACB90，A30，BD 是ABC 的角平分线，DE AB 于点 E 第 6 页（共 26 页）
11、（1）如图 1，连接 EC，求证：EBC 是等边三角形； （2）点 M 是线段 CD 上的一点（不与点 C，D 重合） ，以 BM 为一边，在 BM 的下方作 BMG60， MG 交 DE 延长线于点 G 请你在图 2 中画出完整图形， 并直接写出 MD， DG 与 AD 之间的数量关系； （3）如图 3，点 N 是线段 AD 上的一点，以 BN 为一边，在 BN 的下方作BNG60， NG 交 DE 延长线于点 G试探究 ND，DG 与 AD 数量之间的关系，并说明理由 第 7 页（共 26 页） 2018-2019 学年江西省南昌二中八年级（上）期中数学试卷学年江西省南昌二中八年级（上）期
12、中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）在每小题给出的四个选项中，只有分）在每小题给出的四个选项中，只有 一项是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内一项是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内 1 （3 分）下列“QQ 表情”中属于轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选
13、：C 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 折叠后可重合 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax2+x2x4 B （xy）2x2y2 C （x2y）3x6y D （x）2x3x5 【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计 算，判断即可 【解答】解：x2+x22x2，A 错误； （xy）2x22xy+y2，B 错误； （x2y）3x6y3，C 错误； （x）2x3x2x3x5，D 正确； 故选：D 【点评】本题考查的是合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法，掌握 它们的运算法则是解题的关键 3
14、 （3 分）若点 A（1+m，1n）与点 B（3，2）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是（ ） 第 8 页（共 26 页） A5 B3 C3 D1 【分析】根据关于 y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求 出 m、n 的值，代入计算可得 【解答】解：点 A（1+m，1n）与点 B（3，2）关于 y 轴对称， 1+m3、1n2， 解得：m2、n1， 所以 m+n211， 故选：D 【点评】本题主要考查关于 x、y 轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两点关于 y 轴对 称，纵坐标不变，横坐标互为相反数 4 （3 分）如图，直线 lmn，等边ABC 的顶点 B、C 分别在直
15、线 n 和 m 上，边 BC 与 直线 n 所夹锐角为 28，则 的度数为（ ） A28 B30 C32 D45 【分析】根据平行线的性质得到ACD，BCDCBE28，即+CBE ACB60，即可求出答案 【解答】解：如图，lmn， ACD，BCDCBE28， ABC 是等边三角形， ACB60， +CBEACB60， 32 故选：C 第 9 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查对等边三角形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，此 题是一个比较典型的题目，题型较好 5 （3 分）下列运算结果为 x1 的是（ ） A1 B C D 【分析】根据分式的基本性质和运算法则分别计算
16、即可判断 【解答】解：A、1，故此选项错误； B、原式x1，故此选项正确； C、原式 （x1），故此选项错误； D、原式x+1，故此选项错误； 故选：B 【点评】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的 关键 6 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，BAD130，BD90，点 E，F 分别是 线段 BC，DC 上的动点当AEF 的周长最小时，则EAF 的度数为（ ） A90 B80 C70 D60 【分析】据要使AEF 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上， 作出 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A， A， 即可得出AAE+AHAA50，
17、第 10 页（共 26 页） 进而得出AEF+AFE2（AAE+A） ，即可得出答案 【解答】解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A，A，连接 AA，交 BC 于 E，交 CD 于 F，则 AA即为AEF 的周长最小值作 DA 延长线 AH， DAB130， HAA50， AAE+AHAA50， EAAEAA，FADA， EAA+AAF50， EAF1305080， 故选：B 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三 角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出 E，F 的位置是解题关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共
18、6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）使分式有意义的 x 的取值范围为 x2 【分析】分式有意义：分母不等于零 【解答】解：当分母 x+20，即 x2 时，分式有意义 故填：x2 【点评】从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零 8 （3 分）计算：x （2x2）3 4x7 【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式计算得出答案 【解答】解：x （2x2）3 第 11 页（共 26 页） x （8x6） 4x7 故答案为：4x7 【点评】此题主要考
19、查了积的乘方运算、单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题 关键 9 （3 分） 我们规定： 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 “特征值” ， 记作 k，若 k，则该等腰三角形的顶角为 36 度 【分析】根据等腰三角形的性质得出BC，根据三角形内角和定理和已知得出 5A 180，求出即可 【解答】解： ABC 中，ABAC， BC， 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值” ，记作 k，若 k ， A：B1：2， 即 5A180， A36， 故答案为：36 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、 三角形内角和定理和
20、已知得出 5A180是解此题的关键 10 （3 分）已知实数 a，b 满足 a2b21，则（a+b）2019 （ab）2019的值是 1 【分析】先逆用积的乘方公式（a+b）2019 （ab）2019（a+b） （ab）2019，再运用 平方差公式计算中括号里面的，最后进行乘方即可 【解答】解： （a+b）2019 （ab）2019（a+b） （ab）2019a2b220191 第 12 页（共 26 页） 故答案为1 【点评】本题主要考查了平方差公式以及积的乘方公式的逆用，解题的关键是观察式子， 运用整体思想构造所学公式 11 （3 分）已知 am3，an2，则 a2m n 的值为 4.5
21、【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出 a2m的值；然后根据同底数幂的除法的运 算方法，求出 a2m n 的值为多少即可 【解答】解：am3， a2m329， a2m n 4.5 故答案为：4.5 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相 除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：底数 a0，因为 0 不能做除数；单独的一个字母，其指数是 1，而不是 0；应用同底数幂除法的法则 时，底数 a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么 12 （3 分）在ABC 中，CACB，ACB120，将一块足够大的直角三角尺 PMN
22、（ M90、MPN30）按如图所示放置，顶点 P 在线段 AB 上滑动，三角尺的直角 边 PM 始终经过点 C，并且与 CB 的夹角PCB，斜边 PN 交 AC 于点 D在点 P 的滑 动过程中，若PCD 是等腰三角形，则夹角 的大小是 45或 90或 0 【分析】分三种情况考虑：当 PCPD；PDCD；PCCD，分别求出夹角 的大小即 可 【解答】解：PCD 是等腰三角形， PCD120，CPD30， 当 PCPD 时， 第 13 页（共 26 页） PCDPDC75，即 12075， 45； 当 PDCD 时，PCD 是等腰三角形， PCDCPD30，即 12030， 90； 当 PCCD
23、 时，PCD 是等腰三角形， CDPCPD30， PCD180230120， 即 120120， 0， 此时点 P 与点 B 重合，点 D 和 A 重合， 综合所述：当PCD 是等腰三角形时，45或 90或 0 故答案为：45或 90或 0 【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思 想解决问题是解本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分，解答应写出演算步分，解答应写出演算步 13 （6 分） （1）因式分解：6xy29x2yy3； （2）已知如图，四边形 ABCD 中，ABBC，ADCD，
24、求证：AC 【分析】 （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）连接 BD，证明BADBCD，根据全等三角形的性质证明即可 【解答】解： （1）6xy29x2yy3； y（y26xy+9x2） y（y3x）2； （2）证明：连接 BD， 在BAD 和BCD 中 第 14 页（共 26 页） ， BADBCD（SSS） ， AC 【点评】本题考查了分解因式和全等三角形的性质和判定，能熟练地运用各个方法分解 因式是解（1）的关键，能求出BADBCD 是解（2）的关键 14 （6 分）先化简，再求值： （9x3y12xy3+3xy2）（3xy）（2y+x） （2yx） ，其中 x 1，
25、y2 【分析】根据整式的除法和平方差公式可以化简本题，然后将 x1，y2 代入化简后 的式子即可解答本题 【解答】解： （9x3y12xy3+3xy2）（3xy）（2y+x） （2yx） 3x2+4y2y4y2+x2 2x2y， 当 x1，y2 时，原式212（2）2+20 【点评】本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键 15 （6 分）有一张边长为 a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 b 厘 米，木工师傅设计了如图所示的三种方案： 小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2（a+b）2， 对于方案一，小明是这样验证的： a2+ab+ab+b2a2+2
26、ab+b2（a+b）2 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程 方案二： 第 15 页（共 26 页） 方案三： 【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决 【解答】解：由题意可得， 方案二：a2+ab+（a+b）ba2+ab+ab+b2a2+2ab+b2（a+b）2， 方案三：a2+a2+2ab+b2 （a+b）2 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的 推导过程 16 （6 分）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为 1 个单位长度的等边三角形组成） ，其 中已经涂黑了 3 个小三角形（阴影部分表示） ，请你分别在甲、
27、乙、丙三个图中涂黑一个 小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形 【分析】根据轴对称的性质进行作图即可 【解答】解：如图所示： 【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案以及等边三角形的性质，利用轴对称设计 图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得 到不同的图案 17 （6 分）图 1 中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图 2当伞收紧时，点 P 与点 A 重合； 当伞慢慢撑开时， 动点 P 由 A 向 B 移动； 当点 P 到过点 B 时， 伞张得最开 已 知伞在撑开的过程中，总有 PMPNCMCN6.0 分米，CECF18.0 分米
28、，BC 第 16 页（共 26 页） 2.0 分米 （1）求 AP 长的取值范围； （2）当CPN60时，求 AP 的值 【分析】 （1）根据题意，得 ACCN+PN，进一步求得 AB 的长，即可求得 AP 的取值范 围； （2）根据等边PCN 的判定和性质即可求解 【解答】解： （1）BC2.0 分米，ACCN+PN12 分米， AB12210（分米） ， AP 的取值范围为：0 分米AP10 分米 （2）CNPN，CPN60， PCN 等边三角形 CP6 分米 APACPC1266（分米） 即当CPN60时，AP6 分米 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质解答该题时，需要弄清楚遮阳伞
29、的工作 原理 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）数学课上，张老师举了下面的例题： 例例 1 等腰三角形 ABC 中，A110，求B 的度数 （答案：35） 例例 2 等腰三角形 ABC 中，A40，求B 的度数， （答案：40或 70或 100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式变式 等腰三角形 ABC 中，A80，求B 的度数 （1）请你解答以上的变式题 第 17 页（共 26 页） （2）解（1）后，小敏发现，A 的度数不同，得到B 的度数的个数也可能不同，如果 在等腰三角形 ABC
30、中，设Ax，当B 有三个不同的度数时，请你探索 x 的取值范 围 【分析】 （1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论； （2）分两种情况：90x180；0x90，结合三角形内角和定理求解即可 【解答】解： （1）若A 为顶角，则B（180A）250； 若A 为底角，B 为顶角，则B18028020； 若A 为底角，B 为底角，则B80； 故B50或 20或 80； （2）分两种情况： 当 90x180 时，A 只能为顶角， B 的度数只有一个； 当 0x90 时， 若A 为顶角，则B（）； 若A 为底角，B 为顶角，则B（1802x）； 若A 为底角，B 为底角，则Bx 当18
31、02x 且 1802xx 且x， 即 x60 时，B 有三个不同的度数 综上所述，可知当 0x90 且 x60 时，B 有三个不同的度数 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关 键 19 （8 分）如图，已知线段 ACy 轴，点 B 在第一象限，且 AO 平分BAC，AB 交 y 轴于 G，连 OB、OC （1）判断AOG 的形状，并予以证明； （2）若点 B、C 关于 y 轴对称，求证：AOBO 第 18 页（共 26 页） 【分析】 （1）易证CAOAOG 和CAOGAO，即可判定AOG 是等腰三角形； （2） 连接 BC 交 y 轴于 K
32、， 过 A 作 ANy 轴于 N， 易证ANGBKG， 即可证明BOG OBG，OAGAOG，根据三角形内角和为 180性质即可解题 【解答】解： （1）AOG 是等腰三角形； 证明：ACy 轴， CAOAOG， AO 平分BAC， CAOGAO， GAOAOG， AGGO， AOG 是等腰三角形； （2）证明：连接 BC 交 y 轴于 K，过 A 作 ANy 轴于 N， ACy 轴，点 B、C 关于 y 轴对称， ANCKBK， 在ANG 和BKG 中， ， ANGBKG， （AAS） AGBG， AGOG， （1）中已证， 第 19 页（共 26 页） AGOGBG， BOGOBG，OAG
33、AOG， OAG+AOG+BOG+OBG180， AOG+BOG90， AOBO 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质， 本题中求证ANGBKG 是解题的关键 20 （8 分）阅读材料：若 m22mm+2n24n+40，求 m，n 的值 解：m22mn+2n24n+40 （m22mn+n2）+（n24n+4）0 （mn）2+（n2）20， （mn）20， （n2）20 （mn）20， （n2）20 m2，n2 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b26a2b+100，则 a 3 ，b 1 ； （2）已知 x2+2y22xy+8y+160，求 xy
34、 的值； （3）已知ABC 的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足 2a2+b24a8b+180，求 ABC 的周长 【分析】 （1）利用配方法将已知等式进行变形，得到： （a3）2+（b1）20，结合非 负数的性质求得 a、b 的值； （2）将 x22xy+2y2+8y+160 变形为（xy）2+（y+4）20，再根据非负数的性质求 出 x4，y4，代入 xy，计算即可； （3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可 【解答】解： （1）a2+b26a2b+100， （a26a+9） （b22b+1）0， （a3）2+（b1）20， （a3）20， （b1）20，
35、a30，b10， a3，b1， 第 20 页（共 26 页） 故答案为：3，1； （2）x22xy+2y2+8y+160， （x22xy+y2）+（y2+8y+16）0， （xy）2+（y+4）20， （xy）20， （y+4）20， x4，y4， xy4（4）16； （3）2a2+b24a8b+180， （2a24a+2）+（b28b+16）0， 2（a1）2+（b4）20， a1，b4， 边长 c 的范围为 3c5 a，b，c 都是正整数， 边长 c 的值为 4，则ABC 的周长为 1+4+49 【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握 三角形三边关系是
36、解题的关键 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分） （1）若 a+2，则 a2+ 2 ，a4+ 2 （2）若 a+n，则 a2+ n22 ，a4+ n44n2+2 ， （用含有 n 的式子的 表示） （3）若 a+2，下列等式： （a2+）+（a4+）+（a2n+）2n； （a2+）+（a4+）+（a2n+）2n， 当 n 为自然数时，有且仅有一个成立，请选择，并说明理由 【分析】 （1）直接利用完全平方公式求出即可； （2）直接利用完全平方公式求出即可； （3）利用（1）中所求进而得出变化规律，即
37、可得出答案 第 21 页（共 26 页） 【解答】解： （1）a+2，则（a+）24， a2+2， （a2+）222 a4+2 故答案为：2，2； （2）a+n， （a+）2n2， 则 a2+n22， （a2+）2（n22）2， a4+n44n2+2， （用含有 n 的式子的表示） ； 故答案为：n22，n44n2+2； （3）若 a+2， （a2+）+（a4+）+（a2n+）2n； 当 n 为自然数时，上式成立， 理由：由（1）得：a2+2，a4+2， 则 a2n+2； 故（a2+）+（a4+）+（a2n+）2+2+22n 【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题
38、关键 22 （9 分）已知ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线 l 过点 M（3，0）且平 第 22 页（共 26 页） 行于 y 轴 （1）作出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1，并写出A1B1C1各顶点的坐标 （2）如果点 P 的坐标是（a，0） ，其中 a0，点 P 关于 y 轴的对称点是 P1，点 P1关 于直线 l 的对称点是 P2，求 P1P2的长 （用含 a 的代数式表示） （3）通过计算加以判断，PP2的长会不会随点 P 位置的变化而变化 【分析】 （1）如图 1，分别作出点 B、C 关于 y 轴的对称点，再顺次连接可得； （2）P 与 P1关于 y 轴对称，利用
39、关于 y 轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反 数，求出 P1的坐标，再由直线 l 的方程为直线 x3，利用对称的性质求出 P2的坐标， 即可 PP2的长 （3）根据以上两种情况，分别利用 PP2PP1+P1P2、PP2PP1P1P2计算可得结论 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求， A1（0，4） 、B1（2，2）C1（1，1） ； （2）如图 2，当 0a3 时， 第 23 页（共 26 页） P 与 P1关于 y 轴对称，P（a，0） ， P1（a，0） ， 又P1与 P2关于 l：直线 x3 对称， 设 P2（x，0） ，可得：3，即 x6a， P2（6a，0） ，
40、则 PP26a+a6 如图 3，当 a3 时， P 与 P1关于 y 轴对称，P（a，0） ， P1（a，0） ， 又P1与 P2关于 l：直线 x3 对称， 设 P2（x，0） ，可得：3，即 x6a， P2（6+a，0） ， 则 PP2a（6a）2a6 综上所述，当 0a3 时，P1P262a；当 a3 时，P1P22a6； 第 24 页（共 26 页） （3）当 0a3 时，PP2PP1+P1P22a+62a6； 当 a3 时，PP2PP1P1P22a（2a6）6； PP2的长不会随点 P 位置的变化而变化 【点评】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义和性质 及分
41、类讨论思想的运用 六、解答题（本大题六、解答题（本大题 1 小题，共小题，共 12 分）分） 23 （12 分）在 RtABC 中，ACB90，A30，BD 是ABC 的角平分线，DE AB 于点 E （1）如图 1，连接 EC，求证：EBC 是等边三角形； （2）点 M 是线段 CD 上的一点（不与点 C，D 重合） ，以 BM 为一边，在 BM 的下方作 BMG60， MG 交 DE 延长线于点 G 请你在图 2 中画出完整图形， 并直接写出 MD， DG 与 AD 之间的数量关系； （3）如图 3，点 N 是线段 AD 上的一点，以 BN 为一边，在 BN 的下方作BNG60， NG 交
42、 DE 延长线于点 G试探究 ND，DG 与 AD 数量之间的关系，并说明理由 【分析】 （1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得EBC 是等边三角形； （2）延长 ED 使得 DWDM，连接 MN，即可得出WDM 是等边三角形，利用WGM DBM 即可得出 BDWGDG+DM，再利用 ADBD，即可得出答案； （3）利用等边三角形的性质得出H2，进而得出DNGHNB，再求出DNG HNB 即可得出答案 【解答】 （1）证明：如图 1 所示： 在 RtABC 中，ACB90，A30， ABC60，BC 第 25 页（共 26 页） BD 平分ABC， 1DBAA30 DADB DEAB
43、于点 E AEBE BCBE EBC 是等边三角形； （2）结论：ADDG+DM 证明： 如图 2 所示：延长 ED 使得 DWDM，连接 MW， ACB90，A30，BD 是ABC 的角平分线，DEAB 于点 E， ADEBDE60，ADBD， 又DMDW， WDM 是等边三角形， MWDM， 在WGM 和DBM 中， WGMDBM， BDWGDG+DM， ADDG+DM 第 26 页（共 26 页） （3）结论：ADDGDN 证明：延长 BD 至 H，使得 DHDN 由（1）得 DADB，A30 DEAB 于点 E 2360 4560 NDH 是等边三角形 NHND，H660 H2 BNG60， BNG+76+7 即DNGHNB 在DNG 和HNB 中， DNGHNB（ASA） DGHB HBHD+DBND+AD， DGND+AD ADDGND 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据 已知做出正确辅助线是解题关键
