1、2018-2019 学年江西省抚州市临川一中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）每小题只有一个正确选项分）每小题只有一个正确选项 1 （3 分） 在1.414， ， 2+， 3.212212221， 3.14 这些数中， 无理数的个数为 （ ） A5 B2 C3 D4 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2 B C D3 3 （3 分）点 P（2，1）关于 y 轴对称的点的坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 4 （3 分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高
2、分别为 20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则 蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为（ ）dm A20 B25 C30 D35 5 （3 分）点 P1（x1，y1） ，点 P2（x2，y2）是一次函数 y4x+3 图象上的两个点，且 x1 x20，则 3，y1与 y2的大小关系是（ ） Ay2y13 By1y23 Cy1y23 Dy1y23 6 （3 分）一次函数 yaxa（a0）的大致图象是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共
3、分，共 18 分分 7 （3 分）的平方根是 第 2 页（共 24 页） 8 （3 分） 若一次函数 y2x+6 与 ykx 图象的交点到 x 轴的距离为 2， 则 k 的值为 9 （3 分）如图，长方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，且 AB 的中点与原点重合，AB2，AD 1，直线 yx+b 与矩形 ABCD 的边有公共点，则实数 b 的取值范围是 10 （3 分）实数 a 在数轴上的位置如图，化简+a 11 （3 分）如图是一次函数 ykx+2 的图象，则方程 kx2 的解为 12 （3 分）把图一的
4、矩形纸片 ABCD 折叠，B、C 两点恰好重合落在 AD 边上的点 P 处（如 图二） 已知MPN90，PM3，PN4，那么矩形纸片 ABCD 的面积为 三、 （本大题共五小题，每小题三、 （本大题共五小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分）计算： （1） （2+） （2） （2）3+4 14 （6 分）已知 x，y，求 x2+xy+y2的值 15 （6 分）如图所示，在 3 米高的柱子顶端 A 处有一只老鹰，它看到一条蛇从距柱脚 9 米 B 处向柱脚的蛇洞 C 游来，老鹰立即扑下，如果它们的速度相等，问老鹰在距蛇洞多远 处捉住蛇？（设老鹰按直线飞行） 第
5、 3 页（共 24 页） 16 （6 分）如图 1，这是由 8 个同样大小的立方体组成的魔方，体积为 64 （1）求出这个魔方的棱长 （2）图中阴影部分是一个正方形 ABCD，求出阴影部分的面积及其边长 （3）把正方形 ABCD 放到数轴上，如图 2，使得 A 与1 重合，那么 D 在数轴上表示的 数为 17 （6 分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 AB 的解析式； （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC2，求点 C 的坐标 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分
6、，共分，共 24 分）分） 18 （8 分） 如图， lA、 lB分别表示 A 步行与 B 骑车在同一路上行驶的路程 S 与时间 t 的关系 （1）B 出发时与 A 相距 千米 （2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是 小时 （3）B 出发后 小时与 A 相遇 （4）求出 A 行走的路程 S 与时间 t 的函数关系式 第 4 页（共 24 页） 19 （8 分）如图是规格为 88 的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： （1）在网格中建立平面直角坐标系，使 A 点坐标为（2，4） ，B 点坐标为（4，2） ； &nb
7、sp;（2）在第二象限内的格点上画一点 C，使点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰三 角形，且腰长是无理数，则 C 点坐标是 ； （3）求ABC 中 BC 边上的高长 20 （8 分）OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴上， 点 C 在 y 轴上，OA10，OC6 （1）如图，在 AB 上取一点 M，使得CBM 沿 CM 翻折后，点 B 落在 x 轴上，记作 B 点求 B点的坐标； （2）求折痕 CM 所在直线的解析式 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （
8、9 分）如图，A，B 两个工厂位于一段直线形河的异侧，A 厂距离河边 AC5km，B 厂 距离河边 BD1km，经测量 CD8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理 厂 E 第 5 页（共 24 页） （1）设 EDx，请用 x 的代数式表示 AE+BE 的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂 E 的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ （ 3 ） 通 过 以 上 的 解 答 ， 充 分 展 开 联 想 ， 运 用 数 形 结 合 思 想 ， 请 你 猜 想 上 +的最小值为 22 （9 分） （1）如图 1，已知在ABC 和ADE 中，ABAC，AEAD，且DA
9、EBAC， 求证：CDBE； （2）如图 2，ABC 和ADE 都是等边三角形，且 CD 垂直 AE，AD3，CD4，求 BD 的长； （3）如图 3，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，且DAEBAC90，AEAD 2，ACAB4，求 BE2+DC2的值 六、 （本大题六、 （本大题 12 分）分） 23 （12 分）如图，正方形 AOCD 的顶点 O 为原点建立直角坐标系，点 A、C、D 的坐标 分别为（0，2） 、 （2，0） 、 （2，2） ，点 P（m，0）是 x 轴上一动点，m 是大于 0 的常数， 以 AP 为一边作正方形 APQR（QR 落在第一象限） ，连接 CQ （1）连
10、接 RD，请判断ARD 的形状，并用图说明理由； （2）如图，随着点 P（m，0）的运动，正方形 APQR 的大小会发生改变，若设 CQ 所 在直线的表达式为 ykx+b（k0） ，求 k 的值； （3）求 DQ 的最小值并求此时点 Q 的坐标 第 6 页（共 24 页） 第 7 页（共 24 页） 2018-2019 学年江西省抚州市临川一中八年级（上）期中数学试学年江西省抚州市临川一中八年级（上）期中数学试 卷卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）每小题只有一个正确选项分）每小题只有
11、一个正确选项 1 （3 分） 在1.414， ， 2+， 3.212212221， 3.14 这些数中， 无理数的个数为 （ ） A5 B2 C3 D4 【分析】根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有 的数，结合所给数据进行判断即可 【解答】解：所给数据中无理数有：，2+，3.212212221，共 4 个 故选：D 【点评】本题考查了无理数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的三种 形式 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） A2 B C D3 【分析】根据二次根式的性质化简二次根式，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计 算 二次根式的加减，实质是合
12、并同类二次根式；二次根式相乘除，等于把它们的被开方数 相乘除 【解答】解：A、2，故 A 错误； B、二次根式相乘除，等于把它们的被开方数相乘除，故 B 正确； C、2，故 C 错误； D、|3|3，故 D 错误 故选：B 【点评】此题考查了二次根式的化简和二次根式的运算 注意二次根式的性质：|a| 3 （3 分）点 P（2，1）关于 y 轴对称的点的坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 第 8 页（共 24 页） 【分析】此题要根据点 P（m，n）关于 y 轴对称点的坐标 P（m，n） ，即两点关于 y 轴对称的点的坐关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变
13、进行分析计算 【解答】解：根据两点关于 y 轴对称的点的坐关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变 点 P（2，1）关于 y 轴对称的点的坐标为（2，1） 故选：B 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟记平面直角坐标系中两点关于坐 标轴对称或关于原点对称的点的坐标之间的关系， 记忆的时候结合平面直角坐标系记忆 4 （3 分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则 蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为（ ）dm A20 B25 C30
14、D35 【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20dm，宽为（2+3）3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长 设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xdm， 由勾股定理得：x2202+（2+3）32252， 解得：x25（dm） 故选：B 【点评】本题的是平面展开最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形 展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是两点之间，线段最短在 平面图形上构造直角三角形解决问题 5 （3 分）点 P1（x1，y1） ，点 P2（x2，y2）是一次函
15、数 y4x+3 图象上的两个点，且 x1 第 9 页（共 24 页） x20，则 3，y1与 y2的大小关系是（ ） Ay2y13 By1y23 Cy1y23 Dy1y23 【分析】先根据函数解析式和函数的性质得出函数图象中 y 随 x 的增大而减小，图象经 过一、二、四象限，再得出答案即可 【解答】解：y4x+3 中40，30， 函数图象中 y 随 x 的增大而减小，图象经过一、二、四象限， 点 P1（x1，y1） ，点 P2（x2，y2）是一次函数 y4x+3 图象上的两个点，且 x1x20， y1y23， 故选：B 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质、一次函数图象上点的坐
16、标特征等知识点， 能熟记一次函数的性质是解此题的关键 6 （3 分）一次函数 yaxa（a0）的大致图象是（ ） A B C D 【分析】因为 a 的符号不确定，故应分两种情况讨论，再找出符合任一条件的函数图象 即可 【解答】解：分两种情况： （1）当 a0 时，一次函数 yaxa 经过第一、三、四象限，选项 A 符合； （2）当 a0 时，一次函数 yaxa 图象经过第一、二、四象限，无选项符合 故选：A 【点评】本题考查了一次函数的性质，根据图象能正确判断一次项系数以及常数项的符 号；根据符号判断判断图经过的象限 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，
17、每小题 3 分，共分，共 18 分分 7 （3 分）的平方根是 2 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2a，则 x 就 第 10 页（共 24 页） 是 a 的平方根，由此即可解决问题 【解答】解：的平方根是2 故答案为：2 【点评】本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根 8 （3 分）若一次函数 y2x+6 与 ykx 图象的交点到 x 轴的距离为 2，则 k 的值为 1 或 【分析】首先根据一次函数 y2x+6 与 ykx 图象的交点到 x 轴的距离为 2，得到两直线 的交点的纵坐标为 2
18、或2，代入一次函数求得交点坐标为（2，2）或（4，2） ， 然后代入 ykx 求得 k 值即可 【解答】解：一次函数 y2x+6 与 ykx 图象的交点到 x 轴的距离为 2， 两直线的交点的纵坐标为 2 或2， 22x+6 或22x+6， 解得：x2 或，x4， 交点坐标为（2，2）或（4，2） ， 代入 ykx 得 k1 或， 故答案为：1 或 【点评】本题考查了两条直线平行或相交问题，解题的关键是能够分类讨论 9 （3 分）如图，长方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，且 AB 的中点与原点重合，AB2，AD 1， 直线 yx+b 与矩形 ABCD 的边有公共点， 则实数 b 的取值
19、范围是 1b2 【分析】由 AB，AD 的长度可得出点 A，C 的坐标，分别求出直线经过点 A，C 时 b 的值， 结合图象即可得出结论 【解答】解：AB2，AD1， 点 A 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（1，1） 第 11 页（共 24 页） 当直线 yx+b 过点 A 时，01+b， 解得：b1； 当直线 yx+b 过点 C 时，11+b， 解得：b2 当直线 yx+b 与矩形 ABCD 的边有公共点时，实数 b 的取值范围是1b2 故答案为：1b2 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，利用极限值法求出 直线经过点 A，C 时 b 的值是解题的
20、关键 10 （3 分）实数 a 在数轴上的位置如图，化简+a 1 【分析】根据二次根式的性质，可化简二次根式，根据整式的加法，可得答案 【解答】解：+a1a+a1， 故答案为：1 【点评】本题考查了实数的性质与化简，a（a0）是解题关键 11 （3 分）如图是一次函数 ykx+2 的图象，则方程 kx2 的解为 x1 【分析】关于 x 的方程一元一次方程方程 kx2 即 kx+20 的解就是一次函数 ykx+2 当函数值为 0 时 x 的值，据此可以直接得到答案 【解答】解：从图象上可知，一次函数 ykx+2 与 x 轴交点的横坐标为1， 所以关于 x 的方程 kx+20 即 kx2 的解为
21、x1 第 12 页（共 24 页） 故答案为：x1 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能根据数形结合求出 x 的值是解答此 题的关键 12 （3 分）把图一的矩形纸片 ABCD 折叠，B、C 两点恰好重合落在 AD 边上的点 P 处（如 图二） 已知MPN90，PM3，PN4，那么矩形纸片 ABCD 的面积为 【分析】利用折叠的性质和勾股定理可知 【解答】解：由勾股定理得，MN5， 设 RtPMN 的斜边上的高为 h，由矩形的宽 AB 也为 h， 根据直角三角形的面积公式得，hPMPNMN， 由折叠的性质知，BCPM+MN+PN12， 矩形的面积ABBC 【点评】本题利用
22、了：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对 称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；勾股 定理，直角三角形和矩形的面积公式求解 三、 （本大题共五小题，每小题三、 （本大题共五小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分）计算： （1） （2+） （2） （2）3+4 【分析】 （1）先把二次根式化为最简二次根式，再套用平方差公式； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式 【解答】解： （1）原式（2+2） （22） （2）2（2）2 128 4； 第 13 页（共 24 页） （2）原式9+2 8 【点评】本题考查了二次根式的
23、混合运算掌握二次根式的运算法则是解决本题的关 键注意运算的结果需化成最简二次根式或整式 14 （6 分）已知 x，y，求 x2+xy+y2的值 【分析】先根据 x、y 的值计算出 x+y、xy 的值，再代入原式（x+y）2xy 计算可得 【解答】解：x，y， x+y+、xy1， 则原式（x+y）2xy （）21 51 4 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序 和运算法则 15 （6 分）如图所示，在 3 米高的柱子顶端 A 处有一只老鹰，它看到一条蛇从距柱脚 9 米 B 处向柱脚的蛇洞 C 游来，老鹰立即扑下，如果它们的速度相等，问老鹰在距蛇洞多远 处捉
24、住蛇？（设老鹰按直线飞行） 【分析】根据题意可知，蛇和老鹰用的时间相同，速度相同，可知它们所走的路程相等， 故知 ADBD，再在 RtACD 中，利用勾股定理可得关于 x 的一元二次方程，解即可 【解答】解：设 CDx，则 BD9x， 它们的速度相等， ADBD， 在 RtACD 中，AD2AC2+CD2， 32+x2（9x）2， 解得 x4 第 14 页（共 24 页） 答：老鹰在距蛇洞 4 米处捉住蛇 【点评】本题考查了勾股定理的应用解题的关键是理解 ADBD 16 （6 分）如图 1，这是由 8 个同样大小的立方体组成的魔方，体积为 64 （1）求出这个魔方的棱长 （2）图中
25、阴影部分是一个正方形 ABCD，求出阴影部分的面积及其边长 （3）把正方形 ABCD 放到数轴上，如图 2，使得 A 与1 重合，那么 D 在数轴上表示的 数为 12 【分析】 （1）根据正方体的体积格式可求这个魔方的棱长 （2）根据魔方的棱长为 4，所以小立方体的棱长为 2，阴影部分由 4 个直角三角形组成， 算出一个直角三角形的面积乘以 4 即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长 （3）根据两点间的距离公式可得 D 在数轴上表示的数 【解答】解： （1） 答：这个魔方的棱长为 4 （2）魔方的棱长为 4， 小立方体的棱长为 2， 阴影部分面积为：2248， 边长为：2 答：阴影部分的面
26、积是 8，边长是 2 （3）D 在数轴上表示的数为12 故答案为：12 【点评】本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出 魔方的棱长 17 （6 分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 AB 的解析式； 第 15 页（共 24 页） （2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC2，求点 C 的坐标 【分析】 （1）设直线 AB 的解析式为 ykx+b，将点 A（1，0） 、点 B（0，2）分别代入 解析式即可组成方程组，从而得到 AB 的解析式； （2）设点 C 的坐标为（x，y） ，根据三角
27、形面积公式以及 SBOC2 求出 C 的横坐标， 再代入直线即可求出 y 的值，从而得到其坐标 【解答】解： （1）设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0） ， 直线 AB 过点 A（1，0） 、点 B（0，2） ， ， 解得， 直线 AB 的解析式为 y2x2 （2）设点 C 的坐标为（x，y） ， SBOC2， 2x2， 解得 x2， y2222， 点 C 的坐标是（2，2） 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐 标特征，还要熟悉三角形的面积公式 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 1
28、8 （8 分） 如图， lA、 lB分别表示 A 步行与 B 骑车在同一路上行驶的路程 S 与时间 t 的关系 （1）B 出发时与 A 相距 10 千米 （2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是 1 小时 （3）B 出发后 3 小时与 A 相遇 第 16 页（共 24 页） （4）求出 A 行走的路程 S 与时间 t 的函数关系式 【分析】 （1）从图上可看出 B 出发时与 A 相距 10 千米 （2）修理的时间就是路程不变的时间是 1.50.51 小时 （3）从图象看出 3 小时时，两个图象相交，所以 3 小时时相遇 （4）S 和 t 的函数关系是一次函数，设函
29、数是为 Skt+b，过（0，10）和（3，22.5） ， 从而可求出关系式 【解答】解： （1）由图形可得 B 出发时与 A 相距 10 千米； （2）在图中发现 0.5 至 1.5 小时，自行车没有行走， 故可得出修理所用的时间为 1 小时 （3）图中两直线的交点是 B 与 A 相遇的时刻， 即出发 3 小时后与 A 相遇 （4）设函数是为 Skt+b，且过（0，10）和（3，22.5） ， 则， 解得： 故 S 与时间 t 的函数关系式为：St+10 【点评】本题考查一次函数的应用，关键是从图象上获取信息，根据图象确定函数形式， 设出函数式，代入已知点确定函数式，难度一般 19 （8 分）
30、如图是规格为 88 的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作： （1）在网格中建立平面直角坐标系，使 A 点坐标为（2，4） ，B 点坐标为（4，2） ； （2）在第二象限内的格点上画一点 C，使点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰三 第 17 页（共 24 页） 角形，且腰长是无理数，则 C 点坐标是 （1，1） ； （3）求ABC 中 BC 边上的高长 【分析】 （1）根据 A 点坐标向右两个单位，再向下 4 个单位，可得原点； （2）根据勾股定理，可得点 C 的坐标，根据图形割补法，可得面积； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论 【解答】解： （1）如图
31、1： （2）如图 2： 在第二象限内的格点上画一点 C，使点 C 与线段 AB 组成一个以 AB 为底的等腰三角形， 第 18 页（共 24 页） 且腰长是无理数，则 C 点坐标是 （1，1） ； 故答案为： （1，1） ； （3）BC，SABC331313224， ABC 中 BC 边上的高 【点评】本题考查了作图，勾股定理，三角形的面积，熟练正确勾股定理是解题的关键 20 （8 分）OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 x 轴上， 点 C 在 y 轴上，OA10，OC6 （1）如图，在 AB 上取一点 M，使得CBM 沿 CM 翻折后，点 B
32、落在 x 轴上，记作 B 点求 B点的坐标； （2）求折痕 CM 所在直线的解析式 【分析】 （1）折叠的性质得到 CBCB10，BMBM，在 RtOCB中，利用勾 股定理易得 OB8，即可得到 B点的坐标； （2）设 AMt，则 BMBM6t，而 ABOAOB2，在 RtABM 中，利 用勾股定理求出 t 的值，确定 M 点的坐标，然后利用待定系数法求直线 CM 的解析式即 可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 为矩形， CBOA10，ABOC6， CBM 沿 CM 翻折后，点 B 落在 x 轴上，记作 B点， CBCB10，BMBM， 在 RtOCB中，OC6，CB10， OB8， B
33、点的坐标为（8，0） ； （2）设 AMt，则 BMBM6t， 而 ABOAOB2， 第 19 页（共 24 页） 在 RtABM 中，BM2BA2+AM2，即（6t）222+t2，解得 t， M 点的坐标为（10，） ， 设直线 CM 的解析式为 ykx+b， 把 C（0，6）和 M（10，）代入得，b6，10k+b，解得 k，b6， 直线 CM 的解析式为 yx+6 【点评】本题考查了利用待定系数法求直线的解析式的方法：先设直线的解析式为 y kx+b，然后把已知两点的坐标代入求出 k，b 即可也考查了折叠的性质以及勾股定理 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题
34、9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分）如图，A，B 两个工厂位于一段直线形河的异侧，A 厂距离河边 AC5km，B 厂 距离河边 BD1km，经测量 CD8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理 厂 E （1）设 EDx，请用 x 的代数式表示 AE+BE 的长； （2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂 E 的位置应怎样来确定此时需要管道多长？ （ 3 ） 通 过 以 上 的 解 答 ， 充 分 展 开 联 想 ， 运 用 数 形 结 合 思 想 ， 请 你 猜 想 上 +的最小值为 13 【分析】 （1）依据 EDx，ACCD、BDCD，故根据勾股定理可用 x 表示出
35、AE+BE 的长； （2）根据两点之间线段最短可知连接 AB 与 CD 的交点就是污水处理厂 E 的位置过点 B 作 BFAC 于 F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出 AB 的长； （3）根据 AE+BE+AB10，可猜想所求代数式的值为 13 【解答】解： （1）在 RtACE 和 RtBDE 中，根据勾股定理可得 AE， BE， 第 20 页（共 24 页） AE+BE+； （2）根据两点之间线段最短可知，连接 AB 与 CD 的交点就是污水处理厂 E 的位置 过点 B 作 BFAC 于 F，则有 BFCD8，BDCF1 AFAC+CF6 在 RtABF 中，BA10， 此时最少需要管
36、道 10km （3）根据以上推理，可作出下图： 设 EDxAC3，DB2，CD12当 A、E、B 共线时求出 AB 的值即为原式最小值 当 A、E、B 共线时，+13，即其最小值为 13 故答案为：13 【点评】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数 式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键 22 （9 分） （1）如图 1，已知在ABC 和ADE 中，ABAC，AEAD，且DAEBAC， 求证：CDBE； （2）如图 2，ABC 和ADE 都是等边三角形，且 CD 垂直 AE，AD3，CD4，求 BD 的长； （3）如图 3，A
37、BC 和ADE 都是等腰直角三角形，且DAEBAC90，AEAD 2，ACAB4，求 BE2+DC2的值 第 21 页（共 24 页） 【分析】 （1）由DAEBAC 可得BAECAD，根据“SAS”可证ABECAD， 即可得 CDBE； （2）由等边三角形的性质和全等三角形的性质，可证BED90，根据勾股定理可求 BD 的长； （3）由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质，可证DFC90，根据勾股定理 可得 CD2+BE2DE2+BC2CF2+DF2+EF2+BF2，即可求 BE2+DC2的值 【解答】证明： （1）DAEBAC， BAEDAC，且 ABAC，AEAD， ACDABE（SA
38、S） CDBE （2）如图，连接 BE， ADE 是等边三角形，CDAE， CDA30，DEAD3，AED60， BACEAD60 BAECAD，且 ABAC，AEAD， ACDABE（SAS） BEACDA30，BECD4， BEDBEA+AED90 BD5 （3）如图，设 AD 与 CE 的交点为点 H， 第 22 页（共 24 页） DAEBAC90，AEAD2，ACAB4， DE2，BC4， BAECAD，且 ABAC，AEAD， ACDABE（SAS） CEABDA， CEA+AHE90， BDA+DHF90， DFC90，即 BDCE， CF2+DF2CD2，CF2+BF2BC2，
39、BF2+EF2BE2，DF2+EF2DE2， CD2+BE2DE2+BC2CF2+DF2+EF2+BF2， CD2+BE240 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角 形的性质和直角三角形性质，找出题目中隐藏的直角三角形是本题的关键 六、 （本大题六、 （本大题 12 分）分） 23 （12 分）如图，正方形 AOCD 的顶点 O 为原点建立直角坐标系，点 A、C、D 的坐标 分别为（0，2） 、 （2，0） 、 （2，2） ，点 P（m，0）是 x 轴上一动点，m 是大于 0 的常数， 以 AP 为一边作正方形 APQR（QR 落在第一象限） ，连接 C
40、Q （1）连接 RD，请判断ARD 的形状，并用图说明理由； （2）如图，随着点 P（m，0）的运动，正方形 APQR 的大小会发生改变，若设 CQ 所 在直线的表达式为 ykx+b（k0） ，求 k 的值； （3）求 DQ 的最小值并求此时点 Q 的坐标 第 23 页（共 24 页） 【分析】 （1）易证AOPADR（SAS） ，则ADRAOP90，故：ADR 为直 角三角形； （2）易证QMPPOA（AAS） ，则 QMOPm，PMAO2，CMCP+PMm 2+2m，即：CMQM，则 k1； （3）由（2）知 Q 的坐标为（m+2，m） ，点 D 坐标为（2，2） ，则：DQ2（m+22）
41、 2+（m2）22m24m+4，即可求解 【解答】解： （1）OAP+RAD90，RAD+DAP90， RADOAP， 又 APAR，ADAO， AOPADR（SAS） ， ADRAOP90， ADR 为直角三角形； （2）过点 Q 作 QMx 轴，交 x 轴于点 M， APO+QPM90，QPM+PQM90， APOPQM，而AOPQMP90， QMPPOA（AAS） ， QMOPm，PMAO2， CMCP+PMm2+2m， 第 24 页（共 24 页） 即：CMQM， k1； （3）由（2）知 Q 的坐标为（m+2，m） ，点 D 坐标为（2，2） ， 则：DQ2（m+22）2+（m2）22m24m+4， a20， DQ2有最小值， 当 m1 时，DQ 最小值为，点 Q 的坐标为（3，1） 【点评】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到三角形全等、二次函数基本知识等， 核心是通过数形结合确定点的坐标，这是一道难度不大的综合性题目
