1、2017-2018 学年江西省赣州市宁都县八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）二次根式有意义的条件是（ ） Ax Bx Cx Dx 2 （3 分）若三角形的三边长分别是下列各组数，则能构成直角三角形的是（ ） A4，5，6 B1，2， C6，8，11 D5，12，14 3 （3 分）函数 y3x+4 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4 （3 分）四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件不能判定这个
2、四边形是 平行四边形的是（ ） AABDC，ADBC BABDC，ADBC CAOCO，BODO DABDC，ADBC 5 （3 分）某射击小组有 20 人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图， 则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A7，7 B8，7.5 C8，6.5 D7，7.5 6 （3 分）明清时期，古镇河口因水运而繁华若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河 口，途中因故停留段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不 变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为 x（小时） 、货船距石塘的距离为 y（千米） ，则下列各图中，能反映 y 与 x 之间函
3、数关系的大致图象是（ ） A B 第 2 页（共 23 页） C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.） 7 （3 分）计算（）的结果是 8 （3 分） 在平面直角坐标系中，A （5，3） ， 点 O 为坐标原点，则线段 OA 的长为 9 （3 分）若 x1，则 x2+5x+4 的值为 ； 10 （3 分）如图所示，DE 为ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且AFB90，若 AB5， BC7，则 EF 的长为 11 （3 分）如图，已知函数 y2x+b 和 yax3 的图象交于点 P（2，5） ，则根据图象 可得不等式
4、 2x+bax3 的解集是 12 （3 分）在平面直角坐标系中，直线 L：yx3分别与 x 轴、y 轴相交于 A、B 两 点，点 P 是坐标轴上一个动点，若PAB 为直角三角形，则点 P 的坐标为 三、 （本大题共三、 （本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分）. 13 （6 分）计算：4+（2）2 14 （6 分）如图，ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，且 AECF，连接 BE、DF 求证：BEDF 15 （6 分）在正方形网格中，小格的顶点叫做格点小华按下列要求作图： 第 3 页（共 23 页） 在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使
5、其中任意两点不在同一条直线上； 连接三个格点，使之构成直角三角形， 小华在左边的正方形网格中作出了 RtABC请你按照同样的要求，在右边的两个正方 形网格中各画出一个直角三角形，使三个网格中的直角三角形互不全等，并分别求出这 三个直角三角形的斜边长 16 （6 分）先化简，再求值，其中 x+1 17 （6 分）在同一平面直角坐标系中，画出函数 y2x，yx+6，yx+2，y4x4 的图 象 （1）观察这四个图象，说出它们共同特点； （2）若函数 ykx+5 的图象也有该特点，求 k 的值 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分分.） 18 （
6、8 分）如图，已知 AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高，B 的平分线交 AD 于 M 交 AC 于 E，DAC 的平分线交 ME 于 O，交 CD 于 N求证：四边形 AMNE 是菱形 19 （8 分）如图，ADBC，ACAB，AB3，ACCD2 （1）求 BC 的长； （2）求 BD 的长 第 4 页（共 23 页） 20 （8 分）如图，平面直角坐标系中，直线 y2x+m 与 y 轴交于点 A，与直线 yx+5 交 于点 B（4，n） ，P 为直线 yx+5 上一点 （1）求 m，n 的值； （2）求线段 AP 的最小值，并求此时点 P 的坐标 五、 （本大题共五、 （本大题共 2
7、小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分分.） 21 （9 分）某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相 等，比赛结束后，发现学生成绩分别为 70 分，80 分，90 分，100 分，并根据统计数据绘 制了如下不完整的统计图表： 乙校成绩统计表 分数（分） 人数（人） 70 7 80 90 1 100 8 （1）在图中， “80 分”所在扇形的圆心角度数为 ； （2）请你将图补充完整； （3）求乙校成绩的平均分； （4）经计算知 S甲 2135，S 乙 2175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合 理评价 第 5 页（共 23 页） 22 （9
8、分）现从 A，B 向甲、乙两地运送蔬菜，A，B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14 吨，其中甲 地需要蔬菜 15 吨，乙地需要蔬菜 13 吨，从 A 到甲地运费 50 元/吨，到乙地 30 元/吨；从 B 地到甲运费 60 元/吨，到乙地 45 元/吨 （1）设 A 地到甲地运送蔬菜 x 吨，请完成下表： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x B （2）设总运费为 W 元，请写出 W 与 x 的函数关系式 （3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 六、 （本大题共六、 （本大题共 1 小题，共小题，共 12 分）分） 23（12 分） 如图， 四边形 ABCD 为正方形 在边 AD 上取一点
9、E， 连接 BE， 使AEB60 （1）利用尺规作图补全图形； （要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤） （2）取 BE 中点 M，过点 M 的直线交边 AB，CD 于点 P，Q 当 PQBE 时，求证：BP2AP； 当 PQBE 时，延长 BE，CD 交于 N 点，猜想 NQ 与 MQ 的数量关系，并说明理由 第 6 页（共 23 页） 2017-2018 学年江西省赣州市宁都县八年级（下）期末数学试卷学年江西省赣州市宁都县八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小
10、题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）二次根式有意义的条件是（ ） Ax Bx Cx Dx 【分析】二次根式的被开方数是非负数 【解答】解：依题意得 2x10， 解得 x 故选：C 【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二 次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 2 （3 分）若三角形的三边长分别是下列各组数，则能构成直角三角形的是（ ） A4，5，6 B1，2， C6，8，11 D5，12，14 【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否 等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案
11、 【解答】解：A、42+5262，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形； B、12+22（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形； C、62+82112，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形； D、52+122142，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形 故选：B 【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知ABC 的三边满足 a2+b2c2，则ABC 是直角三角形 3 （3 分）函数 y3x+4 的图象不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】先根据一次函数的图象与系数的关系判断出函数 y3x+4 的图象所经过的象 限，由此即可得出结论 【解
12、答】解：函数 y3x+4 中，k30，b40， 此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限 第 7 页（共 23 页） 故选：C 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题 的关键 4 （3 分）四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件不能判定这个四边形是 平行四边形的是（ ） AABDC，ADBC BABDC，ADBC CAOCO，BODO DABDC，ADBC 【分析】根据平行四边形判定定理进行判断 【解答】解：A、由“ABDC，ADBC”可知，四边形 ABCD 的两组对边互相平行， 则该四边形是平行四边形故本选项不符合题意；
13、B、由“ABDC，ADBC”可知，四边形 ABCD 的两组对边相等，则该四边形是平行 四边形故本选项不符合题意； C、由“AOCO，BODO”可知，四边形 ABCD 的两条对角线互相平分，则该四边形 是平行四边形故本选项不符合题意； D、由“ABDC，ADBC”可知，四边形 ABCD 的一组对边平行，另一组对边相等， 据此不能判定该四边形是平行四边形故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查了平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （5
14、）对角线互相平分的四边形是平行四边形 5 （3 分）某射击小组有 20 人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图， 则这组数据的众数和中位数分别是（ ） 第 8 页（共 23 页） A7，7 B8，7.5 C8，6.5 D7，7.5 【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或 最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数 最大或条形最高的数据写出 【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第三组，7 环，故众数是 7（环） ； 因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的环数是 7（环） 、8（环） ，故
15、中位数是 7.5 （环） 故选：D 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力注意找中位数 的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个， 则正中间的数字即为所求如果是偶数个则找中间两位数的平均数 6 （3 分）明清时期，古镇河口因水运而繁华若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河 口，途中因故停留段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不 变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为 x（小时） 、货船距石塘的距离为 y（千米） ，则下列各图中，能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是（ ） A B C D 【分析】
16、根据题意可以写出各段过程中 y 随 x 的变化而变化的趋势，从而可以解答本题 【解答】解：由题意可得， 货船从石塘到途中刚出现故障这段时间，y 随 x 的增大而增大， 第 9 页（共 23 页） 故障这段时间，y 随 x 的变化不变， 解除故障到河口这段时间，y 随 x 的增大而增大， 从河口返回石塘的这段时间，y 随 x 的增大而减小， 故选：A 【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.） 7 （3 分）计算（）的结果是 2 【分析】根据二次根式的混合运
17、算顺序，首先计算小括号里面的，然后计算乘法，求出 算式（）的结果是多少即可 【解答】解： （） （32） 2 即（）的结果是 2 故答案为：2 【点评】 （1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算 括号里面的在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式 的和可以看作“多项式” （2）此题还考查了平方根的性质和计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个 正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根 8 （3 分） 在平面直角坐标系中， A （5
18、， 3） ， 点 O 为坐标原点， 则线段 OA 的长为 【分析】直接根据勾股定理计算即可 【解答】解：A（5，3） ，点 O 为坐标原点， OA， 故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理的运用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的 平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键 9 （3 分）若 x1，则 x2+5x+4 的值为 3+5 ； 第 10 页（共 23 页） 【分析】先代入，再根据如此根式的运算法则求出即可 【解答】解：x1， x2+5x+4（1）2+5（1）+4 52+1+55+4 3+5， 故答案为：3+5 【点评】本题考查了二次根式的化简和求值，能熟练地运用二次根式的运算法
19、则进行计 算是解此题的关键 10 （3 分）如图所示，DE 为ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且AFB90，若 AB5， BC7，则 EF 的长为 1 【分析】根据三角形中位线定理得到 DEBC3.5，根据直角三角形的性质得到 DF AB2.5，计算即可 【解答】解：DE 是ABC 的中位线， DEBC3.5，DEBC， AFB90，D 为 AB 的中点， DFAB2.5， EFDEDF1， 故答案为：1 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平 行于第三边，并且等于第三边的一半和在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 是解题的关键 11 （3
20、分）如图，已知函数 y2x+b 和 yax3 的图象交于点 P（2，5） ，则根据图象 可得不等式 2x+bax3 的解集是 x2 第 11 页（共 23 页） 【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案 【解答】解：函数 y2x+b 和 yax3 的图象交于点 P（2，5） ， 则根据图象可得不等式 2x+bax3 的解集是 x2， 故答案为：x2 【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察能力和理 解能力，题型较好，难度不大 12 （3 分）在平面直角坐标系中，直线 L：yx3分别与 x 轴、y 轴相交于 A、B 两 点，点 P 是坐标轴上一个动点，
21、若PAB 为直角三角形，则点 P 的坐标为 （0，0）或 （9，0）或（0，） 【分析】分三种情形分别求解即可解决问题； 【解答】解： 由题意：A（3，0） ，B（0，3） ， OA3，OB3， tanOAB， OAB60， 当PAB90时，在 RtAOP 中，OPOAtan30， P（0，） ， 当ABP90时，在 RtOBP中，OPOBtan609， P（9，0） 第 12 页（共 23 页） 当 P（0，0）时，APB 是直角三角形， 综上所述，满足条件的点 P 坐标为（0，0） （9，0） （0，） 故答案为（0，0）或（9，0）或（0，） 【点评】本题考查一次函数图象上的点特征，解直
22、角三角形等知识，解题的关键是学会 用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型 三、 （本大题共三、 （本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分）. 13 （6 分）计算：4+（2）2 【分析】根据二次根式的乘除法和加减法可以解答本题 【解答】解：4+（2）2 44+124+2 1844 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计 算方法 14 （6 分）如图，ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，且 AECF，连接 BE、DF 求证：BEDF 【分析】根据平行四边形性质得出 ADBC，ADBC，求出 DEBF，DEB
23、F，得出 四边形 DEBF 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， AECF， DEBF，DEBF， 四边形 DEBF 是平行四边形， BEDF 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定的应用，关键是掌握平行四边形的对 边平行且相等 第 13 页（共 23 页） 15 （6 分）在正方形网格中，小格的顶点叫做格点小华按下列要求作图： 在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条直线上； 连接三个格点，使之构成直角三角形， 小华在左边的正方形网格中作出了 RtABC请你按照同样的要求，在右边的两个
24、正方 形网格中各画出一个直角三角形，使三个网格中的直角三角形互不全等，并分别求出这 三个直角三角形的斜边长 【分析】可以利用三角板，移动位置，即可作出图形，然后利用勾股定理即可求得斜边 长 【解答】 解： 下面给出三种参考画法： （画图正确每个 （1 分） ， 斜边计算正确每个 （1 分） ， 共 5 分） 斜边 AC5，斜边 AB4，斜边 DE，斜边 MN 【点评】本题主要考查了作图，正确利用三角板是解题的关键 16 （6 分）先化简，再求值，其中 x+1 【分析】原式利用除法法则变形，约分后通分并利用同分母分式的减法法则计算，得到 最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式
25、1， 当 x+1 时，原式 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17 （6 分）在同一平面直角坐标系中，画出函数 y2x，yx+6，yx+2，y4x4 的图 象 第 14 页（共 23 页） （1）观察这四个图象，说出它们共同特点； （2）若函数 ykx+5 的图象也有该特点，求 k 的值 【分析】 （1）根据一次函数的图象是直线，画出图象即可； （2）根据图象过定点，代入得出 k 的值即可 【解答】 （1）解：如图： 共同特点是：此组直线均经过（2，4） ， 解方程组得， 直线 y2x，yx+6 过（2，4）点 对于直线 yx+2，当 x2 时，y4； 对于直线
26、 y4x4，当 x2 时，y4； 验证发现此组直线均经过（2，4） ； （2）把（2，4）代入 ykx+5 得 42k+5，得 k 【点评】本题考查了正比例函数的图象和一次函数的图象，掌握图象的画法和待定系数 法求解析式是解题的关键 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分分.） 18 （8 分）如图，已知 AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高，B 的平分线交 AD 于 M 交 AC 于 E，DAC 的平分线交 ME 于 O，交 CD 于 N求证：四边形 AMNE 是菱形 【分析】根据全等三角形的判定和菱形的判定证明即可 第 15 页（共
27、23 页） 【解答】证明：BE 平分ABC 交 AD 于 M，交 AC 于 E， ABEDBM， AD 是 RtABC 斜边 BC 上的高， BACADB90， AEMBMD， AMEBMD， AEMAME， AEAM， DAC 的平分线交 CD 于 N， MANNAE，ANME，且 AN 平分 ME， 在BAO 和BNO 中， ， ABONBO（ASA） ， AONO， AN 和 ME 互相垂直平分， 四边形 AMNE 是菱形 【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答 19 （8 分）如图，ADBC，ACAB，AB3，ACCD2 （1）求 BC 的长； （2）求 BD
28、 的长 【分析】 （1）在 RtABC 中利用勾股定理即可求出 BC 的长； （2）过点 B 作 BEDC 交 DC 的延长线于点 E根据等边对等角的性质以及平行线的性 质得出23，利用角平分线的性质得出 ABBE3，在 RtBCE 中，根据勾股定理 可得 EC2，则 ED4，在 RtBDE 中，利用勾股定理可得 BD5 【解答】解： （1）在 RtABC 中，ACAB，AB3，AC2， 第 16 页（共 23 页） BC； （2）过点 B 作 BEDC 交 DC 的延长线于点 E ACCD， 1ADC， 又ADBC， 3ADC，12， 23， 又ACAB，BEDC， ABBE3， 又由（1）
29、BC， 在 RtBCE 中，由勾股定理可得 EC2； ED2+24， 在 RtBDE 中，由勾股定理可得 BD5 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形、平行线、角平分线的性质，掌握各定理是 解题的关键 20 （8 分）如图，平面直角坐标系中，直线 y2x+m 与 y 轴交于点 A，与直线 yx+5 交 于点 B（4，n） ，P 为直线 yx+5 上一点 （1）求 m，n 的值； （2）求线段 AP 的最小值，并求此时点 P 的坐标 第 17 页（共 23 页） 【分析】 （1）首先把点 B（4，n）代入直线 yx+5 得出 n 的值，再进一步代入直线 y 2x+m 求得 m 的值即可； （2
30、）过点 A 作直 yx+5 的垂线，垂足为 P，进一步利用等腰直角三角形的性质和（1） 中与 y 轴交点的坐标特征解决问题 【解答】解： （1）点 B（4，n）在直线上 yx+5， n1，B（4，1） 点 B（4，1）在直线上 y2x+m 上， m7 （2）过点 A 作直线 yx+5 的垂线，垂足为 P， 此时线段 AP 最短 APN90， 直线 yx+5 与 y 轴交点 N（0，5） ，直线 y2x7 与 y 轴交点 A（0，7） ， AN12，ANP45， AMPM6， OM1， P（6，1） ，AP 的最小值6 第 18 页（共 23 页） 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征与
31、垂线段最短的性质，结合图形，选 择适当的方法解决问题 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分分.） 21 （9 分）某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相 等，比赛结束后，发现学生成绩分别为 70 分，80 分，90 分，100 分，并根据统计数据绘 制了如下不完整的统计图表： 乙校成绩统计表 分数（分） 人数（人） 70 7 80 90 1 100 8 （1）在图中， “80 分”所在扇形的圆心角度数为 54 ； （2）请你将图补充完整； （3）求乙校成绩的平均分； （4）经计算知 S甲 2135，S 乙 21
32、75，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合 理评价 第 19 页（共 23 页） 【分析】 （1）根据统计图可知甲校 70 分的有 6 人，从而可求得总人数，然后可求得成绩 为 80 分的同学所占的百分比，最后根据圆心角的度数360百分比即可求得答案； （2）用总人数减去成绩为 70 分、80 分、90 分的人数即可求得成绩为 100 分的人数，从 而可补全统计图； （3）先求得乙校成绩为 80 分的人数，然后利用加权平均数公式计算平均数； （4）根据方差的意义即可做出评价 【解答】解： （1）630%20， 32015%， 36015%54； （2）206365，统计图补充如下： （3
33、）201784，85； （4）S甲 2S 乙 2， 甲校 20 名同学的成绩比较整齐 【点评】本题主要考查的是统计图和统计表的应用，属于基础题目，解答本题需要同学 们，数量掌握方差的意义、加权平均数的计算公式以及频数、百分比、数据总数之间的 第 20 页（共 23 页） 关系 22 （9 分）现从 A，B 向甲、乙两地运送蔬菜，A，B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14 吨，其中甲 地需要蔬菜 15 吨，乙地需要蔬菜 13 吨，从 A 到甲地运费 50 元/吨，到乙地 30 元/吨；从 B 地到甲运费 60 元/吨，到乙地 45 元/吨 （1）设 A 地到甲地运送蔬菜 x 吨，请完成下表： 运往甲地（
34、单位：吨） 运往乙地（单位：吨） A x 14x B 15x x1 （2）设总运费为 W 元，请写出 W 与 x 的函数关系式 （3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【分析】 （1）根据题意 A，B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14 吨，其中甲地需要蔬菜 15 吨，乙 地需要蔬菜 13 吨，可得解 （2）根据从 A 到甲地运费 50 元/吨，到乙地 30 元/吨；从 B 地到甲运费 60 元/吨，到乙 地 45 元/吨可列出总费用，从而可得出答案 （3）首先求出 x 的取值范围，再利用 w 与 x 之间的函数关系式，求出函数最值即可 【解答】解： （1）如图所示： 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位
35、：吨） A x 14x B 15x x1 （2）由题意，得 W50x+30（14x）+60（15x）+45（x1）5x+1275（1x14） （3）A，B 到两地运送的蔬菜为非负数， ， 解不等式组，得：1x14， 在 W5x+1275 中， k50， 第 21 页（共 23 页） W 随 x 增大而增大， 当 x 最小为 1 时，W 有最小值， 当 x1 时，A：x1，14x13， B：15x14，x10， 即 A 向甲地运 1 吨，向乙地运 13 吨，B 向甲地运 14 吨，向乙地运 0 吨才能使运费最少 【点评】本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答 实际问
36、题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握 六、 （本大题共六、 （本大题共 1 小题，共小题，共 12 分）分） 23（12 分） 如图， 四边形 ABCD 为正方形 在边 AD 上取一点 E， 连接 BE， 使AEB60 （1）利用尺规作图补全图形； （要求：保留作图痕迹，并简述作图步骤） （2）取 BE 中点 M，过点 M 的直线交边 AB，CD 于点 P，Q 当 PQBE 时，求证：BP2AP； 当 PQBE 时，延长 BE，CD 交于 N 点，猜想 NQ 与 MQ 的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）如图，分别以点 B、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点 T，连
37、 接 BT 并延长交边 AD 于点 E； （2）连接 PE，先证明 PQ 垂直平分 BE得到 PBPE，再证明APE60，得到 AEP30，利用在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半，即可解答； （3）NQ2MQ 或 NQMQ，分两种情况讨论 作出辅助线，证明ABEFQP，即可 解答 【解答】解： （1）如图 1，分别以点 B、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点 T，连接 BT 并延长交边 AD 于点 E； 第 22 页（共 23 页） （2）连接 PE，如图 2， 点 M 是 BE 的中点，PQBE PQ 垂直平分 BE PBPE， PEBPBE90AEB906030，
38、APEPBE+PEB60， AEP90APE906030， BPEP2AP （3）NQ2MQ 或 NQMQ 理由如下： 如图 3 所示，过点 Q 作 QFAB 于点 F 交 BC 于点 G，则 QFCB 正方形 ABCD 中，ABBC， FQAB 在 RtABE 和 RtFQP 中， ABEFQP（HL） FQPABE30 又MGOAEB60， 第 23 页（共 23 页） GMO90， CDAB NABE30 NQ2MQ 如图 4 所示，过点 Q 作 QFAB 于点 F 交 BC 于点 G，则 QFCB 同理可证ABEFQP 此时FPQAEB60 又FPQABE+PMB，NABE30 EMQPMB30 NEMQ， NQMQ 【点评】本题考查了正方形的性质定理、全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题 的关键是作出辅助线，证明三角形全等
