1、2019-2020 学年江西省南昌十中高二（上）第一次月考数学试卷（10 月份）一选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题只有一项是符号题目要分每小题只有一项是符号题目要 求的，请将你认为正确选项的序号填涂在答题卷上相应位置）求的，请将你认为正确选项的序号填涂在答题卷上相应位置） 1 （5 分）直线xy+a0（a 为常数）的倾斜角为（ ） A30 B60 C150 D120 2 （5 分）若直线 l1：ax+2y+60 与直线 l2：x+（a1）y+a210 平行，则 a（ ） A2 或1 B2 C1 D以上都不对 3 （5 分）如果椭圆1 上一点
2、 P 到焦点 F1的距离为 6，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离为（ ） A10 B6 C12 D14 4 （5 分）圆 x2+4x+y20 与圆（x2）2+（y3）2r2有三条公切线，则半径 r（ ） A5 B4 C3 D2 5 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值是（ ） A15 B9 C1 D9 6 （5 分）圆 x2+y22x2y+10 上的点到直线 3x+4y+80 的最大距离是（ ） A1 B2 C3 D4 7 （5 分）方程（k+2）x2ky2k22k 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围 是（ ） A （1，0） B （2，
3、0） C （2，1）（1，0） D （0，+） 8 （5 分）过点（3，1）作圆（x1）2+y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为（ ） A2x+y30 B2xy30 C4xy30 D4x+y30 9 （5 分） 如果椭圆的弦被点 M （1， 1） 平分， 则这条弦所在的直线方程是 （ ） 第 2 页（共 18 页） Ax+3y40 Bx3y+20 C3xy20 D3x+y40 10 （5 分）已知集合，集合 B（x，y）|kxy+2k0，且 A B，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 11 （5 分）已知椭圆：+1（0b3） ，左右
4、焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为 10，则 b 的值是（ ） A1 B C D 12 （5 分）设椭圆 C：+1（ab0）的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A、B 关于 原点对称， 且满足0， |FB|FA|2|FB|， 则椭圆 C 的离心率的取值范围是 （ ） A， B，1） C，1 D1，1） 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请将答案填写在答题卷上相应位分请将答案填写在答题卷上相应位 置）置） 13 （5 分）点 P（3，4）关于直线 xy1
5、 的对称点的坐标是 14（5 分） 已知 P 是椭圆上的一点， F1， F2是椭圆的两个焦点， 当 时，则PF1F2的面积为 15 （5 分）已知圆 C 过定点（7，2） ，且和圆 C'：x2+（y3）22 相切于点（1，2） ，则圆 C 的一般方程是 16 （5 分）设点 P 是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点， I 是PF1F2的内心，若PF1F2的面积是IF1F2面积的 3 倍，则该椭圆的离心率 为 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分请将答案写在答题卷上相应位置，解答应写出分
6、请将答案写在答题卷上相应位置，解答应写出 必要的文字说明，证明过程或演算步骤）必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）求离心率为且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程 18（12 分） 已知圆 C：（x1） 2+ （y2）225， 直线 l： （2m+1） x+ （m+1） y7m+4 （mR） 第 3 页（共 18 页） （1）求证：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒相交于两点； （2）求C 与直线 l 相交弦长的最小值 19 （12 分）已知圆 C 经过椭圆的右顶点 A2、下顶点 B1和上顶点 B2 （）求圆 C 的标准方程； （）直线 l 经过点 G（6
7、，1）且与 xy+10 垂直，P 是直线 l 上的动点，过点 P 作 圆 C 的切线，切点分别为 M，N，求四边形 PMCN 面积的最小值 20 （12 分）已知圆 C 的方程为 x2+y24 （1）求过点 P（1，2）且与圆 C 相切的直线 l 的方程； （2）直线 l 过点 P（1，2） ，且与圆 C 交于 A、B 两点，若|AB|2，求直线 l 的方程； （3）圆 C 上有一动点 M（x0，y0） ，（0，y0） ，若向量+，求动点 Q 的轨 迹方程，并说明此轨迹是什么曲线 21 （12 分）已知 A（0，2） ，椭圆 E：1（ab0）的离心率为，F 是椭 圆 E 的右焦点，
8、直线 AF 的斜率为，O 为原点 （）求椭圆 E 的方程； （）直线 l 经过点 A，与椭圆交于 M，N 两点，若以 MN 为直径的圆经过坐标原点 O， 求|MN| 22 （12 分）已知圆 M：的圆心是椭圆 C：（ab0）的右 焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆 M 相切 （I）求椭圆 C 的方程； （）椭圆 C 上有两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，OA、OB 斜率之积为，求的 值 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年江西省南昌十中高二（上）第一次月考数学试卷学年江西省南昌十中高二（上）第一次月考数学试卷 （10 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试
9、题解析 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分每小题只有一项是符号题目要分每小题只有一项是符号题目要 求的，请将你认为正确选项的序号填涂在答题卷上相应位置）求的，请将你认为正确选项的序号填涂在答题卷上相应位置） 1 （5 分）直线xy+a0（a 为常数）的倾斜角为（ ） A30 B60 C150 D120 【分析】由直线的倾斜角 与斜率 k 的关系，可以求出 的值 【解答】解：设直线xy+a0 的倾斜角是 ， 则直线的方程可化为 yx+a， 直线的斜率 ktan， 0180， 60 故选：B 【点评】本题考查了利用直线的斜率求倾斜角
10、的问题，是基础题 2 （5 分）若直线 l1：ax+2y+60 与直线 l2：x+（a1）y+a210 平行，则 a（ ） A2 或1 B2 C1 D以上都不对 【分析】由直线平行可得 a（a1）210，解方程验证可得 【解答】解：直线 l1：ax+2y+60 与直线平行， a（a1）210，解得 a2，或 a1 当 a2 时，两直线重合 故选：C 【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题 3 （5 分）如果椭圆1 上一点 P 到焦点 F1的距离为 6，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离为（ ） A10 B6 C12 D14 【分析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|2a，利用
11、|PF1|6，可求|PF2| 第 5 页（共 18 页） 【解答】解：由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|2a20， |PF1|6，|PF2|14 故选：D 【点评】本题给出椭圆上一点到一个焦点的距离，求它到另一个焦点的距离着重考查 了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题 4 （5 分）圆 x2+4x+y20 与圆（x2）2+（y3）2r2有三条公切线，则半径 r（ ） A5 B4 C3 D2 【分析】根据两个圆有三条公切线，故两圆相外切，圆心距等于半径之和，解得半径 r 即可 【解答】解：由圆 x2+4x+y20，得（x+2）2+y24， 圆心坐标为： （2，0）
12、 ，半径为 2； 由圆（x2）2+（y3）2r2，得圆心坐标为（2，3） ，半径为 r； 圆 x2+4x+y20 与圆（x2）2+（y3）2r2有三条公切线， 故两圆相外切， ； 即 52+r，r3 故选：C 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，属于基础题 5 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最小值是（ ） A15 B9 C1 D9 【分析】先根据条件画出可行域，z2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截距，只需求出直线 Z2x+y，过可行域内的点 A（6，3）时的最小值，从而 得到 Z 的最小值即可 【解答】解：x，y 满足约束条件的可行域如图： 在
13、坐标系中画出可行域ABC，A（6，3） ，B（0，1） ，C（6，3） ， 由图可知，当 x6，y3 时，则目标函数 z2x+y 的最小，最小值为15 第 6 页（共 18 页） 故选：A 【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归 思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定 6 （5 分）圆 x2+y22x2y+10 上的点到直线 3x+4y+80 的最大距离是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径 r，利用点到直线的距离公式求出 圆心到直线的距离 d，由 d+r 求出最大值 【解答】解：将圆方程 x2+y22
14、x2y+10 化为标准方程得： （x1）2+（y1）21， 圆心（1，1） ，半径 r1， 圆心到直线 3x+4y+80 的距离 d3 圆上的点到直线的最大距离 a3+14 故选：D 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的 距离公式，根据题意得出 d+r 为距离的最大值是解本题的关键 7 （5 分）方程（k+2）x2ky2k22k 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围 是（ ） A （1，0） B （2，0） C （2，1）（1，0） D （0，+） 【分析】 化简方程为椭圆的标准方程， 通过表示焦点在 y 轴上的椭圆， 可得 k
15、+2k0， 即可求出实数 k 的取值范围 第 7 页（共 18 页） 【解答】解：方程（k+2）x2ky2k22k，即方程表示焦点在 y 轴上 的椭圆， k+2k0 1k0 故选：A 【点评】本题考查实数 k 的取值范围，考查椭圆的简单性质以及椭圆标准方程的应用， 比较基础 8 （5 分）过点（3，1）作圆（x1）2+y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为（ ） A2x+y30 B2xy30 C4xy30 D4x+y30 【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除 B、D，推出另一个切线斜率，得到选 项即可 【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x1）2+y21 的两
16、条切线，切点分别为 A，B， 所以圆的一条切线方程为 y1，切点之一为（1，1） ， 显然 B、D 选项不过（1，1） ，B、D 不满足题意； 另一个切点的坐标在（1，1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项 C 不满足，A 满足 故选：A 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解 答是间接法，值得同学学习 9 （5 分） 如果椭圆的弦被点 M （1， 1） 平分， 则这条弦所在的直线方程是 （ ） Ax+3y40 Bx3y+20 C3xy20 D3x+y40 【分析】由题意可知：将 E，F 代入椭圆方程，由中点坐标公式，做差求得直线 EF 的斜 率
17、公式，由直线的点斜式方程，即可求得条弦所在的直线方程 【解答】解：设过点 A（1，1）的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1） ，F（x2，y2） ， 由中点坐标公式可知：， 第 8 页（共 18 页） 则，两式相减得：+0， ， 直线 EF 的斜率 k， 直线 EF 的方程为：y1（x1） ，整理得：3y+x40， 故选：A 【点评】本题考查直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题 10 （5 分）已知集合，集合 B（x，y）|kxy+2k0，且 A B，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】集合表示 x2+y21，x0，以原点为圆心 1 为半径的 左半圆，
18、直线 kxy+2k0 过定点 A（1，2） ，当过 A 与半圆相切，切点在第二象限时， 圆心 O 到直线的距离 dr1，求出 k当直线过（0，1）时，k3，由 A B，能求出实数 k 的取值范围 【解答】解：如图，集合表示 x2+y21，x0， 以原点为圆心 1 为半径的左半圆， 集合 B（x，y）|kxy+2k0， AB， 直线 kxy+2k0 与 x2+y21，x0 有交点， 直线 kxy+2k0 过定点 A（1，2） ， 如图，当过 A 与半圆相切，切点在第二象限时，圆心 O 到直线的距离 dr1， 即1，解得 k 当直线过（0，1）时，k3， AB，两函数有交点， 第 9 页（共 18
19、 页） 则实数 k 的取值范围是，3 故选：C 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆、直线与圆的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 11 （5 分）已知椭圆：+1（0b3） ，左右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交椭圆于 A、B 两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为 10，则 b 的值是（ ） A1 B C D 【分析】由椭圆的定义，求得|BF2|+|AF2|12（丨 AF1丨+丨 BF1丨） ，当丨 AF1丨+丨 BF1丨取最小值时，|BF2|+|AF2|取最大值，则2，即可求得 b 的值 【解答】解：椭圆的焦点在 x 轴上，由椭圆的定义可知：丨 AF1
20、丨+丨 AF2丨2a6， 丨 BF1丨+丨 BF2丨2a6， 则丨 AF2丨6丨 AF1丨，丨 BF2丨6丨 BF1丨， |BF2|+|AF2|12（丨 AF1丨+丨 BF1丨）12丨 AB 丨， 当丨 AF1丨+丨 BF1丨丨 AB 丨取最小值时，|BF2|+|AF2|取最大值， 即2，解得：b， b 的值， 故选：C 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，椭圆的通径的求法，考查计算能 力，属于中档题 第 10 页（共 18 页） 12 （5 分）设椭圆 C：+1（ab0）的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A、B 关于 原点对称， 且满足0， |FB|FA|2|FB|， 则椭圆
21、C 的离心率的取值范围是 （ ） A， B，1） C，1 D1，1） 【分析】根据条件判断四边形 AFBF'为矩形，结合椭圆的定义结合椭圆离心率方程进行 转化求解即可 【解答】解：作出椭圆的左焦点 F'，由椭圆的对称性可知，四边形 AFBF'为平行四边形， 又0， 即 FAFB，故平行四边形 AFBF'为矩形， |AB|FF'|2c， 设 AF'n，AFm， 则在直角三角形 ABF 中，m+n2a，m2+n24c2， 得 mn2b2， 得+，令t，得 t+， 又由|FB|FA|2|FB|，得t1，2， t+2，即1， 即
22、1，得1， 即1， 即11， 则2， 即，得e 第 11 页（共 18 页） 得e 则椭圆的离心率的取值范围是， 故选：A 【点评】本题主要考查椭圆的离心率的计算，结合椭圆的定义进行转化是解决本题的关 键综合性较强，有一定的难度 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请将答案填写在答题卷上相应位分请将答案填写在答题卷上相应位 置）置） 13 （5 分）点 P（3，4）关于直线 xy1 的对称点的坐标是 （5，2） 【分析】设点 P（3，4）关于直线 xy1 的对称点 Q 的坐标是（x，y） ，根据 PQ直 线 xy1，PQ 的中点在直
23、线 xy1 上列方程即可求得 x，y 【解答】解：依题意，设点 P（3，4）关于直线 xy1 的对称点 Q 的坐标是（x，y） ， 则 PQ 中点坐标为（，） ， 又 PQ直线 xy1， 所以，解得， 所以 Q 点坐标为（5，2） ， 故答案为： （5，2） 【点评】本题考查了点关于直线的对称点的求法，属于基础题 14（5 分） 已知 P 是椭圆上的一点， F1， F2是椭圆的两个焦点， 当 时，则PF1F2的面积为 【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义及余弦定理求得|PF1|PF2|的值，代入三角形面 积公式得答案 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：如图， 由椭圆，得 a，b1， c
24、3， 则 2a2，|PF1|+|PF2|2a2， 由余弦定理可得：|F1F2|2|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos120， 4c2（|PF1|+|PF2|）2|PF1|PF2|， 即|PF1|PF2|4 F1PF2的面积 S|PF1|PF2|sin120 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是中档题， 15 （5 分）已知圆 C 过定点（7，2） ，且和圆 C'：x2+（y3）22 相切于点（1，2） ，则圆 C 的一般方程是 x2+y28x+2y10 【分析】依题意，设出圆 C 的一般方程，则可以表示出 C 的坐标，设定点（7，2）为点
25、A，切点（1，2）为 B，则 C 在直线 BC上，且 A，B 的坐标满足方程，即可求出一般 方程 【解答】解：设定点（7，2）为点 A，切点（1，2）为 B，圆 C'的圆心 C'坐标为（0，3） ， 则直线 BC'的方程为：x+y30， 设圆 C 的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F0，则 C 点坐标为（，） ， 则，解得， 所以圆 C 的一般方程是：x2+y28x+2y10， 故答案为：x2+y28x+2y10 【点评】本题考查了圆的一般方程，考查了圆的性质，属于基础题 第 13 页（共 18 页） 16 （5 分）设点 P 是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左
26、，右焦点， I 是PF1F2的内心，若PF1F2的面积是IF1F2面积的 3 倍，则该椭圆的离心率为 【分析】设PF1F2的内切圆半径为 r，分别写出PF1F2与IF1F2的面积，由PF1F2 的面积是IF1F2面积的 3 倍列式求椭圆的离心率 【解答】解：如图， 点 I 为PF1F2的内心，PF1F2的面积是IF1F2面积的 3 倍， 设PF1F2的内切圆半径为 r， 则r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）（a+c）r， |F1F2|rcr， a+c3c，则 a2c， 椭圆的离心率为 e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆定义的应用，是中档题 三解答题（本大题共三
27、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分请将答案写在答题卷上相应位置，解答应写出分请将答案写在答题卷上相应位置，解答应写出 必要的文字说明，证明过程或演算步骤）必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）求离心率为且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程 【分析】求出椭圆的焦点坐标，结合所求椭圆的离心率，求解 a，b，即可得到椭圆的标 准方程 第 14 页（共 18 页） 【解答】解：椭圆的焦点（4，0） ， 所求椭圆的离心率为：，可得 c4，a6，则：b2 所求椭圆的标准方程为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查 18（12 分） 已知
28、圆 C：（x1） 2+ （y2）225， 直线 l： （2m+1） x+ （m+1） y7m+4 （mR） （1）求证：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒相交于两点； （2）求C 与直线 l 相交弦长的最小值 【分析】 （1）求出直线系经过的定点，利用两点间距离公式求出距离判断与圆的半径的 关系，即可推出直线与圆的位置关系 （2）判断弦长最短时的位置，然后转化求解即可 【解答】解： （1）将方程（2m+1）x+（m+1）y7m+4，变形为（2x+y7）m+（x+y4） 0 直线 l 恒过两直线 2x+y70 和 x+y40 的交点， 由得交点 M（3，1） 又（31）2+
29、（12）2525，点 M（3，1）在圆 C 内，直线 l 与圆 C 恒有两 个交点 （2）由圆的性质可知，当 lCM 时，弦长最短 又|CM|， 弦长为 l224 【点评】本题考查直线系方程的应用，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想 以及计算能力 19 （12 分）已知圆 C 经过椭圆的右顶点 A2、下顶点 B1和上顶点 B2 （）求圆 C 的标准方程； （）直线 l 经过点 G（6，1）且与 xy+10 垂直，P 是直线 l 上的动点，过点 P 作 圆 C 的切线，切点分别为 M，N，求四边形 PMCN 面积的最小值 【分析】 （）设出圆 C 的圆心，利用已知条件通过勾股定理求解圆心
30、坐标，然后求解圆 第 15 页（共 18 页） 的标准方程； （）求出直线 l 的方程，P 是直线 l 上的动点，通过点到直线的距离转化求解四边形 PMCN 面积的最小值 【解答】解： （）圆 C 经过椭圆的右顶点 A2、下顶点 B1和上顶点 B2 设圆心为（a，0） ，则半径为 8a，则（8a）2a2+42，解得 a3， 故所求圆 C 的标准方程为（x3）2+y225 （）易得 l：x+y+50，圆心 C（3，0）到 l 的距离为，圆的半径为 r 5， 当 CPl 时，四边形 PMCN 面积最小，此时， 四边形 PMCN 面积的最小值为 【点评】本题考查椭圆的简单性质，直线与圆的位置关系的综
31、合应用，考查分析问题解 决问题的能力 20 （12 分）已知圆 C 的方程为 x2+y24 （1）求过点 P（1，2）且与圆 C 相切的直线 l 的方程； （2）直线 l 过点 P（1，2） ，且与圆 C 交于 A、B 两点，若|AB|2，求直线 l 的方程； （3）圆 C 上有一动点 M（x0，y0） ，（0，y0） ，若向量+，求动点 Q 的轨 迹方程，并说明此轨迹是什么曲线 【分析】 （1）显然直线 l 的斜率存在，设切线方程为 y2k（x1） ，利用圆心到直线 的距离等于半径，即可求过点 P（1，2）且与圆 C 相切的直线 l 的方程； （2）分类讨论：当直线 l 垂直于
32、x 轴时；若直线 l 不垂直于 x 轴对于，设其方 程为 y2k（x1） ，结合直线与圆的位置关系利用弦长公式即可求得 k 值，从而解决 问题 （3）设点 M 的坐标为（x0，y0） （y00） ，Q 点坐标为（x，y） ，利用向量的坐标运算表 示出 M 的坐标，再利用 M 点在圆上其坐标适合方程即可求得动点 Q 的轨迹方程，最后 利用方程的形式进行判断是什么曲线即可 【解答】解： （1）显然直线 l 的斜率存在，设切线方程为 y2k（x1） ， 则由2，得 k10，k2，从而所求的切线方程为 y2 和 4x+3y100 第 16 页（共 18 页） （2）当直线 l 垂直于 x 轴时，此时直
33、线方程为 x1，l 与圆的两个交点坐标为（1，） 和（1，） ，这两点的距离为 2，满足题意；当直线 l 不垂直于 x 轴时，设其方程 为 y2k（x1） ， 即 kxyk+20，设圆心到此直线的距离为 d（d0） ，则 22， 得 d1，从而 1，得 k，此时直线方程为 3x4y+50， 综上所述，所求直线方程为 3x4y+50 或 x1 （3）设 Q 点的坐标为（x，y） ，M 点坐标是（x0，y0） ，（0，y0） ， +，（x，y）（x0，2y0）xx0，y2y0 x02+y024，x2+4，即 Q 点的轨迹方程是，轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆 【点评】本小题主要考查直线的一般式方
34、程、直线和圆的方程的应用、轨迹方程的解法 等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于中档题 21 （12 分）已知 A（0，2） ，椭圆 E：1（ab0）的离心率为，F 是椭 圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为，O 为原点 （）求椭圆 E 的方程； （）直线 l 经过点 A，与椭圆交于 M，N 两点，若以 MN 为直径的圆经过坐标原点 O， 求|MN| 【分析】 （）根据椭圆的离心率公式及直线的斜率公式，即可求得 a 和 b 的值，求得椭 圆方程； （）设直线 MN 的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及向量数量积的坐标运算，即 可求得 k 的值，利用弦长公式即可取得
35、|MN| 【解答】解： （）由椭圆的离心率 e， 直线 AF 的斜率 k，则 c，a2， b2a2c21， 第 17 页（共 18 页） 所以椭圆 E 的方程； （）当 lx 轴时不符合题意，故设直线 l：ykx2，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， ，整理得（1+4k2）x216kx+120， 则16（4k23）0，即 k2， 所以 x1+x2，x1x2， y1y2k2x1x22k（x1+x2）+4， 由题意可知x1x2+y1y2+0，解得 k24， 因此|MN| 所以|MN| 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式， 向量数量积的坐标运算，考查转
36、化思想属于中档题 22 （12 分）已知圆 M：的圆心是椭圆 C：（ab0）的右 焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆 M 相切 （I）求椭圆 C 的方程； （）椭圆 C 上有两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，OA、OB 斜率之积为，求的 值 【分析】 （）求出圆心坐标为，通过，求出椭圆的左焦 点坐标，设直线 l 的方程为：，利用直线 l 与圆相切求出 K，得到直线 l 的 方程与椭圆方程 （）通过点的坐标满足椭圆方程，结合 OA、OB 斜率之积为，推出 x1x2+4y1y20， 转化求解，然后求出结果 【解答】解： （） 圆 第 18 页（共 18 页） 圆心坐标为， 过椭圆 C：的左焦点和上顶点的直线 l 的斜率显然大于 0，可设 直线 l 的方程为：，因为直线 l 与圆相切， ，又k0 直线 l 的方程为：， （6 分） （）由（）知 x2+4y24，有， 由 OA、OB 斜率之积为可得，x1x2+4y1y20， ， ， （12 分） 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的 应用，难度比较大
