1、 第 1 页（共 26 页） 2019-2020 学年江西省宜春市上高二中高二（上）期末数学试卷学年江西省宜春市上高二中高二（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 1 （5 分）下列说法中正确的是（ ） A先把高二年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50，m+100，m+150，的学生，这种抽样方 法是分层抽样法 B线性回归直线 x不一定过样本中心（ ， ） C若两个随机变量的线性相关性越强
2、，则相关系数 r 的值越接近于 1 D若一组数据 2，4，a，8 的平均数是 5，则该组数据的方差也是 5 2 （5 分）甲，乙两名同学参加校园歌手比赛，7 位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况 的茎叶图如如（单位：分） ，则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（ ） A1 B2 C3 D4 3 （5 分）下列命题中错误的是（ ） A命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题是真命题 B命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是“x（0，+） ，lnxx1” C若 pq 为真命题，则 pq 为真命题 D在ABC 中， “AB”是“sinAsinB”的充要条件 4 （5 分）
3、已知（1，1，0） ，C（0，1，2） ，若2，则点 D 的坐标为（ ） A （2，3，2） B （2，3，2） C （2，1，2） D （2，1，2） 5 （5 分）设两圆 C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1） ，则两圆心的距离|C1C2| （ ） A4 B C8 D 第 2 页（共 26 页） 6 （5 分）已知椭圆 C：（ab0）的右焦点为 F，过点 F 作圆 x2+y2b2的切 线，若两条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 7 （5 分）已知两条直线 m、n，两个平面 、，给出下面四个命题： mn，mn，m，nmn mn，mn，mn，m，m 其中正确命
4、题的序号是（ ） A B C D 8 （5 分）执行如图所示的流程图，若输出的 n5，则输入整数 p 的最小值是（ ） A3 B7 C15 D31 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） 第 3 页（共 26 页） A B C D4 10 （5 分） 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点 若|AF| 3，则AOB 的面积为（ ） A B C D2 11 （5 分）如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 A1D1的中点，Q 为 A1B1 上任意一点，E，F 为 CD 上两动点，且 EF 的长为定
5、值，则下面四个值中不是定值的是 （ ） A点 Q 到平面 PEF 的距离 B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 C三棱锥 PQEF 的体积 D二面角 PEFB1的大小 12 （5 分）已知双曲线的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲 线的一条渐近线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若，则该双 曲线的离心率为（ ） 第 4 页（共 26 页） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术有一抽样问题： “今有北乡若干人，西乡七千四 百八十八人，南乡六千九
6、百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人， 问北乡人数几何？“其意思为： “今有某地北面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人， 这三面要征调300人， 而北面共征调108人 （用分层抽样的方法） ， 则北面共有 人 ” 14（5分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 若抛物线 yax2（a0） 的焦点恰好是双曲线 的焦点，则 a 的值为 15 （5 分）将边长为 1 的正方形沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC平面 ABC，在折起后 形成的三棱锥 DABC 中，给出下列四个命题：ACBD；异面直线 AD 与 BC 所成 的角为 30；二面角 ABCD 余弦值为三棱锥
7、DABC 的体积是 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABAD3，BAD60，BCD90，二面角 A BDC 的大小为 150，则四面体 ABCD 外接球的表面积为 三、解答题：三、解答题： 17 （10 分）已知，圆 C：x2+y28y+120，直线 l：ax+y+2a0 （1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； （2）当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且 AB2时，求直线 l 的方程 18 （12 分） 已知命题 p： 实数 m 满足 m25am+4a20， 其中 a0； 命题 q： 方程 1 表示双曲线 （1）若
8、 a1，且 pq 为真，求实数 m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 19 （12 分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤 气开关旋钮旋转的弧度数 x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据，且作了一定的数据处 理（如表） ，得到了散点图（如图） 第 5 页（共 26 页） 1.4 7 20. 6 0.7 8 2.35 0.81 19.3 16.2 表中 （1）根据散点图判断，ya+bx 与哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋 转的弧度数 x 的回归方程类型？（不必说明理由） （2）根据判断结果和表中数据，建立 y
9、关于 x 的回归方程； （3）若旋转的弧度数 x 与单位时间内煤气输出量 t 成正比，那么 x 为多少时，烧开一壶 水最省煤气？ 附：对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （u3，v3） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 20 （12 分）已知动点 P 到定直线 l：x4 的距离比到定点 F（2，0）的距离大 2 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）在 x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 M，过该点的动直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，使得为定值如果存在，求出点 M 坐标；如果不存在，请说明 理由 21 （12 分）
10、如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形， ABBC，BB13，D 为 A1C1的中点，F 在线段 AA1上 第 6 页（共 26 页） （1）AF 为何值时，CF平面 B1DF？ （2）设 AF1，求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 22 （12 分）已知椭圆过点 P（0，1） ，离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 x2+y2a2于 A，B 两点，l2交 椭圆 C 于另一个点 Q，求QAB 面积取得最大值时直线 l1的方程 第 7 页（共 26 页） 2019-2020 学年江西省宜春
11、市上高二中高二（上）期末数学试卷学年江西省宜春市上高二中高二（上）期末数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 1 （5 分）下列说法中正确的是（ ） A先把高二年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50，m+100，m+150，的学生，这种抽样方 法是分层抽样法 B线性回归直线 x不一定过样本中心（ ， ） C若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 r 的值越接
12、近于 1 D若一组数据 2，4，a，8 的平均数是 5，则该组数据的方差也是 5 【分析】A，根据抽样特征知这种抽样方法是系统抽样法； B，线性回归直线过样本中心（ ， ） ； C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数 r 的绝对值越接近于 1； D，根据平均数求出 a 的值，再计算方差的大小 【解答】解：对于 A，根据个体数目较多，且没有明显的差异，抽取样本间隔相等， 知这种抽样方法是系统抽样法，A 错误； 对于 B，线性回归直线 x一定过样本中心（ ， ） ，B 错误； 对于 C，两个随机变量的线性相关性越强， 相关系数 r 的绝对值越接近于 1，C 错误； 对于 D，一组数据 2，4，
13、a，8 的平均数是 5， 则 2+4+a+854，解得 a6； 该组数据的方差为 s2（25）2+（45）2+（65）2+（85）25，D 正确 故选：D 【点评】本题用命题真假的判断考查了统计初步知识的应用问题，是基础题 2 （5 分）甲，乙两名同学参加校园歌手比赛，7 位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况 第 8 页（共 26 页） 的茎叶图如如（单位：分） ，则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据茎叶图分别求出甲和乙的中位数，作差即可 【解答】解：甲的数据是：78，81，84，85，87，88，92， 故平均数是：85， 乙的数据是：7
14、9，81，82，83，87，88，93， 故中位数是：83， 故差是 2， 故选：B 【点评】本题考查了茎叶图问题，考查中位数问题，是一道常规题 3 （5 分）下列命题中错误的是（ ） A命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题是真命题 B命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是“x（0，+） ，lnxx1” C若 pq 为真命题，则 pq 为真命题 D在ABC 中， “AB”是“sinAsinB”的充要条件 【分析】由原命题和逆否命题的等价性可判断 A；由命题的否定形式可判断 B；由复合命 题的真值表可判断 C； 由充分必要条件的定义和三角形的边角关系和正弦定理可判断 D 【
15、解答】解： “若 xy，则 sinxsiny”为真命题，其逆否命题是真命题，故 A 正确； 命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是“x（0，+） ，lnxx1” ，故 B 正确； 若 pq 为真命题，则 pq 可能为真命题或假命题，故 C 错误； ABC 中， “AB”“ab”“sinAsinB” ，故 D 正确 故选：C 【点评】本题考查四种命题和命题的否定、以及复合命题的真值表和充分必要条件的判 断，考查判断能力和推理能力，属于基础题 第 9 页（共 26 页） 4 （5 分）已知（1，1，0） ，C（0，1，2） ，若2，则点 D 的坐标为（ ） A （2，3，2） B （2，
16、3，2） C （2，1，2） D （2，1，2） 【分析】由2，可得+2 【解答】解：2， +2（0，1，2）+2（1，1，0）（2，1，2） ， 故选：D 【点评】本题考查了向量的坐标运算性质，考查了推理能力由于计算能力，属于基础题 5 （5 分）设两圆 C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1） ，则两圆心的距离|C1C2| （ ） A4 B C8 D 【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a） ， （b，b） ，利用条件可得 a 和 b 分别 为 x210x+170 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2| 的值 【解答】解：两圆 C1、C2都和两坐标轴相切，且
17、都过点（4，1） ，故圆在第一象限内， 设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a） ， （b，b） ，由于两圆都过点（4，1） ， 则有|a|，|b|， 故 a 和 b 分别为（x4）2+（x1）2x2 的两个实数根， 即 a 和 b 分别为 x210x+170 的两个实数根，a+b10，ab17， （ab）2（a+b）24ab32，两圆心的距离|C1C2|8， 故选：C 【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基 础题 6 （5 分）已知椭圆 C：（ab0）的右焦点为 F，过点 F 作圆 x2+y2b2的切 线，若两条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ） A
18、 B C D 【分析】由题意画出图形，可得，两边平方后结合隐含条件得答案 第 10 页（共 26 页） 【解答】解：如图， 由题意可得，则 2b2c2， 即 2（a2c2）c2，则 2a23c2， ，即 e 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 7 （5 分）已知两条直线 m、n，两个平面 、，给出下面四个命题： mn，mn，m，nmn mn，mn，mn，m，m 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】在中，利用线面垂直的判定定理得 n；在 中，m 与 n 相交、平行或异 面；在中，n 或 n；在 中，利用向量垂直的判定定理得 m 【解答】
19、解：由两条直线 m、n，两个平面 、，知： 在中，由 mn，m，利用线面垂直的判定定理得 n，故正确； 在 中，由 ，m，n，得 m 与 n 相交、平行或异面，故错误； 在中，由 mn，m，得 n 或 n，故错误； 在 中，由 ，mn，m，利用向量垂直的判定定理得 m，故正确 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中 档题 第 11 页（共 26 页） 8 （5 分）执行如图所示的流程图，若输出的 n5，则输入整数 p 的最小值是（ ） A3 B7 C15 D31 【分析
20、】模拟程序框图的运行过程，可以得出输入的整数 P 的最小值是多少 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下： n1，S0，0P，是，S0+21 11； n1+12，S1，1P，是，S1+22 13； n2+13，S3，3P，是，S3+23 17； n3+14，S7，7P，是，S7+24 115； n4+15，S15，15P，否，输出 n5 可得整数 P 的最小值是 15 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得 出所求问题的结论，是基础题 9 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） 第 12 页（共 26 页） A B C
21、D4 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可 【解答】解：由三视图可得，该几何体为如图所示的四棱锥，其中 ABCD 为矩形，PA AB，PAAD，易知该几何体的体积， 故选：B 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，画出几何体的直观图是解题的关键 10 （5 分） 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点 若|AF| 3，则AOB 的面积为（ ） A B C D2 【分析】设直线 AB 的倾斜角为 ，利用|AF|3，可得点 A 到准线 l：x1 的距离为 3， 从而 cos，进而可求|BF|，|AB|，由此可求 AOB 的
22、面积 【解答】解：设直线 AB 的倾斜角为 （0）及|BF|m， |AF|3， 点 A 到准线 l：x1 的距离为 3 第 13 页（共 26 页） 2+3cos3 cos m2+mcos（） AOB 的面积为 S 故选：C 【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题 的关键 11 （5 分）如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 A1D1的中点，Q 为 A1B1 上任意一点，E，F 为 CD 上两动点，且 EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是 （ ） A点 Q 到平面 PEF 的距离 B直线 PQ 与平面 PEF 所成的角
23、C三棱锥 PQEF 的体积 D二面角 PEFB1的大小 【分析】在 A 中，由 EFA1B1，得点 Q 到平面 PEF 的距离是定值；在 B 中，当 Q 在 A1B1上移动时，直线 PQ 与平面 PEF 所成的角发生变化；在 C 中，由PEF 的面积是定 值，点 Q 到平面 PEF 的距离是定值，得三棱锥 PQEF 的体积是定值；在 D 中，二面 角 PEFB1的大小就是二面角 PCDB1的大小 【解答】解：在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为 A1D1的中点， Q 为 A1B1上任意一点，E，F 为 CD 上两动点，且 EF 的长为定值， 在 A 中，EFA1B1，点
24、Q 到平面 PEF 的距离是定值，故 A 错误； 在 B 中，当 Q 在 A1B1上移动时，直线 PQ 与平面 PEF 所成的角发生变化，故 B 正确； 第 14 页（共 26 页） 在 C 中，PEF 的面积是定值，点 Q 到平面 PEF 的距离是定值，三棱锥 PQEF 的体积是定值，故 C 错误； 在 D 中，二面角 PEFB1的大小就是二面角 PCDB1的大小，是定值，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查数学运算能力，是中档题 12 （5 分）已知双曲线的右焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与双曲 线的一条渐近
25、线垂直，直线 l 与双曲线的右支交于不同两点 A，B，若，则该双 曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】不妨设直线 l 的斜率为，直线 l 的方程为 y（xc） ，联立直线方程 与双曲线方程，化为关于 y 的一元二次方程，求出两交点纵坐标，由题意列等式求解 【解答】解：如图， 不妨设直线 l 的斜率为，直线 l 的方程为 y（xc） ， 联立，得（b2a2）c2y22ab3cy+a2b40 由题意，方程得（b2a2）c2y22ab3cy+a2b40 的两根异号， 第 15 页（共 26 页） 则 ab，此时0，0 则，即 a2b a24b24（c2a2） ，4c25a2，即 e 故选：
26、B 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术有一抽样问题： “今有北乡若干人，西乡七千四 百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人， 问北乡人数几何？“其意思为： “今有某地北面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人， 这三面要征调 300 人，而北面共征调 108 人（用分层抽样的方法） ，则北面共有 8100 人 ” 【分析】根据分层抽样时抽取的比例相等，列方程求出结果 【解答】解：设
27、北面有 x 人，根据题意得 ， 解得 x8100 故答案为：8100 【点评】本题考查了分层抽样应用问题，是基础题 14（5分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 若抛物线 yax2（a0） 的焦点恰好是双曲线 的焦点，则 a 的值为 第 16 页（共 26 页） 【分析】分别求得双曲线和抛物线的焦点，解方程可得所求值 【解答】解：双曲线的焦点为（0，2） ， （0，2） ， 抛物线 yax2（a0）即 x2的焦点为（0，） ， 由题意可得2，解得 a， 故答案为： 【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础 题 15 （5 分）将边长为 1 的正方形沿对角线
28、AC 折起，使得平面 ADC平面 ABC，在折起后 形成的三棱锥 DABC 中，给出下列四个命题：ACBD；异面直线 AD 与 BC 所成 的角为 30；二面角 ABCD 余弦值为三棱锥 DABC 的体积是 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） 【分析】由题意作出图形， 过 D 作 DOAC 于 O，连接 BO，通过证明 AC平面 BOD，证明 ACBD，可判断 正误； 利用棱锥的体积公式计算三棱锥的体积，可判断正误； 建立空间直角坐标系， 利用向量坐标运算求异面直线 AB 与 CD 所成的角和二面角 ABC D 余弦值，可判断正误 【解答】解：解：过 D 作 DOAC 于 O，连
29、接 BO，由题意知：DOBO，BD1 平面 ADC平面 ABC，DO平面 ABC，DOAC， O 为 AC 的中点，ABBC，BOAC，AC平面 BOD，BD平面 BOD，AC BD，正确； VDABC，错误； 建立空间直角坐标系如图： 则 A（，0，0） ，D（0，0，） ，B（0，0） ，C（，0，0） （，0，） ；（，0） ， 第 17 页（共 26 页） cos 异面直线 AD 与 BC 所成的角是 60，错误 由于 BDBCCD1，BCD 是等边三角形；过 D 作 DEBC，E 为 BC 的中点；E （，0） ，（，） ； ABBC，（，0） ，+（）（）+ 0；|； 二面角 AB
30、CD 余弦值为：故正确 故答案为： 【点评】本题考查了面面垂直的性质及异面直线所成角的求法，考查了学生的空间想象 能力与计算能力，要熟练掌握利用向量坐标运算求异面直线所成的角的方法属于中档 题 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABAD3，BAD60，BCD90，二面角 A BDC 的大小为 150，则四面体 ABCD 外接球的表面积为 21 【分析】如图所示，由 ABAD3，BAD60，可得：ABD 为正三角形设中心 为 G，延长 AG 与 BD 相交于点 M，连接 CM，则AMC 为二面角 ABDC 的平面角， 大小为 150， 作 OG平面 ABD， OMCM则点 O 为四面体 A
31、BCD 外接球的球心进 而得出 【解答】解：如图所示， ABAD3，BAD60， ABD 为正三角形 设中心为 G，延长 AG 与 BD 相交于点 M，连接 CM，则AMC 为二面角 ABDC 的 第 18 页（共 26 页） 平面角，大小为 150， 作 OG平面 ABD，OMCM则点 O 为四面体 ABCD 外接球的球心 OMG60 又 GMAM， OG R|OA| 四面体 ABCD 外接球的表面积 S4R221 故答案为：21 【点评】本题考查了四面体的外接球、等边三角形与直角三角形的性质、二面角，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 三、解答题：三、解答题： 17 （10 分）已知，
32、圆 C：x2+y28y+120，直线 l：ax+y+2a0 （1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； （2）当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且 AB2时，求直线 l 的方程 【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径 r， （1）当直线 l 与圆相切时，圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r，利用点到直线的距离 公式表示出圆心到直线 l 的距离 d，让 d 等于圆的半径 r，列出关于 a 的方程，求出方程 的解即可得到 a 的值； （2）联立圆 C 和直线 l 的方程，消去 y 后，得到关于 x 的一元二次方程，然后利用韦达 定理表示出 AB 的长度，列出关
33、于 a 的方程，求出方程的解即可得到 a 的值 【解答】解：将圆 C 的方程 x2+y28y+120 配方得标准方程为 x2+（y4）24， 则此圆的圆心为（0，4） ，半径为 2 （1）若直线 l 与圆 C 相切，则有解得 第 19 页（共 26 页） （2）联立方程并消去 y， 得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）0 设此方程的两根分别为 x1、x2， 所以 x1+x2，x1x2 则 AB2 两边平方并代入解得：a7 或 a1， 直线 l 的方程是 7xy+140 和 xy+20 另解：圆心到直线的距离为 d， AB22，可得 d， 解方程可得 a7 或 a1， 直
34、线 l 的方程是 7xy+140 和 xy+20 【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用 韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题 18 （12 分） 已知命题 p： 实数 m 满足 m25am+4a20， 其中 a0； 命题 q： 方程 1 表示双曲线 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 【分析】命题 p：实数 m 满足 m25am+4a20，其中 a0，解得 am4a；命题 q： 方程1 表示双曲线则（m3） （m5）0，解得 m 范围 （1）若 a1，则 p：1
35、m4根据 pq 为真，可得实数 m 的取值范围 （2）若p 是q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的充分不必要条件即可得出 【解答】解：命题 p：实数 m 满足 m25am+4a20，其中 a0，解得 am4a；命题 q：方程1 表示双曲线则（m3） （m5）0，解得 3m5 第 20 页（共 26 页） （1）若 a1，则 p：1m4 由 pq 为真，解得 3m4 实数 m 的取值范围是（3，4） （2）若p 是q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的充分不必要条件 ，等号不能同时成立 解得3 实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的性质与解法、简易逻辑的判定方
36、法， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 19 （12 分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤 气开关旋钮旋转的弧度数 x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据，且作了一定的数据处 理（如表） ，得到了散点图（如图） 1.4 7 20. 6 0.7 8 2.35 0.81 19.3 16.2 表中 （1）根据散点图判断，ya+bx 与哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋 转的弧度数 x 的回归方程类型？（不必说明理由） （2）根据判断结果和表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （3）若旋转的弧度数 x 与单位时间内煤气输出量 t 成正比，那么 x
37、 为多少时，烧开一壶 水最省煤气？ 附：对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （u3，v3） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 第 21 页（共 26 页） 【分析】 （1）根据散点图是否按直线型分布作答； （2）根据回归系数公式得出 y 关于 的线性回归方程，再得出 y 关于 x 的回归方程； （3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件 【解答】解： （1）更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋转的弧度数 x 的回归方 程类型（1 分） （2）由公式可得：，（3 分） ，（5 分） 所以所求回归方程为（6 分） （3）设 tk
38、x，则煤气用量，（9 分） 当且仅当时取“” ，即 x2 时，煤气用量最小（11 分） 答：x 为 2 时，烧开一壶水最省煤气 （12 分） 【点评】本题考查了可化为线性相关的回归方程的求解，基本不等式的应用，属于中档 题 20 （12 分）已知动点 P 到定直线 l：x4 的距离比到定点 F（2，0）的距离大 2 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）在 x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点 M，过该点的动直线 l 与曲线 C 交于 A， 第 22 页（共 26 页） B 两点，使得为定值如果存在，求出点 M 坐标；如果不存在，请说明 理由 【分析】 （1）点 P 的坐标为（x，y）
39、 ，由动点 P 到定直线 l：x4 的距离比到定点 F（2， 0）的距离大 2，列出方程，由此能求出轨迹 C 的方程 （2）假设存在满足条件的点 M（m，0） （m0） ，直线 l：xty+m，联立，得： y28ty8m0，由此利用韦达定理、弦长公式、抛物线性质，结合已知条件能求出结 果 【解答】解： （1）设点 P 的坐标为（x，y） ， 动点 P 到定直线 l：x4 的距离比到定点 F（2，0）的距离大 2， x4 且， 化简得 y28x， 轨迹 C 的方程为 y28x （2）假设存在满足条件的点 M（m，0） （m0） ，直线 l：xty+m， 联立，得：y28ty8m0， 设 A（x1
40、，y1） ，B（x2，y2） ，则 y1+y28t，y1y28m， ， ， 据题意，为定值，则， 于是 m+4t24m2+4m2t2，则有解得 m4， 故当 m4 时，为定值， 故 M（4，0） 第 23 页（共 26 页） 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，考查抛物线、 根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数 与方程思想，是中档题 21 （12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形， ABBC，BB13，D 为 A1C1的中点，F 在线段 AA1上 （1）AF 为何值时，CF平面 B1DF？ （2
41、）设 AF1，求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 【分析】本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系， 给出有关点的坐标，设出点 F 的坐标， （I）由线面垂直转化为线的方向向量与面的法向 量垂直，利用二者内积为零建立关于参数的方程参数 （II）求出两平面的法向量，利用 夹角公式求二面角的余弦值即可 【解答】解： （1）因为直三棱柱 ABCA1B1C1中， BB1面 ABC，ABC 以 B 点为原点，BA、BC、BB1分别为 x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系 因为 AC2，ABC90，所以 ABBC， 从而 B（0，0，0） ，A，C，B
42、1（0，0，3） ， A1，C1，D， 所以， 设AFx，则F（，0，x）， 第 24 页（共 26 页） .，所以 要使 CF平面 B1DF，只需 CFB1F 由2+x（x3）0，得 x1 或 x2， 故当 AF1 或 2 时，CF平面 B1DF （5 分） （2）由（1）知平面 ABC 的法向量为 n1（0，0，1） 设平面 B1CF 的法向量为 n（x，y，z） ，则由得 令 z1 得， 所 以 平 面B1CF与 平 面ABC所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 【点评】考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、 面的法向量以及这些向量内积为 0、共线等
43、与立体几何中线面、面面位置关系的对应 22 （12 分）已知椭圆过点 P（0，1） ，离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 x2+y2a2于 A，B 两点，l2交 第 25 页（共 26 页） 椭圆 C 于另一个点 Q，求QAB 面积取得最大值时直线 l1的方程 【分析】 （1）根据椭圆的几何性质即可得解； （ 2 ） 根 据 直 线l1 的 斜 率 是 否 为0进 行 分 类 讨 论 ， 若 为0 ， 则 求 得 ；若不为 0，则先根据直线截圆的弦长公式算出|AB|，再曲 直联立，利用两点间距离公式算出|PQ|，然后化简 SA
44、BQ，并采用基本不等式求其最值， 最后将两种情况下得到的三角形面积进行比较即可得解 【解答】解： （1）由题意得，解得， 所以椭圆 C 的方程为 （2）由题知，直线 l1 的斜率存在，不妨设为 k，则 l1：ykx1 若 k0 时，直线 l1 的方程为 y1，l2 的方程为 x0，易求得，|PQ|2， 此时 若 k0 时，则直线 l2： 圆心（0，0）到直线 l1 的距离为 直线 l1 被圆 x2+y24 截得的弦长为|AB|， 联立，得（k2+4）x2+8kx0，则， 所以|PQ| 所以 第 26 页（共 26 页） 当且仅当即时，等号成立 因为，所以ABQ 面积取得最大值时，直线 l1 的方程应该是 【点评】本题考查直线与椭圆位置关系中的面积最值问题，解题的关键是用一个参数表 示出目标函数，并利用基本不等式求最值，考查学生分析问题和解决问题能力以及运算 能力，属于中档题
