1、 第 1 页（共 26 页） 2019-2020 学年江西省宜春市上高二中高二（上）期末数学试卷学年江西省宜春市上高二中高二（上）期末数学试卷 （文科）（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 1 （5 分）下列说法中正确的是（ ） A先把高二年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50，m+100，m+150，的学生，这种抽样方法 是分层抽样法 B线性回归直线不一定过样本中心 C若一个回归直线方程为，则变量 x 每增加一个
2、单位时， 平均增加 3 个单位 D若一组数据 2，4，a，8 的平均数是 5，则该组数据的方差也是 5 2 （5 分）甲，乙两名同学参加校园歌手比赛，7 位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况 的茎叶图如如（单位：分） ，则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（ ） A1 B2 C3 D4 3 （5 分）设椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点 PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为（ ） A B C D 4 （5 分）下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有 2 位同学一起走的情况， 则第二位走的是甲同学的概率是（ ） A B C
3、 D 5 （5 分）设两圆 C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1） ，则两圆心的距离|C1C2| （ ） A4 B C8 D 第 2 页（共 26 页） 6 （5 分）已知两条直线 m、n，两个平面 、，给出下面四个命题： mn，mn，m，nmn mn，mn，mn，m，m 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 7 （5 分）执行如图所示的流程图，若输出的 n5，则输入整数 p 的最小值是（ ） A3 B7 C15 D31 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A B C D4 9 （5 分）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合
4、其他民俗活 动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图， 第 3 页（共 26 页） 其中的 4 个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一 点，则该点取自黑色部分的概率为（ ） A B C D 10 （5 分） 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点 若|AF| 3，则AOB 的面积为（ ） A B C D2 11 （5 分）如图，平面四边形 ABCD 中，E，F 是 AD，BD 中点，ABADCD2，BD 2， BDC90， 将ABD 沿对角线 BD 折起至AD， 使平面 ABD平面 BCD
5、， 则四面体 ABCD 中，下列结论不正确的是（ ） AEF平面 ABC B异面直线 CD 与 AB 所成的角为 90 C异面直线 EF 与 AC 所成的角为 60 D直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 30 12 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，O 为 坐标原点，以 F1F2为直径的圆 O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 P、Q， 点 B 为圆 O 与 y 轴正半轴的交点，若POF2QOB，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3+ B C1+ D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2
6、0 分分. 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术有一抽样问题： “今有北乡若干人，西乡七千四 百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人， 第 4 页（共 26 页） 问北乡人数几何？“其意思为： “今有某地北面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人， 这三面要征调300人， 而北面共征调108人 （用分层抽样的方法） ， 则北面共有 人 ” 14（5 分） 若抛物线 y22px 的焦点与椭圆+1 的右焦点重合， 则 p 的值为 15 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，点 E，F 分别是 棱 PC，P
7、D 的中点，则： 棱 AB 与 PD 所在的直线垂直； 平面 PBC 与平面 ABCD 垂直； PCD 的面积大于PAB 的面积； 直线 AE 与直线 BF 是异面直线 以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号） 16 （5 分）在三棱锥 SABC 中，正三角形 ABC 中心为 Q，边长为 2，SH面 ABC，垂 足 H 为 AQ 的中点，SA 与平面 ABC 所成的角为 45若三棱锥 SABC 的所有顶点都 在同一个球面上，则此球的表面积为 三、解答题：三、解答题： 17已知，圆 C：x2+y28y+120，直线 l：ax+y+2a0 （1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； （
8、2）当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且 AB2时，求直线 l 的方程 18如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ABAD，AB2CD 2AD4，侧面 PAB 是等腰直角三角形，PAPB，平面 PAB平面 ABCD，点 E，F 分 别是棱 AB，PB 的中点 （1）证明：平面 CEF平面 PAD （2）求三棱锥 CDEF 的体积 19 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验， 并获得了煤气开关旋 第 5 页（共 26 页） 钮旋转的弧度数 x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据， 且作了一定的数据处理 （如表） ， 得到了散点图（如图
9、） 1.4 7 20. 6 0.7 8 2.35 0.81 19.3 16.2 表中 （1）根据散点图判断，ya+bx 与哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋 转的弧度数 x 的回归方程类型？（不必说明理由） （2）根据判断结果和表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （3）若旋转的弧度数 x 与单位时间内煤气输出量 t 成正比，那么 x 为多少时，烧开一壶 水最省煤气？ 附：对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （u3，v3） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 202019 年的天猫“双 11”交易金额又创新高，达到 2684
10、 亿元，物流爆增某机构为了了 解网购者对收到快递的满意度进行调查，对某市 5000 名网购者发出满意度调查评分表， 收集并随机抽取了 200 名网购者的调查评分（评分在 70100 分之间） ，其频率分布直方 图如图，评分在 95 分及以上确定为“非常满意” 第 6 页（共 26 页） （1）求 a 的值； （2）以样本的频率作概率，试估计本次调查的网购者中“非常满意”的人数； （3）按分层抽样的方法，从评分在 90 分及以上的网购者中抽取 6 人，再从这 6 人中随 机地选取 2 人，求至少选到一个“非常满意”的概率 21在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABACAA13，BC4，点 A
11、1在底面 ABC 的射影 恰好是线段 BC 的中点 M （1）证明：在侧棱 AA1上存在一点 N，使得 MN平面 BB1C1C，并求出 AN 的长； （2）求三棱柱 ABCA1B1C1的侧面积 22 已知椭圆 C：的左， 右焦点分别为 F1， F2， P 为下顶点， PF1F2 是面积为 1 的直角三角形 （1）求椭圆 C 的方程； （2）l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交椭圆 C 于另一个点 A，l2交椭圆 C 于另一个点 B，是否存在定点 D，使直线 AB 恒过这个点？若存在，求出点 D 的坐标； 若不存在，请说明理由 第 7 页（共 26 页） 2019-2020
12、学年江西省宜春市上高二中高二（上）期末数学试卷学年江西省宜春市上高二中高二（上）期末数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 1 （5 分）下列说法中正确的是（ ） A先把高二年级的 2000 名学生编号：1 到 2000，再从编号为 1 到 50 的学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m，然后抽取编号为 m+50，m+100，m+150，的学生，这种抽样方法 是分层抽样法 B线性回归直线不一定过样本中心 C若一个回归直线方程为，则变量 x 每增加一个单位时， 平
13、均增加 3 个单位 D若一组数据 2，4，a，8 的平均数是 5，则该组数据的方差也是 5 【分析】A，符合系统抽样特点，是系统抽样； B，线性回归直线一定过样本中心点； C，回归直线方程中 y 随 x 的增大而减小； D，根据平均数求出 a 的值，再求该组数据的方差 【解答】解：对于 A，把高二年级的 2000 名学生编号，1 到 2000； 再从编号为 1 到 50 的学生中随机抽取 1 名学生，其编号为 m， 然后抽取编号为 m+50，m+100，m+150，的学生， 这种抽样方法是系统抽样法，所以 A 错误； 对于 B，线性回归直线一定过样本中心，所以 B 错误； 对于 C，回归直线方
14、程为时，则变量 x 每增加 1 个单位时， 平均减少 3 个单位，所以 C 错误； 对于 D，数据 2，4，a，8 的平均数是 5 时，a6，所以该组数据的方差是 s2（25）2+（45）2+（65）2+（85）25，D 正确 故选：D 第 8 页（共 26 页） 【点评】本题考查了抽样方法以及线性回归方程和平均数、方差的计算问题，是基础题 2 （5 分）甲，乙两名同学参加校园歌手比赛，7 位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况 的茎叶图如如（单位：分） ，则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据茎叶图分别求出甲和乙的中位数，作差即可 【解答】解
15、：甲的数据是：78，81，84，85，87，88，92， 故平均数是：85， 乙的数据是：79，81，82，83，87，88，93， 故中位数是：83， 故差是 2， 故选：B 【点评】本题考查了茎叶图问题，考查中位数问题，是一道常规题 3 （5 分）设椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点 PF2F1F2，PF1F230，则 C 的离心率为（ ） A B C D 【分析】设|PF2|x，在直角三角形 PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离 心率的性质即可求得答案 【解答】解：|PF2|x，PF2F1F2，PF1F230， |PF1|2
16、x，|F1F2|x， 又|PF1|+|PF2|2a，|F1F2|2c 2a3x，2cx， C 的离心率为：e 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能 第 9 页（共 26 页） 力，属于中档题 4 （5 分）下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有 2 位同学一起走的情况， 则第二位走的是甲同学的概率是（ ） A B C D 【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是 3 个同学要第二个离开 教室，共有 3 种结果，满足条件的事件是第二位走的是甲同学，共有 1 种结果，得到概 率 【解答】解：由题意知本
17、题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是 3 个同学要第二个离开教室，共有 3 种结果， 满足条件的事件是第二位走的是甲同学，共有 1 种结果， 根据等可能事件的概率得到 P， 故选：B 【点评】本题考查等可能事件的概率，实际上本题只要按照有 3 个人，那么每一个人在 第二位中的概率是相等的，又共有 3 人，根据等可能事件的概率得到结果 5 （5 分）设两圆 C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1） ，则两圆心的距离|C1C2| （ ） A4 B C8 D 【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a） ， （b，b） ，利用条件可得 a 和 b 分别 为 x210x+170
18、的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2| 的值 【解答】解：两圆 C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1） ，故圆在第一象限内， 设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a） ， （b，b） ，由于两圆都过点（4，1） ， 则有|a|，|b|， 故 a 和 b 分别为（x4）2+（x1）2x2 的两个实数根， 即 a 和 b 分别为 x210x+170 的两个实数根，a+b10，ab17， （ab）2（a+b）24ab32，两圆心的距离|C1C2|8， 故选：C 【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基 第 10 页（共 26 页） 础题 6
19、（5 分）已知两条直线 m、n，两个平面 、，给出下面四个命题： mn，mn，m，nmn mn，mn，mn，m，m 其中正确命题的序号是（ ） A B C D 【分析】在中，利用线面垂直的判定定理得 n；在 中，m 与 n 相交、平行或异 面；在中，n 或 n；在 中，利用向量垂直的判定定理得 m 【解答】解：由两条直线 m、n，两个平面 、，知： 在中，由 mn，m，利用线面垂直的判定定理得 n，故正确； 在 中，由 ，m，n，得 m 与 n 相交、平行或异面，故错误； 在中，由 mn，m，得 n 或 n，故错误； 在 中，由 ，mn，m，利用向量垂直的判定定理得 m，故正确 故选：C 【点
20、评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中 档题 7 （5 分）执行如图所示的流程图，若输出的 n5，则输入整数 p 的最小值是（ ） A3 B7 C15 D31 【分析】模拟程序框图的运行过程，可以得出输入的整数 P 的最小值是多少 第 11 页（共 26 页） 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下： n1，S0，0P，是，S0+21 11； n1+12，S1，1P，是，S1+22 13； n2+13，S3，3P，是，S3+23 17； n3+14，S7，7P，是，S7+24 11
21、5； n4+15，S15，15P，否，输出 n5 可得整数 P 的最小值是 15 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得 出所求问题的结论，是基础题 8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A B C D4 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可 【解答】解：由三视图可得，该几何体为如图所示的四棱锥，其中 ABCD 为矩形，PA AB，PAAD，易知该几何体的体积， 故选：B 第 12 页（共 26 页） 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，画出几何体的直观图是解题的关键 9 （5 分）中
22、国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活 动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图， 其中的 4 个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一 点，则该点取自黑色部分的概率为（ ） A B C D 【分析】如图所示，设正方形的边长为 2，其中的 4 个圆过正方形的中心，且内切正方形 的两邻边的小圆的半径为 r，求出圆的面积，根据概率公式计算即可 【解答】解：如图所示，设正方形的边长为 2，其中的 4 个圆过正方形的中心，且内切正 方形的两邻边的小圆的半径为 r， 故 BEO2EO2Or， BO2r， BO2+O2
23、OBOBD， r+r， r， 黑色部分面积 S（）2，正方形的面积为 1， 第 13 页（共 26 页） 在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为， 故选：A 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，确定面积为测度是关键 10 （5 分） 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点 若|AF| 3，则AOB 的面积为（ ） A B C D2 【分析】设直线 AB 的倾斜角为 ，利用|AF|3，可得点 A 到准线 l：x1 的距离为 3， 从而 cos，进而可求|BF|，|AB|，由此可求 AOB 的面积 【解答】解：设直线 AB 的倾斜角为
24、（0）及|BF|m， |AF|3， 点 A 到准线 l：x1 的距离为 3 2+3cos3 cos m2+mcos（） AOB 的面积为 S 故选：C 【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题 的关键 11 （5 分）如图，平面四边形 ABCD 中，E，F 是 AD，BD 中点，ABADCD2，BD 2， BDC90， 将ABD 沿对角线 BD 折起至AD， 使平面 ABD平面 BCD， 则四面体 ABCD 中，下列结论不正确的是（ ） 第 14 页（共 26 页） AEF平面 ABC B异面直线 CD 与 AB 所成的角为 90 C异面直线 EF 与 AC
25、 所成的角为 60 D直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 30 【分析】运用线面平行的判定定理可判断 A；由面面垂直的性质定理，结合异面直线所 成角可判断 B；由异面直线所成角和勾股定理的逆定理可判断 C；由线面角的求法，可 判断 D 【解答】解：A：因为 E，F 分别为 AD 和 BD 两边中点， 所以 EFAB，即 EF平面 ABC，EF平面 ABC，A 正确； B：因为平面 ABD平面 BCD，交线为 BD，且 CDBD， 所以 CD平面 ABD，即 CDAB，故 B 正确； C：取 CD 边中点 M，连接 EM，FM，则 EMAC， 所以FEM 为异面直线 EF 与 AC 所成角，
26、 又 EF1，EMAC，FMBC，即FEM90，故 C 错误； D：连接 AF，可得 AFBD，由面面垂直的性质定理可得 AF平面 BCD， 连接 CF，可得ACF 为 AC 与平面 BCD 所成角，由 sinACF， 则直线 AC 与平面 BCD 所成的角为 30，故 D 正确 故选：C 【点评】本题考查异面直线所成角的求法，线面角的求法和线面平行的判断，考查转化 思想和运算能力，属于基础题 12 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，O 为 第 15 页（共 26 页） 坐标原点，以 F1F2为直径的圆 O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 P、
27、Q， 点 B 为圆 O 与 y 轴正半轴的交点，若POF2QOB，则双曲线 C 的离心率为（ ） A3+ B C1+ D 【分析】联立圆与双曲线的方程，求得 P 的坐标，tanQOF2tanPOB，化简即可求 得双曲线的离心率 【解答】解：POF2QOB， QOF2POB， 双曲线的一条渐近线方程为 yx， 则 tanQOF2， 由题意可知：以线段 F1F2为直径的圆的方程 x2+y2c2， 联立， 解得 x，y， tanPOB， ， 即 2+， e21+， 2+（e21）2， 解得 e， 故选：D 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题 二、填空题：本大
28、题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 第 16 页（共 26 页） 13 （5 分）我国古代数学名著九章算术有一抽样问题： “今有北乡若干人，西乡七千四 百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人， 问北乡人数几何？“其意思为： “今有某地北面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人， 这三面要征调 300 人，而北面共征调 108 人（用分层抽样的方法） ，则北面共有 8100 人 ” 【分析】根据分层抽样时抽取的比例相等，列方程求出结果 【解答】解：设北面有 x 人，根据题意得 ， 解得 x8100
29、 故答案为：8100 【点评】本题考查了分层抽样应用问题，是基础题 14 （5 分）若抛物线 y22px 的焦点与椭圆+1 的右焦点重合，则 p 的值为 4 【分析】由椭圆+1，可得 a26，b22，可得 c，可得右焦点 F（c， 0） 由抛物线 y22px 可得焦点利用c 即可得出 【解答】解：由椭圆+1，可得 a26，b22， c2， 右焦点 F（2，0） 由抛物线 y22px 可得焦点 2， 解得 p4 故答案为：4 【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 15 （5 分）已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABC
30、D，点 E，F 分别是 棱 PC，PD 的中点，则： 第 17 页（共 26 页） 棱 AB 与 PD 所在的直线垂直； 平面 PBC 与平面 ABCD 垂直； PCD 的面积大于PAB 的面积； 直线 AE 与直线 BF 是异面直线 以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号） 【分析】可根据线面垂直的性质可推出， 根据二面角的大小可判定， 根据三角形面积公式可判定， 根据两平行线确定一平面进行判定 【解答】解：对于，棱 AB面 PAD，PD面 PAD， 所以棱 AB 与 PD 所在的直线垂直，正确； 对于，PA平面 PBC，所以平面 PBC 与平面 ABCD 不垂直，错误； 对于，因为 A
31、BCD，PBPA，所以 SPABSPCD， 即PCD 的面积大于PAB 的面积，正确； 对于，因为 EFCDAB，所以直线 AE 与 BF 不是异面直线，错误 正确命题序号为 故答案为： 【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及异面直线的判定和平面与平面垂 直的判定问题，是中档题 16 （5 分）在三棱锥 SABC 中，正三角形 ABC 中心为 Q，边长为 2，SH面 ABC，垂 足 H 为 AQ 的中点，SA 与平面 ABC 所成的角为 45若三棱锥 SABC 的所有顶点都 在同一个球面上，则此球的表面积为 40 【分析】估计外接球球心 O 的位置，作出图形，根据半径相等列出方程，求
32、解不难 【解答】解：ABC 为正三角形，且边长为， 第 18 页（共 26 页） AD3， 又 Q 为中心，H 为 AQ 中点， AQ2，AH， SA 与平面 ABC 成 45角， SAH45， SH， 设外接球球心为 O，且 OQx， 利用 ROAOS 列方程得， ， 得 x， R210， 外接球表面积为 40， 故答案为：40 【点评】此题考查了三棱锥外接球的问题，难度适中 三、解答题：三、解答题： 17已知，圆 C：x2+y28y+120，直线 l：ax+y+2a0 （1）当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； （2）当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，且 AB2时，求直线
33、 l 的方程 【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径 r， （1）当直线 l 与圆相切时，圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r，利用点到直线的距离 公式表示出圆心到直线 l 的距离 d，让 d 等于圆的半径 r，列出关于 a 的方程，求出方程 的解即可得到 a 的值； （2）联立圆 C 和直线 l 的方程，消去 y 后，得到关于 x 的一元二次方程，然后利用韦达 定理表示出 AB 的长度，列出关于 a 的方程，求出方程的解即可得到 a 的值 第 19 页（共 26 页） 【解答】解：将圆 C 的方程 x2+y28y+120 配方得标准方程为 x2+（y4）24， 则此圆的圆
34、心为（0，4） ，半径为 2 （1）若直线 l 与圆 C 相切，则有解得 （2）联立方程并消去 y， 得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）0 设此方程的两根分别为 x1、x2， 所以 x1+x2，x1x2 则 AB2 两边平方并代入解得：a7 或 a1， 直线 l 的方程是 7xy+140 和 xy+20 另解：圆心到直线的距离为 d， AB22，可得 d， 解方程可得 a7 或 a1， 直线 l 的方程是 7xy+140 和 xy+20 【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用 韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题 18
35、如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ABAD，AB2CD 2AD4，侧面 PAB 是等腰直角三角形，PAPB，平面 PAB平面 ABCD，点 E，F 分 别是棱 AB，PB 的中点 （1）证明：平面 CEF平面 PAD （2）求三棱锥 CDEF 的体积 第 20 页（共 26 页） 【分析】 （1）推导出 EFPA，从而 EF平面 PAD，推导出四边形 AECD 是平行四边形， 从而 CEAD，进而 CE平面 PAD，由此能证明平面 CEF平面 PAD （2）推导出 PEAB，从而 PE平面 ABCD，由 ABCD，ABAD，得三棱锥 CDEF 的体积 【解答】
36、解： （1）证明：因为 E，F 分别是棱 AB，PB 的中点， 所以 EFPA，所以 EF平面 PAD， 因为点 E 是 AB 的中点，所以， 又因为 AEDC，所以， 所以四边形 AECD 是平行四边形， 所以，CEAD，所以 CE平面 PAD， 因为 CEEFE，所以平面 CEF平面 PAD （2）解：因为 PAPB，AEEB，所以 PEAB， 又因为平面 PAE平面 ABCD，所以 PE平面 ABCD， 又因为 ABCD，ABAD， 所以三棱锥 CDEF 的体积为： 【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、 第 21 页（共 26 页） 面面间的位置关
37、系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验， 并获得了煤气开关旋 钮旋转的弧度数 x 与烧开一壶水所用时间 y 的一组数据， 且作了一定的数据处理 （如表） ， 得到了散点图（如图） 1.4 7 20. 6 0.7 8 2.35 0.81 19.3 16.2 表中 （1）根据散点图判断，ya+bx 与哪一个更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋 转的弧度数 x 的回归方程类型？（不必说明理由） （2）根据判断结果和表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （3）若旋转的弧度数 x 与单位时间内煤气输出量 t 成正比，那么 x 为多少
38、时，烧开一壶 水最省煤气？ 附：对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （u3，v3） ， （un，vn） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 【分析】 （1）根据散点图是否按直线型分布作答； （2）根据回归系数公式得出 y 关于 的线性回归方程，再得出 y 关于 x 的回归方程； 第 22 页（共 26 页） （3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件 【解答】解： （1）更适宜作烧水时间 y 关于开关旋钮旋转的弧度数 x 的回归方 程类型（1 分） （2）由公式可得：，（3 分） ，（5 分） 所以所求回归方程为（6 分） （3）设 tkx，则煤
39、气用量，（9 分） 当且仅当时取“” ，即 x2 时，煤气用量最小（11 分） 答：x 为 2 时，烧开一壶水最省煤气 （12 分） 【点评】本题考查了可化为线性相关的回归方程的求解，基本不等式的应用，属于中档 题 202019 年的天猫“双 11”交易金额又创新高，达到 2684 亿元，物流爆增某机构为了了 解网购者对收到快递的满意度进行调查，对某市 5000 名网购者发出满意度调查评分表， 收集并随机抽取了 200 名网购者的调查评分（评分在 70100 分之间） ，其频率分布直方 图如图，评分在 95 分及以上确定为“非常满意” （1）求 a 的值； （2）以样本的频率作概率，试估计本次
40、调查的网购者中“非常满意”的人数； （3）按分层抽样的方法，从评分在 90 分及以上的网购者中抽取 6 人，再从这 6 人中随 机地选取 2 人，求至少选到一个“非常满意”的概率 第 23 页（共 26 页） 【分析】 （1）根据概率和为 1，求出 a 的值； （2）求出“非常满意”的频率，估计出总体； （3）根据题意求出总的基本事件和满足条件的基本事件，利用古典概型求出即可 【解答】解： （1）由（0.010+0.020+0.030+2a+0.060）51，解得 a0.040； （2）“非常满意”的频率为 0.01050.050； 本次调查的网购者中“非常满意”的人数大约为 0.050500
41、0250（人） （3）在被调查的 200 名网购者中，满意度评分在 9095 之间的人数为 0.0205200 20（人） 满意度评分在 95100 之间的人数为 0.010520010 （人） ， 共 30 人， 从中抽取 6 人， 则这 6 人中，评分在 9095 之间的有 4 人，设为 A、B、C、D， 评分在 95100 之间的有 2 人，设为 e，f， 从这 6 人中任选 2 人，有如下选法：AB、AC、AD、Ae、Af、BC、BD、Be、Bf、CD、 Ce、Cf、De、Df、ef，共 15 种选法，其中至少有一人是“非常满意”的有 9 种选法， 至少选到一个“非常满意”的概率为 【
42、点评】考查频率分布直方图及其应用，古典概型求概率，中档题 21在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABACAA13，BC4，点 A1在底面 ABC 的射影 恰好是线段 BC 的中点 M （1）证明：在侧棱 AA1上存在一点 N，使得 MN平面 BB1C1C，并求出 AN 的长； （2）求三棱柱 ABCA1B1C1的侧面积 第 24 页（共 26 页） 【分析】 （1）连接 AM，在AMA1中，作 MNAA1于点 N，证明 A1MBC，AMBC， 推出 BC平面 AMA1，然后证明 MN平面 BB1C1C，即可求解 AN （2） 求出 BCC1B1为矩形的面积， 联结 A1B， 求出 A1B
43、然后求解 2即可求解侧面积 【解答】 （1）证明：连接 AM，在AMA1中，作 MNAA1于点 N，因为 AA1BB1，得 MNBB1，因为 A1M平面 ABC，所以 A1MBC，因为 ABAC，M 为 BC 的中点，得 AMBC，所以 BC平面 AMA1，所以 BCMN，所以 MN平面 BB1C1C， 又 AM，AA13，由 AM2ANAA1，得：AN （2） 解： 由 （1） 可知BC平面 AMA1， 所以BCBB1， 所以BCC1B1为矩形， 故 12； 联结 A1B，A1B2，在ABA1中，ABAA13，A1B2，所以 因为2 所以 S侧4+12 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定
44、理的应用，空间距离的求法，考查转化思想 以及计算能力 第 25 页（共 26 页） 22 已知椭圆 C：的左， 右焦点分别为 F1， F2， P 为下顶点， PF1F2 是面积为 1 的直角三角形 （1）求椭圆 C 的方程； （2）l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交椭圆 C 于另一个点 A，l2交椭圆 C 于另一个点 B，是否存在定点 D，使直线 AB 恒过这个点？若存在，求出点 D 的坐标； 若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据题意，求出 a，b，代入即可； （2）由题意知：直线 AB 的斜率存在，设方程为 ykx+m，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立解方程组，又 l1l2，数量积为 0，求出 m，得出结论 【解答】解： （1）P 为下顶点（0，b） ， 由题意得， 椭圆 C 的方程为 （2）由题意知：直线 AB 的斜率存在，设方程为 ykx+m，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立，消去 y 得（1+2k2）x2+4kmx+2m220， 得， P（0，1） ， l1l2， ， 化简得x1x2+（kx1+m+1）（kx2+m+1） 0 第 26 页（共 26 页） ， 所以直线 AB 方程为， 故直线恒过定点 【点评】考查求椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，定点问题，中档题
