1、2019-2020 学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 Ax|x22x0，Bx|x|1，则 AB（ ） A1，0） B1，2） C （0，1 D1，2） 2 （5 分）为保证树苗的质量，林业管理部门在每年 3 月 12 日植树节前都对树苗进行检测， 现从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度（单位长度：cm） ，其茎叶图如图所示， 则下列描述正确的是（ ） A甲种树苗的平均
2、高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐 3 （5 分）若 x、y 满足不等式，则 z3x+y 的最大值为（ ） A11 B11 C13 D13 4 （5 分）若不等式 ax23x+20 的解集为 Ax|1xb，则 a+b（ ） A2 B3 C4 D9 5 （5 分）已知 p：x1 或 x3，q：xa，若 q 是 p 的充分不必要条件，则 a 的取值范 围是（ ） A
3、1，+） B （，1 C3，+） D （，3 6 （5 分）椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，一条直线经过 F1与椭圆交于 A，B 两点，则ABF2的周长为（ ） 第 2 页（共 19 页） A B6 C D12 7 （5 分）f（x）x（2018+lnx） ，若 f（x0）2019，则 x0等于（ ） Ae2 B1 Cln2 De 8 （5 分）若实数数列：1，a，81 成等比数列，则圆锥曲线 x2+1 的离心率是（ ） A 或 B或 C D或 10 9 （5 分）若函数 yx3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，+） B （， C，+） D （，
4、） 10 （5 分）已知椭圆，一直线与椭圆 E 交于 P，Q 两点，且线 段 PQ 的中点坐标为，则直线 PQ 的斜率为（ ） A1 B C1 D 11 （5 分）已知双曲线：1（a0，b0）的一条渐近线与函数 y1+lnx+ln2 的图象相切，则双曲线的离心率等于（ ） A B C D 12 （5 分）对于函数 f（x）ax3+bx2+cx+d（a0） ，定义：设 f（x）是 f（x）的导数，f （x）是函数 f（x）的导数，若方程 f（x）有实数解 x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数 y f（x）的“拐点” 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对 称中心 设函数
5、g （x） ， 则 g （） +g （） +g （） 的值为（ ） A2017 B2018 C2019 D2020 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）分，把正确答案填在题中横线上） 13 （5 分）一个单位共有职工 300 人，其中男职工 180 人，女职工 120 人用分层抽样的 方法从全体职工中抽取一个容量为 50 的样本，应抽取女职工 人 14 （5 分）把分别标有“诚” “信” “考” “试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从 左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 1
6、5 （5 分）已知 P1，P2，P8抛物线 y24x 上的一点，它们的横坐标依次为 x1，x2， 第 3 页（共 19 页） x8，F 是抛物线的焦点，若 x1+x2+x810，则绝对值|P1F|+|P2F|+|P8F| 16 （5 分）已知函数 f（x）x32x+ex，其中 e 是自然对数的底数若 f（a1）+f （2a2）0则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分 ）分 ） 17 （10 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从某地区随机调查了 100 个用户，得到 用户对产品的满意度评分频率分布表如下： 组别 分组 频数 频率 第一组
7、 （50，60 10 0.1 第二组 （60，70 20 0.2 第三组 （70，80 40 0.4 第四组 （80，90 25 0.25 第五组 （90，100） 5 0.05 合计 100 1 （1）根据上面的频率分布表，估计该地区用户对产品的满意度评分超过 70 分的概率； （2）请由频率分布表中数据计算众数、中位数，平均数，根据样本估计总体的思想，若 平均分低于 75 分，视为不满意判断该地区用户对产品是否满意？ 18（12 分） 设命题 p： 对任意实数 x， 不等式 x22x+m0 恒成立； 命题 q： 方程 表示焦点在 x 轴上的双曲线 （）若命题 q 为真命题，求实数 m 的取
8、值范围； （）若命题： “pq”为真命题，且“pq”为假命题，求实数 m 的取值范围 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px 上一点到焦点 F 距离为 1， （1）求抛物线 C 的方程； （2）直线 l 过点（0，2）与抛物线交于 M，N 两点，若 OMON，求直线的方程 20 （12 分）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车， 中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划2018 年某企业计划引进新能源汽车 生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 2500 万元，每生产 x（百辆） ，需另投入 第 4 页（共 19 页） 成本 C（x）万元，且由市场
9、调研知，每辆车售 价 5 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完 （1）求出 2018 年的利润 L（x） （万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式； （利润 销售额成本） （2）2018 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润 21 （12 分）某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过 1 小时收费 10 元，超过 1 小时的部分每小时收费 8 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算） 现有甲、乙二人参与但 都不超过 4 小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的为吸引顾客，每个顾客可以 参加一次抽奖活动 （1）用（10，10）表示甲乙玩都不超过 1 小时的付费情况，求
10、甲、乙二人付费之和为 44 元的概率； （2）抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个0，1之间的均匀随机 数 x，y，并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖” ，则该顾客中奖；若电脑显 示“谢谢” ，则不中奖，求顾客中奖的概率 22 （12 分）对于函数 yH（x） ，若在其定义域内存在 x0，使得成立，则称 x0 为函数 H（x）的“倒数点” 已知函数 f（x）lnx， （1）求证：函数 f（x）有“倒数点” ，并讨论函数 f（x）的“倒数点”的个数； （2）若当 x1 时，不等式 xf（x）mg（x）x恒成立，试求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2019
11、-2020 学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷 （文科）（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分）若集合 Ax|x22x0，Bx|x|1，则 AB（ ） A1，0） B1，2） C （0，1 D1，2） 【分析】由题意首先求得集合 A，B，然后求解交集运算即可 【解答】解：求解二次不等式可得：Ax|0x2， 求解绝
12、对值不等式可得 Bx|1x1， 结合交集的定义可知：ABx|0x1， 表示成区间的形式即（0，1 故选：C 【点评】本题考查了集合的表示方法，交集运算等，重点考查学生对基础概念的理解和 计算能力，属于基础题 2 （5 分）为保证树苗的质量，林业管理部门在每年 3 月 12 日植树节前都对树苗进行检测， 现从甲、乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度（单位长度：cm） ，其茎叶图如图所示， 则下列描述正确的是（ ） A甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平
13、均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐 【分析】本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗 第 6 页（共 19 页） 抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种 树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐 【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为： 甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37 乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47 由已知易得： 27 30 S甲 2S 乙 2 故：乙种树
14、苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度， 甲种树苗比乙种树苗长得整齐 故选：D 【点评】茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，10 高考应 该会有有关内容数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的 越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离 散，表示数据离散度越大，其标准差越大 3 （5 分）若 x、y 满足不等式，则 z3x+y 的最大值为（ ） A11 B11 C13 D13 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利用数形结合即可得到最 大值 【解答】解：不等式组对应的平面区域如图： 由 z3x+y
15、得 y3x+z， 平移直线 y3x+z，则由图象可知当直线 y3x+z 经过点 A 时直线 y3x+z 的截距 最大， 此时 z 最大， 此时 Mz3+517，由， 第 7 页（共 19 页） 解得，即 A（4，1） ， 此时 z34111， 故选：A 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题 的关键 4 （5 分）若不等式 ax23x+20 的解集为 Ax|1xb，则 a+b（ ） A2 B3 C4 D9 【分析】根据条件可知方程 ax23x+20 的两实根分别为 1 和 b，且 a0，然后由韦达 定理得到关于 a 和 b 的方程，再解出 a 和 b
16、即可 【解答】解：不等式 ax23x+20 的解集为 Ax|1xb， 方程 ax23x+20 的两实根分别为 1 和 b，且 a0， ，a+b3 故选：B 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和韦达定理，考查了方程思想，属基础题 5 （5 分）已知 p：x1 或 x3，q：xa，若 q 是 p 的充分不必要条件，则 a 的取值范 围是（ ） A1，+） B （，1 C3，+） D （，3 【分析】把充分性问题，转化为集合的关系求解 【解答】解：条件 p：x1 或 x3，条件 q：xa，且 q 是 p 的充分而不必要条件 集合 q 是集合 p 的真子集，qP 即 a1，+） 故选：A 第 8
17、页（共 19 页） 【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用、充分条件及必要条件的含义 6 （5 分）椭圆的左右焦点分别为 F1，F2，一条直线经过 F1与椭圆交于 A，B 两点，则ABF2的周长为（ ） A B6 C D12 【分析】 椭圆的焦点在 x 轴上， a， b1， 由椭圆的定义可知： |AF1|+|AF2| 2a，|BF1|+|BF2|2a，ABF2 的周长 L|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a 【解答】解：由题意可知：椭圆的焦点在 x 轴上，a，b1， 由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|2a，|BF1|+|BF2|2a， ABF2 的周长 L|AB|+|BF
18、2|+|AF2|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|4a4， ABF2 的周长 L4， 故选：C 【点评】本题考查椭圆性质的简单应用，考查椭圆的定义，属于基础题 7 （5 分）f（x）x（2018+lnx） ，若 f（x0）2019，则 x0等于（ ） Ae2 B1 Cln2 De 【分析】可求出导函数 f（x）lnx+2019，从而根据 f（x0）2019 即可得出 x0的值 【解答】解：f（x）x（2018+lnx） ， 则 f（x）2019+lnx， f（x0）2019+lnx02019， x01， 故选：B 【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数
19、求值的 方法，考查了计算能力，属于基础题 第 9 页（共 19 页） 8 （5 分）若实数数列：1，a，81 成等比数列，则圆锥曲线 x2+1 的离心率是（ ） A 或 B或 C D或 10 【分析】由等比数列的可得 a 的值，分类讨论可求曲线的离心率 【解答】解：实数数列：1，a，81 成等比数列， a281，解得 a9 或 a9， 当 a9 时，曲线方程为 x2+1 表示焦点在 y 轴的椭圆， 其中 a3，c2，故离心率 e； 当 a9 时，曲线方程为 x21 表示焦点在 x 轴的双曲线， 其中 a1，c，故离心率 e； 故选：A 【点评】本题考查等比数列和圆锥曲线，涉及分类讨论的思想，属
20、基础题 9 （5 分）若函数 yx3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，+） B （， C，+） D （，） 【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于 0 在 R 上恒成立即可 【解答】 解： 若函数 yx3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数， 只需 y3x2+2x+m0 恒成立， 即412m0，m 故选：C 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系即当导数大于 0 是 原函数单调递增，当导数小于 0 时原函数单调递减 10 （5 分）已知椭圆，一直线与椭圆 E 交于 P，Q 两点，且线 段 PQ 的中点坐标为，则直线 PQ 的
21、斜率为（ ） A1 B C1 D 【分析】设 P，Q 两点坐标代入方程，利用点差法得到方程，并利用中点坐标公式消去 第 10 页（共 19 页） 参数，即可得到 PQ 斜率 【解答】解：设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，将 P，Q 两点坐标代入方程 得 ， PQ 中点坐标为（） ， x1+x21，y1+y21， 即 k， 故选：B 【点评】本题考查椭圆的方程和直线相交，已知中点坐标利用点差法求解斜率的运算， 考查运算能力，属于基础题 11 （5 分）已知双曲线：1（a0，b0）的一条渐近线与函数 y1+lnx+ln2 的图象相切，则双曲线的离心率等于（ ） A B C D 【分析】
22、设切点 （m， n） ， 则 nm， n1+lnm+ln2， 求导数， 利用渐近线与函数 y1+lnx+ln2 的图象相切，求出2，即可求出双曲线的离心率 【解答】解：设切点（m，n） ，则 nm，n1+lnm+ln2， y1+lnx+ln2， y， ， n1，m， 第 11 页（共 19 页） 2， e 故选：D 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的 能力，考查学生的计算能力，属于中档题 12 （5 分）对于函数 f（x）ax3+bx2+cx+d（a0） ，定义：设 f（x）是 f（x）的导数，f （x）是函数 f（x）的导数，若方程 f（x）有实数解
23、x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数 y f（x）的“拐点” 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对 称中心 设函数 g （x） ， 则 g （） +g （） +g （） 的值为（ ） A2017 B2018 C2019 D2020 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即 g（x）+g（1 x）2，即可得到结论 【解答】解：与题意可得，g（x）x2x+3，g （x）2x1， 令 g （x）2x10 可得，而 g（ ）1， 故函数 g（x）关于（）对称，即 g（1x）+g（x）2， 则 g（）+g（）+g（）22019 故选：C 【点评】本题主要
24、考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关 键，求和的过程中使用了倒序相加法 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）分，把正确答案填在题中横线上） 13 （5 分）一个单位共有职工 300 人，其中男职工 180 人，女职工 120 人用分层抽样的 方法从全体职工中抽取一个容量为 50 的样本，应抽取女职工 20 人 【分析】根据分层抽样的定义，根据条件建立比例关系即可得到结论 【解答】解：一个单位共有职工 300 人，其中男职工 180 人，女职工 120 人， 5020 人
25、， 故答案为：20 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此类问题的基本 方法，比较基础 14 （5 分）把分别标有“诚” “信” “考” “试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从 左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 【分析】基本事件总数 n24，能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试 诚信”包含的基本事件个数 m2，由此能求出能使卡片从左到右可以念成“诚信考试” 和“考试诚信”的概率 【解答】解：把分别标有“诚” “信” “考” “试”的四张卡片随意的排成一排， 基本事件总数 n24， 能使卡片从左到右可以念成“诚
26、信考试”和“考试诚信”包含的基本事件个数 m2， 则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 15 （5 分）已知 P1，P2，P8抛物线 y24x 上的一点，它们的横坐标依次为 x1，x2， x8，F 是抛物线的焦点，若 x1+x2+x810，则绝对值|P1F|+|P2F|+|P8F| 18 【分析】根据抛物线的定义得抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，因此 求出抛物线的准线方程，结合题中数据加以计算，即可得到本题答案 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点为 F（1
27、，0） ，准线为 x1， 根据抛物线的定义，Pi（i1，2，3，8）到焦点的距离等于 Pi到准线的距离，即 |PiF|xi+1， 可得|P1F|+|P2F|+|P8F|（x1+1）+（x2+1）+（x8+1）（x1+x2+x8）+8， x1+x2+x810， |P1F|+|P2F|+|P8F|10+818 故答案为：18 【点评】本题着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，正确运用抛 物线的定义是关键，属于中档题 第 13 页（共 19 页） 16 （5 分）已知函数 f（x）x32x+ex，其中 e 是自然对数的底数若 f（a1）+f （2a2）0则实数 a 的取值范围是 1，
28、 【分析】求出 f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得 f（x）在 R 上递增； 再由奇偶性的定义，可得 f（x）为奇函数，原不等式即为 2a21a，运用二次不等式的 解法即可得到所求范围 【解答】解：函数 f（x）x32x+ex的导数为： f（x）3x22+ex+2+20， 可得 f（x）在 R 上递增； 又 f（x）+f（x）（x）3+2x+e xex+x32x+ex 0， 可得 f（x）为奇函数， 则 f（a1）+f（2a2）0， 即有 f（2a2）f（a1） 由 f（a1） ）f（a1） ， f（2a2）f（1a） ， 即有 2a21a， 解得1a， 故答案为：1， 【点评
29、】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查 转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 小题，共小题，共 70 分 ）分 ） 17 （10 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从某地区随机调查了 100 个用户，得到 用户对产品的满意度评分频率分布表如下： 组别 分组 频数 频率 第一组 （50，60 10 0.1 第二组 （60，70 20 0.2 第三组 （70，80 40 0.4 第 14 页（共 19 页） 第四组 （80，90 25 0.25 第五组 （90，100） 5 0.05 合计 100
30、1 （1）根据上面的频率分布表，估计该地区用户对产品的满意度评分超过 70 分的概率； （2）请由频率分布表中数据计算众数、中位数，平均数，根据样本估计总体的思想，若 平均分低于 75 分，视为不满意判断该地区用户对产品是否满意？ 【分析】 （1）根据频率估计概率即可求出， （2）根据中位数众数，平均数的定义求出，再分析数据即可 【解答】解： （1）用频率估计相应的概率为 0.4+0.25+0.050.7， （2）设中位数约为 a，则，得 a75， 中位数为 75， 值分别为 55、65、75、85、95， 故平均值约 550.1+650.2+750.4+850.25+950.0574.5，
31、74.575， 该地区用户对产品是不满意的 【点评】本题考查了频率分布表和众数中位数，平均数的问题，以及数据的分析，属于 基础题 18（12 分） 设命题 p： 对任意实数 x， 不等式 x22x+m0 恒成立； 命题 q： 方程 表示焦点在 x 轴上的双曲线 （）若命题 q 为真命题，求实数 m 的取值范围； （）若命题： “pq”为真命题，且“pq”为假命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）根据双曲线的定义求出 q 为真时的 m 的范围； （）根据二次函数的性质求出 m 的范围，通过 p，q 的真假得到关于 m 的不等式组， 解出即可 【解答】解： （）依题，由，得 m3； 当 m3
32、 时，q 为真命题（3 分） （）不等式 x22x+m0 恒成立， 第 15 页（共 19 页） 44m0，m1， 当 m1 时，p 为真命题（6 分） pq 为假命题，pq 为真命题， p，q 一真一假； （7 分） 当 p 真 q 假； 当 p 假 q 真； 综上，m 的取值范围是1，3（10 分） 【点评】本题考查了双曲线的定义，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，转化思想， 是一道中档题 19 （12 分）已知抛物线 C：y22px 上一点到焦点 F 距离为 1， （1）求抛物线 C 的方程； （2）直线 l 过点（0，2）与抛物线交于 M，N 两点，若 OMON，求直线的方程 【分析
33、】 （1）利用抛物线的定义建立方程，求出 p，即可求出抛物线 C 的方程； （2）联立得 ky22y+40，利用 OMON，即 x1x2+y1y20， 求出 k，即可求直线的方程 【解答】解： （1）依据抛物线的定义知：A 到抛物线焦点 F 的距离为， 所以 p1，抛物线的方程为 y22x；（5 分） （2）依题意，直线 l 的方程设为 ykx+2（k0） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立得 ky22y+40， 由416k0，得；（7 分） OMON，即 x1x2+y1y20（9 分） ，即，解得 k1（11 分） 所以直线 l 的方程为 yx+2，即 x+y201（2 分）
34、【点评】此题主要考查直线与抛物线相交后的一系列问题，其中涉及到韦达定理的考查， 第 16 页（共 19 页） 在交点问题的求法中应用很广泛，需要理解记忆 20 （12 分）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车， 中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划2018 年某企业计划引进新能源汽车 生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 2500 万元，每生产 x（百辆） ，需另投入 成本 C（x）万元，且由市场调研知，每辆车售 价 5 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完 （1）求出 2018 年的利润 L（x） （万元）关于年产量 x（百辆）的函数关系式；
35、 （利润 销售额成本） （2）2018 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润 【分析】 （1）根据年利润销售额投入的总成本固定成本，分 0x40 和当 x40 两种情况得到 L 与 x 的分段函数关系式； （2）当 0x40 时根据二次函数求最大值的方法来求 L 的最大值，当 x40 时，利用 基本不等式来求 L 的最大值，最后综合即可 【解答】 解： （1） 当 0x40 时， L （x） 500x10x2100x250010x2+400x2500； 当 x40 时，L（x）500x501x+450025002000（x+） ； L（x） （2）当 0x40 时，L（x）10
36、（x20）2+1500， 当 x20 时，L（x）maxL（20）1500； 当 x40 时，L（x）2000（x+）2000220002001800； 当且仅当 x，即 x100 时，L（x）maxL（100）18001500； 当 x100 时，即 2018 年生产 100 百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为 1800 万元 【点评】本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力 21 （12 分）某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过 1 小时收费 10 元，超过 1 小时的部分每小时收费 8 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算） 现有甲、乙二人参与
37、但 第 17 页（共 19 页） 都不超过 4 小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的为吸引顾客，每个顾客可以 参加一次抽奖活动 （1）用（10，10）表示甲乙玩都不超过 1 小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为 44 元的概率； （2）抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个0，1之间的均匀随机 数 x，y，并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖” ，则该顾客中奖；若电脑显 示“谢谢” ，则不中奖，求顾客中奖的概率 【分析】 （1）设甲付费 a 元，乙付费 b 元，其中 a，b10，18，26，34，由此利用列举 法能求出“甲、乙二人付费之和为 44 元”的概率 （2）由
38、已知 0x1，0y1 点（x，y）在正方形 OABC 内，作出条件的 区域，由此能求出顾客中奖的概率 【解答】解： （1）设甲付费 a 元，乙付费 b 元，其中 a，b10，18，26，34 则甲、乙二人的费用构成的基本事件空间为： （10，10） ， （10，18） ， （10，26） ， （10，34） ， （18，10） ， （18，18） ， （18，26） ， （18， 34） ， （26，10） ， （26，18） ， （26，26） ， （26，34） ， （34，10） ， （34，18） ， （34，26） ， （34， 34）共 16 种情形 （4 分） 其中， （10，3
39、4） ， （18，26） ， （26，18） ， （34，10）这 4 种情形符合题意 故“甲、乙二人付费之和为 44 元”的概率为 （6 分） （2）由已知 0x1，0y1 点（x，y）如图的正方形 OABC 内， 第 18 页（共 19 页） 由条件，得到的区域为图中阴影部分， （9 分） 由 x2y+10，令 x0 得；令 x1 得 y1； 由条件满足的区域面积 （11 分） 设顾客中奖的事件为 N，则顾客中奖的概率 （12 分） 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型 的合理运用 22 （12 分）对于函数 yH（x） ，若在其定义域内存在 x0，
40、使得成立，则称 x0 为函数 H（x）的“倒数点” 已知函数 f（x）lnx， （1）求证：函数 f（x）有“倒数点” ，并讨论函数 f（x）的“倒数点”的个数； （2）若当 x1 时，不等式 xf（x）mg（x）x恒成立，试求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）设 h（x）ln x，x0，求得导数，判断单调性，结合新定义可得结论； （2）xf（x）mg（x）x等价于 2xln xm（x21） ，设 d（x）2ln xm，x1求 得导数，对 a 讨论，运用二次方程实根的分布，二次函数的单调性，可得所求范围 【解答】 （1）证明：设 h（x）ln x，x0， 则 h（x）+0，x0， 所以 h
41、（x）在（0，+）上为递增函数 而 h（1）10，h（e）10， 所以函数 h（x）有零点且只有一个零点 所以函数 f（x）有“倒数点”且只有一个“倒数点” 第 19 页（共 19 页） （2）解：xf（x）mg（x）x等价于 2xln xm（x21） ，设 d（x）2ln xm，x 1 则 d（x），x1， 易知mx2+2xm0 的判别式为44m2 当 m1 时，d（x）0，d（x）在1，+）上是减少的，d（x）d（1）0，符 合题意； 当 0m1 时，方程mx2+2xm0 有两个正根且 0x11x2， 则函数 d（x）在（1，x2）上是增加的，此时 d（x）d（1）0，不合题意； 当 m0 时，d（x）0，d（x）在（1，+）上是增加的，此时 d（x）d（1） 0，不合题意； 当1m0 时，方程mx2+2xm0 有两个负根，d（x）在（1，+）上是增加的， 此时 d（x）d（1）0，不合题意； 当 m1 时，d（x）0，d（x）在（1，+）上是增加的，此时 d（x）d（1） 0，不合题意 综上，实数 m 的取值范围是1，+） 【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用 分类讨论思想和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题
