1、2019-2020 学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷（B 卷）一、选择题（每小题 5 分）分） 1 （5 分）在空间直角坐标系中，已知 A（1，3，2） ，（2，0，4） ，则点 B 的坐标 是（ ） A （3，3，2） B （3，3，2） C （1，3，6） D （1，3，6） 2 （5 分）已知复数 Z 满足 Z（1+i）2+i（i 为虚数单位） ，则复数 Z 的虚部为（ ） A B C D 3 （5 分）下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若 x21，则 x1”的否命题为： “若 x21，则 x1” B “x1”是“x25x60”的必要不充分条件 &nbs
2、p;C命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是： “xR，均有 x2+x+10” D命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 4（5 分） 已知 x 与 y 之间的几组数据如表， 则 y 与 x 的线性回归直线 x+ 必过点 （ ） x 0 1 3 4 y 1 4 6 9 A （0，1） B （2，5） C （1，4） D （5，9） 5 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入 a4，那么输出的 n 的值为（ ） 第 2 页（共 21 页） A5 B4 C3 D2 6（5 分） 曲线 f （x） x3+x2 的一条切线平行于直线 y4x1， 则切点 P
3、0的坐标为 （ ） A （0，1）或（1，0） B （1，0）或（1，4） C （1，4）或（0，2） D （1，0）或（2，8） 7 （5 分）已知双曲线的一条渐近线与直线 2x+y+10 垂直，则该双曲线的离心 率为（ ） A B C D 8 （5 分）现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖有人走访了四人， 甲说： “乙、丁都未获奖” ，乙说： “是甲或丙获奖” ，丙说： “是甲获奖” ，丁说： “是乙获 奖” ，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 9 （5 分）下面四个图象中，有一个是函数 f（x）x3+ax2+（
4、a21）x+1（aR）的导函 数 yf'（x）的图象，则 f（1）等于（ ） 第 3 页（共 21 页） A B C D或 10 （5 分）有五条线段长度分别为 1、3、5、7、9，从这 5 条线段中任取 3 条，则所取 3 条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A B C D 11 （5 分）设抛物线 x28y 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足， 如果直线 AF 的倾斜角等于 60，那么|PF|等于（ ） A2 B4 C D4 12（5 分） 已知关于 x 的方程|e2xm|有 3 个不同的实数解， 则 m 的取值范围为 （ ） A （）
5、B （3，+） C （） D （） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分）分） 13 （5 分）函数 yx33x 的递减区间是 14 （5 分） 15 （5 分）设ABC 的三边长分别为 a、b、c，ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r ；类比这个结论可知：四面体 PABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4， 内切球的半径为 r，四面体 PABC 的体积为 V，则 r 16 （5 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足 时，平面
6、MBD平面 PCD （只要填写一个你认为 是正确的条件即可） 三、解答题（三、解答题（17 题题 10 分，分，1822 题每题题每题 12 分）分） 17 （100 分）2018 年年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目 的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，绘制如下频率分 布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有 680 人 第 4 页（共 21 页） （1）求频率分布于直方图中 a 的值，及评分等级不满意的人数； （2） 相关部门对项目进行验收， 验收的硬性指标是： 市民对该项目的满意指数不低于 0.8， 否则该项
7、目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理 由 注：满意指数 满意度评分 低于 60 分 60 分到 79 分 80 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 18已知 p：x28x200，q：x22x+1m20（m0） ， （1）若 p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件，求实数 m 的取值范围 （2）p 是q 的充分不必要条件，求 m 的范围 19已知 M（1，1） ，若 m，nM， （1）求证：|1； （2）设 a，b 是两个不相等的正数，且1，证明：a+b4 20已知椭圆 C：x2+4y216 和点 M（2，1）
8、（1）求椭圆 C 的焦点坐标和离心率； （2）设直线 l：x+2y40 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|； （3）求通过 M 点且被这点平分的弦所在的直线方程 21如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF平面 ABCD，BF3，G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点 （）求证：平面 BDGH平面 AEF； （）求二面角 HBDC 的大小 第 5 页（共 21 页） 22已知函数 f（x）（xa）lnx（aR） （1）若 a1，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若对于
9、任意的正数 x，f（x）0 恒成立，求实数 a 的值； （3）若函数 f（x）存在两个极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） ，求 实数 a 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷学年江西省宜春市高安中学高二（上）期末数学试卷 （B 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分） 1 （5 分）在空间直角坐标系中，已知 A（1，3，2） ，（2，0，4） ，则点 B 的坐标 是（ ） A （3，3，2） B （3，3，2） C （1，3，6） D （1，3，6） 【
10、分析】利用向量坐标运算性质即可得出 【解答】解：设 B（x，y，z） ，A（1，3，2） ，（2，0，4） ， （x+1，y+3，z2）（2，0，4） ， x+12，y+30，z24， 解得：x1，y3，z6 则点 B 的坐标是（1，3，6） ， 故选：C 【点评】本题考查了向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2 （5 分）已知复数 Z 满足 Z（1+i）2+i（i 为虚数单位） ，则复数 Z 的虚部为（ ） A B C D 【分析】根据复数的代数形式运算法则，求出复数 Z 即可得出结论 【解答】解：由 Z（1+i）2+i， 得 Zi， 所以 Z 的虚部为 故选：A 【点评
11、】本题考查了复数的定义与代数形式的运算问题，是基础题 3 （5 分）下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若 x21，则 x1”的否命题为： “若 x21，则 x1” B “x1”是“x25x60”的必要不充分条件 第 7 页（共 21 页） C命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是： “xR，均有 x2+x+10” D命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题为真命题 【分析】对于 A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若 x21，则 x1” ，故错误 对于 B：因为 x1x25x60，应为充分条件，故错误 对于 C：因为命题的
12、否定形式只否定结果，应为xR，均有 x2+x+10故错误由排 除法即可得到答案 【解答】解：对于 A：命题“若 x21，则 x1”的否命题为： “若 x21，则 x1” 因 为否命题应为“若 x21，则 x1” ，故错误 对于 B： “x1”是“x25x60”的必要不充分条件因为 x1x25x60， 应为充分条件，故错误 对于 C：命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是： “xR，均有 x2+x+10” 因为命题的否定应为xR，均有 x2+x+10故错误 由排除法得到 D 正确 故选：D 【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断， 对于命题的否命题和否定形
13、式要注意区分，是易错点 4（5 分） 已知 x 与 y 之间的几组数据如表， 则 y 与 x 的线性回归直线 x+ 必过点 （ ） x 0 1 3 4 y 1 4 6 9 A （0，1） B （2，5） C （1，4） D （5，9） 【分析】求出平面数，根据线性回归方程的性质，直线 x+ 必过点（2，5） ，得出答 案 【解答】解：， ， 根据线性回归方程的性质， 直线 x+ 必过点（2，5） ， 故选：B 【点评】考查线性回归方程的性质，基础题 第 8 页（共 21 页） 5 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入 a4，那么输出的 n 的值为（ ） A5 B4 C3 D2 【
14、分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 P，Q 值，不满足条件 PQ，程序终 止即可得到结论 【解答】解：执行程序框图，有 n0，01，P1，Q3，n1； n1，13，P1+45，Q7，n2； n2，57，P5+1621，Q15，n3； n3，2115 不成立，输出，n3； 故选：C 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础 6（5 分） 曲线 f （x） x3+x2 的一条切线平行于直线 y4x1， 则切点 P0的坐标为 （ ） A （0，1）或（1，0） B （1，0）或（1，4） C （1，4）或（0，2） D （1，0）或（2，8）
15、 【分析】先求导函数，然后令导函数等于 4 建立方程，求出方程的解，即可求出切点的 横坐标，从而可求出切点坐标 【解答】解：由 yx3+x2，得 y3x2+1， 由已知得 3x2+14，解之得 x1 第 9 页（共 21 页） 当 x1 时，y0；当 x1 时，y4 切点 P0的坐标为（1，0）或（1，4） 故选：B 【点评】利用导数研究函数的性质是导数的重要应用之一，导数的广泛应用为我们解决 函数问题提供了有力的帮助本小题主要考查利用导数求切点的坐标 7 （5 分）已知双曲线的一条渐近线与直线 2x+y+10 垂直，则该双曲线的离心 率为（ ） A B C D 【分析】 由双曲线方程写出双曲
16、线的渐近线方程， 结合题意求得 a， 再由隐含条件求得 c， 则双曲线的离心率可求 【解答】解：直线 2x+y+10 的斜率为2， 双曲线的渐近线方程为 y， 由题意，2，得 a2 c 则双曲线的离心率为 e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的简单性质，是基础的计算题 8 （5 分）现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖有人走访了四人， 甲说： “乙、丁都未获奖” ，乙说： “是甲或丙获奖” ，丙说： “是甲获奖” ，丁说： “是乙获 奖” ，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】假设某人获奖，判断他们说的是真话假话，可判断是否正确 【解
17、答】解：若甲获奖，则乙，丙说的是真话，与题意矛盾； 若乙获奖，则丁说的是真话， 若丙获奖，则甲，乙说的是真话，与题意矛盾； 若丁获奖，则四人都是假话，与题意矛盾； 第 10 页（共 21 页） 故选：B 【点评】考查合情推理，属于基础题 9 （5 分）下面四个图象中，有一个是函数 f（x）x3+ax2+（a21）x+1（aR）的导函 数 yf'（x）的图象，则 f（1）等于（ ） A B C D或 【分析】先求出 f（x） ，根据开口方向，对称轴，判断哪一个图象是导函数 yf（x） 的图象，再根据图象求出 a 的值，最后求出 f（1） 【解答】解：函数的 f（x）的导数 f（x）x2+
18、2ax+（a21）（x+a）21， 则 f（x）的图象开口向上，排除（2） （4） ， 若是（1）则，对称轴关于 y 轴对称，则 2a0，即 a0， f（x）x3x+1， f（1）+1+1， 若对应的图象应为（3） ， 则函数过原点，a210，解得 a1，或 a1 且对称轴 xa0，即 a0， a1 f（x）x3x2+1， f（1）1+1， 故选：D 【点评】本题主要考查函数图象的确定，以及导数的基本运算，属于基础题 10 （5 分）有五条线段长度分别为 1、3、5、7、9，从这 5 条线段中任取 3 条，则所取 3 条线段能构成一个三角形的概率为（ ） A B C D 【分析】由题意知本题是
19、一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三 条共有 C53种结果，而满足条件的事件是 3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果，根据 古典概型公式得到结果 第 11 页（共 21 页） 【解答】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的所有事件是从五条线段中取三条共有 C53种结果， 而满足条件的事件是 3、5、7；3、7、9；5、7、9，三种结果， 由古典概型公式得到 P， 故选：B 【点评】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本 题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为 载体，主要考查的是另一个知识点
20、11 （5 分）设抛物线 x28y 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足， 如果直线 AF 的倾斜角等于 60，那么|PF|等于（ ） A2 B4 C D4 【分析】先求出|AF|，过 P 作 PBAF 于 B，利用|PF|，求出|PF| 【解答】解：在APF 中，由抛物线的定义，可得|PA|PF|， |AF|sin 604，|AF|， 又PAFPFA30，过 P 作 PBAF 于 B，则|PF| 故选：C 【点评】抛物线的定义，可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离 12（5 分） 已知关于 x 的方程|e2xm|有 3 个不同的实数解， 则 m 的取值
21、范围为 （ ） 第 12 页（共 21 页） A （） B （3，+） C （） D （） 【分析】由数形结合的数学思想方法得：设 tex，则 t0，当 m0 时，显然|t2m| 无解，当 m0 时，关于 x 的方程|e2xm|有 3 个不同的实数解等价于|t2m| 有 3 个不同的实数解，再利用导数研究函数 g（t）t2m，x（0，） ，的单 调性及最值，由 mt2在（0，）上有两个不等实根，等价于 g（）0，解得 即可 【解答】解：设 tex，则 t0， 当 m0 时，显然|t2m|无解， 当 m0 时，关于 x 的方程|e2xm|有 3 个不同的实数解等价于|t2m|有 3
22、个 不同的实数解， 由图可知：mt2在（0，）上有两个不等实根， 设 g（t）t2m，x（0，） ， g（x）2t， 令 g（x）2t0， 解得：t， 即 yg（t）在（0，）为减函数，在（，）为增函数， 又 g（）0， 由题意有 mt2在（0，）上有两个不等实根， 等价于 g（）0， 解得：m， 故选：D 第 13 页（共 21 页） 【点评】本题考查了数形结合的数学思想方法、利用导数研究函数的单调性及最值，属 难度较大的题型 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分）分） 13 （5 分）函数 yx33x 的递减区间是 （1，1） 【分析】根据 f（x）的导函数建立不等关系，可得 f&
23、#39;（x）0，建立不等量关系，求出单 调递减区间即可 【解答】解：令 y3x230 解得1x1， 函数 yx33x 的递减区间是（1，1） 故答案为： （1，1） 【点评】此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性 14 （5 分） 【分析】求出被积函数 2x的原函数，将积分的上限、下限代入求值即可 【解答】解：（ x2+x 1）| 13 32+3 1（ 12+11） ， 故答案为 【点评】本题主要考查了定积分的计算，解决该类问题的关键是求出被积函数的原函数， 属于计算题、基础题 15 （5 分）设ABC 的三边长分别为 a、b、c，ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 r ；类
24、比这个结论可知：四面体 PABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4， 第 14 页（共 21 页） 内切球的半径为 r，四面体 PABC 的体积为 V，则 r 【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平 面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积 的方法类比求四面体的体积即可 【解答】解：设四面体的内切球的球心为 O， 则球心 O 到四个面的距离都是 R， 所以四面体的体积等于以 O 为顶点， 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和 则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）r r 故答案为： 【点评】类比推
25、理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比 迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想） 16 （5 分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC上的一动点， 当点M 满足 DMPC （或 BMPC等） 时， 平面 MBD平面PCD（只 要填写一个你认为是正确的条件即可） 第 15 页（共 21 页） 【分析】由题意要得到平面 MBD平面 PCD，容易推得 ACBD，只需 AC 垂直平面 MBD 内的与 BD 相交的直线即可 【解答】解
26、：由定理可知，BDPC 当 DMPC（或 BMPC）时，即有 PC平面 MBD， 而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD 故选 DMPC（或 BMPC 等） 【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力， 是基础题 三、解答题（三、解答题（17 题题 10 分，分，1822 题每题题每题 12 分）分） 17 （100 分）2018 年年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目 的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，绘制如下频率分 布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为基本满意的有 680 人 （
27、1）求频率分布于直方图中 a 的值，及评分等级不满意的人数； （2） 相关部门对项目进行验收， 验收的硬性指标是： 市民对该项目的满意指数不低于 0.8， 否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理 由 注：满意指数 满意度评分 低于 60 分 60 分到 79 分 80 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 【分析】 （1）由频率分布直方图求出 a，N，代入即可； （2）求出满意程度的平均，比较即可 【解答】解： （1）由频率分布直方图知， 0.035+0.020+0.014+0.004+0.0020.075， 第
28、16 页（共 21 页） 由 10（0.075+a）1 解得 a0.025， 设总共调查了 N 个人，10N（0.014+0.020）680， 解得 N2000 人 不满意的频率为 10（0.002+0.004）0.06，所以共有 20000.06120 人，即不满意的 人数为 120 人 （2）所选样本满意程度的平均得分为： 450.02+550.04+650.14+750.2+850.35+950.2580.7， 估计市民满意程度的平均得分为 80.7，所以市民满意指数为， 故该项目能通过验收 【点评】考查频率分布直方图的应用，求平均数等，中档题 18已知 p：x28x200，q：x22x
29、+1m20（m0） ， （1）若 p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件，求实数 m 的取值范围 （2）p 是q 的充分不必要条件，求 m 的范围 【分析】若 p 成立，则2x10；若 q 成立，则 1mx1+m （1）根据 p 是 q 的充分不必要条件，可得2，10是1m，1+m的真子集，即可得出 （2）由p 是q 的充分不必条件，可得 q 是 p 的充分不必要条件，即可得出 【解答】解：若 p 成立，则2x10；若 q 成立，则 1mx1+m （1）p 是 q 的充分不必要条件，2，10是1m，1+m的真子集， （等号不同时成立） ，解得 m9故实数 m 的取值范围为
30、m9 （2）p 是q 的充分不必条件，q 是 p 的充分不必要条件， ，解得：0m3 故实数 m 的取值范围为 0m3 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 19已知 M（1，1） ，若 m，nM， （1）求证：|1； 第 17 页（共 21 页） （2）设 a，b 是两个不相等的正数，且1，证明：a+b4 【分析】 （1）利用分析法即可证明， （2）根据基本不等式即可证明 【解答】证明： （1）要证：|1， 只需证|mn|mn1|， 即证（mn）2（mn1）2， 即证 m2+n22mnm2n22mn+1， 即证（m21） （n21）0，
31、因为 m，n（1，1） ， 所以（m21） （n21）0 显然成立， 所以：|1 成立 （2）因为 a0，b0，1，且 ab， 所以 a+b（a+b） （）12+2+22+24， 即 a+b4 【点评】本题考查了不等式的证明，掌握分析法和基本不等式，属于中档题 20已知椭圆 C：x2+4y216 和点 M（2，1） （1）求椭圆 C 的焦点坐标和离心率； （2）设直线 l：x+2y40 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求弦长|AB|； （3）求通过 M 点且被这点平分的弦所在的直线方程 【分析】 （1）根据椭圆的标准方程得到 abc，可得焦点坐标和离心率； （2）联立直线和椭圆方程，解方程得焦
32、点坐标，利用两点间坐标公式可得弦长|AB|； （3）设直线斜率为 k，中点坐标为 M（2，1） ，将 A，B 两点代入椭圆方程，点差法得到 含 k 等式，解得 k，点斜式可得直线方程 【解答】解： （1）已知 x2+4y216 得 ， a4，b2，c2 焦点坐标（2，0） ， （2，0） ； 第 18 页（共 21 页） 离心 e （2）联立方程，消 y 得 x24x0，得，或； 则 A，B 两点坐标分别为（0，2）和（4，0） ，弦长|AB|， （3）显然直线不与 x 轴垂直，可设此直线方程，y1k（x2） ， 交点分别为 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，则， 两式相减得 （x1x2
33、） （x1+x2）+（y1y2） （y1+y2）0， 又，x1+x24，y1+y22， ， 直线方程为 即 x+2y40 【点评】本题主要考查椭圆的基本性质，直线和椭圆联立解方程的综合问题，点差法求 中点弦问题考查了参数转化法，方程思想的应用，考验了数学运算能力本题属典型 题 21如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF平面 ABCD，BF3，G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点 （）求证：平面 BDGH平面 AEF； （）求二面角 HBDC 的大小 【分析】 （）证明 GH平面 AEFOH平面 AEF利
34、用平面平行的判定定理证明平 面 BDGH平面 AEF 第 19 页（共 21 页） （）取 EF 的中点 N，连接 ON，以 O 为原点，OB，OC，ON 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系求出相关点的坐标，求出平面 BDH 的法向量，平 面 BCD 的法向量， 利用向量的数量积求解二面角 HBDC 的余弦函数值， 然后求出大 小 【解答】 （）证明：在CEF 中，因为 G，H 分别是 CE，CF 的中点， 所以 GHEF，又因为 GH平面 AEF，EF平面 AEF， 所以 GH平面 AEF（2 分） 设 ACBDO，连接 OH， 因为 ABCD 为菱形，所以 O
35、为 AC 中点 在ACF 中，因为 OAOC，CHHF， 所以 OHAF， 又因为 OH平面 AEF，AF平面 AEF， 所以 OH平面 AEF 又因为 OHGHH，OH，GH平面 BDGH， 所以平面 BDGH平面 AEF（6 分） （）解：取 EF 的中点 N，连接 ON，因为四边形 BDEF 是矩形，O，N 分别为 BD，EF 的中点，所以 ONED，因为平面 BDEF平面 ABCD，所以 ED平面 ABCD， 所以 ON平面 ABCD，因为 ABCD 为菱形，所以 ACBD，得 OB，OC，ON 两两垂直 所以以 O 为原点，OB，OC，ON 所在直线分别为 x 轴，y 轴
36、，z 轴，如图建立空间直角 坐标系 因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，BF3，所以 B（1，0，0） ，D（ 第 20 页（共 21 页） 1，0，0） ，E（1，0，3） ，F（1，0，3） ，所以 ，设平面 BDH 的法向量为，则 令 z1，得（9 分） 由ED 平 面ABCD ， 得 平 面BCD的 法 向 量 为， 则 所以二面角 HBDC 的大小为 60（12 分） 注：用传统法找二面角并求解酌情给分 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的 求法，考查空间想象能力以及计算能力 22已知函数 f（x）（xa）lnx（aR） （1
37、）若 a1，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （2）若对于任意的正数 x，f（x）0 恒成立，求实数 a 的值； （3）若函数 f（x）存在两个极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） ，求 实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率，即可求解； （2）可得 x1 时，lnx0，0x1 时，lnx0，必有可得 a1 （3）要使函数 f（x）存在两个极值点，则方程 lnx+10 有两个变号零点，方程 a xlnx+x 有两个不等正实根令 h（x）xlnx+x， （x0） 利用导数求解 【解答】解： （1）a1 时，函数 f（x）（x1
38、）lnx（0） ，f（1）0，f（1）0 曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为：y0； （2）x1 时，lnx0，0x1 时，lnx0， 对于任意的正数 x，f（x）0 恒成立，必有 yxa 时单调函数，x1 时 yxa 的零点，a1 第 21 页（共 21 页） （3）， 要使函数 f（x）存在两个极值点，则方程 lnx+10 有两个变号零点， 方程 axlnx+x 有两个不等正实根 令 h（x）xlnx+x， （x0） h（x）lnx+2，令 h（x）0，可得 xe 2 x（0，e 2）时，h（x）0，x（e2，+） ，h（x）0 h（x）在（0，e 2）递减，在（e2，+）递增， 函数 h（x）的草图如下： h（e 2）e2 实数 a 的取值范围为（e 2，0） 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒 成立问题的解法，属于难题
