1、 第 1 页（共 18 页） 2019-2020 学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分）分） 1 （5 分）复数 z（1+2i）2（i 为虚数单位）的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）已知抛物线方程为 y4x2，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A （0，1） B C （1，0） D 3 （5 分）命题“10”的否定是（ ） Ax00，x0+ex010 Bx00，x0+
2、ex010 Cx00，x0+ex010 Dx00，x0+ex010 4 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若 f（x）sin，则 f（x）cos B若 xxo是 f（x）的极值点，则 f（x0）0 C双曲线上的点到两焦点的距离之差等于 2a D若原命题为真命题，则否命题一定为假命题 5 （5 分）已知 f（x）x3，则（ ） A3 B12 C32 D48 6 （5 分）已知 p：log2x1，则 p 的充分不必要条件是（ ） Ax2 B0x2 C0x1 D0x3 7 （5 分）函数 f（x）x3x2+1 的图象经过原点的切线方程（ ） Axy0 Bx+2y0 Cx+y0 Dx2y0 8 （5
3、 分）函数在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围（ ） A （1，+） B1，+） C （，1） D （，11，+） 9 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线为 l，圆 C：x2+（yb）2 4 与 l 交于第一象限 A、B 两点，若ACB，且|OB|3|OA|，其中 O 为坐标原点， 则双曲线的离心率为（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C D 10 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 11 （5 分）已知椭圆+1（ab0）上一点 A 关于原点的对称点为 B 点，F 为其右 焦点，若 AFBF，设ABF，且 （，） ，则该椭圆的离心率的取值范围是
4、 （ ） A B C D 12 （5 分）设函数 f（x）在 R 上的导函数为 f（x） ，且 2f（x）+xf（x）4x2，下面的不等 式在 R 上恒成立的是（ ） Af（x）x Bf（x）x Cf（x）0 Df（x）0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 13 （5 分）若复数 z（i 为虚数单位） ，则|z| 14 （5 分）已知双曲线的离心率是则 n 15 （5 分）若 x1 是函数的极值点，则 a 的值 为 第 3 页（共 18 页） 16 （5 分）已知直线 yx+1 与椭圆+1（ab0）相交于 A，B 两点
5、，且 OA OB（O 为坐标原点） ，若椭圆的离心率 e，则 a 的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分）分） 17 （10 分）已知命题 p：不等式 ax2+ax+20 对任意 xR 恒成立，命题 （1）已知 p 为真，求 a 的取值范围 （2）若 pq 为假，pq 为真，求 a 的取值范围 18 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx23x 在 x1 和 x3 处取得极值 （1）求 a，b 的值 （2）求 f（x）在4，4内的最值 19 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（其中 t 为参数） ， 以原点为极点，
6、 以 x 轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 2cos， 设点 M（1，1） ，曲线 C1，C2交于 A，B 两点 （1）求 C1，C2的普通方程 （2）求的值 20 （12 分）已知函数 f（x）ax+lnx1 （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程 （2）讨论 f（x）的单调性 （3）若 f（x）0 有两个不相等的实根，求 a 的取值范围 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（a0，b0）的离心率，且过焦点的最短弦 长为 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过点 F2的直线 l 与曲
7、线 C 交于不同的两点 A、B，求F1AB 的内切圆半径的最大值 22 （12 分）已知函数 f（x）exalnx （1）讨论 f（x）的导函数 f（x）的零点的个数； 第 4 页（共 18 页） （2）证明：当 a0 时，f（x）a（2lna） 第 5 页（共 18 页） 2019-2020 学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分）分） 1 （5 分）复数 z（1+2i）2（i 为虚数单位）的
8、共轭复数 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案 【解答】解：因为 z（1+2i）21+4i+4i23+4i； 34i； 在复平面内对应的点在第三象限； 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题 2 （5 分）已知抛物线方程为 y4x2，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A （0，1） B C （1，0） D 【分析】先化抛物线的方程为标准方程，再确定焦点坐标 【解答】解：由题意，x2，故其焦点在 y 轴正半轴上，p 焦点坐标为（0，） 故选：B 【点评】本
9、题主要考查了抛物线的标准方程解题的时候注意抛物线的焦点在 x 轴还是 在 y 轴 3 （5 分）命题“10”的否定是（ ） Ax00，x0+ex010 Bx00，x0+ex010 Cx00，x0+ex010 Dx00，x0+ex010 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以：命题“10”的否定是：x00，x0+0 故选：D 【点评】本题考查的知识点是命题的否定，特称命题，难度不大，属于基础题 第 6 页（共 18 页） 4 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若 f（x）sin，则 f（x）cos B若 xxo是 f（x）的极值点
10、，则 f（x0）0 C双曲线上的点到两焦点的距离之差等于 2a D若原命题为真命题，则否命题一定为假命题 【分析】根据题意对选项中的命题分析、判断真假性即可 【解答】解：对于 A，函数 f（x）sin 为常数，所以 f（x）0，A 错误； 对于 B，当 xxo是 f（x）的极值点时，f（x0）0，所以 B 正确； 对于 C，双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于 2a，所以 C 错误； 对于 D，当原命题为真命题时，它的否命题不一定为假命题，所以 D 错误 故选：B 【点评】本题考查了命题真假性判断问题，是基础题 5 （5 分）已知 f（x）x3，则（ ） A3 B12 C32 D48 【
11、分析】根据题意，由导数的定义可得4f（2） ，求 出函数的导数，计算可得 f（2）的值，即可得答案 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 4 4f（2） ， 又由 f（x）x3，则 f（x）3x2，则 f（2）12， 故4f（2）48； 故选：D 【点评】本题考查导数的定义以及极限的性质，属于基础题 6 （5 分）已知 p：log2x1，则 p 的充分不必要条件是（ ） Ax2 B0x2 C0x1 D0x3 【分析】先求出 x 的范围，再找真子集即可 【解答】解：log2x1，0x2， p：0x2， 选项中只有选项 C 是x|0x2的真子集， 第 7 页（共 18 页） 故选：C 【点评
12、】本题考查了充分必要条件，考查解对数不等式问题，是一道基础题 7 （5 分）函数 f（x）x3x2+1 的图象经过原点的切线方程（ ） Axy0 Bx+2y0 Cx+y0 Dx2y0 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 x0 处的导数，再由直线方程的斜截式得答 案 【解答】解：由 f（x）x3x2+1，得 f（x）3x22x， 设切点为（x0，y0） ，则 f（x0）， 则函数 f（x）x3x2+1 的图象在切点处的切线方程为 y 把（0，0）代入，可得， 解得：x01 函数 f（x）x3x2+1 的图象过原点的切线方程为 y1x1，即 xy0 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究过曲线
13、上某点处的切线方程，是基础题 8 （5 分）函数在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围（ ） A （1，+） B1，+） C （，1） D （，11，+） 【分析】根据 f（x）在定义域上是增函数，可得 f（x）0 在（0，+）上恒成立， 然后利用分离参数法求出 a 的取值范围 【解答】解：由，得 f（x）在定义域上是增函数，f（x）0 在（0，+）上恒成立， 在（0，+）上恒成立，只需（x0） 当 x0 时，函数， 当且仅当 x1 时取等号，g（x）max1， ag（x）max1，a 的取值范围为1，+） 第 8 页（共 18 页） 故选：B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和
14、最值，利用单调性求参数范围，考查 了转化思想，属中档题 9 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线为 l，圆 C：x2+（yb）2 4 与 l 交于第一象限 A、B 两点，若ACB，且|OB|3|OA|，其中 O 为坐标原点， 则双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】过 C 作 CD 垂直渐近线于点 D，可得 CD，OAADDB1在直角三角 形 OCD 中，tanOCD，即可求得离心率 【解答】解：如图，过 C 作 CD 垂直渐近线于点 D， 圆 C：x2+（yb）24 的半径为 2，ACB，且|OB|3|OA| ，OAADDB1 在直角三角形 OCD 中，tanOCD， e
15、21+， 故选：D 【点评】本题考查了双曲线的离心率，属于中档题 10 （5 分）函数 f（x）的图象大致为（ ） 第 9 页（共 18 页） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想进行判断排除即可 【解答】解：函数的定义域为x|x0， f（x）f（x） ，则函数 f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除 A， 当 x+，f（x）+排除 C，D， 故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性的定义以及极限思想结合排 除法是解决本题的关键比较基础 11 （5 分）已知椭圆+1（ab0）上一点 A 关于原点的对称点为 B 点，F 为其右 焦点，若 AFBF
16、，设ABF，且 （，） ，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ） A B C D 【分析】首先利用对称关系得到四边形 AFBF 为矩形进一步利用三角函数关系式的 变换和正弦型函数的性质的应用求出结果 【解答】解：椭圆+1（ab0）上一点 A 关于原点的对称点为 B 点，F 为其 右焦点，设左焦点为 F 所以|AF|+|AF|2a， 第 10 页（共 18 页） 根据对称关系：四边形 AFBF 为矩形 所以|AB|FF|2c， 由于 AFBF，设ABF， 所以|AF|2csin，|AF|2ccos， 所以 2csin+2ccos2a， 所以， 由于 （，） ，故， 所以， 所以，即离心率的范围 故
17、选：A 【点评】本题考查的知识要点：圆锥曲线的定义的应用，三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档 题型 12 （5 分）设函数 f（x）在 R 上的导函数为 f（x） ，且 2f（x）+xf（x）4x2，下面的不等 式在 R 上恒成立的是（ ） Af（x）x Bf（x）x Cf（x）0 Df（x）0 【分析】针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法，本题可选择特 殊值和特殊函数来排除错误选项 【解答】解：由 2f（x）+xf（x）4x2，令 x0，则 f（0）0，故可排除 B，D 假设 f（x）x2+0.1，则 f
18、（x）2x，2f（x）+xf（x）4x20.20， 2f（x）+xf（x）4x2，但是 f（x）x 未必成立，故可排除 A 故选：C 【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题，通过分析解析式的特点，考查 了分析问题和解决问题的能力，属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 13 （5 分）若复数 z（i 为虚数单位） ，则|z| 【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：复数 z1+2i |z| 故答案为： 【点评】本题考查了复数的运算法则模的计算公式，属于基础
19、题 14 （5 分）已知双曲线的离心率是则 n 6 或 12 【分析】利用离心率定义及 c2a2+b2，利用分类讨论求出 n 即可 【解答】解：双曲线的离心率是 双曲线的焦点坐标在 x 轴上，可得：，解得 n12， 双曲线的焦点坐标在 y 轴时，可得：，n6， 故答案为：6 或 12 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其几何性质，属基础题 15（5 分） 若 x1 是函数的极值点， 则 a 的值为 3 【分析】由题意可得，f（1）a2+a+60，解方程可求 a，然后进行检验即可 【解答】解：由可得，f（x）x2+2（a+1）x （a2+a3） ， 由题意可得，f（1）a2+a+60， 解可得
20、，a3 或 a2， 当 a2 时，f（x）（x1）20，此时函数单调递增，没有极值点，舍去 故 a3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查了极值存在条件的应用，除了该点出的导数为 0 为，还要注意两 边得有符号的改变 16 （5 分）已知直线 yx+1 与椭圆+1（ab0）相交于 A，B 两点，且 OA OB（O 为坐标原点） ，若椭圆的离心率 e，则 a 的最大值为 第 12 页（共 18 页） 【分析】将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得 2a2 1+，由离心率的取值范围，即可求得 a 的最大值 【解答】解：设 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 由，消去
21、y，可得（a2+b2）x22a2x+a2（1b2）0， 则 x1+x2，x1x2， 由（2a2）24a2（a2+b2） （1b2）0，整理得 a2+b21 y1y2（x1+1） （x2+1）x1x2（x1+x2）+1 OAOB（其中 O 为坐标原点） ，可得0 x1x2+y1y20，即 x1x2+（x1+1） （x2+1）0，化简得 2x1x2（x1+x2）+10 2+10整理得 a2+b22a2b20 b2a2c2a2a2e2， 代入上式，化简得 2a21+， a2（1+） e，平方得e2， 1e2，可得 4， 因此2a21+5，a2，可得 a2的最大值为， 满足条件 a2+b21， 当椭圆
22、的离心率 e时，a 的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的 坐标运算，考查计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分）分） 第 13 页（共 18 页） 17 （10 分）已知命题 p：不等式 ax2+ax+20 对任意 xR 恒成立，命题 （1）已知 p 为真，求 a 的取值范围 （2）若 pq 为假，pq 为真，求 a 的取值范围 【分析】 （1）命题 p：不等式 ax2+ax+20 对任意 xR 恒成立，则 a0，20，或 ，即可得出 （2）命题可得 a+10， （a+1
23、） （a4）0，解得 a 范围若 pq 为假， pq 为真，则 p，q 必然一真一假即可得出 【解答】解： （1）命题 p：不等式 ax2+ax+20 对任意 xR 恒成立，则 a0，20，或 ， 解得 0a8 （2）命题a+10， （a+1） （a4）0，解得1a4 若 pq 为假，pq 为真，则 p，q 必然一真一假 p 真 q 假时，解得 4a8 q 真 p 假时，解得1a0 a 的取值范围是 4a8 或1a0 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 18 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx23x 在 x1 和 x3 处取得极值
24、 （1）求 a，b 的值 （2）求 f（x）在4，4内的最值 【分析】 （1）先对函数求导，由题意可得 f（x）3ax2+2bx30 的两个根为1 和 3， 结合方程的根与系数关系可求， （2）由（1）可求 f（x） ，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值 【解答】解： （1）f（x）3ax2+2bx3， 由题意可得 f（x）3ax2+2bx30 的两个根为1 和 3， 第 14 页（共 18 页） 则， 解可得 a，b1， （2）由（1）f（x）（x3） （x+1） ， 易得 f（x）在（，1） ， （3，+）单调递增，在（1，3）上单调递减， 又 f（4），f（1），f（3）
25、9，f（4）， 所以 f（x）minf（4），f（x）maxf（1） 【点评】本题 主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值和最值，属于基础试题 19 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（其中 t 为参数） ， 以原点为极点， 以 x 轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 C2的极坐标方程为 2cos， 设点 M（1，1） ，曲线 C1，C2交于 A，B 两点 （1）求 C1，C2的普通方程 （2）求的值 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果 【解答】解： （1）
26、由题可得 C1：y2x （2）将曲线 C1的直角坐标方程 y，代入 x2+y22x 得到：4x22x 整理得：x0 或， 解得或， 所以 A（0，0） ，B（） 由于 M（1，1） ， 所以：， 第 15 页（共 18 页） 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 20 （12 分）已知函数 f（x）ax+lnx1 （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程 （2）讨论 f（x）的单调性 （3）若 f（x）0 有两个不相等的实根，求
27、 a 的取值范围 【分析】 （1）将 a1 代入 f（x）中，然后求出 f（1）和斜率 kf（1） ，再写出切线方程 即可； （2）对 f（x）求导，然后分 a0 和 a0 两种情况求出单调区间； （3）根据 f（x）0 有两个不相等的实根，可得 a0，0，然后求 出 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）x+lnx1， f（1）0，切线斜率 kf（1）2， 切线方程为 y2x （2）由 f（x）ax+lnx1，得， 当 a0 时，f（x）0，此时 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，f（x）0，此时 f（x）在上单调递减，在上单调递 减 （3）f（x）0 有两
28、个不相等的实根，由（2）知 a0， ， ，又 a0，a0， a 的取值范围为 【点评】本题考查了曲线切线方程的求法，利用导数研究函数的单调性与最值，考查了 分类讨论思想和转化思想，属中档题 第 16 页（共 18 页） 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（a0，b0）的离心率，且过焦点的最短弦 长为 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过点 F2的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、B，求F1AB 的内切圆半径的最大值 【分析】 （1）根据题意，联立解方程组求出 a，b，代入即可； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设F
29、1AB 的内切圆的半径为 R，设直线 l 的方程为 x my+1， 利用面积公式， 结合直线和椭圆联立解方程组， 求出F1AB 面积的函数关系式， 根据函数的单调性，求出面积最大值，再求出内切圆半径 R 的最大值即可 【解答】解（1）离心率，且过焦点的最短弦长为 3， 由题意可得，解得，c1， 故椭圆的标准方程为； （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设F1AB 的内切圆的半径为 R， 因为F1AB 的周长为 4a8，R4R， 因此最大，R 就最大， 又， 由题意知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 xmy+1， 由得（3m2+4）y2+6my90， 所以， 又因直
30、线 l 与椭圆 C 交于不同的两点，故0， 即（6m）2+36（3m2+4）0，mR， 第 17 页（共 18 页） 则， 令，则 t1， 所以，令， 由对勾函数的性质可知，函数 f（t）在上是单调递增函数， 即当 t1 时，f（t）在1，+）上单调递增， 因此有，所以3， 即当 t1，m0 时，最大，此时， F1AB 的内切圆半径的最大值为 【点评】考查椭圆的性质及其方程，直线和椭圆的位置关系，利用了面积公式，函数求 最值等，中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）exalnx （1）讨论 f（x）的导函数 f（x）的零点的个数； （2）证明：当 a0 时，f（x）a（2lna） 【分析
31、】 （1）求出 f（x）的定义域，以及 f（x）的导函数，导函数零点的个数即为两函 数交点个数，分类讨论 a 的范围确定出零点个数即可； （2）由 a0 时，导函数有零点，存在唯一 x0使 f（x0）0，分类讨论 x 的范围确定 出导函数的增减性，求出 f（x）最小值，即可得证 【解答】解： （1）由 f（x）exalnx，得到 x0， f（x）定义域为（0，+） ， f（x）ex的零点个数yex与 y的交点个数， a0 时，显然无； a0 时，有 1 个； a0 时，无零点； （2）由（1）a0 时，存在唯一 x0使 f（x0）0，即， 第 18 页（共 18 页） 且 x（0，x0）时，f（x0）0，f（x）单调递减，x（x0，+）时，f（x0）0，f （x）单调递增， f （x）minf （x0） alnx0aln+ax0alna2aalnaa （2lna） ， 得证 【点评】此题考查了导数的运算，根的存在性及根的个数判断，熟练掌握导函数的性质 是解本题的关键
