1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设直线 x+2020y20 的倾斜角为 ，则 tan（ ） A B2020 C D2020 2 （5 分）下列命题是公理的是（ ） A平行于同一个平面的两个平面互相平行 B垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C如果两个不重合的平
2、面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 D空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 3 （5 分）垂直平分两圆 x2+y22x+6y+20，x2+y2+4x2y40 的公共弦的直线方程为 （ ） A3x4y30 B4x+3y+50 C3x+4y+90 D4x3y+50 4 （5 分）将两直角边长分别为 2，4 的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体 的表面积为（ ） A B C D 5 （5 分）已知直线 l1：ax3y10 与直线 l2：3x3（a+2）y+10，则“a1”是“l1 l2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D
3、既不充分也不必要条件 6 （5 分）若直线 l 过抛物线 x22py（p0）的焦点 F 交抛物线 M，N 于两点，则 ，若，则|MN|（ ） A B C D6 7（5 分） 在四面体 OABC 中， 空间的一点 M 满足， 若 共面，则 （ ） A B C D 8 （5 分）方程（m1）x2（3m）y2（m1） （3m）表示双曲线的必要条件是（ ） 第 2 页（共 19 页） A1m2 B1m3 C1m4 Dm1 或 m3 9 （5 分） 在我国古代数学名著 九章算术中， 将四个面都是直角三角形的四面体称为 “鳖 月需” ，在鳖月需 ABCD 中，AB平面 BCD，BDCD，且 ABBDCD，
4、M 为 AD 的中点，则二面角 MBCD 的正弦值为（ ） A B C D1 10 （5 分）过圆 x2+y2r2上一定点 P（x0，y0）的圆的切线方程为 x0x+y0yr2此结论可 推广到圆锥曲线上过椭圆+1 上的点 A（3，1）作椭圆的切线 l则过 A 点 且与直线 l 垂直的直线方程为（ ） Ax+y20 Bxy30 C2x+3y30 D3xy100 11 （5 分）从点 A（1，2）射出的光线经直线 l：x+y30 反射后到达点 B（1，1） ， 则光线所经过的路程是（ ） A B C D 12 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，F 为 AD 的中点，E 为棱 D1D
5、上的动点（不包 括端点） ，过点 B，E，F 的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（ ） A四边形 B等腰梯形 C五边形 D六边形 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的逆否命题是 14 （5 分）椭圆的离心率为，则椭圆的短轴长与长轴长之比为 15 （5 分）已知单位向量 ， ， 两两的夹角均为，若空 间向量 满足，则有序实数组称 （x，y，z） 为向量 在 “仿 射”坐标系 Oxyz（O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作已知 ，则 16 （5 分） 九章算术把
6、底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵” ， 把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”ABC A1B1C1，其中 ACBC，若 AA11， “堑堵”即三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的体积 第 3 页（共 19 页） 为，则“阳马”即四棱锥 BA1ACC1体积的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）如图，在多面体 ABCDA1B1C1D1中，四边形 ABCD 是菱形，四边形 BCC1B1 与四边形
7、DCC1D1均为矩形，O 为 D1B1的中点 （1）求证：DB平面 AC1C； （2）求证：AO1平面 BC1D 18 （12 分）平面内的动点 M 与 F1（0，） ，F2（0，）的距离差的绝对值等于 4 （1）求 M 点的轨迹 C 的标准方程； （2）直线 l 过点（1，2）且与曲线 C 有且只有一个公共点，求直线 l 的方程 19 （12 分）已知圆 C：x2+y22ax+2ay+2a24a0，直线 l：xy20 （1）求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值； （2） 过直线 m： xy+40 上的点 P 作圆 C 的切线 PM， 记切线 PM 长的最小值为 g （a） ， 当 a 在
8、（0，2上变化时，求 g（a）的取值范围 20 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，底面四边形 ABCD 是梯形， ADBC，SAABBC1，BM2MS，过 A、M、D 的平面交 SC 于 N 点 （1）求证：CN2NS； （2）若 ABBC，求 SD 与平面所成角 SBC 的大小 第 4 页（共 19 页） 21（12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y22px （p0） 上一点 到其焦点 F 的距离为 4 （1）求抛物线的方程与准线方程； （2）直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点（A，B 位于 x 轴的两侧） ，若，求证直 线 l 恒过定点
9、 22 （12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1（1，0） ，F2（1， 0） ，M 是椭圆上的一点，当F1MF260时，F1MF2的面积为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过 F2的直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作定直线 x4 的垂线， 垂足分别为 A1，B1，求为定值 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.
10、在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设直线 x+2020y20 的倾斜角为 ，则 tan（ ） A B2020 C D2020 【分析】将直线方程化为斜截式 yx+，即可得出斜率 tan 【解答】解：将直线方程化为斜截式 yx+，斜率 tan 故选：A 【点评】本题考查了直线倾斜角与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 2 （5 分）下列命题是公理的是（ ） A平行于同一个平面的两个平面互相平行 B垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该
11、点的公共直线 D空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 【分析】由所学知识可知 A，D 为定理，C 为公理，再判断 B 错误得答案 【解答】解：A，D 为定理，不是公理； 对于 B，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、也可能相交、也可能异面，故 B 错误； C 是教材中给出的公理 故选：C 【点评】本题考查平面的基本性质及推论，是基础题 3 （5 分）垂直平分两圆 x2+y22x+6y+20，x2+y2+4x2y40 的公共弦的直线方程为 （ ） A3x4y30 B4x+3y+50 C3x+4y+90 D4x3y+50 【分析】根据题意，由圆与圆的相交的性质可得垂直平分
12、两圆的公共弦的直线为两圆的 连心线，分析两个圆的圆心，求出连心线所在直线的方程即可得答案 第 6 页（共 19 页） 【解答】解：根据题意，圆 x2+y22x+6y+20，其圆心为 M，则 M（1，3） ， 圆 x2+y2+4x2y40，其圆心为 N，则 N（2，1） ， 垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线， 则直线 MN 的方程为 y+3（x1） ， 变形可得 4x+3y+50； 故选：B 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及直线的方程，注意公共弦的性质，属于基础 题 4 （5 分）将两直角边长分别为 2，4 的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体 的表面积为（ ） A B
13、C D 【分析】直角三角形的斜边长为 2，设斜边上的高为 h，则 2h24，可得 h所 得几何体是两个共底的圆锥，其底面半径为母线长分别为 2，4，即可得出 【解答】解：直角三角形的斜边长为2， 设斜边上的高为 h，则 2h24，h 所得几何体是两个共底的圆锥， 其底面半径为母线长分别为 2，4， 其表面积为 （2+4） 故选：B 【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积、圆锥的表面积及其性质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 5 （5 分）已知直线 l1：ax3y10 与直线 l2：3x3（a+2）y+10，则“a1”是“l1 l2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条
14、件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用两条直线平行于斜率之间的关系可得 a，即可判断出结论 【解答】解：由3（a+2）a9，得 a1，或3 经过验证 a3 时，聊天直线重合，舍去 第 7 页（共 19 页） “a1”是“l1l2”的充要条件 故选：C 【点评】本题考查了两条直线平行于斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题 6 （5 分）若直线 l 过抛物线 x22py（p0）的焦点 F 交抛物线 M，N 于两点，则 ，若，则|MN|（ ） A B C D6 【分析】 由， 可得到|MF|2|FN|， 联立， 解得|FN|， 所以|MF| ，所以|MN|MF
15、|+|FN| 【解答】解：根据题意，F 在 M，N 中间， 则向量和向量方向相同，由， 可得到|MF|2|FN|，联立， 得|FN|，所以|MF|， 所以|MN|MF|+|FN|， 故选：B 【点评】本题考查直线与抛物线相交问题，属于中档题 7（5 分） 在四面体 OABC 中， 空间的一点 M 满足， 若 共面，则 （ ） A B C D 【分析】利用向量共面基本定理即可得出结论 【解答】解：由共面知，+1，解得 故选：D 【点评】本题考查了向量共面基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8 （5 分）方程（m1）x2（3m）y2（m1） （3m）表示双曲线的必要条件是（ ） A1m
16、2 B1m3 C1m4 Dm1 或 m3 第 8 页（共 19 页） 【分析】由方程（m1）x2（3m）y2（m1） （3m） ，化为：1表 示双曲线的充要条件是： （m1） （3m）0，解出即可判断出结论 【解答】解：由方程（m1）x2（3m）y2（m1） （3m） ，化为： 1 表示双曲线的充要条件是： （m1） （3m）0，即 1m3 对照选择支，知 C 正确， 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了 推理能力与计算能力，属于基础题 9 （5 分） 在我国古代数学名著 九章算术中， 将四个面都是直角三角形的四面体称为 “鳖 月需” ，在鳖月
17、需 ABCD 中，AB平面 BCD，BDCD，且 ABBDCD，M 为 AD 的中点，则二面角 MBCD 的正弦值为（ ） A B C D1 【分析】作图，分析可知MHN 是二面角 MBCD 的平面角，设 ABBDCD2， 然后解三角形即可 【解答】解：取 BD 的中点 N，连接 MN， 则 MN平面 BCD， 作 NHBC，H 为垂足，连接 MH， 则 BCMH，所以MHN 是二面角 MBCD 的平面角 不妨设 ABBDCD2，根据题意可知， ； 故选：C 第 9 页（共 19 页） 【点评】本题考查二面角的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题 10 （5 分）过圆 x2+y2r
18、2上一定点 P（x0，y0）的圆的切线方程为 x0x+y0yr2此结论可 推广到圆锥曲线上过椭圆+1 上的点 A（3，1）作椭圆的切线 l则过 A 点 且与直线 l 垂直的直线方程为（ ） Ax+y20 Bxy30 C2x+3y30 D3xy100 【分析】求出切线的方程和斜率，求出直线的垂线的方程即可 【解答】 解： 过椭圆+1 上的点 A （3， 1） 作椭圆的切线 l 的方程为， 即 xy40，切线 l 的斜率为 1， 与直线 l 垂直的直线的斜率为1， 过 A 点且与直线 l 垂直的直线方程为 y+1（x3） ， 即 x+y20 故选：A 【点评】考查求椭圆的切线方程，求直线的方程，中
19、档题 11 （5 分）从点 A（1，2）射出的光线经直线 l：x+y30 反射后到达点 B（1，1） ， 则光线所经过的路程是（ ） A B C D 【分析】求出点 A（1，2）关于直线 l：x+y30 的对称的点坐标为 C（5，2） ；再求 BC 即可 【解答】解：由 x+y30，得， 第 10 页（共 19 页） 所以点 A（1，2）关于直线 l：x+y30 的对称的点坐标为 C（5，2） ， 则光线所经过的路程 CB 故选：D 【点评】本题考查了点关于直线的对称的点的求法，是基础题 12 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1中，F 为 AD 的中点，E 为棱 D1D 上的动点（不
20、包 括端点） ，过点 B，E，F 的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（ ） A四边形 B等腰梯形 C五边形 D六边形 【分析】不妨设正方体的棱长为 1，分 0DE，DE，DE1 三类画出图形 得答案 【解答】解：不妨设正方体的棱长为 1， 当 0DE时，截面为四边形 BFEM； 特别的，当 DE时，截面为等腰梯形 BFEC1； 当DE1 时，截面为五边形 BFENK，不可能为六边形 故选：D 【点评】本题考查平面的基本性质及推论，考查空间想象能力与思维能力，是中档题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5
21、分）命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的逆否命题是 不平行的两条直线 不垂直于同一个平面 【分析】根据命题“若 p 则 q”的逆否命题是“若q 则p”即可求出 【解答】解：命题“若 p 则 q”的逆否命题是“若q 则p” ， 第 11 页（共 19 页） 则命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的逆否命题是不平行的两条直线不垂直于 同一个平面， 故答案为：不平行的两条直线不垂直于同一个平面 【点评】本题考查了四种命题的关系，属于基础题 14 （5 分）椭圆的离心率为，则椭圆的短轴长与长轴长之比为 【分析】由离心率求出 a，c 的关系，再由 a，b，c 之间的宫城县求出 a，b 的关系，即
22、求出椭圆的短轴长与长轴长之比 【解答】解：因为 e 所以 c， 所以可得， 故答案为： 【点评】考查椭圆的性质 15 （5 分）已知单位向量 ， ， 两两的夹角均为，若空 间向量 满足，则有序实数组称 （x，y，z） 为向量 在 “仿 射”坐标系 Oxyz（O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作已知 ，则 1 【分析】利用新定义、数量积运算性质即可得出 【解答】解：（） （+2）+2+21+2 +21 故答案为：1 【点评】本题考查了新定义、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 16 （5 分） 九章算术把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵” ， 把底面为矩
23、形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”ABC A1B1C1，其中 ACBC，若 AA11， “堑堵”即三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的体积 第 12 页（共 19 页） 为，则“阳马”即四棱锥 BA1ACC1体积的最大值为 【分析】由三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的体积为，求出球半么 R，A1B ，AB1，设 ACx，则 BC，由此能求出“阳马”即四棱 锥 BA1ACC1体积最大值 【解答】解：三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的体积为， ，R，A1B， AB1， 设 ACx，则 BC， ， 当且仅当 x时，取等号 故“阳马”即四棱锥 BA1ACC1体积最大值
24、为 故答案为： 【点评】本题考查“阳马”体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查数学运算能力，是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）如图，在多面体 ABCDA1B1C1D1中，四边形 ABCD 是菱形，四边形 BCC1B1 与四边形 DCC1D1均为矩形，O 为 D1B1的中点 （1）求证：DB平面 AC1C； （2）求证：AO1平面 BC1D 第 13 页（共 19 页） 【分析】 （1）由 CC1DB 及 A
25、CDB 即可得证； （2）可得四边形 OO1C1C 为平行四边形，进而得到，由此得证 【解答】证明： （1）四边形 BCC1B1，四边形 DCC1D1均为矩形， CC1BC，CC1CD，而 BCCDC， CC1平面 ABCD，又 DB平面 ABCD， CC1DB， 由底面 ABCD 是菱形知，ACDB，而 ACCC1C， 故 DB平面 AC1C （2）易知，则， 即四边形 BB1D1D 为平行四边形 设 AC 交 BD 于 O，连接 OC1， 则 O 为 AC 的中点，又 O1为 D1B1的中点， ， ， ， 四边形 OO1C1C 为平行四边形， ， 又 AO1平面 BC1D，C1O平面 BC
26、1D， AO1平面 BC1D 第 14 页（共 19 页） 【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题 18 （12 分）平面内的动点 M 与 F1（0，） ，F2（0，）的距离差的绝对值等于 4 （1）求 M 点的轨迹 C 的标准方程； （2）直线 l 过点（1，2）且与曲线 C 有且只有一个公共点，求直线 l 的方程 【分析】 （1）由双曲线的定义得 a，b，c，进而得出轨迹 C 的方程为 （2）如果直线斜率不存在，直线与双曲线有两个交点，不合题意，所以直线斜率存在， 设直线 l 的方程为 y2k（x1） 联立直线 l 与曲线 C 的方程得（k24）x2+
27、2k（2k） x+k（k4）0只有一个根，则当 k240 时，即 k2，检验方程解有几个，是 否符合题意 当 k240 时，只有一个根，0，解得 k 【解答】解： （1）由双曲线的定义知，M 点的轨迹是焦点在 y 轴上的双曲线， 其中 2a4，所以 a2，又 c，所以 b1， 故轨迹 C 的标准方程为， （2）当直线 l 的斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足题意 所以，直线 l 的斜率一定存在 设直线 l 的方程为 y2k（x1） 由，得（k24）x2+2k（2k）x+k（k4）0 （） 当 k240 时，即 k2， 若 k2，方程（）无解； 第 15 页（共 19 页） 若 k2
28、，由方程（）得 x 此时直线方程为 y22（x1） ， 即 2x+y40 当 k240 时，由4k2（2k）24（k24）k（k4）0， 得 k0此时直线方程为 y20 综上，所求直线 l 的方程为 2x+y40，或 y20 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题 19 （12 分）已知圆 C：x2+y22ax+2ay+2a24a0，直线 l：xy20 （1）求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值； （2） 过直线 m： xy+40 上的点 P 作圆 C 的切线 PM， 记切线 PM 长的最小值为 g （a） ， 当 a 在（0，2上变化时，求 g（a）的取值范围 【分析】 （1
29、）由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由垂径定理求弦长，利用配方法求最 值； （2）求出圆心 C（a，a）到直线 m：xy+40 的距离 d，可 知当且仅当 CPm 时，切线 PM 的长取最小值，写出 g（a） ，利用二次函数的单调性求 g（a）的取值范围 【解答】解： （1）由圆 C：x2+y22ax+2ay+2a24a0，得（xa）2+（y+a）24a， 由 4a0，得 a0， 圆心 C（a，a）到直线 l 的距离 d， 得弦长|AB| 故当 a2 时，弦长的最大值为； （2）圆心 C（a，a）到直线 m：xy+40 的距离 d， 当且仅当 CPm 时，切线 PM 的长取最小值， 此时 g（a
30、）， a（0，2，g（a）在（0，2上递增， 故 g（a）的取值范围为（2， 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式，训练了利用二次 函数求最值，是中档题 第 16 页（共 19 页） 20 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，底面四边形 ABCD 是梯形， ADBC，SAABBC1，BM2MS，过 A、M、D 的平面交 SC 于 N 点 （1）求证：CN2NS； （2）若 ABBC，求 SD 与平面所成角 SBC 的大小 【分析】 （1）推导出 AD平面 SBCADMN再由 ADBC，得 MNBC由此证明 CN2NS （2）分别以直线 AB，
31、AD，AS 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 利用向量法能求出 SD 与平面 SBC 所成角 【解答】解： （1）证明：ADBC，AD平面 SBC，BC平面 SBC， AD平面 SBC AD平面 AMND，平面 AMND平面 SBCMN， ADMN又 ADBC，MNBC 又 BM2MS，CN2NS （2）解：SA平面 ABCD，ABAD， 分别以直线 AB，AD，AS 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，C（1，3，0） ，D（0，1，0） ，S（0，0，1） （1，0，1） ，（0，3，0） ， 设
32、 （x，y，z）为平面 SBC 的一个法向量， 由，取 z1，得 （1，0，1） 又（0，1，1） ， 设 SD 与平面 SBC 所成角为 ， 第 17 页（共 19 页） 则 sin， （0，） ， SD 与平面 SBC 所成角为 【点评】本题考查两线段长相等的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21（12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知抛物线 y22px （p0） 上一点 到其焦点 F 的距离为 4 （1）求抛物线的方程与准线方程； （2）直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点（A，B 位于 x 轴的两侧） ，
33、若，求证直 线 l 恒过定点 【分析】 （1）因为在抛物线上，72pn，n，由抛物线的定义， |MF|，求出 p，代入即可； （2） 直线 l 的方程为 xmy+n， 联立解方程组， 则 y1+y22m， y1y22n， 由， 求出 n，再得出结论 【解答】解： （1）因为在抛物线上，72pn，n， 由抛物线的定义，|MF|，p1 或者 p7， 当 p7 时，n0.5，不成立， 所以抛物线的方程为 y22x，准线方程为 x； 第 18 页（共 19 页） （2）设直线 l 的方程为 xmy+n， 由得，y22my2n0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 y1+y22m，y1y
34、22n， 由， 得 x1x2+y1y2，得 n3 或 n1， 当 n1 时，y1y22，A，B 位于 x 轴的同侧，舍去； 当 a3 时，y1y26 位于 x 轴的两侧， 即直线的方程为 xmy+3， 所以，直线恒过（3，0） 【点评】考查抛物线的性质和方程，考查直线和抛物线的位置关系，圆锥曲线的定点问 题，中档题 22 （12 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1（1，0） ，F2（1， 0） ，M 是椭圆上的一点，当F1MF260时，F1MF2的面积为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）过 F2的直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作定直线 x4 的垂线， 垂足分
35、别为 A1，B1，求为定值 【分析】 （1）根据题意，求出 a，b，再求出椭圆的方程； （2）当直线 l 的斜率为 0 时，A，B，A，B共线，不可能形成三角形，故设直线 l 的方 程为 xky+1，联立解方程组，结合三角形的面积求出即可 【解答】解： （1）依题意，c1， 由F1MF260时，F1MF2的面积为， ， 得|F1M|F2M|4， 由余弦定理， 第 19 页（共 19 页） 即，4a2124， a2，b23， 故椭圆 E 的方程为； （2）当直线 l 的斜率为 0 时，A，B，A，B共线，不可能形成三角形， 故设直线 l 的方程为 xky+1， 由，消去 x，得（3k2+4）y2+6ky90， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则， x1+x2k（y1+y2）+2， 同理 x1x2（ky1+1） （ky2+1）k2y1y2+k（y1+y2）+1， 所以 ， 由 所以4（定值） 【点评】考查椭圆的性质和椭圆的方程，直线和椭圆的综合，求三角形面积，圆锥曲线 的定值问题，考查运算能力和逻辑推理能力，难度较大，综合性高
