2019-2020学年江西省吉安市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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1、 第 1 页(共 19 页) 2019-2020 学年江西省吉安市高二(上)期末数学试卷(理科)学年江西省吉安市高二(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)设直线 x+2020y20 的倾斜角为 ,则 tan( ) A B2020 C D2020 2 (5 分)下列命题是公理的是( ) A平行于同一个平面的两个平面互相平行 B垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C如果两个不重合的平

2、面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 D空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 3 (5 分)垂直平分两圆 x2+y22x+6y+20,x2+y2+4x2y40 的公共弦的直线方程为 ( ) A3x4y30 B4x+3y+50 C3x+4y+90 D4x3y+50 4 (5 分)将两直角边长分别为 2,4 的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体 的表面积为( ) A B C D 5 (5 分)已知直线 l1:ax3y10 与直线 l2:3x3(a+2)y+10,则“a1”是“l1 l2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D

3、既不充分也不必要条件 6 (5 分)若直线 l 过抛物线 x22py(p0)的焦点 F 交抛物线 M,N 于两点,则 ,若,则|MN|( ) A B C D6 7(5 分) 在四面体 OABC 中, 空间的一点 M 满足, 若 共面,则 ( ) A B C D 8 (5 分)方程(m1)x2(3m)y2(m1) (3m)表示双曲线的必要条件是( ) 第 2 页(共 19 页) A1m2 B1m3 C1m4 Dm1 或 m3 9 (5 分) 在我国古代数学名著 九章算术中, 将四个面都是直角三角形的四面体称为 “鳖 月需” ,在鳖月需 ABCD 中,AB平面 BCD,BDCD,且 ABBDCD,

4、M 为 AD 的中点,则二面角 MBCD 的正弦值为( ) A B C D1 10 (5 分)过圆 x2+y2r2上一定点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0yr2此结论可 推广到圆锥曲线上过椭圆+1 上的点 A(3,1)作椭圆的切线 l则过 A 点 且与直线 l 垂直的直线方程为( ) Ax+y20 Bxy30 C2x+3y30 D3xy100 11 (5 分)从点 A(1,2)射出的光线经直线 l:x+y30 反射后到达点 B(1,1) , 则光线所经过的路程是( ) A B C D 12 (5 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,F 为 AD 的中点,E 为棱 D1D

5、上的动点(不包 括端点) ,过点 B,E,F 的平面截正方体所得的截面的形状不可能是( ) A四边形 B等腰梯形 C五边形 D六边形 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的逆否命题是 14 (5 分)椭圆的离心率为,则椭圆的短轴长与长轴长之比为 15 (5 分)已知单位向量 , , 两两的夹角均为,若空 间向量 满足,则有序实数组称 (x,y,z) 为向量 在 “仿 射”坐标系 Oxyz(O 为坐标原点)下的“仿射”坐标,记作已知 ,则 16 (5 分) 九章算术把

6、底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵” , 把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”ABC A1B1C1,其中 ACBC,若 AA11, “堑堵”即三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的体积 第 3 页(共 19 页) 为,则“阳马”即四棱锥 BA1ACC1体积的最大值为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)如图,在多面体 ABCDA1B1C1D1中,四边形 ABCD 是菱形,四边形 BCC1B1 与四边形

7、DCC1D1均为矩形,O 为 D1B1的中点 (1)求证:DB平面 AC1C; (2)求证:AO1平面 BC1D 18 (12 分)平面内的动点 M 与 F1(0,) ,F2(0,)的距离差的绝对值等于 4 (1)求 M 点的轨迹 C 的标准方程; (2)直线 l 过点(1,2)且与曲线 C 有且只有一个公共点,求直线 l 的方程 19 (12 分)已知圆 C:x2+y22ax+2ay+2a24a0,直线 l:xy20 (1)求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值; (2) 过直线 m: xy+40 上的点 P 作圆 C 的切线 PM, 记切线 PM 长的最小值为 g (a) , 当 a 在

8、(0,2上变化时,求 g(a)的取值范围 20 (12 分)如图,在四棱锥 SABCD 中,SA平面 ABCD,底面四边形 ABCD 是梯形, ADBC,SAABBC1,BM2MS,过 A、M、D 的平面交 SC 于 N 点 (1)求证:CN2NS; (2)若 ABBC,求 SD 与平面所成角 SBC 的大小 第 4 页(共 19 页) 21(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线 y22px (p0) 上一点 到其焦点 F 的距离为 4 (1)求抛物线的方程与准线方程; (2)直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点(A,B 位于 x 轴的两侧) ,若,求证直 线 l 恒过定点

9、 22 (12 分)已知椭圆的左、右焦点分别为 F1(1,0) ,F2(1, 0) ,M 是椭圆上的一点,当F1MF260时,F1MF2的面积为 (1)求椭圆 E 的方程; (2)过 F2的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,过 A,B 两点分别作定直线 x4 的垂线, 垂足分别为 A1,B1,求为定值 第 5 页(共 19 页) 2019-2020 学年江西省吉安市高二(上)期末数学试卷(理科)学年江西省吉安市高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.

10、在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)设直线 x+2020y20 的倾斜角为 ,则 tan( ) A B2020 C D2020 【分析】将直线方程化为斜截式 yx+,即可得出斜率 tan 【解答】解:将直线方程化为斜截式 yx+,斜率 tan 故选:A 【点评】本题考查了直线倾斜角与斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于 基础题 2 (5 分)下列命题是公理的是( ) A平行于同一个平面的两个平面互相平行 B垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该

11、点的公共直线 D空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 【分析】由所学知识可知 A,D 为定理,C 为公理,再判断 B 错误得答案 【解答】解:A,D 为定理,不是公理; 对于 B,垂直于同一条直线的两条直线可能平行、也可能相交、也可能异面,故 B 错误; C 是教材中给出的公理 故选:C 【点评】本题考查平面的基本性质及推论,是基础题 3 (5 分)垂直平分两圆 x2+y22x+6y+20,x2+y2+4x2y40 的公共弦的直线方程为 ( ) A3x4y30 B4x+3y+50 C3x+4y+90 D4x3y+50 【分析】根据题意,由圆与圆的相交的性质可得垂直平分

12、两圆的公共弦的直线为两圆的 连心线,分析两个圆的圆心,求出连心线所在直线的方程即可得答案 第 6 页(共 19 页) 【解答】解:根据题意,圆 x2+y22x+6y+20,其圆心为 M,则 M(1,3) , 圆 x2+y2+4x2y40,其圆心为 N,则 N(2,1) , 垂直平分两圆的公共弦的直线为两圆的连心线, 则直线 MN 的方程为 y+3(x1) , 变形可得 4x+3y+50; 故选:B 【点评】本题考查圆与圆的位置关系,涉及直线的方程,注意公共弦的性质,属于基础 题 4 (5 分)将两直角边长分别为 2,4 的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体 的表面积为( ) A B

13、C D 【分析】直角三角形的斜边长为 2,设斜边上的高为 h,则 2h24,可得 h所 得几何体是两个共底的圆锥,其底面半径为母线长分别为 2,4,即可得出 【解答】解:直角三角形的斜边长为2, 设斜边上的高为 h,则 2h24,h 所得几何体是两个共底的圆锥, 其底面半径为母线长分别为 2,4, 其表面积为 (2+4) 故选:B 【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积、圆锥的表面积及其性质,考查了推理能力 与计算能力,属于基础题 5 (5 分)已知直线 l1:ax3y10 与直线 l2:3x3(a+2)y+10,则“a1”是“l1 l2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条

14、件 D既不充分也不必要条件 【分析】利用两条直线平行于斜率之间的关系可得 a,即可判断出结论 【解答】解:由3(a+2)a9,得 a1,或3 经过验证 a3 时,聊天直线重合,舍去 第 7 页(共 19 页) “a1”是“l1l2”的充要条件 故选:C 【点评】本题考查了两条直线平行于斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法,考查了推 理能力与计算能力,属于基础题 6 (5 分)若直线 l 过抛物线 x22py(p0)的焦点 F 交抛物线 M,N 于两点,则 ,若,则|MN|( ) A B C D6 【分析】 由, 可得到|MF|2|FN|, 联立, 解得|FN|, 所以|MF| ,所以|MN|MF

15、|+|FN| 【解答】解:根据题意,F 在 M,N 中间, 则向量和向量方向相同,由, 可得到|MF|2|FN|,联立, 得|FN|,所以|MF|, 所以|MN|MF|+|FN|, 故选:B 【点评】本题考查直线与抛物线相交问题,属于中档题 7(5 分) 在四面体 OABC 中, 空间的一点 M 满足, 若 共面,则 ( ) A B C D 【分析】利用向量共面基本定理即可得出结论 【解答】解:由共面知,+1,解得 故选:D 【点评】本题考查了向量共面基本定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 8 (5 分)方程(m1)x2(3m)y2(m1) (3m)表示双曲线的必要条件是( ) A1m

16、2 B1m3 C1m4 Dm1 或 m3 第 8 页(共 19 页) 【分析】由方程(m1)x2(3m)y2(m1) (3m) ,化为:1表 示双曲线的充要条件是: (m1) (3m)0,解出即可判断出结论 【解答】解:由方程(m1)x2(3m)y2(m1) (3m) ,化为: 1 表示双曲线的充要条件是: (m1) (3m)0,即 1m3 对照选择支,知 C 正确, 故选:C 【点评】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了 推理能力与计算能力,属于基础题 9 (5 分) 在我国古代数学名著 九章算术中, 将四个面都是直角三角形的四面体称为 “鳖 月需” ,在鳖月

17、需 ABCD 中,AB平面 BCD,BDCD,且 ABBDCD,M 为 AD 的中点,则二面角 MBCD 的正弦值为( ) A B C D1 【分析】作图,分析可知MHN 是二面角 MBCD 的平面角,设 ABBDCD2, 然后解三角形即可 【解答】解:取 BD 的中点 N,连接 MN, 则 MN平面 BCD, 作 NHBC,H 为垂足,连接 MH, 则 BCMH,所以MHN 是二面角 MBCD 的平面角 不妨设 ABBDCD2,根据题意可知, ; 故选:C 第 9 页(共 19 页) 【点评】本题考查二面角的求法,考查逻辑推理能力及运算求解能力,属于基础题 10 (5 分)过圆 x2+y2r

18、2上一定点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0yr2此结论可 推广到圆锥曲线上过椭圆+1 上的点 A(3,1)作椭圆的切线 l则过 A 点 且与直线 l 垂直的直线方程为( ) Ax+y20 Bxy30 C2x+3y30 D3xy100 【分析】求出切线的方程和斜率,求出直线的垂线的方程即可 【解答】 解: 过椭圆+1 上的点 A (3, 1) 作椭圆的切线 l 的方程为, 即 xy40,切线 l 的斜率为 1, 与直线 l 垂直的直线的斜率为1, 过 A 点且与直线 l 垂直的直线方程为 y+1(x3) , 即 x+y20 故选:A 【点评】考查求椭圆的切线方程,求直线的方程,中

19、档题 11 (5 分)从点 A(1,2)射出的光线经直线 l:x+y30 反射后到达点 B(1,1) , 则光线所经过的路程是( ) A B C D 【分析】求出点 A(1,2)关于直线 l:x+y30 的对称的点坐标为 C(5,2) ;再求 BC 即可 【解答】解:由 x+y30,得, 第 10 页(共 19 页) 所以点 A(1,2)关于直线 l:x+y30 的对称的点坐标为 C(5,2) , 则光线所经过的路程 CB 故选:D 【点评】本题考查了点关于直线的对称的点的求法,是基础题 12 (5 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,F 为 AD 的中点,E 为棱 D1D 上的动点(不

20、包 括端点) ,过点 B,E,F 的平面截正方体所得的截面的形状不可能是( ) A四边形 B等腰梯形 C五边形 D六边形 【分析】不妨设正方体的棱长为 1,分 0DE,DE,DE1 三类画出图形 得答案 【解答】解:不妨设正方体的棱长为 1, 当 0DE时,截面为四边形 BFEM; 特别的,当 DE时,截面为等腰梯形 BFEC1; 当DE1 时,截面为五边形 BFENK,不可能为六边形 故选:D 【点评】本题考查平面的基本性质及推论,考查空间想象能力与思维能力,是中档题 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13 (5

21、分)命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的逆否命题是 不平行的两条直线 不垂直于同一个平面 【分析】根据命题“若 p 则 q”的逆否命题是“若q 则p”即可求出 【解答】解:命题“若 p 则 q”的逆否命题是“若q 则p” , 第 11 页(共 19 页) 则命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的逆否命题是不平行的两条直线不垂直于 同一个平面, 故答案为:不平行的两条直线不垂直于同一个平面 【点评】本题考查了四种命题的关系,属于基础题 14 (5 分)椭圆的离心率为,则椭圆的短轴长与长轴长之比为 【分析】由离心率求出 a,c 的关系,再由 a,b,c 之间的宫城县求出 a,b 的关系,即

22、求出椭圆的短轴长与长轴长之比 【解答】解:因为 e 所以 c, 所以可得, 故答案为: 【点评】考查椭圆的性质 15 (5 分)已知单位向量 , , 两两的夹角均为,若空 间向量 满足,则有序实数组称 (x,y,z) 为向量 在 “仿 射”坐标系 Oxyz(O 为坐标原点)下的“仿射”坐标,记作已知 ,则 1 【分析】利用新定义、数量积运算性质即可得出 【解答】解:() (+2)+2+21+2 +21 故答案为:1 【点评】本题考查了新定义、数量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础 题 16 (5 分) 九章算术把底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵” , 把底面为矩

23、形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有如图所示的“塹堵”ABC A1B1C1,其中 ACBC,若 AA11, “堑堵”即三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的体积 第 12 页(共 19 页) 为,则“阳马”即四棱锥 BA1ACC1体积的最大值为 【分析】由三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的体积为,求出球半么 R,A1B ,AB1,设 ACx,则 BC,由此能求出“阳马”即四棱 锥 BA1ACC1体积最大值 【解答】解:三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的体积为, ,R,A1B, AB1, 设 ACx,则 BC, , 当且仅当 x时,取等号 故“阳马”即四棱锥 BA1ACC1体积最大值

24、为 故答案为: 【点评】本题考查“阳马”体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识,考查数学运算能力,是中档题 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)如图,在多面体 ABCDA1B1C1D1中,四边形 ABCD 是菱形,四边形 BCC1B1 与四边形 DCC1D1均为矩形,O 为 D1B1的中点 (1)求证:DB平面 AC1C; (2)求证:AO1平面 BC1D 第 13 页(共 19 页) 【分析】 (1)由 CC1DB 及 A

25、CDB 即可得证; (2)可得四边形 OO1C1C 为平行四边形,进而得到,由此得证 【解答】证明: (1)四边形 BCC1B1,四边形 DCC1D1均为矩形, CC1BC,CC1CD,而 BCCDC, CC1平面 ABCD,又 DB平面 ABCD, CC1DB, 由底面 ABCD 是菱形知,ACDB,而 ACCC1C, 故 DB平面 AC1C (2)易知,则, 即四边形 BB1D1D 为平行四边形 设 AC 交 BD 于 O,连接 OC1, 则 O 为 AC 的中点,又 O1为 D1B1的中点, , , , 四边形 OO1C1C 为平行四边形, , 又 AO1平面 BC1D,C1O平面 BC

26、1D, AO1平面 BC1D 第 14 页(共 19 页) 【点评】本题考查线面平行的判定及线面垂直的判定,考查逻辑推理能力,属于基础题 18 (12 分)平面内的动点 M 与 F1(0,) ,F2(0,)的距离差的绝对值等于 4 (1)求 M 点的轨迹 C 的标准方程; (2)直线 l 过点(1,2)且与曲线 C 有且只有一个公共点,求直线 l 的方程 【分析】 (1)由双曲线的定义得 a,b,c,进而得出轨迹 C 的方程为 (2)如果直线斜率不存在,直线与双曲线有两个交点,不合题意,所以直线斜率存在, 设直线 l 的方程为 y2k(x1) 联立直线 l 与曲线 C 的方程得(k24)x2+

27、2k(2k) x+k(k4)0只有一个根,则当 k240 时,即 k2,检验方程解有几个,是 否符合题意 当 k240 时,只有一个根,0,解得 k 【解答】解: (1)由双曲线的定义知,M 点的轨迹是焦点在 y 轴上的双曲线, 其中 2a4,所以 a2,又 c,所以 b1, 故轨迹 C 的标准方程为, (2)当直线 l 的斜率不存在时,直线与双曲线有两个公共点,不满足题意 所以,直线 l 的斜率一定存在 设直线 l 的方程为 y2k(x1) 由,得(k24)x2+2k(2k)x+k(k4)0 () 当 k240 时,即 k2, 若 k2,方程()无解; 第 15 页(共 19 页) 若 k2

28、,由方程()得 x 此时直线方程为 y22(x1) , 即 2x+y40 当 k240 时,由4k2(2k)24(k24)k(k4)0, 得 k0此时直线方程为 y20 综上,所求直线 l 的方程为 2x+y40,或 y20 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系,属于中档题 19 (12 分)已知圆 C:x2+y22ax+2ay+2a24a0,直线 l:xy20 (1)求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值; (2) 过直线 m: xy+40 上的点 P 作圆 C 的切线 PM, 记切线 PM 长的最小值为 g (a) , 当 a 在(0,2上变化时,求 g(a)的取值范围 【分析】 (1

29、)由圆的方程求得圆心坐标与半径,再由垂径定理求弦长,利用配方法求最 值; (2)求出圆心 C(a,a)到直线 m:xy+40 的距离 d,可 知当且仅当 CPm 时,切线 PM 的长取最小值,写出 g(a) ,利用二次函数的单调性求 g(a)的取值范围 【解答】解: (1)由圆 C:x2+y22ax+2ay+2a24a0,得(xa)2+(y+a)24a, 由 4a0,得 a0, 圆心 C(a,a)到直线 l 的距离 d, 得弦长|AB| 故当 a2 时,弦长的最大值为; (2)圆心 C(a,a)到直线 m:xy+40 的距离 d, 当且仅当 CPm 时,切线 PM 的长取最小值, 此时 g(a

30、), a(0,2,g(a)在(0,2上递增, 故 g(a)的取值范围为(2, 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用,考查点到直线距离公式,训练了利用二次 函数求最值,是中档题 第 16 页(共 19 页) 20 (12 分)如图,在四棱锥 SABCD 中,SA平面 ABCD,底面四边形 ABCD 是梯形, ADBC,SAABBC1,BM2MS,过 A、M、D 的平面交 SC 于 N 点 (1)求证:CN2NS; (2)若 ABBC,求 SD 与平面所成角 SBC 的大小 【分析】 (1)推导出 AD平面 SBCADMN再由 ADBC,得 MNBC由此证明 CN2NS (2)分别以直线 AB,

31、AD,AS 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 利用向量法能求出 SD 与平面 SBC 所成角 【解答】解: (1)证明:ADBC,AD平面 SBC,BC平面 SBC, AD平面 SBC AD平面 AMND,平面 AMND平面 SBCMN, ADMN又 ADBC,MNBC 又 BM2MS,CN2NS (2)解:SA平面 ABCD,ABAD, 分别以直线 AB,AD,AS 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,3,0) ,D(0,1,0) ,S(0,0,1) (1,0,1) ,(0,3,0) , 设

32、 (x,y,z)为平面 SBC 的一个法向量, 由,取 z1,得 (1,0,1) 又(0,1,1) , 设 SD 与平面 SBC 所成角为 , 第 17 页(共 19 页) 则 sin, (0,) , SD 与平面 SBC 所成角为 【点评】本题考查两线段长相等的证明,考查线面角的求法,考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 21(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线 y22px (p0) 上一点 到其焦点 F 的距离为 4 (1)求抛物线的方程与准线方程; (2)直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点(A,B 位于 x 轴的两侧) ,

33、若,求证直 线 l 恒过定点 【分析】 (1)因为在抛物线上,72pn,n,由抛物线的定义, |MF|,求出 p,代入即可; (2) 直线 l 的方程为 xmy+n, 联立解方程组, 则 y1+y22m, y1y22n, 由, 求出 n,再得出结论 【解答】解: (1)因为在抛物线上,72pn,n, 由抛物线的定义,|MF|,p1 或者 p7, 当 p7 时,n0.5,不成立, 所以抛物线的方程为 y22x,准线方程为 x; 第 18 页(共 19 页) (2)设直线 l 的方程为 xmy+n, 由得,y22my2n0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 y1+y22m,y1y

34、22n, 由, 得 x1x2+y1y2,得 n3 或 n1, 当 n1 时,y1y22,A,B 位于 x 轴的同侧,舍去; 当 a3 时,y1y26 位于 x 轴的两侧, 即直线的方程为 xmy+3, 所以,直线恒过(3,0) 【点评】考查抛物线的性质和方程,考查直线和抛物线的位置关系,圆锥曲线的定点问 题,中档题 22 (12 分)已知椭圆的左、右焦点分别为 F1(1,0) ,F2(1, 0) ,M 是椭圆上的一点,当F1MF260时,F1MF2的面积为 (1)求椭圆 E 的方程; (2)过 F2的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,过 A,B 两点分别作定直线 x4 的垂线, 垂足分

35、别为 A1,B1,求为定值 【分析】 (1)根据题意,求出 a,b,再求出椭圆的方程; (2)当直线 l 的斜率为 0 时,A,B,A,B共线,不可能形成三角形,故设直线 l 的方 程为 xky+1,联立解方程组,结合三角形的面积求出即可 【解答】解: (1)依题意,c1, 由F1MF260时,F1MF2的面积为, , 得|F1M|F2M|4, 由余弦定理, 第 19 页(共 19 页) 即,4a2124, a2,b23, 故椭圆 E 的方程为; (2)当直线 l 的斜率为 0 时,A,B,A,B共线,不可能形成三角形, 故设直线 l 的方程为 xky+1, 由,消去 x,得(3k2+4)y2+6ky90, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则, x1+x2k(y1+y2)+2, 同理 x1x2(ky1+1) (ky2+1)k2y1y2+k(y1+y2)+1, 所以 , 由 所以4(定值) 【点评】考查椭圆的性质和椭圆的方程,直线和椭圆的综合,求三角形面积,圆锥曲线 的定值问题,考查运算能力和逻辑推理能力,难度较大,综合性高

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