1、 第 1 页（共 27 页） 2019-2020 学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题只有一个正确选项）每小题只有一个正确选项） 1 （5 分）在某社区有 600 个家庭，其中高收入家庭 120 户，中等收入家庭 420 户，低收入 家庭 60 户为调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为 100 户的样本，记作 ：某学校高中二年级有 15 名男篮运动员，要从中选出 3 人调查学习负担情况，记作 ；那么完成上述两项调查
2、应采用适合的抽样方法是（ ） A简单随机抽样，系统抽样 B系统抽样，分层抽样 C分层抽样，简单随机抽样 D分层抽样，系统抽样 2 （5 分）某工厂对一批产品进行了抽样检测如图是根据抽样检测后的产品净重（单位： 克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96， 98） ，98，100） ，100，102） ，102，104） ，104，106，已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是（ ） A90 B75 C60 D45 3 （5 分） 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用
3、 y （万元） ， 有如下的统计资料： x 1 2 3 4 5 y 5 6 7 8 10 由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，且线性回归方程为，请估计使用年限为 20 年时，维修费用约为（ ） A26.2 B27 C27.6 D28.2 4 （5 分）如图，该程序运行后输出的结果为（ ） 第 2 页（共 27 页） A7 B15 C31 D63 5 （5 分）命题“若 x1，则 x21”的否命题为（ ） A若 x1，则 x21 B若 x21，则 x1 C若 x1，则 x21 D若 x21，则 x1 6 （5 分） 已知向量， 且与 互相垂直， 则 k （ ） A B C D 7 （5 分）
4、已知 5 件产品中有 2 件次品，其余 3 件为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件， 至少有一件次品的概率为（ ） A0.4 B0.6 C0.7 D0.8 8 （5 分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ， 若椭圆上存在一点 P 使得，则这椭圆的离心率的取值范围为（ ） A B C D 9 （5 分）设向量，若，则 yx 的概率为（ ） A B C D 10 （5 分）已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A，B 两点，且|AF|：|BF| 3：2，则直线 l 的方程为（ ） A B C D 11 （5 分）如图，在正四棱柱 A
5、BCDA1B1C1D1中，AB3，AA14，P 是侧面 BCC1B1 第 3 页（共 27 页） 内的动点，且 APBD1，记 AP 与平面 BCC1B 所成的角为 ，则 tan 的最大值为（ ） A B C2 D 12 （5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆上不与 左右顶点重合的任意一点，I，G 分别为PF1F2的内心和重心，当 IGx 轴时，椭圆的 离心率为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知空间单位向量，两两互相垂直，且，则 14 （5 分）如图是某赛季
6、甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得 分的中位数之和是 15 （5 分）椭圆 E：的左焦点为 F1，直线 xm 与椭圆 E 交于 A，B 两点当 F1AB 的周长最大时，则 m 的值等于 16（5 分） 已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 侧面 PAB底面 ABCD， 且 PAPB4，则该四棱锥 PABCD 的外接球的表面积为 三、 （本大题共三、 （本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，第分，第 18-22 题每小题题每小题 10 分，共分，共 70 分）分） 17 （10 分）已知命题 p：关于 x 的不等式 x24x+2
7、m0 无解；命题 q：指数函数 f（x） （2m1）x是 R 上的增函数 （1）若命题 pq 为真命题，求实数 m 的取值范围； 第 4 页（共 27 页） （2）若满足 p 为假命题且 q 为真命题的实数 m 取范围是集合 A，集合 Bx|2t1x 13t2，且 AB，求实数 t 的取值范围 18 （12 分）已知椭圆 C 经过两点， （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知直线 l 与椭圆 C 交于 C，D，且已知线段 CD 的中点为，求直线 l 的方程 19 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为棱形，且 PA面 ABCD，BAD 120，AB1，PA2，且 E
8、，F 分别为 PB，PD 的中点 （1）求证：BD面 PAC； （2）求二面角 PAEF 的余弦值 20 （12 分）某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过 1 小时收费 10 元，超过 1 小时的部分每小时收费 8 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算） 现有甲、乙二人参与但 都不超过 4 小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的为吸引顾客，每个顾客可以 参加一次抽奖活动 （1）用（10，10）表示甲乙玩都不超过 1 小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为 44 元的概率； （2）抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个0，1之间的均匀随机 数 x，y，并按如图所示的程
9、序框图执行若电脑显示“中奖” ，则该顾客中奖；若电脑显 示“谢谢” ，则不中奖，求顾客中奖的概率 第 5 页（共 27 页） 21 （12 分）已知三棱锥 PABC（如图 1）的平面展开图（如图 2）中，四边形 ABCD 为 边长为的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥 PABC 中： （）证明：平面 PAC平面 ABC； （）求二面角 APCB 的余弦值； （）若点 M 在棱 PC 上，满足，点 N 在棱 BP 上，且 BM AN，求的取值范围 22 （12 分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ， 已知其离心率为，且过点 （1）求椭圆的标准方
10、程 （2）设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1与直线 BF2平行，AF2与 BF1 交于点 P，探究|PF1|+|PF2|是否为定值？如果为定值，请求出该定值；如果不为定值，请 说明理由 第 6 页（共 27 页） 2019-2020 学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题只有一个正确选项）每小题只有一个正确选项） 1 （5 分）在某社区有 600 个家庭，其中高收入
11、家庭 120 户，中等收入家庭 420 户，低收入 家庭 60 户为调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为 100 户的样本，记作 ：某学校高中二年级有 15 名男篮运动员，要从中选出 3 人调查学习负担情况，记作 ；那么完成上述两项调查应采用适合的抽样方法是（ ） A简单随机抽样，系统抽样 B系统抽样，分层抽样 C分层抽样，简单随机抽样 D分层抽样，系统抽样 【分析】利用分层抽样、简单随机抽样的性质直接求解 【解答】解：在中：在某社区有 600 个家庭，其中高收入家庭 120 户，中等收入家庭 420 户，低收入家庭 60 户 为调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为 100
12、 户的样本， 有个体差异，应该用分层抽样方法； 在中，某学校高中二年级有 15 名男篮运动员，要从中选出 3 人调查学习负担情况， 总体个数少，应该用简单随机抽样方法 故选：C 【点评】本题考查抽样方法的判断，考查分层抽样、简单随机抽样的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 2 （5 分）某工厂对一批产品进行了抽样检测如图是根据抽样检测后的产品净重（单位： 克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96， 98） ，98，100） ，100，102） ，102，104） ，104，106，已知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36，则样本中净重
13、大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是（ ） 第 7 页（共 27 页） A90 B75 C60 D45 【分析】根据小长方形的面积组距求出频率，再根据 求出频数，建立等式关系，解之即可 【解答】解：净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数设为 N2，产品净重小 于100克的个数设为N136， 样本容量为N， 则， 故选：A 【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法对于总体分布，总是 用样本的频率分布对它进行估计，频率分布直方图：小长方形的面积组距 ，各个矩形面积之和等于 1，即，属于基础题 3 （5 分） 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出
14、的维修费用 y （万元） ， 有如下的统计资料： x 1 2 3 4 5 y 5 6 7 8 10 由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系，且线性回归方程为，请估计使用年限为 20 年时，维修费用约为（ ） A26.2 B27 C27.6 D28.2 【分析】根据所给的数据求出这组数据的横标和纵标的平均数，即这组数据的样本中心 点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中心点代入求出 a 的值，写出线性回归 方程，代入 x 的值，预报出结果 【解答】解：由表格可知 3， 7.2， 这组数据的样本中心点是（3，7.2） ， 第 8 页（共 27 页） 根据样本中心点在线性回归直线上， 7.2a+
15、1.23， a3.6， 这组数据对应的线性回归方程是 y1.2x+3.6， x20， y1.220+3.627.6 故选：C 【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二 乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求 a 的值，这样使得题目简化，注意运 算不要出错 4 （5 分）如图，该程序运行后输出的结果为（ ） A7 B15 C31 D63 【分析】赋值框内的循环变量的赋值 A1，符合条件，进行运算，累加变量同时加 1 替 换，判断是否符合条件，符合条件再进入循环，否则算法结束，输出 S 【解答】解：因为 A1，s1 判断框内的条件 15 成立，执行 s21
16、+13，i1+12； 判断框内的条件 25 成立，执行 s23+17，i2+13； 判断框内的条件 35 成立，执行 s27+115，i3+14； 判断框内的条件 45 成立，执行 s215+131，i4+15； 判断框内的条件 55 成立，执行 s231+163，i5+16； 此时 65，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出 63，所以输入的 m 值应是 5 故选：D 第 9 页（共 27 页） 【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件 进入循环，不满足条件，算法结束 5 （5 分）命题“若 x1，则 x21”的否命题为（ ） A若 x1，则 x21 B
17、若 x21，则 x1 C若 x1，则 x21 D若 x21，则 x1 【分析】否命题是条件和结论都要否定，由此写出即可 【解答】解：命题“若 x1，则 x21”的否命题是 “若 x1，则 x21” 故选：C 【点评】本题考查了命题与它的否命题的应用问题，是基础题 6 （5 分） 已知向量， 且与 互相垂直， 则 k （ ） A B C D 【分析】根据与 互相垂直， （k + ） 0，列出方程求出 k 的值 【解答】解：向量， k + （k1，k，1） ； 又与 互相垂直， （k + ） 0， 即（k1）1+k0， 解得 k 故选：B 【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是
18、基础题目 7 （5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余 3 件为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件， 至少有一件次品的概率为（ ） A0.4 B0.6 C0.7 D0.8 【分析】利用列举法列出从 5 件产品中选 2 件的事件的结果有 12，13，1a，1b，23，2a， 2b，3a，3b，ab 共 10 种，满足条件的基本事件有 1a，1b，2a，2b，3a，3b，ab 共 7 种， 根据 古典概率的求解公式即可求解 第 10 页（共 27 页） 【解答】解：记 5 件产品的编号分别为 1，2，3，a，b，其中 1，2，3 为合格品， 从 5 件产品中选 2 件的事件的结果有 1
19、2，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab 共 10 种， 满足条件的基本事件有 1a，1b，2a，2b，3a，3b，ab 共 7 种， 故所求的概率为 故选：C 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，注意列举法的合理运用 8 （5 分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ， 若椭圆上存在一点 P 使得，则这椭圆的离心率的取值范围为（ ） A B C D 【分析】利用正弦定理、椭圆的定义，结合条件，即可求该椭圆的离心率的取值范围 【解答】解：在PF1F2中，由正弦定理知， ，即|PF1|e|PF2|， 又P 在椭圆上，|PF1|+|PF2|2a，
20、 将代入得|PF2|（ac，a+c） ， 同除以 a 得，1e1+e， 解得e1， 故选：D 【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围，考查正弦定理、椭圆的定义，考查学生分 析解决问题的能力，属于中档题 9 （5 分）设向量，若，则 yx 的概率为（ ） A B C D 【分析】根据平面向量的模长公式得出（x1）2+y21， 画出不等式 yx 表示的平面区域，计算对应区域的面积比即可 第 11 页（共 27 页） 【解答】解：平面向量， 若（x1）2+y21， 它表示圆心为（1，0） ，半径为 1 的圆面； 画出图形如图所示； 则阴影部分为弓形，其面积为 1211； 所以事件“yx”的概率为 P
21、 故选：B 【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了几何概型的概率计算问题，是基础 题 10 （5 分）已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A，B 两点，且|AF|：|BF| 3：2，则直线 l 的方程为（ ） A B C D 【分析】本题先设|AF|3a，|BF|2a，根据公式+，可得|AF|和|BF|的值， 然后设过焦点 F 的直线 l 的斜率为 k，则 l：yk（x1） 联立直线与抛物线方程，消去 y 整理得一元二次方程，根据韦达定理有 x1+x2，再根据公式|AF|+|BF| x1+x2+p 可得 k 的值，即可得到直线 l 的方程 【解答】解：由题意
22、，p2，F（1，0） 根据|AF|：|BF|3：2， 可设|AF|3a，|BF|2a， （a0） 第 12 页（共 27 页） +， +1，解得 a |AF|3，|BF|2 |AF|+|BF|+ 设过焦点 F 的直线 l 的斜率为 k，则 l：yk（x1） 联立， 整理，得 k2x22（k2+2）x+k20 则 x1+x2， |AF|+|BF|x1+x2+p+2 解得 k224，即 k2 直线 l 的方程为 y2（x1） 故选：B 【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查了抛物线的性质及焦点弦的性质 应用本题属中档题 11 （5 分）如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB3
23、，AA14，P 是侧面 BCC1B1 内的动点，且 APBD1，记 AP 与平面 BCC1B 所成的角为 ，则 tan 的最大值为（ ） A B C2 D 【分析】以 DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出线面角的正切值的最大值 【解答】解：以 DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 第 13 页（共 27 页） 设 P（x，3，z） ，则（x3，3，z） ，（3，3，4） ， APBD1， 3（x3）33+4z0，z， |BP|， tan， tan 的最大值为 故选：B 【点评】本题考查线面角的正切值的最大值的
24、求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 12 （5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆上不与 左右顶点重合的任意一点，I，G 分别为PF1F2的内心和重心，当 IGx 轴时，椭圆的 离心率为（ ） A B C D 【分析】 如图所示， 设 P （x0， y0） ， 不妨设 y00 利用三角形重心性质可得 G （，） ， 根据 IGx 轴，可得 xI设三角形内切圆的半径为 r由三角形内切圆的性质可得： r （2a+2c） 2cy0 可得 ryI 设 PF1， PF2分别与内切圆相切于点 D， E 可 得 PDPE（2a2c）ac在
25、 RtPDI 中，由勾股定理可得：PD2+ID2PI2化 简整理即可得出 第 14 页（共 27 页） 【解答】解：如图所示，设 P（x0，y0） ，不妨设 y00 F1（c，0） ，F2（c，0） 则 G（，） ，IGx 轴，xI 设三角形内切圆的半径为 r 由三角形内切圆的性质可得：r（2a+2c）2cy0 解得 r，yI 设 PF1，PF2分别与内切圆相切于点 D，E 则 PDPE（2a2c）ac 在 RtPDI 中，由勾股定理可得：PD2+ID2PI2 （ac）2+， 化为：+1 与椭圆比较可得：a2， a（ac） ，可得 e 故选：A 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形
26、内切圆的性质、三角形重心性质、 三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题 第 15 页（共 27 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知空间单位向量，两两互相垂直，且，则 3 【分析】直接代入向量的数量积即可 【解答】解：空间单位向量，两两互相垂直； 0， 所以： 故答案为：3 【点评】本题主要考查平面向量数量积的有关性质，属于基础题目 14 （5 分）如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得 分的中位数之和是 64 【分析】中位数是指一组数据按从小到大（或从
27、大到小）的顺序依次排列，处在中间位 置的一个数（或最中间两个数据的平均数，注意：和众数不同，中位数不一定在这组数 据中） 故只须依据茎叶图写出甲乙两人比赛得分，即可找出中位数 【解答】解：由图可知甲的得分共有 9 个，中位数为 28 甲的中位数为 28 乙的得分共有 9 个，中位数为 36 乙的中位数为 36 则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 64 故答案为：64 【点评】求中位数的关键是根据定义仔细分析另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这 一点一定要注意 15 （5 分）椭圆 E：的左焦点为 F1，直线 xm 与椭圆 E 交于 A，B 两点当 F1AB 的周长最大时，则 m 的值等于 4 第
28、16 页（共 27 页） 【分析】 根据题意， 作出椭圆的图形， 结合椭圆的定义分析可得： FAB 的周长： AB+AF+BF AB+（2aAE）+（2aBE）4a+ABAEBE，由三角形三边关系分析可得直线 x m 过椭圆的右焦点 E 时FAB 的周长最大，即可得答案 【解答】解：设椭圆的右焦点为 E如图： 由椭圆的定义得：FAB 的周长：AB+AF+BFAB+（2aAE）+（2aBE）4a+AB AEBE； AE+BEAB； ABAEBE0，当 AB 过点 E 时取等号； AB+AF+BF4a+ABAEBE4a； 即直线 xm 过椭圆的右焦点 E 时FAB 的周长最大； 此时直线 xmc4
29、； 故 m 的值为 4 故答案为：4 【点评】本题考查椭圆的简单性质，关键在于利用椭圆的定义求出周长的表达式 16（5 分） 已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， 侧面 PAB底面 ABCD， 且 PAPB4，则该四棱锥 PABCD 的外接球的表面积为 【分析】由题意球的底面外接圆的半径及圆心 O1，过圆心做垂直于底面的垂线 OO1，求 出三角形 PAB 外接圆的半径及圆心 G，进而求出圆心到 AB 的距离 GE，则 GEOO1再 过 G 做面 PAB 的垂线交 OO1于 O，则 O 为外接球的球心，连接 CO1，OC，在三角形 OO1C 中求出外接球的半径，进而
30、求出外接球的表面积 【解答】解：如图分别作出正方形的中心 O1， 第 17 页（共 27 页） 三角形 PAB 的外心 G，取 AB 的中点 E，连 EG，EO1， 分别以 EG，EO1为邻边作一个矩形如图， 其中点 O 就是该外接圆的圆心， 在 RtOO1C 中，可计算得， 即可求得外接圆的表面积为， 故答案为： 【点评】考查四棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档 题 三、 （本大题共三、 （本大题共 6 小题，第小题，第 17 题题 10 分，第分，第 18-22 题每小题题每小题 10 分，共分，共 70 分）分） 17 （10 分）已知命题 p：关于 x 的不
31、等式 x24x+2m0 无解；命题 q：指数函数 f（x） （2m1）x是 R 上的增函数 （1）若命题 pq 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若满足 p 为假命题且 q 为真命题的实数 m 取范围是集合 A，集合 Bx|2t1x 13t2，且 AB，求实数 t 的取值范围 【分析】 （1）pq 为真命题，所以 p，q 都是真命题，根据题意求出 p，q 的等价命题， 取交集即可； （2）由（1）可知，当 p 为假命题时，m2；q 为真命题，则 2m11 解得：m1， 求出集合 A，根据 AB，得到关于 t 的不等式，即可求 t 的范围 【解答】解（1）由 p 为真命题知，168m0
32、解得 m2，所以 m 的范围是2，+ ） ， 由 q 为真命题知，2m11，m1， 取交集得到2，+） 综上，m 的范围是2，+） 第 18 页（共 27 页） （2）由（1）可知，当 p 为假命题时，m2； q 为真命题，则 2m11 解得：m1 则 m 的取值范围是（1，2）即 Am|1m2， 而 AB，可得， 解得： 所以，t 的取值范围是 【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系可、复合命题真假的判定方 法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题 18 （12 分）已知椭圆 C 经过两点， （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知直线 l 与椭圆 C 交于 C，D，且已知线
33、段 CD 的中点为，求直线 l 的方程 【分析】（1） 设椭圆 C 的方程为： mx2+ny21 （m0， n0， mn） ， 把两点， 代入，即可求出 m，n 的值，从而求出椭圆 C 的标准方程为； （2）设点 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，利用点差法求出直线 l 的斜率，再利用点斜式即可 求出直线 l 的方程 【解答】解： （1）设椭圆 C 的方程为：mx2+ny21（m0，n0，mn） ， 椭圆 C 经过两点， ，解得：， 椭圆 C 的标准方程为：； （2）设点 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ， 线段 CD 的中点为， 点 C（x1，y1） ，D（x2，y2）在椭圆上，
34、 第 19 页（共 27 页） ，两式相减得： ， 化简得：， 直线 l 的斜率 k， 直线 l 的方程为：3 【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题 19 （12 分）如图，已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为棱形，且 PA面 ABCD，BAD 120，AB1，PA2，且 E，F 分别为 PB，PD 的中点 （1）求证：BD面 PAC； （2）求二面角 PAEF 的余弦值 【分析】 （1）推导出 ACBD，PABD，由此能证明 BD平面 PAC （2）设 ACBDO，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，过 O 作平面 ABCD 的垂线 为
35、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 PAEF 的余弦值 【解答】解： （1）证明：四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为棱形，且 PA面 ABCD， ACBD，PABD， ACPAA，BD平面 PAC （2）设 ACBDO，以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴， 过 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， BAD120，AB1，PA2，且 E，F 分别为 PB，PD 的中点 第 20 页（共 27 页） P（0，2） ，A（0，0） ，B（，0，0） ，D（，0，0） ， E（，1） ，F（，1） ， （，1） ，（0，0，2） ，（，1）
36、 ， 设平面 AEP 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，则 （1，0） ， 设平面 AEF 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y4，得 （0，4，1） ， 取二面角 PAEF 的平面角为 ， 则 cos 二面角 PAEF 的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过 1 小时收费 10 元，超过 1 小时的部分每小时收费 8 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算） 现有甲、乙二人参与但 都不超过 4 小时，甲、
37、乙二人在每个时段离场是等可能的为吸引顾客，每个顾客可以 第 21 页（共 27 页） 参加一次抽奖活动 （1）用（10，10）表示甲乙玩都不超过 1 小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为 44 元的概率； （2）抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个0，1之间的均匀随机 数 x，y，并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖” ，则该顾客中奖；若电脑显 示“谢谢” ，则不中奖，求顾客中奖的概率 【分析】 （1）设甲付费 a 元，乙付费 b 元，其中 a，b10，18，26，34，由此利用列举 法能求出“甲、乙二人付费之和为 44 元”的概率 （2）由已知 0x1，0y1 点（x
38、，y）在正方形 OABC 内，作出条件的 区域，由此能求出顾客中奖的概率 【解答】解： （1）设甲付费 a 元，乙付费 b 元，其中 a，b10，18，26，34 则甲、乙二人的费用构成的基本事件空间为： （10，10） ， （10，18） ， （10，26） ， （10，34） ， （18，10） ， （18，18） ， （18，26） ， （18， 34） ， （26，10） ， （26，18） ， （26，26） ， （26，34） ， （34，10） ， （34，18） ， （34，26） ， （34， 34）共 16 种情形 （4 分） 其中， （10，34） ， （18，26） ，
39、 （26，18） ， （34，10）这 4 种情形符合题意 故“甲、乙二人付费之和为 44 元”的概率为 （6 分） （2）由已知 0x1，0y1 点（x，y）如图的正方形 OABC 内， 第 22 页（共 27 页） 由条件，得到的区域为图中阴影部分， （9 分） 由 x2y+10，令 x0 得；令 x1 得 y1； 由条件满足的区域面积 （11 分） 设顾客中奖的事件为 N，则顾客中奖的概率 （12 分） 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型 的合理运用 21 （12 分）已知三棱锥 PABC（如图 1）的平面展开图（如图 2）中，四边形 ABCD
40、为 边长为的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥 PABC 中： （）证明：平面 PAC平面 ABC； （）求二面角 APCB 的余弦值； （）若点 M 在棱 PC 上，满足，点 N 在棱 BP 上，且 BM AN，求的取值范围 第 23 页（共 27 页） 【分析】 （）法一：设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO推导出 POAC，POOB，从 而 PO平面 ABC，由此能证明平面 PAC平面 ABC 法二：设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO推导出 POAC，POAPOBPOC， POAPOBPOC90，进而 POOB，由此能证明 PO平面 ABC，从而平面 PAC平面
41、ABC 法三：设 AC 的中点为 O，连接 PO，推导出 POAC，设 AB 的中点 Q，连接 PQ，OQ 及 OB推导出 OQABPQAB从而 AB平面 OPQ，进而 OPAB，由此能证明 PO平面 ABC，从而平面 PAC平面 ABC （）由 PO平面 ABC，OBAC，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A PCB 的余弦值 （）设，01，利用向量法能求出的取值范围 【解答】 （本题满分 14 分） 证明： （）证法一：设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO 由题意，PO1，AOBOCO1 因为 在PAC 中，PAPC，O 为 AC 的中点 所以 POAC， 因为 在POB 中
42、，PO1，OB1， 所以 POOB 因为 ACOBO，AC，OB平面 ABC 所以 PO平面 ABC 因为 PO平面 PAC（4 分） 所以 平面 PAC平面 ABC 证法二： 设 AC 的中点为 O，连接 BO，PO 因为 在PAC 中，PAPC，O 为 AC 的中点， 所以 POAC， 因为 PAPBPC，POPOPO，AOBOCO 所以POAPOBPOC 所以POAPOBPOC90 第 24 页（共 27 页） 所以 POOB 因为 ACOBO，AC，OB平面 ABC 所以 PO平面 ABC 因为 PO平面 PAC（4 分） 所以 平面 PAC平面 ABC 证法三：设 AC 的中点为 O
43、，连接 PO，因为在PAC 中，PAPC， 所以 POAC 设 AB 的中点 Q，连接 PQ，OQ 及 OB 因为 在OAB 中，OAOB，Q 为 AB 的中点 所以 OQAB 因为 在PAB 中，PAPB，Q 为 AB 的中点 所以 PQAB 因为 PQOQQ，PQ，OQ平面 OPQ 所以 AB平面 OPQ 因为 OP平面 OPQ 所以 OPAB 因为 ABACA，AB，AC平面 ABC 所以 PO平面 ABC 因为 PO平面 PAC（4 分） 所以 平面 PAC平面 ABC 解： （）由 PO平面 ABC，OBAC，如图建立空间直角坐标系，则 O（0，0，0） ，C（1，0，0） ，B（0
44、，1，0） ，A（1，0，0） ，P（0，0，1） 由 OB平面 APC，故平面 APC 的法向量为 由， 设平面 PBC 的法向量为，则 由得： 令 x1，得 y1，z1，即 第 25 页（共 27 页） 由二面角 APCB 是锐二面角， 所以二面角 APCB 的余弦值为（9 分） （）设，01， ， ， 令 得（1） 1+（1） （1）+0 即， 是关于 的单调递增函数， 当时， 所以 （14 分） 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两线段比值的求 法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查 第 26 页（共 27 页） 函数与
45、方程思想，是中档题 22 （12 分）已知椭圆（ab0）的左右焦点分别为 F1（c，0） ，F2（c，0） ， 已知其离心率为，且过点 （1）求椭圆的标准方程 （2）设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 AF1与直线 BF2平行，AF2与 BF1 交于点 P，探究|PF1|+|PF2|是否为定值？如果为定值，请求出该定值；如果不为定值，请 说明理由 【分析】 （1）由题意的离心率和过的点的坐标及 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）由直线 AF1，BF2平行，可得对应比成比例，求出|PF1|+|PF2|的和用|AF1|和|BF2|之积 和之和表示， 设直线 AF1， B
46、F2的方程分别与椭圆联立求出 A， B 的坐标， 进而表示出|AF1|， |BF2|，进而求出|PF1|+|PF2|是为定值 【解答】解： （1）由题可知：，a2b2+c2可得 a24，b23， 所该椭圆的方程为 （2）如图，由（1）问可知 F1（1，0） ，F2（1，0） ， 又因为 AF1BF2，所以，即， 所以， 于是，由点 B 在椭圆上，可知|BF1|+|BF2|4，有 同理 所以 设直线 AF1，BF2的方程分别为 myx+1，myx1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，y10， y20 第 27 页（共 27 页） 则（3m2+4）y26my90， 所以， 同理的 所以|AF1|BF2|，|AF1|+|BF2|， ， |PF1|+|PF2|4， 所以|PF1|+|PF2|是为定值 【点评】考查椭圆的性质和直线与椭圆的综合
