1、2019-2020 学年江西省景德镇一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题： （本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分 ）分 ） 1 （5 分）抛物线的焦点坐标是（ ） A （0，） B （，0） C （1，0） D （0，1） 2 （5 分）椭圆 x2+my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（ ） A B C2 D4 3 （5 分）若双曲线1 的一条渐近线经过点（4，3） ，则此双曲线的离心率为 （ ） A B C D 4 （5 分）有关命题的说法错误的是（ ） A命题“若 x23x+20 则 x1”的逆否命题为： “
2、若 x1，则 x23x+20” B “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件 C对于命题 p：x0R，x02+x0+10则 p：xR，x2+x+10 D若 pq 为假命题，则 p、q 均为假命题 5 （5 分）若曲线 yx4的一条切线 l 与直线 x+4y80 垂直，则 l 的方程是（ ） A4xy30 Bx+4y50 C4xy+30 Dx+4y+30 6 （5 分） 设 P 是双曲线1 上一点， F1， F2分别是双曲线左， 右两个焦点， 若|PF1| 5，则|PF2|（ ） A1 B9 C1 或 9 D以上答案均不对 7 （5 分）若函数
3、 f（x）x33bx+3b 在（0，1）内有极小值，则（ ） A0b1 Bb1 Cb0 Db 8 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 2，则|AB|（ ） 第 2 页（共 17 页） A8 B6 C5 D4 9 （5 分）已知，p：|4x3|1；q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，p 是q 的充分不必 要条件，求 a 的取值范围（ ） Aa0 Ba0 Ca或 a1 Da或 a1 10 （5 分） 已知点 P 是椭圆上一点， F1， F2是它的左右焦点， 若F1PF260， 则PF1F2的面积为（ ） A B
4、2 C4 D 11 （5 分）定义域 R 的奇函数 f（x） ，当 x（，0）时 f（x）+xf（x）0 恒成立， 若 a3f（3） ，b（log3） f（log3） ，c2f（2） ，则（ ） Aacb Bcba Ccab Dabc 12 （5 分）已知函数 f（x）ax33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的 取值范围是（ ） A （2，+） B （，2） C （1，+） D （，1） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）xe x 的单调递减区间是 14
5、（5 分）如图是函数 yf（x）导函数 f（x）的图象，下面说法正确的有 （1）3 是 yf（x）的极小值点 （2）yf（x）在 x0 处切线斜率大于 0 （3）1 是函数的极小值点 （4）yf（x）在区间（3，3）上递增 15 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0） ，其左顶点是 A，若过双曲线右焦 点且垂直于 x 轴的直线交双曲线于 B，D，使ABD 为正三角形，则双曲线 C 的离心率 e 是 第 3 页（共 17 页） 16 （5 分）已知 F 为椭圆+1 的右焦点，A（1，）是椭圆内的一点，点 P 为 椭圆上的点，则|PA|+|PF|的最大
6、值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分 （分 （17 题题 10 分，其余各题每题分，其余各题每题 12 分）分） 17 （10 分）设命题 p：xR，使 x2+2ax+2a0；命题 q：不等式对 任意 xR 恒成立若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，求 a 的取值范围 18 （12 分）已知 f（x）3x+1（a0） ，其导函数 f（x）的值域是4，+ ） （1）求 a 的值 （2）若 x2，4，求函数 f（x）的最大值与最小值 19 （12 分）已知 f（x）x3+ax，g（x）2x2+b，它们的图象在 x1 处有相同的切线 （1）求 f（x）与 g（x）的解析式；
7、 （2）若 F（x）f（x）mg（x）在区间，3上存在单调递增，求 m 的取值范围 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）上一点为 A（0，1） ，离心率为，左 右焦点为 F1，F2，过 F2的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N （1）求椭圆 C 的方程； （2）当F1MN 的面积为时，求直线 l 的方程 21 （12 分）已知 f（x）lnxax+a （ I）讨论 f（x）的单调性； （ II）当 f（x）有最大值，且最大值小于 2a2e 时，求 a 的取值范围 22 （12 分）已知动点 M 到直线 x1 的距离比到点 F（2，0）距离小 1 （1）求动点 M 的轨迹方程
8、 E （2）C（0，2） ，是否存在直线 l 交轨迹 E 于 A、B 两点，且使 F 是ABC 的垂心？若存 在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由 第 4 页（共 17 页） 2019-2020 学年江西省景德镇一中高二（上）期末数学试卷（文学年江西省景德镇一中高二（上）期末数学试卷（文 科）科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本题共一、选择题： （本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分 ）分 ） 1 （5 分）抛物线的焦点坐标是（ ） A （0，） B （，0） C （1，0） D （0，1） 【分析】把抛物线的方程化为标准形式，求
9、出 p，根据开口方向求出焦点坐标 【解答】解：抛物线即 x24y，p2，开口向上， 故焦点为 （0，1 ） ， 故选：D 【点评】本题考查抛物线 DE 标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线的方程化为标 准形式，求出 p 值是解题的关键 2 （5 分）椭圆 x2+my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（ ） A B C2 D4 【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程 求出 m 的值 【解答】 解： 椭圆 x2+my21 的焦点在 y 轴上， 长轴长是短轴长的两倍， ， 故选：A 【点评】本题考查椭圆的简单
10、性质，用待定系数法求参数 m 的值 3 （5 分）若双曲线1 的一条渐近线经过点（4，3） ，则此双曲线的离心率为 （ ） A B C D 【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出 a、b 关系，然后求解双曲线的离心率即可 【解答】解：双曲线1 的一条渐近线 yx，经过点（4，3） ， 第 5 页（共 17 页） 可得，可得，解得 e 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 4 （5 分）有关命题的说法错误的是（ ） A命题“若 x23x+20 则 x1”的逆否命题为： “若 x1，则 x23x+20” B “x1”是“x23x+20”的充分不必要条
11、件 C对于命题 p：x0R，x02+x0+10则 p：xR，x2+x+10 D若 pq 为假命题，则 p、q 均为假命题 【分析】A：命题的逆否命题是首先对换命题的条件与结论再分别对新的条件与结论进行 否定B：因为方程 x23x+20 的解是 x1 或 x2，所以 B 是正确的C：存在性命 题的否定是全称命题D：根据真值表可得：若 pq 为假命题时则 p、q 至少有一个是假 命题，故 D 错误 【解答】解：A：命题的逆否命题是首先对换命题的条件与结论再分别对新的条件与结论 进行否定，故 A 正确 B：方程 x23x+20 的解是 x1 或 x2，所以“x1”是“x23x
12、+20”的充分不必 要条件是正确的 C：存在性命题的否定是全称命题，即把存在改为任意把小于改为大于等于，所以 C 正 确 D：根据真值表可得：若 pq 为假命题时则 p、q 至少有一个是假命题，故 D 错误 故选：D 【点评】 解决此类问题的关键是熟练掌握四种命题的逆否关系以及复合命题的真假判断， 正确的区别命题的否定与否命题，特别对于存在性命题与全称命题之间的否定关系 5 （5 分）若曲线 yx4的一条切线 l 与直线 x+4y80 垂直，则 l 的方程是（ ） A4xy30 Bx+4y50 C4xy+30 Dx+4y+30 【分析】欲求 l 的方程，根据已知条件中： “切线 l 与直线 x
13、+4y80 垂直”可得出切线 的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合 导数的几何意义即可求出切点坐标从而问题解决 【解答】解：设与直线 x+4y80 垂直的直线 l 为：4xy+m0， 即曲线 yx4在某一点处的导数为 4， 第 6 页（共 17 页） 而 y4x3，yx4在（1，1）处导数为 4， 将（1，1）代入 4xy+m0，得 m3， 故 l 的方程为 4xy30 故选：A 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线 方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题 6 （5 分） 设 P 是双曲线1 上一点， F1，
14、F2分别是双曲线左， 右两个焦点， 若|PF1| 5，则|PF2|（ ） A1 B9 C1 或 9 D以上答案均不对 【分析】求出双曲线的实半轴的长，然后通过双曲线的定义转化求解即可 【解答】解：双曲线1 上一点，F1，F2分别是双曲线左，右两个焦点， 可得 a2，c4，a+c6，所以 P 在双曲线的左支，|PF1|5，则|PF2|2a+59 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 7 （5 分）若函数 f（x）x33bx+3b 在（0，1）内有极小值，则（ ） A0b1 Bb1 Cb0 Db 【分析】先对函数 f（x）进行求导，然后令
15、导函数等于 0，由题意知在（0，1）内必有根， 从而得到 b 的范围 【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上 令 f'（x）3x23b0，得 x2b，显然 b0， x 又x（0，1） ，010b1 故选：A 【点评】本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题 8 （5 分）过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 2，则|AB|（ ） 第 7 页（共 17 页） A8 B6 C5 D4 【分析】利用中点坐标公式和弦长公式，即可求得|AB| 【解答】解：由抛物线 y24x 可得 p2，
16、 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 线段 AB 的中点 M 的横坐标为 2， x1+x2224， 又直线 AB 过焦点 F， |AB|x1+x2+p4+26 故选：B 【点评】本题考查了抛物线的焦点弦公式和中点坐标公式应用问题，是基础题 9 （5 分）已知，p：|4x3|1；q：x2（2a+1）x+a（a+1）0，p 是q 的充分不必 要条件，求 a 的取值范围（ ） Aa0 Ba0 Ca或 a1 Da或 a1 【分析】分别解出不等式，根据p 是q 的充分不必要条件，即可得出 【解答】解：p：|4x3|1；4x31 或 4x31，解得：x1，或 xp： x1 q：x2（2a+1）x
17、+a（a+1）0，化为： （xa）x（a+1）0，解得 axa+1 q：xa，或 xa+1 p 是q 的充分不必要条件，1a 或 a+1， 解得：a1，或 a 故选：C 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 10 （5 分） 已知点 P 是椭圆上一点， F1， F2是它的左右焦点， 若F1PF260， 则PF1F2的面积为（ ） A B2 C4 D 【分析】先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利 第 8 页（共 17 页） 用余弦定理求出|PF1|PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可 【
18、解答】解：由椭圆方程可知，a2，b，c1，P 点在椭圆上， F1、F2为椭圆的左右焦点， |PF1|+|PF2|2a4，|F1F2|2c2， 在PF1F2中，cosF1PF2， 122|PF1|PF2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4， 又在F1PF2中，|PF1|PF2|sinF1PF2， 4sin60； 故选：A 【点评】本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦 定理转化 11 （5 分）定义域 R 的奇函数 f（x） ，当 x（，0）时 f（x）+xf（x）0 恒成立， 若 a3f（3） ，b（log3） f（log3） ，c2f（2） ，则（ ） Aa
19、cb Bcba Ccab Dabc 【分析】设 g（x）xf（x） ，易知 g（x）是偶函数，由 f（x）+xf'（x）0，得 g'（x） 0，从而可判断 g（x）在（，0）及（0，+）上的单调性，而 a，b，c 可化为 g （x）在（0，+）上的函数值，利用单调性即可作出大小比较 【解答】解：设 g（x）xf（x） ，依题意得 g（x）是偶函数， 当 x（，0）时，f（x）+xf'（x）0，即 g'（x）0 恒成立， 第 9 页（共 17 页） 故 g（x）在 x（，0）上单调递减，则 g（x）在（0，+）上单调递增， a3f（3）g（3） ，b（log3）
20、f（log3）g（log3） ，c2f（2）g（2） g（2） 又 log3123，故 acb 故选：A 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及导数与函数单调性的关系，考查学生灵活运 用知识分析解决问题的能力 12 （5 分）已知函数 f（x）ax33x2+1，若 f（x）存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的 取值范围是（ ） A （2，+） B （，2） C （1，+） D （，1） 【分析】 （i）当 a0 时，f（x）3x2+1，令 f（x）0，解得 x，两个解，舍 去 （ii）当 a0 时，f（x）3ax26x3ax（x） ，令 f（x）0，解得 x0 或对 a 分类讨论：当
21、a0 时，由题意可得关于 a 的不等式组；当 a0 时，推出极值点 不满足题意，推出结果即可 【解答】解： （i）当 a0 时，f（x）3x2+1，令 f（x）0， 解得 x，函数 f（x）有两个零点，舍去 （ii）当 a0 时，f（x）3ax26x3ax（x） ， 令 f（x）0，解得 x0 或 当 a0 时，0，当 x或 x0 时， f（x）0，此时函数 f（x）单调递减； 当x0 时，f（x）0， 此时函数 f（x）单调递增 是函数 f（x）的极小值点，0 是函数 f（x）的极大值点 函数 f（x）ax33x2+1 存在唯一的零点 x0，且 x00， 第 10 页（共 17 页） 则：；
22、即：，可得 a2 当 a0 时，0，当 x或 x0 时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递增； 当 0x时，f（x）0，此时函数 f（x）单调递减 是函数 f（x）的极小值点，0 是函数 f（x）的极大值点 不满足函数 f（x）ax33x2+1 存在唯一的零点 x0，且 x00， 综上可得：实数 a 的取值范围是（，2） 故选：B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类 讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）xe x 的单调
23、递减区间是 （1，+） 【分析】熟记乘积的函数的导数公式即可导数小于 0 的解集且在定义域内为函数的单 调递减区间 【解答】解：f'（x）e x+xex（x）'（1x）ex， 第 11 页（共 17 页） x1，f'（x）0，f（x）单调递增， x1，f'（x）0，f（x）单调递减， 故答案为： （1，+） 【点评】考查乘积的求导公式，及单调递减区间的求法，属于中档题 14 （5 分） 如图是函数 yf （x） 导函数 f （x） 的图象， 下面说法正确的有 （1） （2） （4） （1）3 是 yf（x）的极小值点 （2）yf（x）在 x0 处切线
24、斜率大于 0 （3）1 是函数的极小值点 （4）yf（x）在区间（3，3）上递增 【分析】 （1） ，根据导函数 f（x）的图象，判断 f（x）的单调性，得出3 是 f（x）的 极小值点； （2） ，由导函数 f（x）的图象知 f（0）0，得出曲线 yf（x）在 x0 处切线斜率 大于 0； （3） ，由导函数 f（x）的图象判断 f（x）的单调性，得出 1 不是函数 f（x）的极值点； （4） ，由导函数 f（x）的图象，判断 yf（x）在区间（3，3）上单调递增 【解答】解：对于（1） ，根据函数 yf（x）的导函数 f（x）的图象知， x3 时，f（x）0，f（
25、x）单调递减； 3x0 时，f（x）0，f（x）单调递增； 所以3 是 yf（x）的极小值点， （1）正确； 对于（2） ，由导函数 f（x）的图象知，f（0）0， 所以曲线 yf（x）在 x0 处切线斜率大于 0， （2）正确； 对于（3） ，3x1 时，f（x）0，f（x）单调递增； x1 时，f（x）0，f（x）单调递增； 所以 1 不是函数 f（x）的极值点， （3）错误； 对于 （4） ，由导函数 f（x）的图象知，x（3，3）时，f（x）0， 所以 yf（x）在区间（3，3）上单调递增， （4）正确 综上，正确的命题序号是（1） （2） （4） 第 12 页（共 17 页） 故答案
26、为： （1） （2） （4） 【点评】本题考查了利用导函数的图象研究函数的性质问题，也考查了数形结合思想， 是中档题 15 （5 分）已知双曲线 C：1（a0，b0） ，其左顶点是 A，若过双曲线右焦 点且垂直于 x 轴的直线交双曲线于 B，D，使ABD 为正三角形，则双曲线 C 的离心率 e 是 1+ 【分析】利用直角三角形中含 30角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可 得到 a，c 的关系 【解答】解：由ABD 是正三角形，则在 RtABF2中，有BAF230 |BF2|，又|AF2|a+c 可得，即， 所以 3e2e（）0，e1，解得 e1+ 故答案为：1+ 【点评】 熟练掌握
27、直角三角形中含 30角所对的边的性质及其双曲线的定义、 勾股定理、 离心率的计算公式等是解决本题的关键 16 （5 分）已知 F 为椭圆+1 的右焦点，A（1，）是椭圆内的一点，点 P 为 椭圆上的点，则|PA|+|PF|的最大值为 10 【分析】设椭圆左焦点为 F'，则 F'（2，0） ，由椭圆定义可知|PF|+|PF'|8，所以|PF| 8|PF'|，所以|PA|+|PF|8+|PA|PF'，由图可知当点 A，F'，P 三点共线时|PA|PF'| 第 13 页（共 17 页） 取最大值|AF'|，从而求出|PA|+|PF|的最
28、大值 【解答】解：设椭圆左焦点为 F'，则 F'（2，0） ， |PF|+|PF'|8，|PF|8|PF'|， |PA|+|PF|8+|PA|PF'， 又A（1，）是椭圆内的一点，连接 AF'并延长交椭圆与点 P，如图所示： ， 此时|PA|PF'|取最大值|AF'|，|PA|PF'|的最大值为， |PA|+|PF|的最大值为 8+210， 故答案为：10 【点评】本题主要考查了椭圆的性质，是中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分 （分 （17 题题 10 分，其余各题每题分，其余各题每题 12 分）分） 17 （
29、10 分）设命题 p：xR，使 x2+2ax+2a0；命题 q：不等式对 任意 xR 恒成立若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，求 a 的取值范围 【分析】根据题意，求出 p、q 为真命题时 a 的取值范围，又由复合命题的真假分析可得 p、q 一真一假，分情况讨论，求出 a 的取值范围，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，命题 p：xR，使 x2+2ax+2a0， 即方程 x2+2ax+2a0 有解，必有（2a）24（2a）0， 解可得：a2 或 a1， 对于命题 q，不等式对任意 xR 恒成立， 则有 a0 或，解可得 0a4， 若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，则 p、q 一真
30、一假， 当 p 真 q 假时，则有，解可得 a2 或 a4， 第 14 页（共 17 页） 当 p 假 q 真时，则有，解可得 0a1， 综合可得：a2 或 0a1 或 a4 【点评】本题考查复合命题真假的判断，注意分析 p、q 的真假，属于基础题 18 （12 分）已知 f（x）3x+1（a0） ，其导函数 f（x）的值域是4，+ ） （1）求 a 的值 （2）若 x2，4，求函数 f（x）的最大值与最小值 【分析】 （1）利用二次函数的性质即可求解； （2）利用导数得到函数 f（x）的单调性，从而求出在区间2，4上的最值 【解答】解：f'（x）x2+2ax3， （1）导函数 f（x
31、）的值域是4，+） ， ，解得：a1； （2）f'（x）x2+2ax3（x+1） （x3） ， 令 f'（x）0 得：x1 或 x3，令 f'（x）0 得：1x3， f（x） 在（，1） ， （3，+） 上 递增，在（1，3）上递减，如图所示： f（x）minf（3）8，f（2），f（4）， 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，是基础题 19 （12 分）已知 f（x）x3+ax，g（x）2x2+b，它们的图象在 x1 处有相同的切线 （1）求 f（x）与 g（x）的解析式； （2）若 F（x）f（x）mg（x）在区间，3上存在单调递增，求 m 的取值范围 【
32、分析】 （1）由题意可得， 第 15 页（共 17 页） （2） 由已知可得 F （x） 3x2+14mx0 在上有解， 分离系数可得 4m0 在上有解，令 h（x）3x+，从而转化为 4mh（x）max，可求 【解答】解： （1）f（x）3x2+a，g（x）4x， 由题意可得， 代入可得， 故 a1，b0，f（x）x3+x，g（x）2x2， （2）F（x）x3+x2mx2， 则 F（x）3x2+14mx0 在上有解， 即 4m0 在上有解， 令 h（x）3x+，则 4mh（x）max， 又 h（x）在上先减后增， 因为 h（）， ，解可得 m 【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用及不等式
33、的存在性问题与最值求解的相互 转化思想的应用，属于基础试题 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）上一点为 A（0，1） ，离心率为，左 右焦点为 F1，F2，过 F2的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N （1）求椭圆 C 的方程； （2）当F1MN 的面积为时，求直线 l 的方程 【分析】 （1）由题意可得 b1，运用椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，可得 a，c， 进而得到椭圆方程； （2）设出 MN：xmy+1M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，联立椭圆方程，运用韦达定理和三 角形的面积公式，化简解方程可得 m，进而得到所求直线方程 【解答】解： （1）由题意
34、可得 b1，e，又 a21c2，可得 a，c1， 第 16 页（共 17 页） 则椭圆 C 的方程为+y21； （2）设 MN：xmy+1M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立椭圆方程 x2+2y22，可得（2+m2）y2+2my10， 4m2+4（2+m2）8（1+m2）0，y1+y2，y1y2， 由 F1（1，0） ，F2（1，0） ，可得F1MN 的面积为 S|F1F2|y1y2| 2， 解得 m， 则直线 l 的方程为 xy10 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和 弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题 21 （12 分）已知 f
35、（x）lnxax+a （ I）讨论 f（x）的单调性； （ II）当 f（x）有最大值，且最大值小于 2a2e 时，求 a 的取值范围 【分析】 （）利用导数，对 a 分情况讨论即可求出 f（x）的单调性； （）由（1）可知：a0，f（x），所以 lna+a1e 0，令 h（a）lna+a1e，利用导数得到 h（a）在（0，+） 上单调递增，且 h （e）0，从而求出 a 的取值范围 【解答】解： （）， （x0） ， 当 a0 时，f'（x）0，f（x） 在（0，+） 递增， 当 a0 时，令 f'（x）0 得：0x；令 f'（x）0 得：x， f（x）在（0，）上单
36、调递增，在（，+）上单调递减； （）由（1）可知：a0，f（x）， lna+a1e0， 令 h（a）lna+a1e， h（a）在（0，+） 上单调递增， 又 h（e）0， 第 17 页（共 17 页） ae 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题 22 （12 分）已知动点 M 到直线 x1 的距离比到点 F（2，0）距离小 1 （1）求动点 M 的轨迹方程 E （2）C（0，2） ，是否存在直线 l 交轨迹 E 于 A、B 两点，且使 F 是ABC 的垂心？若存 在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由 【分析】 （1）动点 M 到直线 x1 的距离比到点 F（2
37、，0）距离小 1可得动点 M 到直 线 x2 的距离与到点 F（2，0）距离相等利用抛物线定义可得：动点 M 的轨迹方为 抛物线 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，kFC1，可得 kAB1设 AB 的方程为：xy+t， 联立化为：y28y8t0，根据 kAFkBC1，把根与系数的关系代入即可得出 【解答】解： （1）动点 M 到直线 x1 的距离比到点 F（2，0）距离小 1 动点 M 到直线 x2 的距离与到点 F（2，0）距离相等 动点 M 的轨迹方为抛物线，方程为 E：y28x （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，kFC1，kAB1 设 AB 的方程为：xy+t，联立，化为：y28y8t0， y1+y28t，y1y28t kAFkBC1，1， y1y22y1x1x2+2x2， +y1y22（y1+y2）+2t， 代入化为：t210t160，解得 t5 直线 l 的方程为：xy（5）0 【点评】本题考查了抛物线的定义、一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直的直线 斜率之间的关系、三角形的垂心，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
