1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 12 小题，共小题，共 60 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 满足 z（l+i）2i，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分）下列关于命题的说法错误的是（ ） A命题“若 x23x+20，则 x2”的逆否命题为“若 x2，则 x23x+20” B “a2”是“函数 f（x）ax在区间（，+）上为增函数”的充分不必要条件
2、 C命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是： “xR 均有 x2+x+10” D “若 f（x）0，则 x为 yf（x）的极值点”为真命题 3 （5 分）双曲线1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 4 （5 分）吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命据统计一小时内吸烟 5 支诱发脑血管病的 概率为 0.02，一小时内吸烟 10 支诱发脑血管病的概率为 0.16已知某公司职员在某一小 时内吸烟 5 支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟 5 支不诱发脑血管病的概 率为（ ） A B C D不确定 5 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为
3、，且椭圆 C 的长轴长与焦距 之和为 6，则椭圆 C 的标准方程为（ ） A1 B C1 D 6 （5 分）下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ） A因为函数 ysinx（xR）的值域为1，1，2x1R，所以 ysin（2x1） （xR） 的值域也为1，1 B昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿 第 2 页（共 21 页） C在平面中，对于三条不同的直线 a，b，c，若 ab，bc 则 ac，将此结论放到空 间中也是如此 D如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他 的身高， 凶手在墙上写字的位置与他的视线平行， 福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地
4、面六尺多， 于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 7 （5 分）函数 f（x）x3x2+mx+1 不是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是（ ） A （， B，+） C （，） D （，+） 8 （5 分）某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进 行测量（单位：厘米） ，左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与 臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.16x30.75，以下结论中不正确的为 （ ） A15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 C可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.
5、65 厘米 D身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米 9 （5 分）设 xR，则“lnx0”是“|x+1|2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10 （5 分）已知 f（x）是定义在（0，+）上的函数，f（x）是 f（x）的导函数，且总有 f （x）xf（x） ，则不等式 f（x）xf（1）的解集为（ ） A （，0） B （0，1） C （0，+） D （1，+） 第 3 页（共 21 页） 11 （5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，若在直线 x2a 上存在点 P 使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值
6、范围是（ ） A B C D 12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且对任意的不相等的实数 x1， x20，+）有0 成立，若关于 x 的不等式 f（2mxlnx3）2f（3） f（2mx+lnx+3）在 x1，3上恒成立，则实数 m 的取值范围（ ） A，1+ B，2+ C，2+ D，1+ 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组，则 z2x3y 的最小值为 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yex（e 为自然对数的底数）上，且该 曲线在点 A 处的切线
7、经过原点，则点 A 的坐标是 15 （5 分）斜率为的直线过双曲线的左焦点 F1与双曲线的 右支交于点 P，且 PF2与 x 轴垂直（F2为右焦点） ，则此双曲线的离心率为 16 （5 分）已知函数 f（x）的导函数 f（x）是二次函数，且 yf（x）的图象关于 y 轴对称， f（3）0，若 f（x）的极大值与极小值之和为 4，则 f（0） 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 60 分）分） 17（12 分） 已知命题 p： 关于 x 的方程 x+a 在 （1， +） 上有实根； 命题 q： 方程 1 表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆 （1）若 p 是真命题，求 a 的取值范
8、围； （2）若 pq 是真命题，求 a 的取值范围 18 （12 分）2019 年初，某市为了实现教育资源公平，办人民满意的教育，准备在今年 8 月份的小升初录取中在某重点中学实行分数和摇号相结合的录取办法该市教育管理部 门为了了解市民对该招生办法的赞同情况，随机采访了 440 名市民，将他们的意见和是 第 4 页（共 21 页） 否近三年家里有小升初学生的情况进行了统计，得到如下的 22 列联表 赞同录取办法人数 不赞同录取办法人数 合计 近三年家里没有小升初学生 180 40 220 近三年家里有小升初学生 140 80 220 合计 320 120 440 （1）根据上面的列联表判断，能
9、否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为是否赞同 小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关； （2） 从上述调查的不赞同小升初录取办法人员中根据近三年家里是否有小升初学生按分 层抽样抽出 6 人，再从这 6 人中随机抽出 3 人进行电话回访，求 3 人中恰有 1 人近三年 家里没有小升初学生的概率 附：K2，其中 na+b+c+d P（k2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）已知函数 f（x）x2+2alnx （）若函数 f（x）的图象在（2，
10、f（2） ）处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； （）若函数 g（x）+f（x）在1，2上是减函数，求实数 a 的取值范围 20 （12 分）已知点 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点，若点 P（x0，4）在抛物线 C 上，且 （1）求抛物线 C 的方程； （2）动直线 l：xmy+1（mR）与抛物线 C 相交于 A，B 两点，问：在 x 轴上是否存在 定点其中 D（t，0） （其中 t0） ，使得 kAD+kBD0？（kAD，kBD分别为直线 AD，BD 的 斜率）若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx （）求 f（x）的最小值
11、； （）若关于 x 的不等式 ex 1+1f（x） 在（1，+）上恒成立，求整数 k 的 最大值 选做题（共选做题（共 10 分）分） 第 5 页（共 21 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） 以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系 （）写出 C1的极坐标方程； （）设曲线 C2：+y21 经伸缩变换后得到曲线 C3，射线 （0） 分别与 C1和 C3交于 A，B 两点，求|AB| 23已知函数 f（x）|x3| （）求不等式 f（x）3|x2|的解集； （）若 f（x）2m|x4|的解集非空，求 m 的取值范围 第
12、 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省南昌二中高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 12 小题，共小题，共 60 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 满足 z（l+i）2i，则复数 z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】解：复数 z 满足（1+i）z2i，（1i） （1+i）z（1i） （2i） ，2z1 3i，zi 则复数 z 在复平面
13、内对应的点在第四象限 故选：D 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 2 （5 分）下列关于命题的说法错误的是（ ） A命题“若 x23x+20，则 x2”的逆否命题为“若 x2，则 x23x+20” B “a2”是“函数 f（x）ax在区间（，+）上为增函数”的充分不必要条件 C命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是： “xR 均有 x2+x+10” D “若 f（x）0，则 x为 yf（x）的极值点”为真命题 【分析】A利用四种命题的逆否关系判断； B当 a2 时可得函数 f（x）ax在区间（，+）上为增函数，具有充分性；函数 f（x）ax
14、在区间（，+）上为增函数，可以得出 a1，无法得出 a2 不具有必 要性 C特称命题的否定判断； D根据极值的意义判断 【解答】解：A 选项：命题“若 x23x+20，则 x2”的逆否命题为“若 x2，则 x2 3x+20” ，故 A 选项正确； B 选项：当 a2 时可得函数 f（x）ax在区间（，+）上为增函数，具有充分性； 函数 f（x）ax在区间（，+）上为增函数，可以得出 a1，无法得出 a2 不具 第 7 页（共 21 页） 有必要性故 B 选项正确； C 选项：命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是： “xR 均有 x2+x+10” ，故 C 选项 正确； D 选项：当 yx
15、3时，f（0）0，但 x0 不是其极值点故 D 选项错误； 故选：D 【点评】本题考查了四种命题的逆否关系，特称命题的否定，极值的定义等，属于基础 题 3 （5 分）双曲线1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） Ayx Byx Cyx Dyx 【分析】根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲线 a，b，c 的关系进行求 解即可 【解答】解：双曲线的离心率为 e， 则， 即双曲线的渐近线方程为 yxx， 故选：A 【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方 程是解决本题的关键 4 （5 分）吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命据统计一小时内吸
16、烟 5 支诱发脑血管病的 概率为 0.02，一小时内吸烟 10 支诱发脑血管病的概率为 0.16已知某公司职员在某一小 时内吸烟 5 支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟 5 支不诱发脑血管病的概 率为（ ） A B C D不确定 【分析】记公司职员在某一小时内吸烟 5 支未诱发脑血管病的事件为 A，记一小时内吸 烟 10 支不诱发脑血管病的概率为 0.16 的事件为 B， 职员在某一小时内吸烟 5 支未诱发脑 血管病， 则他在这一小时内还能继吸烟 5 支不诱发脑血管病的概率为 P （B|A） 【解答】解：记事件 A：公司职员在某一小时内吸烟 5 支未诱发脑血管病， 第 8 页（共 2
17、1 页） 记事件 B：某公司职员一小时内吸烟 10 支不诱发脑血管病， 则事件 B|A： 某公司职员在某一小时内吸烟 5 支未诱发脑血管病， 则他在这一小时内还能 继吸烟 5 支不诱发脑血管病， 则 BA，ABABB， P（A）10.020.98，P（B）10.160.84， P（B|A） 故选：A 【点评】本题考察条件概率，关键在于弄清楚事件与事件之间的关系，属于中等题 5 （5 分）已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且椭圆 C 的长轴长与焦距 之和为 6，则椭圆 C 的标准方程为（ ） A1 B C1 D 【分析】利用已知条件求出 a，b，即可求解椭圆方程 【解答】解：依题意椭圆 C：
18、1（ab0）的离心率为得，椭圆 C 的 长轴长与焦距之和为 6，2a+2c6， 解得 a2，c1，则 b， 所以椭圆 C 的标准方程为： 故选：D 【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，是基本知识的考查 6 （5 分）下面四个推理，不属于演绎推理的是（ ） A因为函数 ysinx（xR）的值域为1，1，2x1R，所以 ysin（2x1） （xR） 的值域也为1，1 B昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿 C在平面中，对于三条不同的直线 a，b，c，若 ab，bc 则 ac，将此结论放到空 第 9 页（共 21 页） 间中也是如此 D如果一个人在墙上写字的位置与他的视
19、线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他 的身高， 凶手在墙上写字的位置与他的视线平行， 福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多， 于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论 不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不有助于发现 新结论 【解答】解：C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D 中的推理都是演绎推理 故选：C 【点评】本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种 推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系 7 （5 分）函数 f（x）x3x2+mx+1
20、不是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是（ ） A （， B，+） C （，） D （，+） 【分析】由题意可得 f（x）3x22x+m0 有 2 个不同实数解，结合二次函数的性质 即可求解 【解答】解：f（x）x3x2+mx+1 不是 R 上的单调函数， 则 f（x）3x22x+m0 有 2 不等的实数解， 故412m0， 解可得 m 故选：C 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的条件的应用，属于基础试题 8 （5 分）某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进 行测量（单位：厘米） ，左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为
21、身高与 臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.16x30.75，以下结论中不正确的为 （ ） 第 10 页（共 21 页） A15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 C可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米 D身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米 【分析】就会图形对各个选项分别判断即可 【解答】解：对于 A，身高极差大约是 25，臂展极差大于等于 30，故 A 正确； 对于 B，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些， 展臂就会长一些，故 B 正确； 对于 C，身高为 190 厘米，
22、代入回归方程可得展臂等于 189.65 厘米，但不是准确值，故 C 正确； 对于 D，身高相差 10 厘米的两人展臂的估计值相差 11.6 厘米，但不是准确值， 回归方程上的点并不都是准确的样本点，故 D 错误； 故选：D 【点评】本题考查了回归方程问题，考查对应思想，是一道常规题 9 （5 分）设 xR，则“lnx0”是“|x+1|2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】解出关于 x 的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案 【解答】解：lnx00x1， |x+1|23x1， 0x13x1 3x1 推不出 0x1， 0x1 是3x1
23、 的充分不必要条件 第 11 页（共 21 页） 即 lnx0 是|x+1|2 的充分不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题 10 （5 分）已知 f（x）是定义在（0，+）上的函数，f（x）是 f（x）的导函数，且总有 f （x）xf（x） ，则不等式 f（x）xf（1）的解集为（ ） A （，0） B （0，1） C （0，+） D （1，+） 【分析】根据题意：x0 时，f（x）xf（x） ，列出不等式0，从而知 在 x0 上单调递减； 【解答】解：由题意：x0 时，f（x）xf（x） xf（x）f（x）00 所以知： 在 x0 上单调递减；
24、 f（x）xf（1） 故 x 的取值范围为：0x1 故选：B 【点评】本题主要考查了导数运算公式，构造新函数判断函数单调性以及函数图形特征， 属中等题 11 （5 分）已知椭圆的左、右焦点分别为 F1，F2，若在直线 x2a 上存在点 P 使线段 PF1的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A B C D 【分析】 设直线x2a与x轴的交点为Q， 连结PF2， 根据平面几何的知识可得|PF2|F1F2| 2c 且|PF2|QF2|，由此建立关于 a、c 的不等关系，化简整理得到关于离心率 e 的一元 二次不等式，解之即可得到椭圆离心率 e 的取值范围 【解答】解：设直线 x2a
25、与 x 轴的交点为 Q，连结 PF2， PF1的中垂线过点 F2， |F1F2|PF2|，可得|PF2|2c， |QF2|2ac，且|PF2|QF2|， 第 12 页（共 21 页） 由题意知 PF2F1F2，2cPF22ac，2a3c， 故选：B 【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆离心率的范围着重考查了椭圆的标准方程 与简单几何性质、线段的垂直平分线性质和不等式的解法等知识，属于中档题 12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且对任意的不相等的实数 x1， x20，+）有0 成立，若关于 x 的不等式 f（2mxlnx3）2f（3） f（2mx+lnx+3
26、）在 x1，3上恒成立，则实数 m 的取值范围（ ） A，1+ B，2+ C，2+ D，1+ 【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得 02mxlnx6 对 x1，3恒成立， 2m且 2m对 x1，3恒成立求得相应的最大值和最小值，从而求得 m 的范围 【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）的图象关于 y 轴对称， 函数 f（x）为偶函数， 函数数 f（x）在0，+）上递减， f（x）在（，0）上单调递增， 若不等式 f（2mxlnx3）2f（3）f（2mx+lnx+3）对 x1，3恒成立， 即 f（2mxlnx3）f（3）对 x1，3恒成立 32mxlnx33 对 x1，3恒成立，
27、即 02mxlnx6 对 x1，3恒成立，即 2m且 2m对 x1，3恒成立 令 g（x），则 g（x），在1，e）上递增， （e，3上递减， 第 13 页（共 21 页） g（x）max 令 h（x），h（x）0，在1，3上递减， h（x）min 综上所述，m， 故选：D 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了 转化的数学思想，属于中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知实数 x，y 满足不等式组，则 z2x3y 的最小值为 6 【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出
28、 z 的最小值 【解答】解：画出实数 x，y 满足不等式组表示的平面区域，如图所示； 平移目标函数 z2x3y 知， 当目标函数过点 A 时，z 取得最小值， 由，解得 A（0，2） ， z 的最小值为 0236 故答案为：6 第 14 页（共 21 页） 【点评】本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查 14 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 yex（e 为自然对数的底数）上，且该 曲线在点 A 处的切线经过原点，则点 A 的坐标是 （1，e） 【分析】设 A（m，em） ，利用导数求得曲线在 A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解 m 即可 【解答】解：设 A（
29、m，em） ，由 yex，得 yex， y|xmem，则该曲线在点 A 处的切线方程为 yemem（xm） ， 该曲线在点 A 处的切线经过原点，0emem（0m） ， 解得 m1 A 点坐标为（1，e） 故答案为： （1，e） 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不 同，是中档题 15 （5 分）斜率为的直线过双曲线的左焦点 F1与双曲线的 右支交于点 P，且 PF2与 x 轴垂直（F2为右焦点） ，则此双曲线的离心率为 【分析】利用已知条件，结合双曲线的性质列出方程转化求解双曲线的离心率即可 【解答】解：斜率为的直线过双曲线的左焦点 F1， 可得直线方
30、程为：y（x+c） ， 第 15 页（共 21 页） 直线与双曲线的右支交于点 P，且 PF2与 x 轴垂直（F2为右焦点） ， 可得 P 的纵坐标为：， 所以：， 可得，e1， 可得 e 则此双曲线的离心率 故答案为： 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转 化思想以及计算能力，是中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）的导函数 f（x）是二次函数，且 yf（x）的图象关于 y 轴对称， f（3）0，若 f（x）的极大值与极小值之和为 4，则 f（0） 2 【分析】设出函数的解析式 f（x），求出函数的导数，利用函数的极值 关系求解 b，然后推出结果
31、【解答】解：函数 f（x）的导函数 f（x）是二次函数，且 yf（x）的图象关于 y 轴对称， f（3）0，则 f（3）0， 可设导函数为：f（x）ax29a，函数的解析式设为：f（x）， 若 f（x）的极大值与极小值之和为 4，则 f（3）+f（3）4， 可得：9a27a9a+27a+2b4，解得 b2 则 f（0）b2 故答案为：2 【点评】本题考查函数的极值以及函数的导数的应用，函数的奇偶性的应用，考查分析 问题解决问题的能力 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共 60 分）分） 17（12 分） 已知命题 p： 关于 x 的方程 x+a 在 （1， +） 上有实根； 命题
32、 q： 方程 1 表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆 （1）若 p 是真命题，求 a 的取值范围； （2）若 pq 是真命题，求 a 的取值范围 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （1）令 f（x）x+，求出 f（x）的值域，即可得到 a 的取值范围； （2）命题 pq 是真命题，则 p，q 均为真命题，求出 q 为真命题时 a 的范围，结合（1） 即可得到结论 【解答】解： （1）令 f（x）x+， 则 f（x）， 当 x（1，2）时，f（x）0，f（x）在（1，2上单调递减， 当 x（2，+）时，f（x）0，f（x）在2，+）上单调递增， f（x）的最小值 f（x）minf（2）3，
33、 故若 p 为真命题，则 a3，+） ； （2）pq 是真命题，则 p，q 均为真命题， q 为真命题，即方程1 表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆， 则 0a4， 由（1）知，p 为真命题时 a3，+） ， 所以 pq 是真命题，则 a3，4） 【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了函数的值域，椭圆的方程，主要考查逻辑 推理能力和计算能力，属于中档题 18 （12 分）2019 年初，某市为了实现教育资源公平，办人民满意的教育，准备在今年 8 月份的小升初录取中在某重点中学实行分数和摇号相结合的录取办法该市教育管理部 门为了了解市民对该招生办法的赞同情况，随机采访了 440 名市民，将他们
34、的意见和是 否近三年家里有小升初学生的情况进行了统计，得到如下的 22 列联表 赞同录取办法人数 不赞同录取办法人数 合计 近三年家里没有小升初学生 180 40 220 近三年家里有小升初学生 140 80 220 合计 320 120 440 （1）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为是否赞同 小升初录取办法与近三年是否家里有小升初学生有关； （2） 从上述调查的不赞同小升初录取办法人员中根据近三年家里是否有小升初学生按分 第 17 页（共 21 页） 层抽样抽出 6 人，再从这 6 人中随机抽出 3 人进行电话回访，求 3 人中恰有 1 人近三年 家里
35、没有小升初学生的概率 附：K2，其中 na+b+c+d P（k2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （1）直接利用 22 联图和独立性检测的关系式的应用求出相关 （2）利用分层抽样和排列数及组合数的应用求出结果 【解答】解： （1）假设是否赞同小升初录取办法与近三年是否有家里小升初学生无关， 根据 22 联图， 因为 18.33310.828 所以能在犯错误概率不超过 0.001 的前提下认为是否赞同小升初录取办法与近三年是否 家里有小升初学生有关 （2）设从近三年
36、家里没有小升初学生的人员中抽出 x 人，从近三年家里有小升初学生的 人员中抽出 y 人， 由分层抽样的定义可知，解得 x2，y4 设事件 M 为 3 人中恰有 1 人近三年家里没有小升初学生，在抽出的 6 人中，近三年家里 没有小升初学生的有 2 人， 近三年家里有小升初学生的有 4 人， 则从这 6 人中随机抽出 3 人有种不同的抽法，从这 6 人中随机抽出的 3 人中恰有 1 人近三年家里没有小升初学 生的情况共有种 所以 3 人中恰有 1 人近三年家里没有小升初学生的概率为： 【点评】本题考查的知识要点：独立性检测关系式的应用，22 联图的应用，分层抽样 的应用，排列数和组合数的应用，主
37、要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 19 （12 分）已知函数 f（x）x2+2alnx （）若函数 f（x）的图象在（2，f（2） ）处的切线斜率为 1，求实数 a 的值； 第 18 页（共 21 页） （）若函数 g（x）+f（x）在1，2上是减函数，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）对函数 f（x）求导，然后将 x2 代入导数，令导数值为 1，即可求出实数 a 的值； （2）先求出函数 g（x）的解析式，对函数 g（x）求出，由函数 g（x）的单调性得到不 等式 g（x）0 在区间1，2上恒成立，通过参半量分离得到，求出函数 h （x）在区间1，2上的最小值，
38、即可求出实数 a 的取值范围 【解答】解： （1），由已知 f（2）a+41，解得 a3； （2）由，可得， 由于函数 g（x）在区间1，2上是减函数，则 g（x）0 在区间1，2上恒成立，则 在区间1，2上恒成立 即在区间1，2上恒成立 令，当 1x2 时， 所以，函数 h（x）在区间1，2上为减函数，则，所以， 【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查问题的转化能 力以及推理能力，属于中等题 20 （12 分）已知点 F 是抛物线 C：y22px（p0）的焦点，若点 P（x0，4）在抛物线 C 上，且 （1）求抛物线 C 的方程； （2）动直线 l：xmy+1（mR
39、）与抛物线 C 相交于 A，B 两点，问：在 x 轴上是否存在 定点其中 D（t，0） （其中 t0） ，使得 kAD+kBD0？（kAD，kBD分别为直线 AD，BD 的 斜率）若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）先求出抛物线的准线方程，根据抛物线中到焦点的距离转化到准线的距离 即可； （2）假设存在，设 A，B 坐标，直线与抛物线联立得关于 y 的二次方程，两根之和，两 根之积写出，利用斜率之和为 0 即可求出 t 的值 【解答】解： （1）由题意得：抛物线的准线方程：x，点 P（x0，4）在抛物线 C 第 19 页（共 21 页） 上，422px0，所以 x
40、0， 所以|PF|x0（）+，所以由题意：+p （p0） ，解得：p2， 所以抛物线 C 的方程：y24x； （2）由题意得 m0，假设存在 D（t，0）使得 kAD+kBD0，设 A（x，y） ，B（x，y） ， 整理得： y24mx40，y+y4m，yy4，kAD， kBD， 由 kAD+kBD0 得：+02myy+ （1t） （y+y）0 2m（4）+（1t）4m0m（1t）0，m0t1 时，使得 kAD+kBD0， 即 D 点的坐标： （1，0） 【点评】考查抛物线的定义及根与系数的关系，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）lnx （）求 f（x）的最小值； （）若关于 x
41、 的不等式 ex 1+1f（x） 在（1，+）上恒成立，求整数 k 的 最大值 【分析】 （1）利用导数得到函数 f（x）的单调性，从而求出 f（x）的最小值； （2）先把恒成立问题转化为最值问题，在利用导数求函数 h（x）的最小值即可 【解答】解： （1）由（1）知 f（x）ex 1， 当 x1 时，f（x）0；当 0x1 时，f（x）0 故当 x1 时，f（x）取得最小值，最小值为 f（1）1； （2）ex 1+1f（x） ，即 1+ln x， 即k 在（1，+）上恒成立， 记 h（x），则 h（x）在（1，+）上的最小值大于 k h（x）， 记 g（x）x2ln x，x（0，+） ， 第
42、 20 页（共 21 页） ， 则当 x（1，+）时，g（x）0， 所以 g（x）在（1，+）上单调递增 又 g（3）1ln 30，g（4）2ln 40， 所以 g（x）0 存在唯一的实根 a，且满足 a（3，4） ，g（a）a2ln a0，即 ln a a2， 当 xa 时，g（x）0，h（x）0， 当 1xa 时，g（x）0，h（x）0， 所以 h（x）minh（a）a（3，4） ， a3 故整数 k 的最大值是 3 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题 选做题（共选做题（共 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（ 为
43、参数） 以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系 （）写出 C1的极坐标方程； （）设曲线 C2：+y21 经伸缩变换后得到曲线 C3，射线 （0） 分别与 C1和 C3交于 A，B 两点，求|AB| 【分析】 （）根据题意，消去参数，即可解得方程 C1的极坐标方程； （）求得 C3的方程，即可由 OA，OB 的长解得 AB 的长 【解答】解： （）将（ 为参数） 消去参数 ，化为普通方程为（x2） 2+y24， 即 C1：x2+y24x0， （2 分） 将代入 C1：x2+y24x0，得 24cos， （4 分） 所以 C1的极坐标方程为 4cos （5 分） （）
44、将代入 C2得 x2+y 21， 第 21 页（共 21 页） 所以 C3的方程为 x2+y21 （7 分） C3的极坐标方程为 1，所以|OB1| 又|OA|4cos2， 所以|AB|OA|OB|1 （10 分） 【点评】本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想等 23已知函数 f（x）|x3| （）求不等式 f（x）3|x2|的解集； （）若 f（x）2m|x4|的解集非空，求 m 的取值范围 【分析】 （）去掉绝对值符号，转化求解不等式的解集即可 （）题目转化为|x4|+|x3|2m 有解，利用绝对值的几何意义转化求解 m 的范围即 可 【解答】解： （）f（x）3|x2|，即|x3|+|x2|3， 当 x2 时，得2x+53，则 x1， 当 2x3 时，无解， 当 x3 时，得 2x53，则 x4， 综上 x（，14，+） ； （）f（x）2m|x4|的解集非空，即|x4|+|x3|2m 有解， 等价于 2m（|x4|+|x3|）min， 而|x4|+|x3|（4x）+（x3）|1， 2m1， 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，转化思想的应用，绝对值的几何意义，是中档 题
