1、2018-2019 学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分） “a”是“ln（2a1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 （5 分）双曲线的渐近线方程为（ ） Ay2x By Cy Dy 3 （5 分）在等差数列an中，a35 则an的前 5 项和 S5（ ） A7 B15 C25 D20 4 （5 分）ABC 中，若
2、，则ABC 中最长的边是（ ） Aa Bb Cc Db 或 c 5 （5 分）下列命题中正确的是（ ） A若 ab，则 acbc B若 ab，cd，则 acbd C若 ab0，ab，则 D若 ab，cd，则 6 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线上一点 M（2，m）满足|MF| 6，则抛物线 C 的方程为（ ） Ay22x By24x Cy28x Dy216x 7 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，）的部分图象如图所示，将 函数 f（x）的图象（ ）可得的图象 第 2 页（共 19 页） A向右平移个长度单位 B向左平
3、移个长度单位 C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 8 （5 分）椭圆上的点到直线的最大距离是（ ） A3 B C D 9 （5 分）两个公比均不为 1 的等比数列an，bn，其分前 n 项的乘积分别为 An，Bn，若 ，则（ ） A512 B32 C8 D2 10 （5 分）已知 A，B，C 在圆 x2+y21 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2，0） ， 则|的最大值为（ ） A6 B7 C8 D9 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为线段 BD 的中点，设点 P 在线段 CC1上，直线 OP 与平面 A1BD 所成
4、的角为 ，则 sin 的取值范围是（ ） A，1 B，1 C， D，1 12 （5 分）已知圆 O1： （x2）2+y216 和圆 O2：x2+y2r2（0r2） ，动圆 M 与圆 O1、 圆 O2都相切，动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为 e1、e2（e1 e2） ，则 e1+2e2的最小值是（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 第 3 页（共 19 页） 13 （5 分）在ABC 中，已知 a4，b6，C，则边 c 的长是 14 （5 分）已知正数 x，y
5、 满足 x+y1，则+的最小值是 15 （5 分）若实数 x，y 满足，则 z的最小值为 16 （5 分）若方程2x+m 有实数解，则实数 m 的取值范围是 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 （10 分）直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，在极坐标 系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中， 圆 C 的方程为 6cos （1）求圆
6、 C 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，求|AB|的值 18 （12 分）已知命题 p： （a2） （6a）0；命题 q：函数 f（x）（4a）x在 R 上是 增函数；若命题“p 或 q”为真，命题“p 且 q”为假，求实数 a 的取值范围 19（12 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边为 a， b， c， 且满足 （）求 C； （）若 cosA，求 cos（2AC）的值 20 （12 分）已知数列an满足：a13，且对任意的 nN+，都有 1，an，an+1成等差数列 （1）证明数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式
7、； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 21 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PAPBAB 2，点 N 为 AB 的中点 （1）证明：ABPC （2）若点 M 为线段 PD 的中点，平面 PAB平面 ABCD，求二面角 MNCP 的余弦 值 第 4 页（共 19 页） 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2且离心率为 ，Q、A、B 为椭圆 C 上三个点，QF1F2的周长为 4（+1） ，线段 AB 的垂直平分 线经过点 P（1，0） （1）求椭圆 C 的方程； （2）求线段 AB 长度的最大值 第 5 页（共
8、 19 页） 2018-2019 学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省九江一中高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分） “a”是“ln（2a1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：由
9、“ln（2a1）0”得 2a11 得 a1， 则“a”是“ln（2a1）0”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关 键 2 （5 分）双曲线的渐近线方程为（ ） Ay2x By Cy Dy 【分析】由焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程 yx，即可得到所求方程 【解答】解：双曲线的 a，b， 可得渐近线方程为 yx， 即 yx 故选：C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查运算能力，属 于基础题 3 （5 分）在等差数列an中，a35 则an的前 5 项和 S5（ ） A7 B15 C25 D
10、20 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解 第 6 页（共 19 页） 【解答】解：在等差数列an中，a35， S5 5a3 25 故选：C 【点评】本题考查等差数列的前 5 项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通 项公式的合理运用 4 （5 分）ABC 中，若，则ABC 中最长的边是（ ） Aa Bb Cc Db 或 c 【分析】根据正弦定理求解即可 【解答】解：由， 可得， BC45， 那么 A90 大边对应大角， 可得：a 最大； 故选：A 【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题 5 （5 分）下列命题中正确的是（
11、 ） A若 ab，则 acbc B若 ab，cd，则 acbd C若 ab0，ab，则 D若 ab，cd，则 【分析】利用不等式的性质即可判断出结论 【解答】解：Ac0 时不成立； Bab，cd，则 a+cb+d，因此不正确； Cab0，ab，则，正确 D取 a2，b3，c3，d3，满足条件 ab，cd，但是不成立 故选：C 第 7 页（共 19 页） 【点评】本题主要不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （5 分）已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，抛物线上一点 M（2，m）满足|MF| 6，则抛物线 C 的方程为（ ） Ay22x By24x Cy
12、28x Dy216x 【分析】求得抛物线的准线方程，由抛物线的定义推导出 2+6，解得 p，由此能求出 抛物线的方程 【解答】解：抛物线 C：y22px（p0） ， 在此抛物线上一点 M（2，m）到焦点的距离是 6， 抛物线准线方程是 x， 由抛物线的定义可得 2+6， 解得 p8， 抛物线的方程是 y216x 故选：D 【点评】本题考查抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的合 理运用 7 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，）的部分图象如图所示，将 函数 f（x）的图象（ ）可得的图象 A向右平移个长度单位 B向左平移个长度单位
13、;C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 第 8 页（共 19 页） 【分析】根据三角函数的图象确定函数的解析式，进行求解即可 【解答】解：由图象得 A1，即 T， 由 T，则 2， 即 f（x）sin（2x+） ， f（）sin（2+）1， sin（+）1， 即+2k， 得 +2k+2k， ， 当 k0 时， 则 f（x）sin（2x+） ， sin（2x+sin2（x）+， 即将函数 f（x）的图象向右平移个长度单位可得的图象， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象的变换，根据条件求出 函数的解析式是解决本题的关键 8 （5 分）椭圆上的点到直
14、线的最大距离是（ ） A3 B C D 【分析】设椭圆上的点 P（4cos，2sin） ，由点到直线的距离公 式，计算可得答案 【解答】解：设椭圆上的点 P（4cos，2sin） 则点 P 到直线的距离 第 9 页（共 19 页） d； 故选：D 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解 9 （5 分）两个公比均不为 1 的等比数列an，bn，其分前 n 项的乘积分别为 An，Bn，若 ，则（ ） A512 B32 C8 D2 【分析】由等差数列的性质即可求出 【解答】解：因为 A9a1a2a3a9a59，B9b1b2b3b9b59， 所以则（）9512， 故选：A 【
15、点评】本题考查了等差数列的性质和灵活应用，是常考的题型，注意总结 10 （5 分）已知 A，B，C 在圆 x2+y21 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2，0） ， 则|的最大值为（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】 由题意， AC 为直径， 所以|2+| B 为 （1， 0） 时， |2+| 7，即可得出结论 【解答】解：由题意，AC 为直径，所以|2+| 所以 B 为（1，0）时，|2+|7 所以|的最大值为 7 另解：设 B（cos，sin） ， |2+|2 （2， 0） + （cos2， sin） | （cos6， sin） | ， 当 cos1 时，B 为（1，0） ，
16、取得最大值 7 故选：B 【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础 第 10 页（共 19 页） 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为线段 BD 的中点，设点 P 在线段 CC1上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 ，则 sin 的取值范围是（ ） A，1 B，1 C， D，1 【分析】 由题意可得： 直线 OP 于平面 A1BD 所成的角 的取值范围是 再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出 【解答】解：由题意可得：直线 OP 于平面 A1BD 所成的角 的取值范围是 不妨取 AB2 在 RtAOA1中， sin
17、 C1OA1 sin （ 2 AOA1） sin2 AOA1 2sin AOA1cos AOA1 ， 1 sin 的取值范围是 故选：B 【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法，考查了推 理能力，属于中档题 12 （5 分）已知圆 O1： （x2）2+y216 和圆 O2：x2+y2r2（0r2） ，动圆 M 与圆 O1、 第 11 页（共 19 页） 圆 O2都相切，动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为 e1、e2（e1 e2） ，则 e1+2e2的最小值是（ ） A B C D 【分析】分别求出 e1、e2（e1e2） ，利用基本不等式求出
18、e1+2e2的最小值 【解答】 解： 当动圆 M 与圆 O1、 O2都相内切时， |MO2|+|MO1|4r2a， e1 当动圆 M 与圆 O1相内切而与 O2相外切时，|MO1|+|MO2|4+r2a，e2 e1+2e2+， 令 12rt （10t12） ， e1+2e222 故选：A 【点评】本题考查了两圆相切的性质、椭圆的离心率，属于难题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）在ABC 中，已知 a4，b6，C，则边 c 的长是 2 【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解 【解答】解：
19、a4，b6，C， 由余弦定理可得：c2a2+b22abcosC42+62246cos2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 14 （5 分）已知正数 x，y 满足 x+y1，则+的最小值是 9 【分析】有题意可得+（+） （x+y）1+4+，再利用基本不等式即可求 出 【解答】解：正数 x，y 满足 x+y1， 则+（+） （x+y）1+4+5+29，当且仅当 x，y时 取等号， 故则+的最小值是 9， 故答案为：9 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题考查了基本不等式的应用，关键是掌握等号成立的条件，属于基础题 15 （5 分）若实数 x，y 满
20、足，则 z的最小值为 3 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可 【解答】解：实数 x，y 满足，的可行域如图： z1+，几何意义是可行域内的点与 P（2，2）连线的斜率，由图形可知 PB 的斜率最小， 由，解得 B（1，2） ， z的最小值为：3 故答案为：3 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题 的关键 16 （5 分）若方程2x+m 有实数解，则实数 m 的取值范围是 （，2， +） 【分析】方程2x+m 可化为 m2x；作函数图象求解 【解答】解：方程2x+m 可化为 m2x； 作函数 m2x
21、的图象如下， 结合选项可得， 第 13 页（共 19 页） 实数 m 的取值范围是（，2，+） ； 故答案为： （，2，+） ； 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的图象的关系应用，属于中档题 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 （10 分）直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，在极坐标 系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中， 圆 C 的方程为 6cos （1）求圆 C
22、 的直角坐标方程； （2）设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，求|AB|的值 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转 换 （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解： （1）圆 C 的方程为 6cos， 转换为直角坐标方程为：x2+y26x， 第 14 页（共 19 页） 转换为标准方程为（x3）2+y29 （2）把直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 代入圆的方程 x2+y26x， 得到：t270， 所以：t1+t20，t1t27， 所以：|AB|2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元
23、 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 18 （12 分）已知命题 p： （a2） （6a）0；命题 q：函数 f（x）（4a）x在 R 上是 增函数；若命题“p 或 q”为真，命题“p 且 q”为假，求实数 a 的取值范围 【分析】分别求出命题 p、q 为真时，a 的范围，再根据命题“p 或 q”为真，命题“p 且 q”为假，可得 p 真 q 假，或 p 假 q 真，从而建立不等式，即可求出实数 a 的取值范围 【解答】解：p 真时， （a2） （6a）0，解得 2a6 q 真时，4a1，解得 a3 由命题“p 或 q”为真， “p 且 q”
24、为假，可知命题 p，q 中一真一假， 当 p 真，q 假时，得 3a6， 当 p 假，q 真时，得 a2 因此实数 a 的取值范围是（，23，6） 【点评】本题考查复合命题真假的判定，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是根据 命题“pq”为真，命题“pq”为假，可得 p 真 q 假，或 p 假 q 真，是基础题 19（12 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边为 a， b， c， 且满足 （）求 C； （）若 cosA，求 cos（2AC）的值 【分析】 （）利用正弦定理得到 a2c2abb2，再结合余弦定理和特殊角的三角函数 求得 C 的值； （）由同角三角函数关
25、系，二倍角公式进行转化并求值 第 15 页（共 19 页） 【解答】解： （）因为，在ABC 中，由正弦定理得： ，即：a2c2abb2， 由余弦定理得：cosC 又角 C 是三角形 ABC 的内角， C； （ II）由 cosA及 sin2A+cos2A1 得 sinA cos2A2cos2A1， sin2A2sinAcosA2， cos（2AC）cos（2A）cos2Acos+sin2Asin+ 【点评】本题考查的知识点是正弦定理，两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大， 属于基础题 20 （12 分）已知数列an满足：a13，且对任意的 nN+，都有 1，an，an+1成等差数列 &n
26、bsp;（1）证明数列an1是等比数列，并求数列an的通项公式； （2）求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式，即可得到所求通 项公式； （2）运用数列的分组求和和等比数列的求和公式，计算可得所求和 【解答】解： （1）证明：由 1，an，an+1成等差数列，可知 1+an+12an， 即 an+12an1， 所以 an+112（an1） ，且 a112， 则an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 an12n， 则 an2n+1，nN*； （2）由（1）可得前 n 项和 Sn（2+1）+（22+1）+（2n+1） 第 16
27、 页（共 19 页） （2+4+2n）+n+n 2n+1+n2 【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的并项求和，化简运算 能力，属于中档题 21 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PAPBAB 2，点 N 为 AB 的中点 （1）证明：ABPC （2）若点 M 为线段 PD 的中点，平面 PAB平面 ABCD，求二面角 MNCP 的余弦 值 【分析】 （1）推导出 PNAB，CNAB，从而 AB平面 PNC，由此能证明 ABPC （2）以 N 为原点，NB 为 x 轴，NC 为 y 轴，NP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向
28、 量法能求出二面角 MNCP 的余弦值 【解答】证明： （1）四棱锥 PABCD 中，底面 ABC 为菱形 ABC60，PAPBAB2，点 N 为 AB 的中点 PNAB，CNAB， PNCNN，AB平面 PNC， PC平面 PNC，ABPC 解： （2）点 M 为线段 PD 的中点，平面 PAB平面 ABCD， 又 PNAB，平面 PAB平面 ABCDAB，PN平面 ABCD， 以 N 为原点，NB 为 x 轴，NC 为 y 轴，NP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 P（0，0，） ，D（2，0） ，M（1，） ，N（0，0，0） ，C（0， 0） ， 第 17 页（共 19 页） （
29、1，） ，（0，0） ，（0，0，） ， 设平面 MNC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x，得 （，0，1） 平面 NCP 的法向量 （1，0，0） ， 设二面角 MNCP 的平面角为 ， 则 cos 二面角 MNCP 的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 22 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2且离心率为 ，Q、A、B 为椭圆 C 上三个点，QF1F2的周长为 4（+1） ，线段 AB 的垂直平分 线经过点 P（1，0） （1）求
30、椭圆 C 的方程； （2）求线段 AB 长度的最大值 第 18 页（共 19 页） 【分析】 （1）由题意可得：，2a+2c4（+1） ，b2a2c2，联立解得 （2）ABx 轴时，满足题意，可得|AB|2b4由题意可得：AB 的斜率不为 0，设线 段 AB 的中点为： （x0，y0） ，直线 AB 的方程为：ykx+t，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 与 椭圆方程联立化为： （1+2k2）x2+4ktx+2t2800化为：4+8k2t2根据根与系 数的关系、中点坐标公式可得：|AB|，进而得出 【解答】解： （1）由题意可得：，2a+2c4（+1） ，b2a2c2， 解得 c2b，a2
31、 椭圆 C 的方程为1 （2）ABx 轴时，满足题意，可得|AB|2b4 由题意可得：AB 的斜率不为 0，设线段 AB 的中点为： （x0，y0） ， 直线 AB 的方程为：ykx+t，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，化为： （1+2k2）x2+4ktx+2t280 16k2t24（1+2k2） （2t28）0化为：4+8k2t2 x1+x22x0，解得 x0 y0kx0+t k1，化为：t代入0，解得 k4 又 x1x2， |AB| 24 综上可得：|AB|的最长为 4 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关 第 19 页（共 19 页） 系、分类讨论方法、中点坐标公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 难题
