2018-2019学年江西省九江一中高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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1、2018-2019 学年江西省九江一中高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分) “a”是“ln(2a1)0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件  C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 (5 分)双曲线的渐近线方程为( ) Ay2x By Cy Dy 3 (5 分)在等差数列an中,a35 则an的前 5 项和 S5( ) A7 B15 C25 D20 4 (5 分)ABC 中,若

2、,则ABC 中最长的边是( ) Aa Bb Cc Db 或 c 5 (5 分)下列命题中正确的是( ) A若 ab,则 acbc B若 ab,cd,则 acbd  C若 ab0,ab,则 D若 ab,cd,则 6 (5 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,抛物线上一点 M(2,m)满足|MF| 6,则抛物线 C 的方程为( ) Ay22x By24x Cy28x Dy216x 7 (5 分)函数 f(x)Asin(x+) (其中 A0,)的部分图象如图所示,将 函数 f(x)的图象( )可得的图象 第 2 页(共 19 页) A向右平移个长度单位  B向左平

3、移个长度单位  C向左平移个长度单位  D向右平移个长度单位 8 (5 分)椭圆上的点到直线的最大距离是( ) A3 B C D 9 (5 分)两个公比均不为 1 的等比数列an,bn,其分前 n 项的乘积分别为 An,Bn,若 ,则( ) A512 B32 C8 D2 10 (5 分)已知 A,B,C 在圆 x2+y21 上运动,且 ABBC,若点 P 的坐标为(2,0) , 则|的最大值为( ) A6 B7 C8 D9 11 (5 分)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 O 为线段 BD 的中点,设点 P 在线段 CC1上,直线 OP 与平面 A1BD 所成

4、的角为 ,则 sin 的取值范围是( ) A,1 B,1 C, D,1 12 (5 分)已知圆 O1: (x2)2+y216 和圆 O2:x2+y2r2(0r2) ,动圆 M 与圆 O1、 圆 O2都相切,动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为 e1、e2(e1 e2) ,则 e1+2e2的最小值是( ) A B C D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 第 3 页(共 19 页) 13 (5 分)在ABC 中,已知 a4,b6,C,则边 c 的长是    14 (5 分)已知正数 x,y

5、 满足 x+y1,则+的最小值是   15 (5 分)若实数 x,y 满足,则 z的最小值为    16 (5 分)若方程2x+m 有实数解,则实数 m 的取值范围是    三、解答题:本题共三、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 (10 分)直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数) ,在极坐标 系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 6cos (1)求圆

6、 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,求|AB|的值 18 (12 分)已知命题 p: (a2) (6a)0;命题 q:函数 f(x)(4a)x在 R 上是 增函数;若命题“p 或 q”为真,命题“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围 19(12 分) 在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c, 且满足  ()求 C; ()若 cosA,求 cos(2AC)的值 20 (12 分)已知数列an满足:a13,且对任意的 nN+,都有 1,an,an+1成等差数列  (1)证明数列an1是等比数列,并求数列an的通项公式

7、; (2)求数列an的前 n 项和 Sn 21 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,ABC60,PAPBAB 2,点 N 为 AB 的中点 (1)证明:ABPC (2)若点 M 为线段 PD 的中点,平面 PAB平面 ABCD,求二面角 MNCP 的余弦 值 第 4 页(共 19 页) 22 (12 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2且离心率为 ,Q、A、B 为椭圆 C 上三个点,QF1F2的周长为 4(+1) ,线段 AB 的垂直平分 线经过点 P(1,0) (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 AB 长度的最大值 第 5 页(共

8、 19 页) 2018-2019 学年江西省九江一中高二(上)期末数学试卷(理科)学年江西省九江一中高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 (5 分) “a”是“ln(2a1)0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件  C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】解:由

9、“ln(2a1)0”得 2a11 得 a1, 则“a”是“ln(2a1)0”的既不充分也不必要条件, 故选:D 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关 键 2 (5 分)双曲线的渐近线方程为( ) Ay2x By Cy Dy 【分析】由焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程 yx,即可得到所求方程 【解答】解:双曲线的 a,b, 可得渐近线方程为 yx, 即 yx 故选:C 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程的求法,考查运算能力,属 于基础题 3 (5 分)在等差数列an中,a35 则an的前 5 项和 S5( ) A7 B15 C25 D

10、20 【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解 第 6 页(共 19 页) 【解答】解:在等差数列an中,a35, S5 5a3 25 故选:C 【点评】本题考查等差数列的前 5 项和的求法,是基础题,解题时要注意等差数列的通 项公式的合理运用 4 (5 分)ABC 中,若,则ABC 中最长的边是( ) Aa Bb Cc Db 或 c 【分析】根据正弦定理求解即可 【解答】解:由, 可得, BC45, 那么 A90 大边对应大角, 可得:a 最大; 故选:A 【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用,考查运算能力,属于基础题  5 (5 分)下列命题中正确的是(

11、 ) A若 ab,则 acbc B若 ab,cd,则 acbd  C若 ab0,ab,则 D若 ab,cd,则 【分析】利用不等式的性质即可判断出结论 【解答】解:Ac0 时不成立; Bab,cd,则 a+cb+d,因此不正确; Cab0,ab,则,正确 D取 a2,b3,c3,d3,满足条件 ab,cd,但是不成立 故选:C 第 7 页(共 19 页) 【点评】本题主要不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题 6 (5 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,抛物线上一点 M(2,m)满足|MF| 6,则抛物线 C 的方程为( ) Ay22x By24x Cy

12、28x Dy216x 【分析】求得抛物线的准线方程,由抛物线的定义推导出 2+6,解得 p,由此能求出 抛物线的方程 【解答】解:抛物线 C:y22px(p0) , 在此抛物线上一点 M(2,m)到焦点的距离是 6, 抛物线准线方程是 x, 由抛物线的定义可得 2+6, 解得 p8, 抛物线的方程是 y216x 故选:D 【点评】本题考查抛物线方程的求法,解题时要认真审题,注意抛物线的简单性质的合 理运用 7 (5 分)函数 f(x)Asin(x+) (其中 A0,)的部分图象如图所示,将 函数 f(x)的图象( )可得的图象 A向右平移个长度单位  B向左平移个长度单位  

13、;C向左平移个长度单位  D向右平移个长度单位 第 8 页(共 19 页) 【分析】根据三角函数的图象确定函数的解析式,进行求解即可 【解答】解:由图象得 A1,即 T, 由 T,则 2, 即 f(x)sin(2x+) , f()sin(2+)1, sin(+)1, 即+2k, 得 +2k+2k, , 当 k0 时, 则 f(x)sin(2x+) , sin(2x+sin2(x)+, 即将函数 f(x)的图象向右平移个长度单位可得的图象, 故选:D 【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象的变换,根据条件求出 函数的解析式是解决本题的关键 8 (5 分)椭圆上的点到直

14、线的最大距离是( ) A3 B C D 【分析】设椭圆上的点 P(4cos,2sin) ,由点到直线的距离公 式,计算可得答案 【解答】解:设椭圆上的点 P(4cos,2sin) 则点 P 到直线的距离 第 9 页(共 19 页) d; 故选:D 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细求解 9 (5 分)两个公比均不为 1 的等比数列an,bn,其分前 n 项的乘积分别为 An,Bn,若 ,则( ) A512 B32 C8 D2 【分析】由等差数列的性质即可求出 【解答】解:因为 A9a1a2a3a9a59,B9b1b2b3b9b59, 所以则()9512, 故选:A 【

15、点评】本题考查了等差数列的性质和灵活应用,是常考的题型,注意总结 10 (5 分)已知 A,B,C 在圆 x2+y21 上运动,且 ABBC,若点 P 的坐标为(2,0) , 则|的最大值为( ) A6 B7 C8 D9 【分析】 由题意, AC 为直径, 所以|2+| B 为 (1, 0) 时, |2+| 7,即可得出结论 【解答】解:由题意,AC 为直径,所以|2+| 所以 B 为(1,0)时,|2+|7 所以|的最大值为 7 另解:设 B(cos,sin) , |2+|2 (2, 0) + (cos2, sin) | (cos6, sin) | , 当 cos1 时,B 为(1,0) ,

16、取得最大值 7 故选:B 【点评】本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础 第 10 页(共 19 页) 11 (5 分)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 O 为线段 BD 的中点,设点 P 在线段 CC1上,直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 ,则 sin 的取值范围是( ) A,1 B,1 C, D,1 【分析】 由题意可得: 直线 OP 于平面 A1BD 所成的角 的取值范围是 再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出 【解答】解:由题意可得:直线 OP 于平面 A1BD 所成的角 的取值范围是 不妨取 AB2 在 RtAOA1中, sin

17、 C1OA1 sin ( 2 AOA1) sin2 AOA1 2sin AOA1cos AOA1 , 1 sin 的取值范围是 故选:B 【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法,考查了推 理能力,属于中档题 12 (5 分)已知圆 O1: (x2)2+y216 和圆 O2:x2+y2r2(0r2) ,动圆 M 与圆 O1、 第 11 页(共 19 页) 圆 O2都相切,动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆,这两个椭圆的离心率分别为 e1、e2(e1 e2) ,则 e1+2e2的最小值是( ) A B C D 【分析】分别求出 e1、e2(e1e2) ,利用基本不等式求出

18、e1+2e2的最小值 【解答】 解: 当动圆 M 与圆 O1、 O2都相内切时, |MO2|+|MO1|4r2a, e1  当动圆 M 与圆 O1相内切而与 O2相外切时,|MO1|+|MO2|4+r2a,e2 e1+2e2+, 令 12rt (10t12) , e1+2e222 故选:A 【点评】本题考查了两圆相切的性质、椭圆的离心率,属于难题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)在ABC 中,已知 a4,b6,C,则边 c 的长是 2  【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解 【解答】解:

19、a4,b6,C, 由余弦定理可得:c2a2+b22abcosC42+62246cos2 故答案为:2 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题 14 (5 分)已知正数 x,y 满足 x+y1,则+的最小值是 9 【分析】有题意可得+(+) (x+y)1+4+,再利用基本不等式即可求 出 【解答】解:正数 x,y 满足 x+y1, 则+(+) (x+y)1+4+5+29,当且仅当 x,y时 取等号, 故则+的最小值是 9, 故答案为:9 第 12 页(共 19 页) 【点评】本题考查了基本不等式的应用,关键是掌握等号成立的条件,属于基础题 15 (5 分)若实数 x,y 满

20、足,则 z的最小值为 3  【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求解即可 【解答】解:实数 x,y 满足,的可行域如图: z1+,几何意义是可行域内的点与 P(2,2)连线的斜率,由图形可知 PB 的斜率最小, 由,解得 B(1,2) , z的最小值为:3 故答案为:3 【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,通过数形结合是解决本题 的关键 16 (5 分)若方程2x+m 有实数解,则实数 m 的取值范围是 (,2, +)  【分析】方程2x+m 可化为 m2x;作函数图象求解 【解答】解:方程2x+m 可化为 m2x; 作函数 m2x

21、的图象如下, 结合选项可得, 第 13 页(共 19 页) 实数 m 的取值范围是(,2,+) ; 故答案为: (,2,+) ; 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的图象的关系应用,属于中档题  三、解答题:本题共三、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 (10 分)直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数) ,在极坐标 系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 6cos (1)求圆 C

22、 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B,求|AB|的值 【分析】 (1)直接利用转换关系式,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转 换 (2)利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解: (1)圆 C 的方程为 6cos, 转换为直角坐标方程为:x2+y26x, 第 14 页(共 19 页) 转换为标准方程为(x3)2+y29 (2)把直线 l 的参数方程为(t 为参数) , 代入圆的方程 x2+y26x, 得到:t270, 所以:t1+t20,t1t27, 所以:|AB|2 【点评】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,一元

23、 二次方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型 18 (12 分)已知命题 p: (a2) (6a)0;命题 q:函数 f(x)(4a)x在 R 上是 增函数;若命题“p 或 q”为真,命题“p 且 q”为假,求实数 a 的取值范围 【分析】分别求出命题 p、q 为真时,a 的范围,再根据命题“p 或 q”为真,命题“p 且 q”为假,可得 p 真 q 假,或 p 假 q 真,从而建立不等式,即可求出实数 a 的取值范围  【解答】解:p 真时, (a2) (6a)0,解得 2a6 q 真时,4a1,解得 a3 由命题“p 或 q”为真, “p 且 q”

24、为假,可知命题 p,q 中一真一假, 当 p 真,q 假时,得 3a6, 当 p 假,q 真时,得 a2 因此实数 a 的取值范围是(,23,6) 【点评】本题考查复合命题真假的判定,考查分类讨论的数学思想,解题的关键是根据 命题“pq”为真,命题“pq”为假,可得 p 真 q 假,或 p 假 q 真,是基础题 19(12 分) 在ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c, 且满足  ()求 C; ()若 cosA,求 cos(2AC)的值 【分析】 ()利用正弦定理得到 a2c2abb2,再结合余弦定理和特殊角的三角函数 求得 C 的值; ()由同角三角函数关

25、系,二倍角公式进行转化并求值 第 15 页(共 19 页) 【解答】解: ()因为,在ABC 中,由正弦定理得: ,即:a2c2abb2, 由余弦定理得:cosC 又角 C 是三角形 ABC 的内角, C; ( II)由 cosA及 sin2A+cos2A1 得 sinA cos2A2cos2A1, sin2A2sinAcosA2, cos(2AC)cos(2A)cos2Acos+sin2Asin+ 【点评】本题考查的知识点是正弦定理,两角和与差的余弦公式,诱导公式,难度不大, 属于基础题 20 (12 分)已知数列an满足:a13,且对任意的 nN+,都有 1,an,an+1成等差数列 &n

26、bsp;(1)证明数列an1是等比数列,并求数列an的通项公式; (2)求数列an的前 n 项和 Sn 【分析】 (1)运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式,即可得到所求通 项公式; (2)运用数列的分组求和和等比数列的求和公式,计算可得所求和 【解答】解: (1)证明:由 1,an,an+1成等差数列,可知 1+an+12an, 即 an+12an1, 所以 an+112(an1) ,且 a112, 则an1是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an12n, 则 an2n+1,nN*; (2)由(1)可得前 n 项和 Sn(2+1)+(22+1)+(2n+1) 第 16

27、 页(共 19 页) (2+4+2n)+n+n 2n+1+n2 【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查数列的并项求和,化简运算 能力,属于中档题 21 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,ABC60,PAPBAB 2,点 N 为 AB 的中点 (1)证明:ABPC (2)若点 M 为线段 PD 的中点,平面 PAB平面 ABCD,求二面角 MNCP 的余弦 值 【分析】 (1)推导出 PNAB,CNAB,从而 AB平面 PNC,由此能证明 ABPC (2)以 N 为原点,NB 为 x 轴,NC 为 y 轴,NP 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向

28、 量法能求出二面角 MNCP 的余弦值 【解答】证明: (1)四棱锥 PABCD 中,底面 ABC 为菱形 ABC60,PAPBAB2,点 N 为 AB 的中点 PNAB,CNAB, PNCNN,AB平面 PNC, PC平面 PNC,ABPC 解: (2)点 M 为线段 PD 的中点,平面 PAB平面 ABCD, 又 PNAB,平面 PAB平面 ABCDAB,PN平面 ABCD, 以 N 为原点,NB 为 x 轴,NC 为 y 轴,NP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 P(0,0,) ,D(2,0) ,M(1,) ,N(0,0,0) ,C(0, 0) , 第 17 页(共 19 页) (

29、1,) ,(0,0) ,(0,0,) , 设平面 MNC 的法向量 (x,y,z) , 则,取 x,得 (,0,1) 平面 NCP 的法向量 (1,0,0) , 设二面角 MNCP 的平面角为 , 则 cos 二面角 MNCP 的余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 22 (12 分)已知椭圆 C:+1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2且离心率为 ,Q、A、B 为椭圆 C 上三个点,QF1F2的周长为 4(+1) ,线段 AB 的垂直平分 线经过点 P(1,0) (1)求

30、椭圆 C 的方程; (2)求线段 AB 长度的最大值 第 18 页(共 19 页) 【分析】 (1)由题意可得:,2a+2c4(+1) ,b2a2c2,联立解得 (2)ABx 轴时,满足题意,可得|AB|2b4由题意可得:AB 的斜率不为 0,设线 段 AB 的中点为: (x0,y0) ,直线 AB 的方程为:ykx+t,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 与 椭圆方程联立化为: (1+2k2)x2+4ktx+2t2800化为:4+8k2t2根据根与系 数的关系、中点坐标公式可得:|AB|,进而得出 【解答】解: (1)由题意可得:,2a+2c4(+1) ,b2a2c2, 解得 c2b,a2

31、 椭圆 C 的方程为1 (2)ABx 轴时,满足题意,可得|AB|2b4 由题意可得:AB 的斜率不为 0,设线段 AB 的中点为: (x0,y0) , 直线 AB 的方程为:ykx+t,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立,化为: (1+2k2)x2+4ktx+2t280 16k2t24(1+2k2) (2t28)0化为:4+8k2t2 x1+x22x0,解得 x0 y0kx0+t k1,化为:t代入0,解得 k4 又 x1x2, |AB| 24 综上可得:|AB|的最长为 4 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关 第 19 页(共 19 页) 系、分类讨论方法、中点坐标公式、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于 难题

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