2018-2019学年江西省南昌二中高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

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资源描述

1、2018-2019 学年江西省南昌二中高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每个小题给出的四个选项中,只在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知函数 f(x)x3,f(x)是 f(x)的导函数,若 f(x0)12,则 x0( )  A2 B2 C2 D 2 (5 分)命题“对任意 xR,都有 x22019”的否定是( ) A对任意 xR,都有 x22019  B不存在 xR,使得 x22019  C存在 x0R,使得 x02201

2、9  D存在 x0R,使得 x022019 3 (5 分)复数 z(1+i) (2+i)在复平面上对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4(5 分) 由直线 x, x, y0 与直线 ycosx 所围成的封闭图形的面积为 ( )  A B1 C D 5 (5 分)已知函数 f(x)e2 x+x,x1,3,则下列说法正确的是( ) A函数 f(x)的最大值为  B函数 f(x)的最小值为  C函数 f(x)的最大值为 3  D函数 f(x)的最小值为 3 6 (5 分)用反证法证明某命题时,对结论: “自然数 a,b

3、,c 中恰有一个偶数”正确的反 设为( ) Aa,b,c 中至少有两个偶数  Ba,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数  Ca,b,c 都是奇数  Da,b,c 都是偶数 7 (5 分)已知函数,则 yf(x)的图象大致为( ) 第 2 页(共 19 页) A B  C D 8 (5 分)设函数 f(x)x2+mln(1+x)有两个极值点,则实数 m 的取值范围是( ) A (1,) B (0,) C (0, D (1, 9 (5 分)已知函数 f(x)ex+x2+x+1 与 g(x)2x3,P、Q 分别是函数 f(x) 、g(x) 图象上的动点,则|P

4、Q|的最小值为( ) A B C D2 10 (5 分)下列命题中,真命题是( ) A设 z1,z2C,则 z1+z2为实数的充要条件是 z1,z2为共轭复数  B “直线 l 与曲线 C 相切”是“直线 l 与曲线 C 只有一个公共点”的充分不必要条件 C “若两直线 l1l2,则它们的斜率之积等于1”的逆命题  Df(x)是 R 上的可导函数, “若 x0是 f(x)的极值点,则 f(x0)0”的否命题 11 (5 分)已知 F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,两条渐近 线分别为 l1,l2,经过右焦点 F2垂直于 l1的直线分别交 l1,l2于 A,B

5、 两点,若|OA|+|OB| 2|AB|,且 F2在线段 AB 上,则该双曲线的离心率为( ) A B C2 D 12 (5 分)已知函数 f(x)(x22x)exdx,则 f(x)在(0,+)的单调递增区 间是( ) A (0,+) B (0,) C (,+) D (2,+) 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 4 道小题,每小题道小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 第 3 页(共 19 页) 13 (5 分)设函数 f(x)(x0) ,观察:f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x) ) ,f3(x)f(f2(x) ),f4(x)f(f3(x) ),根据以上事 实,由归纳推

6、理可得:f2009(x)   14 (5 分)dx+x3dx    15 (5 分)已知直线 l1:4x3y+110 和直线 l2:x1,抛物线 y24x 上一动点 P 到直 线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是   16 (5 分)已知a1,2) ,x0(0,1,使得,则实数 m 的取 值范围为   三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)已知命题 p:函数 f(x)x3mx2+1 在 x1,2上单调递减;

7、命题 q:曲线 1 为双曲线 ()若“p 且 q”为真命题,求实数 m 的取值范围; ()若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范围 18 (12 分)已知函数 f(x)x3+x2 ()求曲线 yf(x)在点(2,8)处的切线方程; ()直线 l 为曲线 yf(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标 19 (12 分)已知直线 l 过点 P(0,1) ,圆 C:x2+y26x+80,直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点 ()求直线 PC 的方程; ()求直线 l 的斜率 k 的取值范围; ()是否存在过点 Q(6,4)且垂直平分弦 AB 的直线

8、l1?若存在,求直线 l1斜率 k1 的值,若不存在,请说明理由 20 (12 分)已知函数 f(x)ln(ax+1)+,x0,其中 a0 (1)若 f(x)在 x1 处取得极值,求 a 的值; (2)若 f(x)的最小值为 1,求 a 的取值范围 第 4 页(共 19 页) 21 (12 分)已知椭圆 C:1(ab0)的左右焦点分别为 F1(1,0) 、F2(1, 0) ,经过 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且F1AB 的周长为 8 ()求椭圆 C 的方程; ()记AF1F2与BF1F2的面积分别为 S1和 S2,求|S1S2|的最大值 22 (12 分)已知函数 f(x)

9、(ax2) (lnalnx) (其中 x0,a0) ,记函数 f(x)的 导函数为 g(x)f(x) ()求函数 g(x)的单调区间; ()是否存在实数 a,使得 f(x)0 对任意正实数 x 恒成立?若存在,求出满足条件 的实数 a;若不存在,请说明理由 第 5 页(共 19 页) 2018-2019 学年江西省南昌二中高二(上)期末数学试卷(理科)学年江西省南昌二中高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每个小题给出的四个选项中,只在每个小题给出的四个选项

10、中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知函数 f(x)x3,f(x)是 f(x)的导函数,若 f(x0)12,则 x0( )  A2 B2 C2 D 【分析】求函数的导数,根据条件建立方程关系进行求解即可 【解答】解:函数的导数 f(x)3x2,若 f(x0)12, 即 3x0212 得 x024,得 x02, 故选:C 【点评】本题主要考查导数的计算,根据导数的公式进行求解是解决本题的关键 2 (5 分)命题“对任意 xR,都有 x22019”的否定是( ) A对任意 xR,都有 x22019  B不存在 xR,使得 x22019 &nb

11、sp;C存在 x0R,使得 x022019  D存在 x0R,使得 x022019 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】解:命题是全称命题, 则命题的否定是特称命题, 即存在 x0R,使得 x022019, 故选:D 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称 命题的否定是全称命题是解决本题的关键 3 (5 分)复数 z(1+i) (2+i)在复平面上对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数的四则运算将复数化简,然后利用复数的几何意义确定对应点的象限  【解答】解:因为 z(

12、2+i) (1+i)2+3i+i21+3i, 所以复数对应点的坐标为(1,3) , 第 6 页(共 19 页) 所以位于第一象限 故选:A 【点评】本题主要考查复数的几何意义,利用复数的四则运算将复数转化为为代数形式 是解决本题的关键 4(5 分) 由直线 x, x, y0 与直线 ycosx 所围成的封闭图形的面积为 ( )  A B1 C D 【分析】画出曲边梯形,利用定积分表示面积,然后计算 【解答】解:如图,由直线 x,x,y0 与直线 ycosx 所围成的封闭图形 的面积为2sinx1; 故选:B 【点评】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积;关键是正确表示面积,并正确计算

13、  5 (5 分)已知函数 f(x)e2 x+x,x1,3,则下列说法正确的是( ) A函数 f(x)的最大值为  B函数 f(x)的最小值为  C函数 f(x)的最大值为 3  D函数 f(x)的最小值为 3 【分析】求出函数 f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而 求出函数 f(x)的最小值即可 【解答】解:f(x)e2 x+x, f(x)e2 x+1, 第 7 页(共 19 页) 令 f(x)0,解得:x2, 令 f(x)0,解得:x2, 故 f(x)在1,2)递减,在(2,3递增, 故 f(x)的最小值是 f(2)3, 故

14、选:D 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道基础题 6 (5 分)用反证法证明某命题时,对结论: “自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”正确的反 设为( ) Aa,b,c 中至少有两个偶数  Ba,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数  Ca,b,c 都是奇数  Da,b,c 都是偶数 【分析】找出题中的题设,然后根据反证法的定义对其进行否定 【解答】解:结论: “自然数 a,b,c 中恰有一个偶数” 可得题设为:a,b,c 中恰有一个偶数 反设的内容是 假设 a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 故选:B 【点评】此题考查了反证法的定

15、义,反证法在数学中经常运用,当论题从正面不容易或 不能得到证明时,就需要运用反证法,此即所谓“正难则反“ 7 (5 分)已知函数,则 yf(x)的图象大致为( ) A B  C D 【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除 B,D,通过函数的单调性排除 C,推出结 果即可 第 8 页(共 19 页) 【解答】解:令 g(x)xlnx1,则 g(x)1, 由 g'(x)0,得 x1,即函数 g(x)在(1,+)上单调递增, 由 g'(x)0 得 0x1,即函数 g(x)在(0,1)上单调递减, 所以当 x1 时,函数 g(x)有最小值,g(x)ming(0)0, 于是对

16、任意的 x(0,1)(1,+) ,有 g(x)0,故排除 B、D, 因函数 g(x)在(0,1)上单调递减,则函数 f(x)在(0,1)上递增,故排除 C, 故选:A 【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系,函数的定义域以及函数的图形的 判断,考查分析问题解决问题的能力 8 (5 分)设函数 f(x)x2+mln(1+x)有两个极值点,则实数 m 的取值范围是( ) A (1,) B (0,) C (0, D (1, 【分析】函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,即 f(x)0 在定义域上有两个不相等的实 数根, 构造函数,根据二次函数的图象与性质即可求出 m 的取值范围 【解答】解

17、:函数 f(x)x2+mln(1+x) ,定义域为(1,+) ; 若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,则不妨设1x1x2, 即 f(x)0 在区间(1,+)上有两个不相等的实数根, 所以 2x+0, 化为方程 2x2+2x+m0 在区间(1,+)上有两个不相等的实数根;  记 g(x)2x2+2x+m,x(1,+) , 则, 即, 解得 0m, 所以实数 m 的取值范围是(0,) 故选:B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值应用问题,也考查了二次函数与 对应方程实数根的应用问题,是中档题 第 9 页(共 19 页) 9 (5 分)已知函数 f(x)ex+x2+x+

18、1 与 g(x)2x3,P、Q 分别是函数 f(x) 、g(x) 图象上的动点,则|PQ|的最小值为( ) A B C D2 【分析】求得 f(x)的导数,由题意可得与直线 y2x3 平行的直线和曲线 f(x)相切, 可得|PQ|的值最小,设出切点,可得切线的斜率,解方程可得切点,由两直线平行的距离 公式可得所求最小值 【解答】解:f(x)ex+x2+x+1 的导数为 f(x)ex+2x+1, 设与直线 y2x3 平行的直线 y2x+t 与曲线 f(x)相切, 设切点为(m,n) ,可得 em+2m+12, 即 em+2m10, 由 h(m)em+2m1 的导数为 h(m)em+20,即 h(

19、m)在 R 上递增, 且 h(0)0,则 em+2m10 的解为 m0, 可得切点为(0,2) , 则切线方程为 y2x+2, 可得|PQ|的最小值为, 故选:B 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,考查转化思想和方程思想,以及运算能力, 属于中档题 10 (5 分)下列命题中,真命题是( ) A设 z1,z2C,则 z1+z2为实数的充要条件是 z1,z2为共轭复数  B “直线 l 与曲线 C 相切”是“直线 l 与曲线 C 只有一个公共点”的充分不必要条件 C “若两直线 l1l2,则它们的斜率之积等于1”的逆命题  Df(x)是 R 上的可导函数, “若 x0是

20、 f(x)的极值点,则 f(x0)0”的否命题 【分析】根据题意,对选项中的四个命题,分别判断它们的真假性即可 【解答】解:对于 A,由 z1、z2为共轭复数时,z1+z2为实数, 但 z1+z2为实数时,z1、z2不一定为共轭复数,A 是假命题; 对于 B,直线 l 与曲线 C 相切时,直线 l 与曲线 C 不一定只有一个公共点, 直线 l 与曲线 C 只有一个公共点时,直线 l 与曲线 C 不一定相切,B 是假命题; 第 10 页(共 19 页) 对于 C, “直若两直线 l1l2,则它们的斜率之积等于1”的逆命题是 “若两直线 l1、l2的斜率之积等于1,则两直线垂直” ,是真命题; 对

21、于 D,f(x)是 R 上的可导函数, “若 x0是 f(x)的极值点,则 f(x0)0”的否命 题是 “若 x0不是 f(x)的极值点,则 f(x0)0” ,它是假命题,如 f(x)x3在 x0 时 的导数” 故选:C 【点评】本题利用命题的真假性判断考查了复数、曲线的切线问题,也考查了逆命题与 否命题的应用问题,是基础题 11 (5 分)已知 F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,两条渐近 线分别为 l1,l2,经过右焦点 F2垂直于 l1的直线分别交 l1,l2于 A,B 两点,若|OA|+|OB| 2|AB|,且 F2在线段 AB 上,则该双曲线的离心率为( ) A B

22、C2 D 【分析】求得焦点到渐近线的距离,可得|AF2|b,|OA|a,再由角平分线的性质定理和 比例的性质,可得 a,b 的关系,再由离心率公式,可得所求值 【解答】解:由已知 AB 与 x 轴交于点 F2, 双曲线的渐近线方程为 bxay0,bx+ay0,焦点 F2(c,0) , 可得 F2到渐近线的距离为 db, |OA|a, 设|BF2|m,|OB|n, AOB 中,OF2为AOB 的平分线,可得 ,即为, 而|OA|+|OB|2|AB|,可得 a+n2(b+m) , 则, 则 e 第 11 页(共 19 页) 故选:A 【点评】本题考查双曲线的简单性质,主要是离心率的求法,注意运用角

23、平分线的性质 定理和比例的性质,考查计算能力,属于中档题 12 (5 分)已知函数 f(x)(x22x)exdx,则 f(x)在(0,+)的单调递增区 间是( ) A (0,+) B (0,) C (,+) D (2,+) 【分析】设函数 y(x22x)ex的原函数为 g(x) ,得出 g(x)(x22x)ex,对 函数 f(x)求导得出 f(x)(x22x)ex,然后解不等式 f(x)0 可得出答案 【解答】解:设函数 y(x22x)ex的原函数为 g(x) ,即 g(x)(x22x)ex, 所以,f(x)g(x)g(0) , 对函数 yf(x)求导得 f(x)g(x)(x22x)ex 当

24、x0 时,令 f(x)0,解得 x2 因此,函数 f(x)在(0,+)上的单调递增区间为(2,+) 故选:D 【点评】本题考查定积分的计算,考查函数的单调性与导数,解决本题的关键在于找出 被积函数的原函数,考查计算能力与推理能力,属于中等题 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 4 道小题,每小题道小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)设函数 f(x)(x0) ,观察:f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x) ) ,f3(x)f(f2(x) ),f4(x)f(f3(x) ),根据以上事 实,由归纳推理可得:f2009(x) 【分析】题目给出的前四个等式的特点是,左

25、边依次为 f1(x) ,f2(x) ,f3(x),右边 第 12 页(共 19 页) 都是单项式,且分子都是 x,分母是左边的“f”的右下角码乘以 x 加 1,由此规律可得出 正确结论 【解答】解:由题目给出的四个等式发现,每一个等式的右边都是一个单项式,分子都 是 x, 分母是等式左边的 “f” 的右下角码乘以 x 加 1, 据此可以归纳为: f2019(x) f (f2018 (x) ) 故答案为: 【点评】本题考查了归纳推理,归纳推理是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、 联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的推理,此题是基础题 14 (5 分)dx+x3dx 8  【分析】令

26、,得出 y0,对等式两边平方整理得 x2+y216,可得出函数 在4x4 上的图象是圆 x2+y216 的上半圆, 利用定积分的几何意义计算 出定积分,最后结合定积分公式可得出答案 【解答】解:令,则 y0,对等式两边平方得 y216x2,整理得 x2+y2 16, 所以,函数在4x4 的图象是圆 x2+y216 的上半圆,如下图所示, 由定积分的几何意义可得, 因此, 故答案为:8 【点评】本题考查定积分的计算,考查定积分的几何意义以及公式的应用,考查计算能 力,属于中等题 第 13 页(共 19 页) 15 (5 分)已知直线 l1:4x3y+110 和直线 l2:x1,抛物线 y24x

27、上一动点 P 到直 线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是 3 【分析】如图所示,过点 P 分别作 PMl1,PNl2,垂足分别为 M,N设抛物线的焦 点为 F,由抛物线的定义可得|PN|PF|,求|PM|+|PN|转化为求|PM|+|PF|,当三点 M,P, F 共线时,|PM|+|PF|取得最小值利用点到直线的距离公式即可得出 【解答】解:如图所示, 过点 P 分别作 PMl1,PNl2,垂足分别为 M,N 设抛物线的焦点为 F(1,0) ,由抛物线的定义可得|PN|PF|, |PM|+|PN|PM|+|PF|,当三点 M,P,F 共线时,|PM|+|PF|取得最小值 其最小值为点 F

28、到直线 l1的距离,|FM|3 故答案为:3 【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的公式,属于难题 16 (5 分)已知a1,2) ,x0(0,1,使得,则实数 m 的取 值范围为 (,e1) 【分析】若a1,2) ,x0(0,1,使得,则 m 小于函数 f (x)最大值的最小值,利用导数法求得答案 【解答】解:令 f(x), 则 f(x), 第 14 页(共 19 页) 当 a1,2) ,x(0,1时,f(x)0 恒成立, 故 f(x)在区间(0,1上为增函数, 当 x1 时,函数取最大值 eaa, 令 g(a)eaa,则 g(a)ea1, 当 a1,2)时,g(a)0

29、 恒成立, 故 g(a)在区间1,2)上为增函数, 当 a1 时,函数取最小值 e1, 若a1,2) ,x0(0,1,使得, 即a1,2) ,x0(0,1,使得成立, 故 me1, 故实数 m 的取值范围为: (,e1) 故答案为: (,e1) 【点评】本题考查的知识点是导数在函数最值中的应用,转化思想,存在性问题和恒成 立问题,难度中档 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)已知命题 p:函数 f(x)x3mx2+1 在 x1,2上单调递减;命题 q:曲线

30、1 为双曲线 ()若“p 且 q”为真命题,求实数 m 的取值范围; ()若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范围 【分析】 ()求出命题 p,q 为真命题的等价条件,结合“p 且 q”为真命题进行求解即 可 ()根据复合命题真假关系进行转化求解即可 【解答】解: ()若 p 为真命题,f(x)3x22mx0 在1,2恒成立, 即 mx 在1,2恒成立, x 在1,2的最大值是 3, m3   若 q 为真命题,则(m2) (6m)0,解得 2m6, 第 15 页(共 19 页) 若“p 且 q”为真命题,即 p,q 均为真命题, 所以,解得 3m6

31、, 综上所述,若“p 且 q”为真命题,则实数 m 的取值范围为3,6) ()若“p 或 q”为真命题, “p 且 q”为假命题,即 p,q 一真一假, 当 p 真 q 假时,解得 m6, 当 p 假 q 真时,解得 2m3, 综上所述,实数 m 的取值范围为(2,3)6,+) 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用,求出命题为真命题的等价条件是解决 本题的关键 18 (12 分)已知函数 f(x)x3+x2 ()求曲线 yf(x)在点(2,8)处的切线方程; ()直线 l 为曲线 yf(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标 【分析】 ()求得函数 f(x)的导数,可得切线

32、的斜率,由点斜式方程可得所求切线方 程; ()设切点为(m,m3+m2) ,求得切线的斜率,可得切线方程,代入原点,可得 m 的值,即可得到切点和所求切线方程 【解答】解: ()函数 f(x)x3+x2 的导数为 f(x)3x2+1, 所以曲线 f(x)在 x2 处的斜率为 f(2)13, 则切线方程为 y813(x2) ,即 13xy180; ()设切点为(m,m3+m2) ,则 f(m)3m2+1, 所以切线方程为 y(m3+m2)(3m2+1) (xm) , 因为切线过原点,所以(m3+m2)(3m2+1) (m) , 所以 2m32,解得 m1, 所以 f(1)4,故所求切线方程为 y

33、4x, 又因为 f(1)4,切点为(1,4) 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程,考查导数的几何意义,注意切点的确定, 考查化简运算能力,属于中档题 19 (12 分)已知直线 l 过点 P(0,1) ,圆 C:x2+y26x+80,直线 l 与圆 C 交于 A,B 第 16 页(共 19 页) 两点 ()求直线 PC 的方程; ()求直线 l 的斜率 k 的取值范围; ()是否存在过点 Q(6,4)且垂直平分弦 AB 的直线 l1?若存在,求直线 l1斜率 k1 的值,若不存在,请说明理由 【分析】 (I) 求出圆的圆心坐标,利用截距式方程求直线 PC 的方程; (II)法 1:联立直线

34、与圆的方程,通过判别式求解 k 的范围即可; 法 2:利用点到直线的距离公式与半径的关系,转化求解直线 l 的斜率 k 的取值范围; ()求出直线 l1 的斜率,利用垂直关系,判断是否存在直线方程 【解答】解: (I)设圆 C: (x3)2+y21,圆心为 C(3,0) ,直线 l 过点 P(0,1) , 故直线 PC 的方程为,即 x+3y30(5 分) (II)法 1:直线 l 的方程为 ykx+1,则 由得(k+1)x2+(2x6)x+90 由(2k6)236(k2+1)0 得24k36k20 故(10 分) 法 2:直线 l 的方程为 ykx+1,即 kxy+10, 圆心为 C(3,0

35、) ,圆的半径为 1 则圆心到直线的距离, 因为直线与有交于 A,B 两点,故,故 ()假设存在直线 l1垂直平分于弦 AB,此时直线 l1过 Q(6,4) ,C(3,0) , 则,故 AB 的斜率, 由( II)可知,不满足条件 所以,不存在存在直线 l1垂直于弦 AB             (14 分) 【点评】本题考查直线与圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力 20 (12 分)已知函数 f(x)ln(ax+1)+,x0,其中 a0 (1)若 f(x)在 x1 处取得极值,求 a 的值; 第 17 页(共 19 页) (2

36、)若 f(x)的最小值为 1,求 a 的取值范围 【分析】 (1),由 f(x)在 x1 处取得极 值,得到 f(1)0,由此能求出 a (2),由 x0,a0,得 ax+10,1+x0,从而当 a2 时,在区间(0,+)上,f(x)0,f(x)递增,f(x)的最小值为 f(0)1当 0a2 时,由 f(x)0,得 x;由 f(x)0,得 x由此能求出 f(x)得最小值为 1 时 a 的取值范围 【解答】解: (1)函数 f(x)ln(ax+1)+,x0,其中 a0, f(x)在 x1 处取得极值, f(1)0,解得 a1, 经检验 a1 成立,故 a 的值为 14 分 (2), x0,a0,

37、ax+10,1+x0 当 a2 时,在区间(0,+)上,f(x)0,f(x)递增,f(x)的最小值为 f(0) 1 当 0a2 时,由 f(x)0, 解得 x;由 f(x)0,解得 x f(x)的单调减区间为(0,) ,单调增区间为(,+) f(x)在 x处取得最小值 f()f(0)1,不合题意 综上可知,若 f(x)得最小值为 1,则 a 的取值范围是2,+) 10 分 【点评】本题考查实数值的求法,考查实数的取值范围的求法,考查导数性质、导数的 几何意义等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、分类 讨论与整合思想、函数与方程思想,是中档题 第 18 页(共 19 页

38、) 21 (12 分)已知椭圆 C:1(ab0)的左右焦点分别为 F1(1,0) 、F2(1, 0) ,经过 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且F1AB 的周长为 8 ()求椭圆 C 的方程; ()记AF1F2与BF1F2的面积分别为 S1和 S2,求|S1S2|的最大值 【分析】 ()由已知结合椭圆定义可求椭圆 C 的方程; ()由设而不求的方法分 m0 时,m0 时讨论,结合均值不等式可得结果 【解答】解: ()因为 F1(1,0)为椭圆 C 的焦点,所以 c1, 由椭圆的定义知,F1AB 的周长为: (|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)2a+2a4a8,

39、 解得 a2,所以 b2a2c23, 所以椭圆 C 的方程为; ()设直线 l 的方程为 xmy+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由,整理得(3m2+4)y2+6my90,则 y1+y2, |S1S2|F1F2|(|y1|y2|)|y1+y2|, 当 m0 时,|S1S2|0, 当 m0 时,|S1S2|, (当且仅当 m时等号成立)综上所述,|S1S2|的最大值为 【点评】本题考查了与椭圆有关的最值得求法,考查了数学转化思想方法,是中档题 22 (12 分)已知函数 f(x)(ax2) (lnalnx) (其中 x0,a0) ,记函数 f(x)的 导函数为 g(x)f(x) (

40、)求函数 g(x)的单调区间; ()是否存在实数 a,使得 f(x)0 对任意正实数 x 恒成立?若存在,求出满足条件 的实数 a;若不存在,请说明理由 【分析】 ()求出函数的导数,根据导函数的符号,求出函数的单调区间即可; 第 19 页(共 19 页) ()根据函数的单调性求出 f(x)的最大值,结合基本不等式的性质确定 a 的值即可  【解答】解: ()g(x)f(x)alnaalnxa+, g(x),x0,a0,g(x)0 恒成立, g(x)的单调减区间为(0,+) ,无递增区间;(4 分) () :由()知 g(x)在(0,+)上单调递减, 所以 g(x)0 在(0,+)上

41、必存在实数根,不妨记 g(x0)0, 即 alnaalnx0a+0,可得 lnx0lna1+ (*) 当 x(0,x0)时,g(x)0,即 f(x)0, 当 x(x0,+)时,g(x)0,即 f(x)0, 所以 f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+)上单调递减, 所以 f(x)maxf(x0)(ax02) (lnalnx0) ,(8 分) 把(*)式代入可得 f(x)max(ax02) (1)ax0+4, 依题意 f(x)maxf(x0)ax0+40 恒成立, 又由基本不等式有 ax0+40, 当且仅当 ax02 时等号成立,解得 ax02,所以 x0 代入(*)式得,lnlna,所以a,又a0,所以解得 a 综上所述,存在实数 a,使得 f(x)0 对任意正实数 x 恒成立(12 分) 【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及基本不等式的性质, 考查转化思想,是一道综合题

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