1、2018-2019 学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中) 1 （5 分）下列导数运算正确的是（ ） A （x 1） B （2x）x2x 1 C （cosx）sinx D （lnx+x）1 2 （5 分）下列说法正确的是（ ） A函数 f（x）既是奇函数又在区间（，0）上单调递增 B若命题 p，q 都是真命题，则命题
2、 pq”为真命题 C命题： “若 xy0，则 x0 或 y0 的否命题为若 xy0，则 x0 或 y0” D命题“xR，2x0”的否定是“x0R，20” 3 （5 分） “a1”是“直线 ax+y1 与直线 x+ay2 平行”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）如图是一个几何体的三视图，其左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 （ ） A B C2 D4 5 （5 分）若曲线 yx2+mx+n 在点（0，n）处的切线方程是 xy+10，则（ ） Am1，n1 Bm1，n1 Cm1，n1 Dm
3、1，n1 6 （5 分）在空间直角坐标系中，点 M（1，2，3）到 z 轴的距离为（ ） A B3 C D 第 2 页（共 19 页） 7 （5 分）点 M 是抛物线 y22px（p0）上一点，F 为抛物线的焦点，FMx 轴，且|OM| ，则抛物线的准线方程为（ ） Ax1 Bx2 Cy1 Dy2 8 （5 分）设 m，n 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题中正确的（ ） A若 m，mn，n，则 B若 m，mn，n，则 C若 m，mn，n，则 D若 m，mn，n，则 9 （5 分）若直线 ax2by2ab0（a0，b0）平分圆（x2）2+（y+1）22 的周
4、长， 则 a+2b 的最小值为（ ） A1 B3+2 C4 D5 10 （5 分）F1，F2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上异于顶点的一点，且F1PF2是等腰直 角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A B C D1 11 （5 分）已知 x，y 满足 x24x+y20，则 x2y 的最大值为（ ） A2 B2+2 C3+2 D4 12 （5 分）已知点 F1（2，0） ，F2（2，0） ，动点 P 满足|PF2|PF1|2，当点 P 的纵 坐标是时，则的值是（ ） A3 B5 C15 D17 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案
5、直接填在答题卡相应的横线分，把答案直接填在答题卡相应的横线 上）上） 13 （5 分）经过点 P（0，1）作直线 l 与连接 A（1，2） ，B（2，1）的直线垂直，则直 线 l 的方程为 14 （5 分）命题“对任意 xR，mx2+（m+1）x+10 恒成立”是真命题，则实数 m 的取值 集合是 15 （5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，BA，BC，BB1两两垂直，且 BA1，BC1，BB1 2，则三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的表面积为 16 （5 分）已知椭圆中心在原点，一个顶点是抛物线 y28x 的焦点，且离心率为，则椭 圆标准方程为
6、 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤) 第 3 页（共 19 页） 17 （10 分）命题 p：若存在 x0R，使得 m2sinx00 成立；命题 q：方程1 表示焦点在 x 轴上的双曲线如果“p 且 q”为假命题， “p 或 q”为真命题，求实数 m 的 取值范围 18 （12 分）如图，四面体 PABC 中，PA平面 ABC，PA1，ABBC1，AC （1）证明 BC平面 PAB； （2）在线段 PC 上是否存在点 D，使得 ACBD，若存在，
7、求 PD 的值，若不存在，请 说明理由 19 （12 分）在菱形 ABCD 中，A（4，6） ，C（6，4） ，边 CD 所在直线过点 M（3，3） （1）求对角线 BD 及边 AB 所在直线的方程； （2）求菱形 ABCD 内切圆方程，并判断此圆与直线 AM 的位置关系 20 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1B1C12，B1A1C130，D 为 AC1 的中点 （1） 若 CC1平面 A1B1C1， 求证： 直线 A1B平面 CB1D； 平面 CB1D平面 CC1A1A （2）若点 C1在平面 ABC 上的射影在 BC 上，且侧面 C1CBB
8、1的面积为 4，求三棱锥 B CB1D 的体积 21 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax24ax+5a（aR） （1）若曲线 yf（x）存在两条垂直于 y 轴的切线，求实数 a 的取值范围； （2）若 a0 且 g（x）f（x），（x）ax+2，当 x11，3，x01，3 第 4 页（共 19 页） 时，不等式 （x1）g（x0）恒成立，求实数 a 的取值范围 22 （12 分）已知抛物线 C：y，过焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A、B 两点，点 E 是抛 物线的准线 l 与 y 轴的交点； （1）若 ABy 轴，求ABE 的面积 （2）设 M 为 AB 的中点，以点 A 为切点的抛
9、物线的切线交准线 l 于点 N，求证：MNx 轴 第 5 页（共 19 页） 2018-2019 学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省吉安市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填入答题卡中) 1 （5 分）下列导数运算正确的是（ ） A （x 1） B （2x）x2x 1 C
10、（cosx）sinx D （lnx+x）1 【分析】根据求导公式计算即可 【解答】解： （x 1） ， （2x）2xln2， （cosx）sinx， （lnx+x）1+， 故选：D 【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题 2 （5 分）下列说法正确的是（ ） A函数 f（x）既是奇函数又在区间（，0）上单调递增 B若命题 p，q 都是真命题，则命题 pq”为真命题 C命题： “若 xy0，则 x0 或 y0 的否命题为若 xy0，则 x0 或 y0” D命题“xR，2x0”的否定是“x0R，20” 【分析】由反比例函数的奇偶性和单调性可判断
11、 A；由 p 真 q 假，结合复合命题的真假， 可判断 B； 由命题的否命题为既对条件否定，又对结论否定，可判断 C；由全称命题的否定为特称 命题，可判断 D 【解答】解：函数 f（x）既是奇函数又在区间（，0）上单调递减，故 A 错误； 命题 p，q 都是真命题，即 p 真 q 假则命题 pq”为假命题，故 B 错误； 命题： “若 xy0，则 x0 或 y0 的否命题为若 xy0，则 x0 且 y0” ，故 C 错误； 命题“xR，2x0”的否定是“x0R，20” ，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，复合命题的真假和命题的否定与否命 第 6 页
12、（共 19 页） 题的区别，考查判断能力，是一道基础题 3 （5 分） “a1”是“直线 ax+y1 与直线 x+ay2 平行”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】由 a1 能得到直线 ax+y1 与直线 x+ay2 平行，反之由两直线平行可得 a 1由此可得答案 【解答】解：由 a1，得两直线方程为 x+y1 与 x+y2，两直线平行； 由直线 ax+y1 与直线 x+ay2 平行，可得，解得：a1 “a1”是“直线 ax+y1 与直线 x+ay2 平行”的充分而不必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分必要条件的判定方
13、法，考查了直线的一般式方程与直线平行的 关系，是基础题 4 （5 分）如图是一个几何体的三视图，其左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 （ ） A B C2 D4 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果 【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为： 下底为底边长 2，高为 1 的等腰直角三角形，高为 2 的直三棱柱 故：V 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主 要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 第 7 页（共 19 页） 5 （5 分）若曲线 yx2+mx+n 在点（0，n）处的切线方程
14、是 xy+10，则（ ） Am1，n1 Bm1，n1 Cm1，n1 Dm1，n1 【分析】根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，根据导数的几何意义进行求 解即可 【解答】解：曲线在点（0，n）处的切线方程是 xy+10， 0n+10，则 n1，即切点坐标为（0，1） ， 且切线斜率 k1， 此时曲线方程为 yx2+mx+1， 则函数的导数 f（x）2x+m 即 kf（0）0+m1，即 m1， 则 m1，n1， 故选：B 【点评】本题主要考查函数的切线的应用，利用导数的几何意义建立方程关系是解决本 题的关键 6 （5 分）在空间直角坐标系中，点 M（1，2，3）到 z 轴的距离为（ ） A
15、 B3 C D 【分析】空间直角坐标系中点 M（x，y，z）到 z 轴的距离为 【解答】解：空间直角坐标系中，点 M（1，2，3）到 z 轴的距离为 故选：A 【点评】本题考查了空间直角坐标系下的距离计算问题，是基础题 7 （5 分）点 M 是抛物线 y22px（p0）上一点，F 为抛物线的焦点，FMx 轴，且|OM| ，则抛物线的准线方程为（ ） Ax1 Bx2 Cy1 Dy2 【分析】根据题意写出抛物线 y22px 的焦点坐标，求出点 M，再根据|OM|的值求出 p， 即可写出抛物线的准线方程 【解答】解：如图所示， 第 8 页（共 19 页） 抛物线 y22px 的焦点为 F（，0） ，
16、M 为抛物线上的点，且 FMx 轴， M（，p） ； 又|OM|， +p25， 解得 p2， 所以抛物线的准线方程为 x1 故选：A 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题 8 （5 分）设 m，n 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题中正确的（ ） A若 m，mn，n，则 B若 m，mn，n，则 C若 m，mn，n，则 D若 m，mn，n，则 【分析】作出示意图，可逐个否定 A，B，C，故选 D 【解答】解：A，如图可否定 A； 第 9 页（共 19 页） B， 如图可否定 B； D， 如图可否定 D； 故选：C 【点评】此
17、题考查了直线，平面的各种位置关系，难度不大 9 （5 分）若直线 ax2by2ab0（a0，b0）平分圆（x2）2+（y+1）22 的周长， 则 a+2b 的最小值为（ ） A1 B3+2 C4 D5 【分析】 根据题意得圆心在直线上得+1， a+2b （a+2b）（+） 1+2+ （+） 再用基本不等式可得 【解答】解：因为直线 ax2by2ab0（a0，b0）平分圆（x2）2+（y+1）22 的周长， 所以圆心（2，1）在直线 ax2by2ab0 上，所以 2a+2b2ab，即+1， a+2b （a+2b）（+） 1+2+ （+） 3+23+2，（当且仅当 a+1， b1+） 故选：B 【
18、点评】本题考查了直线与圆的位置关系，基本不等式，属中档题 第 10 页（共 19 页） 10 （5 分）F1，F2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上异于顶点的一点，且F1PF2是等腰直 角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A B C D1 【分析】由已知可得，角 F1或角 F2为直角，不妨令角 F2为直角，求出 PF2的长度，再 由 PF2F1F2列式求得椭圆的离心率 【解答】解：由PF1F2是等腰直角三角形，且 P 是椭圆上异于顶点的一点， 角 F1或角 F2为直角，不妨令角 F2为直角， 此时 P（c，y） ， 代入椭圆方程（不妨设焦点在 x 轴上） ， 解得 y， 又三角形 PF1F2为等腰直
19、角三角形，得 PF2F1F2， 故得，即 2aca2c2， 即 e2+2e10，解得 e1， 由 0e1，可得 e1+， 故选：D 【点评】本题考查椭圆的方程、性质和应用，正确理解题意是关键，是中档题 11 （5 分）已知 x，y 满足 x24x+y20，则 x2y 的最大值为（ ） A2 B2+2 C3+2 D4 【分析】设 x2yt，则可利用 直线 x2yt0 与圆有交点列式解不等式可解得 【解答】解：x24x+y20 可化为（x2）2+y24，设 x2yt， 则直线 x2yt0 与圆有交点，所以2，解得 22t2+2， 故选：B 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题 12 （5
20、 分）已知点 F1（2，0） ，F2（2，0） ，动点 P 满足|PF2|PF1|2，当点 P 的纵 坐标是时，则的值是（ ） A3 B5 C15 D17 【分析】由已知可得 P 的轨迹是以 F1（2，0） ，F2（2，0）为焦点的双曲线的左支， 第 11 页（共 19 页） 结合定义可求方程，进而可求 P，然后由向量数量积的坐标表示即可求解 【解答】解：由题意可设 P（x，） ， F1（2，0） ，F2（2，0） ，|PF2|PF1|2， P 的轨迹是以以 F1（2，0） ，F2（2，0）为焦点的双曲线的左支， 其方程为（x） ， 点 P 的纵坐标是时，横坐标为 x3，即 P（3，） ， （
21、3，）5， 故选：B 【点评】本题主要考查了双曲线的定义及向量数量积的坐标表示，属于基础试题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案直接填在答题卡相应的横线分，把答案直接填在答题卡相应的横线 上）上） 13 （5 分）经过点 P（0，1）作直线 l 与连接 A（1，2） ，B（2，1）的直线垂直，则直 线 l 的方程为 x+y10 【分析】利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出 【解答】解：kAB1 直线 l 与连接 A（1，2） ，B（2，1）的直线垂直， kl1 直线 l 的方程为：yx+1，即 x+y10
22、 故答案为：x+y10 【点评】本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题 14 （5 分）命题“对任意 xR，mx2+（m+1）x+10 恒成立”是真命题，则实数 m 的取值 集合是 1 【分析】结合分类讨论的数学思想方法分m0 时，m0 时及二次不等式恒成立问 题解题即可， 【解答】解：由命题“对任意 xR，mx2+（m+1）x+10 恒成立”是真命题， 则m0 时，不等式可变为 x+10，显然不满足题意， m0 时，由已知有，解得：m1， 第 12 页（共 19 页） 综合得： 实数 m 的取值集合是1， 故答案为：1 【点评】本题考查了
23、不等式恒成立问题及分类讨论的数学思想方法，属简单题 15 （5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，BA，BC，BB1两两垂直，且 BA1，BC1，BB1 2，则三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的表面积为 6 【分析】先证明 BB1平面 ABC，计算出直角ABC 的外接圆直径 AC，然后利用公式 可计算出外接球的直径，最后利用球体表面积公式可得出答案 【解答】解：BA，BC，BB1两两垂直，且 ABBCB，BB1平面 ABC， 直角ABC 的外接圆直径为， 所以，该三棱柱 ABCA1B1C1的外接球直径为 因此，三棱柱 ABCA1B1C1的外接球的表面积为 4R2（2R）26 故答案为：6
24、【点评】本题考查球体表面积的计算，考查直线与平面垂直的判定，考查计算能力与推 理能力，属于中等题 16 （5 分）已知椭圆中心在原点，一个顶点是抛物线 y28x 的焦点，且离心率为，则椭 圆标准方程为 1 或1 【分析】求出抛物线的焦点坐标得出椭圆的一个顶点坐标，讨论椭圆的焦点在 x 轴和 y 轴上，分别求出椭圆的标准方程 【解答】解：抛物线 y28x 的焦点为 F（2，0） ，椭圆的一个顶点为 A（2，0） ； 若椭圆的焦点在 x 轴上，则 a2，且离心率为 e， c1，b2a2c23， 椭圆标准方程为+1； 若椭圆的焦点在 y 轴上，则 b2，且离心率为 e， b2，b2a2c23c24，
25、解得 c2，a2， 第 13 页（共 19 页） 椭圆标准方程为+1； 综上，所求椭圆的标准方程是+1 或+1 故答案为：+1 或+1 【点评】本题考查了椭圆的标准方程与应用问题，也考查了抛物线的标准方程应用问题， 是基础题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤骤) 17 （10 分）命题 p：若存在 x0R，使得 m2sinx00 成立；命题 q：方程1 表示焦点在 x 轴上的双曲线如果“p 且 q”为假命题， “p 或 q”为真命题，求实数 m 的 取值范围 【
26、分析】先求出 p 真和 q 真时的 m 的范围，又“p 且 q“为假命题， “p 或 q“为真命题， 则 p，q 中一真一假，在按照 p 真 q 假，p 假 q 真两种情况解不等式后结果相并 【解答】解：若命题 p 为真命题，则：m2sinx 有解，得2m2， 若命题 q 为真命题，则，即 1m3， 又“p 且 q“为假命题， “p 或 q“为真命题，则 p，q 中一真一假， 即：或 2m1 或 2m3 实数 m 的取值范围为2，1（2，3） 【点评】本题考查了复合命题及其真假，属基础题 18 （12 分）如图，四面体 PABC 中，PA平面 ABC，PA1，ABBC1，AC （1）证明 BC
27、平面 PAB； （2）在线段 PC 上是否存在点 D，使得 ACBD，若存在，求 PD 的值，若不存在，请 说明理由 第 14 页（共 19 页） 【分析】 （1）推导出 ABBC，PABC，PAAB，由此能证明 BC平面 PAB （2）过点 B 作 BEAC，垂足为 E，过点 E 作 DEPA，交 PC 于点 D，连结 BD，推导 出 PAAC，DEAC，从而 AC平面 DBE，进而 ACBD，由此能求出点 D 为 PC 的 中点，且 PD，使得 ACBD 【解答】证明： （1）由题设知 ABBC1，AC， AB2+BC2AC2，ABBC， PA平面 ABC，PABC，PAAB， PAABA
28、，BC平面 PAB 解： （2）点 D 为 PC 的中点，且 PD，使得 ACBD 理由如下： 在平面 ABC 内，过点 B 作 BEAC，垂足为 E， 在平面 PAC 内，过点 E 作 DEPA，交 PC 于点 D，连结 BD， 由 PA平面 ABC，知 PAAC，DEAC， AC平面 DBE， BD平面 DBE，ACBD， 在ABC 中，ABBC1，点 E 为 AC 的中点，则点 D 为 PC 的中点， 在 RtAPC 中，AP1，AC，PC， PD 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考 第 15 页（共 19 页） 查空间中线线、线面、面面间的位置
29、关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结 合思想，是中档题 19 （12 分）在菱形 ABCD 中，A（4，6） ，C（6，4） ，边 CD 所在直线过点 M（3，3） （1）求对角线 BD 及边 AB 所在直线的方程； （2）求菱形 ABCD 内切圆方程，并判断此圆与直线 AM 的位置关系 【分析】 （1）由菱形的对角线相互垂直，可得 BDAC，利用斜率计算公式可得 kAC，可 得 kBD而 AC 的中点（1，1） ，也是 BD 的中点，可得直线 BD 的方程由 kAB kCD，利用点斜式可得直线 AB 的方程 （2）直线 AC 的方程为：y6（x+4） ，化为：x+y20联
30、立，解得菱 形 ABCD 内切圆的圆心利用点到直线的距离公式可得半径 r可得圆的方程通过计算 圆心到直线 AM 的距离 d，与半径比较即可得出 【解答】解： （1）菱形的对角线相互垂直，BDAC，kAC1 kBD1 而 AC 的中点（1，1） ，也是 BD 的中点， 直线 BD 的方程为：y1x1，即 yx kABkCD 直线 AB 的方程为：y6（x+4） ，即 7x+3y+100 （2）直线 AC 的方程为：y6（x+4） ，化为：x+y20 联立，解得 xy1 菱形 ABCD 内切圆的圆心为（1，1） 半径 r 菱形 ABCD 内切圆方程为： （x1）2+（y1）2 直线 AM 的方程为
31、：y3（x3） ，即 3x+7y300 圆心到直线 AM 的距离 dr， 菱形 ABCD 内切圆与直线 AM 相切 第 16 页（共 19 页） 【点评】本题考查了菱形的性质、点到直线的距离公式、斜率计算公式、相互垂直的直 线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，A1B1B1C12，B1A1C130，D 为 AC1 的中点 （1） 若 CC1平面 A1B1C1， 求证： 直线 A1B平面 CB1D； 平面 CB1D平面 CC1A1A （2）若点 C1在平面 ABC 上的射影在 BC 上，且侧面 C1CBB1的面
32、积为 4，求三棱锥 B CB1D 的体积 【分析】 （1）连接 B1C 交 BC1于点 E，连接 DE，由三角形中位线定理可得 DEA1B， 再由线面平行的判定可得 A1B平面 CB1D； 若 CC1平面 A1B1C1，则 B1DCC1，结合 A1B1B1C1，且 D 为 A1C1 的中点，得到 B1DA1C1，由线面垂直的判定可得 B1D平面 CC1A1A，进一步得到平面 CB1D平面 CC1A1A； （2）过点 C1 作 C1H平面 ABC，垂足为 H，则点 H 在 BC 上，由已知求得 C1H2， 再由等积法求三棱锥 BCB1D 的体积 【解答】 （1）证明：连接 B1C 交 BC1于点
33、 E，连接 DE， 则 E 为 B1C 的中点，又 D 为 A1C1 的中点，DEA1B， DECB1D，A1B平面 CB1D， A1B平面 CB1D； 若 CC1平面 A1B1C1，又 B1D平面 A1B1C1， B1DCC1， 又 A1B1B1C1，且 D 为 A1C1 的中点， B1DA1C1，而 CC1A1C1C1， B1D平面 CC1A1A，又 B1D平面 CB1D， 平面 CB1D平面 CC1A1A； 第 17 页（共 19 页） （2）解：过点 C1 作 C1H平面 ABC，垂足为 H，则点 H 在 BC 上， 由 A1B1B1C12，侧面 C1CBB1的面积为 4，得 C1HB
34、C4，则 C1H2 又 A1B1B1C12，B1A1C130，则 【点评】本题考查空间中直线与平面，平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力 与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x3+ax24ax+5a（aR） （1）若曲线 yf（x）存在两条垂直于 y 轴的切线，求实数 a 的取值范围； （2）若 a0 且 g（x）f（x），（x）ax+2，当 x11，3，x01，3 时，不等式 （x1）g（x0）恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于 a 的不等式，解出即可； （2）问题转化为 （x
35、）ming（x）max，根据函数的单调性求出函数的最值，得到关于 a 的不等式，解出即可 【解答】解： （1）若曲线 yf（x）存在两条垂直于 y 轴的切线， 则关于 x 的方程 f（x）0 有 2 个不相等的实数根， 又 f（x）x2+2ax4a， 即方程 x2+2ax4a0 有 2 个不相等的实数根， 故（2a）2+16a0，解得：a0 或 a4， 故实数 a 的范围是（0，+）（，4） ； （2）当 x11，3，x01，3时，不等式 （x1）g（x0）恒成立， 即 （x）ming（x）max， 又函数 （x）在1，3递增，则函数 （x）min2a， 且函数 g（x）a（x2）2+a，x1
36、，3， 第 18 页（共 19 页） 则函数 g（x）max10a， 则有 2a10a，即 0a， 故 a 的范围是（0， 【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以 及转化思想，是一道常规题 22 （12 分）已知抛物线 C：y，过焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A、B 两点，点 E 是抛 物线的准线 l 与 y 轴的交点； （1）若 ABy 轴，求ABE 的面积 （2）设 M 为 AB 的中点，以点 A 为切点的抛物线的切线交准线 l 于点 N，求证：MNx 轴 【分析】 （1）求出抛物线 C 的焦点 F 的坐标和准线的方程，可得出点 E 的坐标，由 A
37、B y 轴可得出点 A、B 的坐标，再由三角形的面积公式可求出ABE 的面积； （2）设点、，将直线 AB 的方程与抛物线 C 的方程联立，列 出韦达定理，求出的点 M 的坐标，并求出抛物线 C 在点处切线的方程，将该切线与准线 l 方程联立，可得出点 N 的横坐标，利用点 M、N 的横坐标相等来证明结论 【解答】解： （1）由已知得：抛物线 C 的方程即为：x24y，焦点 F（0，1） ， 且准线 l 的方程为 x1，则点 E（0，1） ABy 轴，A（2，1） 、B（2，1）或 A（2，1） 、B（2，1） ， 则； （2）证明：设直线 AB 的方程为 ykx+1，设点、 则，得 x24kx40，由韦达定理得 x1+x24k 且 线段 AB 的中点 M 的恒坐标为 又 以 点 A 为 切 点 的 抛 物 线 的 切 线 的 斜 率 为， 切 线 方 程 为 第 19 页（共 19 页） ， 令 y1，得点 N 的横坐标为 xMxN，即 MNx 轴 【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查三角形面积的计算，同时也考查了切线方 程的计算，考查计算能力与推理能力，属于中等题
