1、2018-2019 学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分在每小题列出的四个选项中只有分在每小题列出的四个选项中只有 一项是最符合题目要求的）一项是最符合题目要求的） 1 （5 分）已知，则复数 z 的虚部为（ ） A B C D 2 （5 分）如果“（pq） ”为真命题，则（ ） Ap，q 都是真命题 Bp，q 都是假命题 Cp，q 中至少有一个是真命题 Dp，q 中至多有一个是真命题 3 （5 分）函数 yf（x）的图象如图所示，则导函数 yf（x）的图象可能是（ ） A B C D 4 （5 分）已
2、知函数 f（x）在 x1 处的导数为 1，则（ ） A3 B C D 5 （5 分）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分 的概率为（ ） 第 2 页（共 20 页） A B C D 6 （5 分）正整数按如表的规律排列，则上起第 2005 行，左起第 2006 列的数应为（ ） A20052 B20062 C2005+2006 D20052006 7 （5 分） 设 M 为椭圆+1 上的一个点， F1， F2为焦点， F1MF260， 则MF1F2 的周长和面积分别为（ ） A16， B18， C16， D18， 8 （5 分）若函数 f（x）
3、x2+x+1 在区间（，3）上单调递减，则实数 a 的取值范 围为（ ） A （，） B （，+） C，+） D2，+） 9 （5 分）若直线 l 过点（3，0）与双曲线 4x29y236 只有一个公共点，则这样的直线有 （ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 10 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围 是（ ） A1a2 B3a6 Ca3 或 a6 Da1 或 a2 11 （5 分）在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 第 3 页（共 20 页） C 与直线 2x+y40
4、相切，则圆 C 面积的最小值为（ ） A B C （62） D 12 （5 分）若关于 x 的不等式 xexax+a0 的解集为（m，n） （n0） ，且（m，n）中只有 一个整数，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分把答案填在答题纸的横线上）分把答案填在答题纸的横线上） 13 （5 分） “ab” 是 “直线 yx+2 与圆 （xa） 2+ （yb）22 相切” 的 条件 （充 分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要） 14 （5 分）已知 f（x）是偶函数，且f（x）dx6，
5、则f（x）dx 15 （5 分）已知函数，其导函数记为 f（x） ，则 f（2016）+f（2016） +f（2016）f（2016）的值为 16 （5 分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1、F2，这 两条曲线在第一象限的交点为 P，PF1F2 是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10， 椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e2，则 e1e2 的取值范围为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 题，共计题，共计 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在数列an中，an+1 （1）
6、计算 a2，a3，a4并猜想数列an的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想 18 （12 分）设命题 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，其中 a0，命题 q：实数 x 满足 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，在以直 角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 第 4 页（共 20 页） （）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （）若直线 l 与曲线 C
7、 相交于 A，B 两点，求AOB 的面积 20 （12 分）已知函数 f（x）ax+b，在点 M（1，f（1） ）处的切线方程为 9x+3y 100，求 （1）实数 a，b 的值； （2）函数 f（x）的单调区间以及在区间0，3上的最值 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2且离心率为 ，Q、A、B 为椭圆 C 上三个点，QF1F2的周长为 4（+1） ，线段 AB 的垂直平分 线经过点 P（1，0） （1）求椭圆 C 的方程； （2）求线段 AB 长度的最大值 22 （12 分）已知函数 f（x）（a） （） 讨论函数 f（x）的单调性； （） 设 g（
8、x）a2lnx2x，若 f（x）g（x）对x1 恒成立，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2018-2019 学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分在每小题列出的四个选项中只有分在每小题列出的四个选项中只有 一项是最符合题目要求的）一项是最符合题目要求的） 1 （5 分）已知，则复数 z 的虚部为（ ） A B C D 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】解：+
9、i，则复数 z 的虚部为 故选：B 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 2 （5 分）如果“（pq） ”为真命题，则（ ） Ap，q 都是真命题 Bp，q 都是假命题 Cp，q 中至少有一个是真命题 Dp，q 中至多有一个是真命题 【分析】根据命题的否定关系，先由 （pq） ”为真命题，可得 pq 为假命题 再根据 pq 与 p 和 q 的真假性可得 p，q 中至多有一个是真命题 【解答】解：若原命题和命题的否定的真假性是相对的 所以“ （pq） ”为真命题，可得“ （pq） ”为假命题 要使 pq 为假命题，则 p 和 q 同时为假命题，或
10、p 和 q 中一真一假， 即 p，q 中至多有一个是真命题 故选：D 【点评】此题考查命题的否定和 pq 的真假性的判断 3 （5 分）函数 yf（x）的图象如图所示，则导函数 yf（x）的图象可能是（ ） 第 6 页（共 20 页） A B C D 【分析】根据 f（x）0，函数 f（x）单调递增；f（x）0 时，f（x）单调递减，根 据图形可得 f（x）0，即可判断答案 【解答】解：由函数图象可知函数在（，0） ， （0，+）上均为减函数， 所以函数的导数值 f（x）0，因此 D 正确， 故选：D 【点评】本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：f（x）0 时，函数 f（x）单调 递增；f
11、（x）0 时，f（x）单调递减 4 （5 分）已知函数 f（x）在 x1 处的导数为 1，则（ ） A3 B C D 【分析】先对进行化简变形，转化成导数的定义式 f（x） 即可解得 【解答】解： 故选：B 【点评】本题主要考查了导数的定义，以及极限及其运算，属于基础题 5 （5 分）如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P，则点 P 恰好取自阴影部分 第 7 页（共 20 页） 的概率为（ ） A B C D 【分析】根据题意，易得正方形 OABC 的面积，观察图形可得，阴影部分由函数 yx 与 y围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得 答案
12、 【解答】解：根据题意，正方形 OABC 的面积为 111， 而阴影部分由函数 yx 与 y围成，其面积为01（x）dx（）|01 ， 则正方形 OABC 中任取一点 P，点 P 取自阴影部分的概率为； 故选：C 【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出 阴影部分的面积 6 （5 分）正整数按如表的规律排列，则上起第 2005 行，左起第 2006 列的数应为（ ） A20052 B20062 C2005+2006 D20052006 【分析】由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的 第 8 页（共 20 页） 数则满足列数减 1
13、 的平方再加 1由此能求出上起第 2005 行，左起第 2006 列的数 【解答】解：由给出排列规律可知， 第一列的每个数为所该数所在行数的平方， 而第一行的数则满足列数减 1 的平方再加 1 依题意有，左起第 2006 列的第一个数为 20052+1， 故按连线规律可知， 上起第 2005 行，左起第 2006 列的数应为 20052+200520052006 故选：D 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答其中分析出数的 排列规律是解答的关键 7 （5 分） 设 M 为椭圆+1 上的一个点， F1， F2为焦点， F1MF260， 则MF1F2 的周长和面积分别为（
14、） A16， B18， C16， D18， 【分析】首先根据题中的已知条件以余弦定理为突破口，建立等量关系进一步求得 MF1F2的周长和面积 【解答】解：M 是椭圆+1 上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点，F1MF260， 设：|MF1|x，|MF2|y， 根据余弦定理得：x2+y2xy64， 由于 x+y10， 求得：xy12， 所以MF1F2的周长x+y+818，SF1MF23 故选：D 【点评】本题考查的知识点：余弦定理，三角形的面积公式，椭圆的方程及相关的运算 问题 8 （5 分）若函数 f（x）x2+x+1 在区间（，3）上单调递减，则实数 a 的取值范 围为（ ） 第 9 页（共
15、20 页） A （，） B （，+） C，+） D2，+） 【分析】求出函数 f（x）的导数，问题转化为 ax+在（，3）恒成立，令 g（x） x+，x（，3） ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】解：函数 f（x）x2+x+1， f（x）x2ax+1， 若函数 f（x）在区间（，3）上递减， 故 x2ax+10 在（，3）恒成立， 即 ax+在（，3）恒成立， 令 g（x）x+，x（，3） ， g（x）， 令 g（x）0，解得：x1，令 g（x）0，解得：x1， g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增， 而 g（），g（3）， 故 a 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究函数
16、的单调性，考查恒成立问题的求解方法，是中档题 9 （5 分）若直线 l 过点（3，0）与双曲线 4x29y236 只有一个公共点，则这样的直线有 （ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【分析】设直线 L 的方程，与双曲线方程联立，进而推断要使 L 与双曲线只有一个公共 点，需上述方程只有一根或两实根相等，进而根据0 和 49k20 求得 k；直线的斜 率不存在时，直线 x3 与双曲线 4x29y236 只有一个公共点，进而判断出直线 l 的条 数 【解答】解：设直线 L：yk（x3） ，代入双曲线方程化简得（49k2）x2+54k2x81k2 360 要使 L 与双曲线只有一个公共点
17、，需上述方程只有一根或两实根相等， 第 10 页（共 20 页） 49k20，或0（不成立） ，解得 k， 直线的斜率不存在时，直线 x3 与双曲线 4x29y236 只有一个公共点， 故选：C 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题突出考查了数形结合在实际问题 中的应用 10 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围 是（ ） A1a2 B3a6 Ca3 或 a6 Da1 或 a2 【分析】题目中条件： “函数 f（x）x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值”告诉我们 其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式
18、可解决 【解答】解：由于 f（x）x3+ax2+（a+6）x+1， 有 f（x）3x2+2ax+（a+6） 若 f（x）有极大值和极小值， 则4a212（a+6）0， 从而有 a6 或 a3， 故选：C 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值 与最值带来了方便 11 （5 分）在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y40 相切，则圆 C 面积的最小值为（ ） A B C （62） D 【分析】如图，设 AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r，由已知得|OC|CE|r， 过点 O 作
19、直线 2x+y40 的垂直线段 OF，交 AB 于 D，交直线 2x+y40 于 F，则当 D 恰为 AB 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小 【解答】解：如图，设 AB 的中点为 C，坐标原点为 O，圆半径为 r， 由已知得|OC|CE|r， 过点 O 作直线 2x+y40 的垂直线段 OF， 交 AB 于 D，交直线 2x+y40 于 F， 则当 D 恰为 OF 中点时，圆 C 的半径最小，即面积最小 第 11 页（共 20 页） 此时圆的直径为 O（0，0）到直线 2x+y40 的距离为： d， 此时 r 圆 C 的面积的最小值为：Smin（）2 故选：A 【点评】本题主要考查了直线
20、与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档 题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用 12 （5 分）若关于 x 的不等式 xexax+a0 的解集为（m，n） （n0） ，且（m，n）中只有 一个整数，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】由题意设 g（x）xex，yaxa，将条件转化为：g（x）xex在直线 yax a 下方，有一个交点，求出 g（x）后，由导数与函数单调性的关系判断出 g（x）的单 调性，画出两个函数的图象，结合函数图象和斜率公式求出 KPA、KPB，可得 a 的取值范 围 【解答】解：由题意设 g（x）xex，yaxa， 原不等式有唯一
21、整数解， g（x）xex在直线 yaxa 下方，有一个交点， g（x）（x+1）ex， 第 12 页（共 20 页） g（x）在（，1）递减，在（1，+）递增， g（x）ming（1）， yaxa 恒过定点 P（1，0） ， 结合函数图象得，KPAaKPB， 又 A（2，） ，B（1，） ， KPA，KPB，即a， 故选：D 【点评】本题考查函数图象与不等式的问题，导数与函数单调性的关系，以及斜率公式， 考查转化思想、数形结合思想，构造法，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分把答案填在答题纸的横线上）分把答案填在答题纸的
22、横线上） 13 （5 分） “ab”是“直线 yx+2 与圆（xa）2+（yb）22 相切”的 充分不必要 条件 （充分不必要/必要不充分/充要/既不充分也不必要） 【分析】直线 yx+2 与圆（xa）2+（yb）22 相切，求出 a 和 b 的关系结合条件 a b，判断充要条件关系 【解答】解：若 ab，则直线与圆心的距离为等于半径， yx+2 与圆（xa）2+（yb）22 相切， 若 yx+2 与圆（xa）2+（yb）22 相切，则， ab0 或 ab4， 故“ab”是“直线 yx+2 与圆（xa）2+（yb）22 相切”的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 【点评】本题考查直线和圆的位
23、置关系，充要条件的判定，是有点难度的基础题 14 （5 分）已知 f（x）是偶函数，且f（x）dx6，则f（x）dx 12 第 13 页（共 20 页） 【分析】由已知 f（x）是偶函数，由偶函数性质知f（x）dx2f（x）dx 【解答】解：由已知 f（x）是偶函数，由偶函数微积分性质知f（x）dx2f（x） dx12 故答案为：12 【点评】本题考查了微积分中偶函数的性质，属于简单题 15 （5 分）已知函数，其导函数记为 f（x） ，则 f（2016）+f（2016） +f（2016）f（2016）的值为 2 【分析】利用导数的公式和导数的运算法，探究一下之间的关系，即可得到结论 【解答】
24、解：函数，则 f（x）sinx； f（x）+cosx， cosx， f（x）f（x）0，f（x）+f（x）2 f（2016）+f（2016）+f（2016）f（2016）2 故答案为：2 【点评】本题考查了导数的公式的运用，简单复合函数求导的能力，同时要求有一定的 化简能力和计算能力探究其之间的关系属于中档题 16 （5 分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1、F2，这 两条曲线在第一象限的交点为 P，PF1F2 是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10， 椭圆与双曲线的离心率分别为 e1、e2，则 e1e2 的取值范围为 （，+） 【分析】设椭圆和双曲线的
25、半焦距为 c，|PF1|m，|PF2|n， （mn） ，由条件可得 m 10，n2c，再由椭圆和双曲线的定义可得 a15+c，a25c， （c5） ，运用三角形的 三边关系求得 c 的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围 【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为 c，|PF1|m，|PF2|n， （mn） ， 由于PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10， 即有 m10，n2c， 第 14 页（共 20 页） 由椭圆的定义可得 m+n2a1， 由双曲线的定义可得 mn2a2， 即有 a15+c，a25c， （c5） ， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得 2c+2c10，
26、可得 c，即有c5 由离心率公式可得 e1e2， 由于 14，则有 则 e1e2 的取值范围为（，+） 故答案为： （，+） 【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边 关系，考查运算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 题，共计题，共计 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）在数列an中，an+1 （1）计算 a2，a3，a4并猜想数列an的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想 【分析】 （1）根据，an+1可求出 a2，a3，a4的值，根据前四项的值可猜
27、想 数列an的通项公式； （2）根据数学归纳法的步骤进行证明即可 【解答】解： （1），an+1 a2，a3，a4 猜想数列an的通项公式为 an 第 15 页（共 20 页） （2）n1 时，a1满足通项公式； 假设当 nk 时猜想成立，即，则， 当 nk+1 时猜想也成立 综合，对 nN*猜想都成立 【点评】本题主要考查了递推关系，以及数学归纳法的应用，同时考查了运算求解的能 力，属于中档题 18 （12 分）设命题 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，其中 a0，命题 q：实数 x 满足 （1）若 a1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，
28、求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）把 a1 代入命题 p，可得 x 的取值范围是x|1x3，命题 q：分别利用 因式分解解出不等式并取交集，可得 x 范围是x|2x3，pq 为真即 p 真且 q 真； （2）p 是q 的充分不必要条件，可转化为 q 是 p 的充分不必要条件，进而转化为两 个集合间的真子集关系，列出不等式即可 【解答】 （1）当 a0 时，x|x24ax+3a20x|（x3a） （xa）0x|ax3a， 如果 a1 时，则 x 的取值范围是x|1x3，而x|x2x60，且 x2+2x80x|2 x3， 因为 pq 为真，所以有x|1x3x|2x3x|2x3故实数 x 的取
29、值范围是 x|2x3 （2）若p 是q 的充分不必要条件，表明 q 是 p 的充分不必要条件由（1）知，x|2 x3是x|ax3a（a0）的真子集，易知 a2 且 33a，解得a|1a2 故实数 a 的取值范围是a|1a2 【点评】本题考查了二次不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，在以直 角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 第 16 页（共 20 页） （）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （）若直线
30、 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求AOB 的面积 【分析】 （）由曲线 C 的极坐标方程转化为 2cos22sin，由此能求出曲线 C 的直 角坐标方程由直线 l 的参数方程，能求出直线 l 的普通方程 （）由直线 l 的参数方程代入 x22y，得，求出|AB|2，原点到 直线 x+y10 的距离 d，由此能求出AOB 的面积 【解答】 【选修 44：坐标系与参数方程】 解： （）由曲线 C 的极坐标方程为，得 2cos22sin， 所以曲线 C 的直角坐标方程是 x22y 由直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，得直线 l 的普通方程 x+y10 （）由直线 l 的参数方程为（t
31、为参数） ，得（t 为参数） ， 代入 x22y，得， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1+t26，t1t212， 所以|AB|t1t2|2， 因为原点到直线 x+y10 的距离 d， 所以AOB 的面积|AB|d 【点评】本题考查曲线的极坐标方程、直线的普通方程的求法，考查三角形面积的求法， 考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，是中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）ax+b，在点 M（1，f（1） ）处的切线方程为 9x+3y 100，求 （1）实数 a，b 的值； （2）函数 f（x）的单调区间以及在
32、区间0，3上的最值 第 17 页（共 20 页） 【分析】 （1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关 系，即可求出 a，b （2）求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值 【解答】解： （1）因为在点 M（1，f（1） ）处的切线方程为 9x+3y100， 所以切线斜率是 k3（1 分） 且 91+3f（1）100， 求得，即点（2 分） 又函数，则 f（x）x2a （3 分） 所以依题意得（5 分） 解得（6 分） （2）由（1）知 所以 f（x）x24（x+2） （x2） （7 分） 令 f（x）0，解得 x2 或 x2 当 f（x）0x2
33、 或 x2；当 f（x）02x2 所以函数 f（x）的单调递增区间是（，2） ， （2，+） 单调递减区间是（2，2）（9 分） 又 x0，3 所以当 x 变化时，f（x）和 f（x）变化情况如下表： X 0 （0，2） 2 （2，3） 3 f（x） 0 + 0 f（x） 4 极小值 1 第 18 页（共 20 页） 所以当 x0，3时，f（x）maxf（0）4， （12 分） 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及闭区间上函数的最值求法，考查转 化思想以及计算能力 21 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2且离心率为 ，Q、A、B 为椭圆 C 上三个
34、点，QF1F2的周长为 4（+1） ，线段 AB 的垂直平分 线经过点 P（1，0） （1）求椭圆 C 的方程； （2）求线段 AB 长度的最大值 【分析】 （1）由题意可得：，2a+2c4（+1） ，b2a2c2，联立解得 （2）ABx 轴时，满足题意，可得|AB|2b4由题意可得：AB 的斜率不为 0，设线 段 AB 的中点为： （x0，y0） ，直线 AB 的方程为：ykx+t，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 与 椭圆方程联立化为： （1+2k2）x2+4ktx+2t2800化为：4+8k2t2根据根与系 数的关系、中点坐标公式可得：|AB|，进而得出 【解答】解： （1）由题意可
35、得：，2a+2c4（+1） ，b2a2c2， 解得 c2b，a2 椭圆 C 的方程为1 （2）ABx 轴时，满足题意，可得|AB|2b4 由题意可得：AB 的斜率不为 0，设线段 AB 的中点为： （x0，y0） ， 直线 AB 的方程为：ykx+t，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，化为： （1+2k2）x2+4ktx+2t280 16k2t24（1+2k2） （2t28）0化为：4+8k2t2 x1+x22x0，解得 x0 y0kx0+t 第 19 页（共 20 页） k1，化为：t代入0，解得 k4 又 x1x2， |AB| 24 综上可得：|AB|的最长为 4 【点评】本题考
36、查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关 系、分类讨论方法、中点坐标公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于 难题 22 （12 分）已知函数 f（x）（a） （） 讨论函数 f（x）的单调性； （） 设 g（x）a2lnx2x，若 f（x）g（x）对x1 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）求出 f（x）的导数，通过讨论 a 的范围，确定导函数的符号，从而求出函 数的单调区间； （） 问题转化为对x1 恒成立， 令， 通过讨论函数 h （x） 的单调性得到其最小值，解关于 a 的不等式即可求出 a 的范围 【解答】解： （I）f（x）的定义域为（0，
37、+） ， ， 令 f（x）0，得 xa 或 x1a（2 分） 当时，a1a，且 1a0 当 a时，a1a0，f（x）0 f（x）在定义域（0，+）上单调递增； （3 分） 当 a0 时，f（x）在（0，1a）上单调递减，在（1a，+）上单调递增； 第 20 页（共 20 页） （4 分） 当 0a时，f（x）在（0，a）和（1a，+）上单调递增，在（a，1a）上单 调递减（5 分） （II）由题意知， 即对x1 恒成立 令，则（7 分） 令 h（x）0，得（8 分） 当时，h（x）单调递减；时，h（x）单调递增 所以当时，h（x）取得最小值（10 分） 3a2ae 又，（12 分） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题， 是一道中档题
