全国大联考2020届高三4月联考文科数学试卷(含答案)

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1、文科数学试卷 第 1 页(共 4 页) 20LK4QG 秘密考试结束前 考试时间:2020 年 4 月 2 日 15:00 17:00 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 文科数学试卷 注意事项: 1考试前,请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置。 2考试时间 120 分钟,满分 150 分。 3 本次考试为在线联考, 为了自己及他人, 请独立完成此试卷, 切勿翻阅或查找资料。 4考试结束后,本次考试原卷及参考答案将在网上公布。 5本卷考查内容:高考全部内容。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1

2、. 不等式成立的充分不必要条件是 A. B. C.或 D. 或 2. 复数 z=1+2i 的共轭复数是,则 z= A. 3 B. 3 C. 5 D. 5 3. 甲乙两名同学高三以来6次数学模拟考试的成 绩统计如下图 1, 甲乙两组数据的平均数分别为 甲 x、 乙 x,标准差分别为 甲 、 乙 ,则 A. 乙甲乙甲 , xx B. 乙甲乙甲 , xx C. 乙甲乙甲 , xx D. 乙甲乙甲 , xx 4. 设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,由下列四个命题,其中正确的是 A. 若 m,mn,则 n B. 若 m,n,则 mn C. 若 ,m,则 m D. 若 m,m,则 5. 九

3、章算术中“开立圆术”曰:“置积尺数,以十六乘之,九而一, 所得开立方除之,即立圆颈”.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求球的直径 d 的公式:d = (16 9 V) 1 3.若球的半径为 r=1,根据“开立 圆术”的方法计算该球的体积为 A. 4 3 B. 9 16 C. 9 4 D. 9 2 6若需右边框图输出的值 S=41,则判断框内应填入的条件是 Ak3? Bk4? Ck5? Dk6? 7. 已知 21 33 3 11 ,log 34 abc = ,则cba,的大小关系为 A. abc B. acb C. cab D. cba 0 1 1 x 1x1x1x10 x10x 1x

4、 文科数学试卷 第 2 页(共 4 页) 20LK4QG 8. 下列各图都是正方体的表面展开图,将其还原成正方体后,所得正方体完全一致(即各 面所标序号相对位置相同)的是 A. (I)和(IV) B. (I)和(III) C. (II)和(III) D. (II)和(IV) 9. 在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的 长,则该矩形面积大于 2 20cm的概率为 A. 1 6 B. 1 3 C. 4 5 D. 2 3 10. 双曲线的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F1作一条直线与两条 渐近线分别相交于 A,B 两点,若,则该双曲线的离心率为 A

5、B C2 D3 11. 已知直线 x=t 分别与函数 f(x)=log2(x+1)和 g(x)=2log2(x+2)的图象交于 P,Q 两点,则 P,Q 两点间的最小距离为 A. 4 B. 1 C. D. 2 12. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)= f(x),且对任意的不相等的实数 x1,x20,+)有 f(x1)-f(x2) x1-x2 0 成立,若关于 x 的不等式 f(2mx-lnx-3)2f(3)-f(-2mx+lnx+3)在 x1,3恒成 立,则实数 m 的取值范围是 A. 1 2 ,1+ ln3 6 B. 1 ,2+ ln6 3 C. 1 ,2+ ln3 3 D.

6、 1 2 ,1+ ln6 6 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 某班级有 50 名学生,现采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名,将这 50 名 学生随机编号 150 号,并分组,第一组 15 号,第二组 610 号,第十组 46 50 号,若在第三组中抽得号码为 12 号的学生,则在第八组中抽得号码为_的学生. 14. 某公司计划在 2020 年春季校园双选招聘会招收 x 名女性,y 名男性,若 x, y 满足约束条 件 25 2 6 xy xy x ,则该公司计划在本次校招所招收人数的最大值为_. 15. 已知( )f x是定义在 R 上的

7、偶函数,对任意 xR 都有(3)( )f xf x+=且( 1)4f =, 则的值为_. ()0, 01: 2 2 2 2 =ba b y a x E AFBF 11 2=OBFF2 21 = 23 2 文科数学试卷 第 3 页(共 4 页) 20LK4QG 16. 过抛物线C: 2 2xpy=(0p )的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,若 4 AFBF=,O为坐标原点,则 AF OF =_. 三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考 题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: (共 60 分)

8、17.(12 分)在ABC中,角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,且sin3 coscAaC=. (1)求角 C 的值; (2)若2 3 ABC S= ,6ab+=,求 c 的值. 18.(12 分) 汽车尾气中含有一氧化碳(CO),碳氢化合物 (HC)等污染物,是环境污染的主要因素之一,汽 车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出 现递增的现象,所以国家根据机动车使用和安全 技术、排放检验状况,对达到报废标准的机动车 实施强制报废某环保组织为了解公众对机动车 强制报废标准的了解情况,随机调查了 100 人, 所得数据制成如下列联表: (1)若从这 100 人中任选 1 人,选到

9、了解机动 车强制报废标准的人的概率为 0.6,问是否有 95% 的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性 别有关”? (2)该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中 CO 浓度的数 据,并制成如图 7 所示的折线图,若该型号汽车的使用年限不超过 15 年,可近似认为排放 的尾气中 CO 浓度 y%与使用年限 t 线性相关,试确定 y 关于 t 的回归方程,并预测该型号 的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的多少倍 附:K2= (nabcd) P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072

10、 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式:用最小二乘法求线性回归方程系数公式: . 19.(12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长 2 的菱 形, = 60.已知.PB=PD=2,PA=6 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd + 1 2 2 1 1 n ii i n i x ynxy baybx xnx = = = , 不了解 了解 总计 女性 a b 50 男性 15 35 50 总计 p q 100 文科数学试卷 第 4 页(共 4 页) 20LK4QG (1)证明: PCBD (2)若 E

11、 为 PA 的中点,求三棱锥 P-BCE 的体积. 20.(12 分)设 12 ,F F分别是椭圆 22 2 :1 4 xy E b +=的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动 点, 1 PF 2 PF的最大值为1. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线:1l xky=与椭圆交于不同的两点,?A B,且AOB为锐角(其中 O为坐标原点), 求 k 的取值范围. 21.(12 分)设 * nN,函数( ) ln n x f x x =,函数( )()0 x n e g xx x =. (1)当1n =时,求函数( )yf x=的零点个数; (2)若函数( )yf x=与函数( )yg x=的图象分

12、别位于直线 1y =的两侧,求 n 的取值集 合A; (3)对于() 12 ,0,nAx x +,求 ( )() 12 f xg x的最小值. (二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第 一题记分。 22.【选修 4-4:坐标系与参数方程】(12 分) 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt = = (t为参数).以坐标原点为极 点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为2sinp= (1)判断直线l与圆C的交点个数 (2)若圆C与直线l交于,A B两点,求线段AB的长度 23.【选修 4-5:不

13、等式选讲】(12 分) 已知函数( )53f xxx=+. (1)解不等式( )1f xx+; (2)记函数f( )x的最大值为 m,若0,0,ab 44abab m eee =,求ab的最小值. 文科数学参考答案 第 1 页(共 7 页) 20LK4QG 秘密考试结束前 考试时间:2020 年 4 月 2 日 15:00 17:00 全国大联考 2020 届高三 4 月联考 文科数学参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C C D B D B D C D A 二、填空题:本题共 4

14、小题,每小题 5 分,共 20 分 1337 1413 154 16 5 4 12.【解析】因为定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)= f(x), 所以函数 f(x)为偶函数, 因为对任意的不相等的实数 x1,x20, +),有f(x1)-f(x2) x1-x2 0 成立, 所以当 x1x2时,f(x1)f(x2), 即函数 f(x)在0, +)单调递减, 又函数 f(x)为偶函数, 所以函数 f(x)在(-, 0单调递增, 因为 x 的不等式 f(2mx - lnx - 3) 2f(3) - f(-2mx + lnx + 3)在 x1,3恒成立, 不等式可转化为 f(2mx lnx

15、 - 3) + f(2mx - lnx - 3) 2f(3) 即 f(2mx - lnx - 3) f(3)在 x1,3恒成立, 所以|2mx - lnx - 3|3 所以-32mx - lnx - 33 即lnx 2x lnx+6 2x 在 x1,3恒成立, 在 x1,3上, 令 g(x) = lnx 2x ,g(x) = 1 - lnx 2x2 令 g(x)0,ln x1,xe,g(x)单调递减, 令 g(x)0,ln x1,xe,g(x)单调递增, g(x)max= g(e)= 1 2e 文科数学参考答案 第 2 页(共 7 页) 20LK4QG 令 h(x)= 1 - lnx 2x2

16、h(x)=1-(lnx+6) 2x2 = -ln x - 5 2x2 在 x1,3上,h(x)0, h(x)单调递减 g(x)min= h(3)= 6 + ln 3 6 = 1+ ln3 6 所以实数 m 的取值范围是 1 2 ,1+ ln3 6 16.【解析】由题意得 2 2xpy=,则(0,) 2 p F,所以 2 p OF =, 设直线AB的方程为 2 p ykx=+,设 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy,且 12 xx, 因为4 AFBF=,所以4AFBF=,则 21 4xx= , 由 2 2 2 p ykx xpy =+ = ,整理得 22 20xpkxp=,所以 1

17、2 2xxpk+=, 2 12 x xp= , 联立可得 3 4 k = ,即直线AB的方程为 3 42 p yx= +, 又 2 3 42 2 p yx xpy = + = ,整理得 22 2320xpxp+=, 解得2xp= 或 2 p x =,故(,) 28 pp A,( 2 ,2 )Bpp, 所以根据抛物线的定义可知 5 828 pp AFp=+=,所以 5 4 AF OF =. 三、解答题: (本大题共 5 小题,满分 60 分.) 17.(12 分) 解:(1)在ABC中, sin3 coscAaC=, 结合正弦定理得sinsin3sincosCAAC=, 0A,sin0A, si

18、n3cosCC=, 又sin0C , tan3C =, 3 C =. (2)2 3 ABC S= , 3 C =, 文科数学参考答案 第 3 页(共 7 页) 20LK4QG 1 sin2 3 2 abC =, 8ab =, 又6ab+=, 222 2coscababC=+ () 2 22cosabababC=+ 36 16 812= =. 2 3c =. 18.(12 分) 解: (1)设“从 100 人中任选 1 人,选到了解机动车强制报废标准的人”为事件 A, 由已知得 P(A),所以 a25,b25,p40,q60. K2的观测值 k4.1673.841, 故有 95%的把握认为“对机

19、动车强制报废标准是否了解与性别有关”. (2)由折线图中所给数据计算,得 t(246810)6,y(0.20.2 0.40.60.7)0.42, 故0.07,0.420.0760, 所以所求回归方程为0.07t. 故预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度为 0.84%,因为使用 4 年排放尾 气中的 CO 浓度为 0.2%,所以预测该型号的汽车使用 12 年排放尾气中的 CO 浓度是使用 4 年的 4.2 倍. 19.(12 分) (1)证明:连接 BD,AC 交于 O 点 PBPD= POBD 又ABCD是菱形 BDAC 而ACPOO= BD面PAC BDPC (2)由(1)

20、得BD面PAC 35 100 b+3 5 2 100 (25 3525 15) 40 60 50 50 1 5 1 5 b 2.8 40 a y 文科数学参考答案 第 4 页(共 7 页) 20LK4QG =45sin326 2 1 2 1 PACPEC SS =3 2 2 36= 1111 3 2322 P BECB PECPEC VVSBO = = 20.(12 分) 解:(1)由题易知2?a =, 2 4cb=, 2 4b , 所以 () 2 1 4,0Fb, () 2 2 4,0Fb, 设(),P x y,则 () 2 12 4,PF PFbxy= () 222 222222222 4

21、,44124 44 b xb bxyxybxbbxb =+=+=+ , 因为2,2x ,故当2x,即点P为椭圆长轴端点时, 12 PF PF有最大值1, 即 2 2 11424 4 b b =+ ,解得 2 1b =, 故所求的椭圆方程为 2 2 1 4 x y+=。 (2)设() 11 ,A x y,() 22 ,B xy,由 1 11 3 x e , 得 12 2 2 4 k yy k += + , 12 2 3 4 yy k = + , ()() 2 22 212 416480kkk =+=+, 因为AOB为锐角,所以cos0AOB, 所以 1212 0OA OBx xy y=+, 又(

22、)() 2 12121212 11x xy yky yk yy+=+ () 2 2 22 32 11 44 k k kk =+ + 222 2 3324 4 kkk k + = + 2 2 14 0 4 k k = + , 所以 2 1 4 k ,解得 11 22 k, 文科数学参考答案 第 5 页(共 7 页) 20LK4QG 所以 k 的取值范围是 1 1 , 2 2 。 21.(12 分) 解:(1)当1n =时, ( )( )() 2 ln1ln ,0 xx f xfxx xx =. 由( )0fx 得0xe;由( )0fx 得xe. 所以函数( ) f x在()0,e上单调递增,在(

23、), e +上单调递减, 因为( ) 11 0,0f efe ee = , 所以函数( ) f x在()0,e上存在一个零点; 当()0,x+时, ( ) ln 0 x f x x =恒成立, 所以函数( ) f x在(), e +上不存在零点. 综上得函数( ) f x在()0,?+上存在唯一一个零点. (3)由函数( ) ln n x f x x =求导,得( )() 1 1ln 0 n nx fxx x + =, 由( )0fx ,得 1 0 n xe;由( )0fx ,得 1 n xe, 所以函数( ) f x在 1 0, n e 上单调递增,在 1 , n e + 上单调递减, 则当

24、 1 nxe=时,函数( ) f x有最大值( ) 1 max 1 n f xfe ne = ; 由函数( )()0 x n e g xx x =求导,得( ) () () 1 0 x n xn e gxx x + =, 由( )0gx 得xn;由( )0fx 得0xn. 所以函数( )g x在(0, )n上单调递减,在(). n + 上单调递增, 则当xn=时,函数( )g x有最小值( )( ) min n e g xg n n = ; 因为 * nN ,函数( ) f x的最大值 1 1 1 n fe ne = , 即函数( ) ln n x f x x =在直线 1y =的下方, 文科

25、数学参考答案 第 6 页(共 7 页) 20LK4QG 故函数( )()0 x n e g xx x =在直线:1l y =的上方, 所以( )( ) min 1 n e g xg n n = ,解得 ne. 所以n的取值集合为1,2A=. (3)对()( )() 1212 0,x xf xg x+的最小值等价于( )( ) minmax 1 n e g xf x nne = , 当1n =时, ( )( ) minmax 1 g xf xe e =; 当 2n =时, ( )( ) 2 minmax 1 42 e g xf x e =; 因为 () 2 2 4211 0 424 eee e

26、eee = , 所以( )() 12 f xg x的最小值为 23 12 424 ee ee = (二)选考题(10 分) 22.(12 分) 解:(1)直线l的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt = = (t为参数). 消去参数t得直线l的普通方程为310xy+ =, 圆C的极坐标方程为2sinp=,即 2 2 sinpp=, 由 222, sinpxypy=+=,得圆C的直角坐标方程为 22 20xyy+=. 圆心()0,1在直线l上, 直线l与圆C的交点个数为2 (2)由(1)知圆心()0,1在直线l上, AB为圆C的直径, 圆C的直角坐标方程为 22 20xyy+=. 文科数学

27、参考答案 第 7 页(共 7 页) 20LK4QG 圆C的半径 1 41 2 r =, 圆C的直径为2, 2AB= 23.(12 分) 解:(1)当3x时,由531xxx + + +,得7x, 所以3x;当35x 时, 由531xxx +,得 1 3 x ,所以 1 3 3 x ; 当5x 时,由531xxx +, 得9x,无解.综上可知, 1 3 x , 即不等式( )1f xx+的解集为 1 , 3 . (2)因为53538xxxx+ =, 所以函数( )f x的最大值8m =.应为 448abab eee =, 所以448abab+=+. 又0,0ab, 所以42 44ababab+=, 所以有20abab ,又0ab , 所以2ab ,4ab, 即ab的最小值为 4

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