1、河北省任丘市第一中学 2020 年高考冲刺模拟试卷（二） 文科数学 2020.3.28 注意事项： 1选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案标号答在试题卷、草稿纸上无效 2 非选择答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内， 答在试题卷、 草稿纸上无效 3考生必须保持答题卡的清洁考试结束后，监考人员将答题卡收回 第卷（共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1已知集合 2 |20Axxx ，集合02|Bxx
2、，则() R AC BI=（ ） A2, ) B(0 2， C(, 1) D( 1,0) 2复数 243 1 iii i （ ） A 11 22 i B 11 22 i C 11 22 i D 11 22 i 3如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩， 其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ） A 4 5 B 1 5 C 7 10 D 9 10 4中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？” 人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后 的余数为n，则记为(mod )Nn
3、m，例如112(mod3) 现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（ ） A21 B22 C23 D24 5已知向量2,1a r ，2,bx不平行，且满足2abab，则x（ ） A 1 2 B 1 2 C1 或 1 2 D1 或 1 2 6已知定义在R上的函数 f x满足 2fx为奇函数，函数3f x关于直线1x 对称，则 下列式子一定成立的是（ ） A 2f xf x B26f xf x C 221f xf x D10fxf x 7对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数例如：如果正整数的 31 次方是个 35 位数，那 么可以知道它是 31.因为 343135 10
4、10a ，取常用对数得 3435 lg 3131 a，而 34 1.091.08 31 ， 35 1.121.15 31 ，由对数表可知这个数是 13.已知某个正整数的 34 次方是 40 位数， 则该整数是（ ） a 2 3 5 7 11 12 13 14 15 17 18 19 1ga 0.30 0.48 0.70 0.85 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 1.23 1.26 1.28 A14 B15 C16 D17 8 设 x， y 满足约束条件 840 10 40 xy xy xy ， 目标函数 zax+by （a0， b0） 的最大值为 2， 则 11 ab 的最小
5、值为（ ） A5 B 5 2 C 9 2 D9 9已知正四面体的中心与球心 O 重合，正四面体的棱长为2 6，球的半径为5,则正四面体表面 与球面的交线的总长度为（ ） A4 B8 2 C12 2 D12 10 将函数 sin0 3 f xx 的图象向右平移 4 个单位后， 得到的函数图象关于 2 x 对称，则当取到最小值时，函数 f x的单调增区间为（ ） A 33 , 2010410 kkk +Z B 3113 , 4102010 kkk +Z C 33 , 20545 kkk +Z D 3113 , 45205 kkk +Z 11已知点E是抛物线 2 :2(0)C ypx p的对称轴与准
6、线的交点，点F为抛物线C的焦点，点 P在抛物线C上.在EFP中，若sin sinEFPFEP，则的最大值为（ ） A 2 2 B 3 2 C 2 D3 12已知函数 2 10 ( ) 21,0 x x x f xe xxx ， ，若函数 ( ) 1yf f xa有四个零点，则实数a的取 值范围是（ ） A 1 2,3 e B 1 2,3 e C 1 3,3 e D 1 3,3 e 第卷（共 90 分） 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13函数( ) sin (1 cos )f xxxx的图象在点,处的切线方程是 _. 14若，则 _ 15 在四棱锥 1 AABC
7、D中， 若2224BCBAADDC， 1 A A平面ABCD， 1 4A A， 则该四棱锥的外接球的体积为_. 16牛顿迭代法（Newtons method）又称牛顿拉夫逊方法（NewtonRaphsonmethod） ， 是牛顿在 17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r是 0f x 的根，选取 0 x作为r初 始近似值，过点 00 ,xf x作曲线 yf x的切线, l l与x轴的交点的横坐标 0 100 0 0 f x xxfx fx ，称 1 x是r的一次近似值，过点 11 ,xf x 作曲线 yf x的切 线，则该切线与x轴的交点的横坐标为 2 x，称 2 x是r的二次近似值
8、.重复以上过程，直到r的近似 值足够小，即把 n x作为 0f x 的近似解.设 123 , n x x xx构成数列 n x.对于下列结论： 1 2 n nn n f x xxn fx ； 1 1 1 2 n nn n f x xxn fx ； 12 1 12 n n n f xf xf x xx fxfxfx ； 121 1 121 2 n n n f xf xf x xxn fxfxfx . 其中正确结论的序号为_ 1 sin 63 2 cos2 3 三、解答题 （本题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23
9、题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分）如图，有一块边长为 1(hm)的正方形区域ABCD，在点A处装有一个可 转动的小摄像头， 其能够捕捉到图象的角PAQ始终为 45（其中点P、Q分别在边BC、CD上） ， 设PAB，记tant. （1）用t表示PQ的长度，并研究CPQ的周长l是否为定值？ （2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少？ 18 （本小题满分 12 分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，且/AB CD，60ABC， 1ADDCCBCF，四边形ACFE是矩形，CFAB，点M为EF上的一动点. （1）求证：AMBC；
10、 （2）分别记四棱锥BAMFC与三棱锥MADE的体积为 1 V， 2 V， 当点M为EF的中点时，求 1 2 V V 的值 19 （本小题满分 12 分）某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员 密集流动地段增设一个起点站， 为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系， 经过 调查得到如下数据： 间隔时间/分 10 11 12 13 14 15 等候人数 y/人 23 25 26 29 28 31 调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验检验方 法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数y，再求y与实际等候人数
11、y的 差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程” （1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率； （2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程y bxa $，并判断此方程是否是“恰 当回归方程”； （3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确 到整数）分钟 附：对于一组数据 11 ,x y， 22 ,x y，, nn xy，其回归直线y bxa $的斜率和截距的最 小二乘估计分别为： 1 2 1 n ii i n i i x ynxy b xx 1 2 1 n ii i n i i xxy
12、y xx ，a ybx . 20 （本小题满分 12 分）已知O为坐标原点，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的焦距为2 3，且 点 (0,1)A 在椭圆上. （1）求椭圆E的方程； （2） 已知 (0,2)P ， 设点 0000 ( ,)(0,1)B x yyy 为椭圆E上一点， 点B关于x轴的对称点为C, 直线 ,AB AC分别交x轴于点,M N，证明：tan tanOPMONP. 21 （本小题满分 12 分）已知函数( )ln() a f xxaR x . （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）令 (5)2 ( ) a k g a a ，若对任意的 x0，a0，恒有
13、 f（x）g（a）成立，求实数 k 的最 大整数 （二）必考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22 （本小题满分 10 分） 【选修 4-4：极坐标与参数方程选讲】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 3 3 4 3 xt yat （t为参数 ，圆C的标准方程为 22 334xy，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求直线l和圆C的极坐标方程； 若射线与l的交点为M，与圆 C 的交点为,A B，且点M恰好为线段AB的中点，求a 的值 23 （本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 12f xxx
14、 ，记 f x的最小值为k. （1）解不等式 1f xx； （2）是否存在正数, a b,同时满足： 12 2,4abk ab ？并说明理由. ) 1 2 3 河北省任丘市第一中学 2020 年高考冲刺模拟试卷（二） 文科数学试题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B C A B A C A C C D 1.【答案】D 2 |20( 1,2)Axxx ,(,0(2,) R C B , ()( 1,0) R AC B ,故选：D 2.【答案】C 由 243 111111 11111222 iiiiiiii i iiiii ,故选C 3.【答案】B 由茎叶图知甲的平
15、均成绩为 1 5 （88+89+90+91+92）90， 甲的平均成绩不超过乙的平均成绩， 设被污损为 x，则乙的平均成绩为 1 5 （83+83+87+99+90+x）90，解得 x8， 甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 P 21 105 故答案为：B 4.【答案】C 从 21 开始，输出的数是除以 3 余 2，除以 5 余 3，满足条件的是 23，故选 C. 5.【答案】A 由题意，向量，则， 因为， 所以， 即，解得或， 又因为向量，不平行，则，即， 2,1a r 2,bx 2 5a 2 2 4bx4a bx rr 2abab 22 22 225(4)2 (2)0ababaa bb
16、xx 2 210xx 1x 1 2 x 2,1a r 2,bx21 2x 1x 所以.故选：A. 6.【答案】B 令 2F xfx,2fx为奇函数， FxF x,即22fxfx， 即 f x的图象关于点 2,0对称， 令( )(3),( )G xf xG x图象关于直线1x 对称， 即(1)(1), (1)3(1)3,(4)(4)GxGxfxfxfxfx， 即 f x的图象关于直线4x对称， ( )4(4)4(4)(8)f xfxfxfx 用6x换表达式中的x,可得26fxf x，又22fxfx， 即2+6fxf x， 4f xf x， 用4x换表达式中的x, 则48( )( )f xf xf
17、 xf x ，函数 f x的周期为 8，故选:B. 7.【答案】A 设该整数为a，则 393440 1010a 两边取对数得 3940 lg 3434 a 因为 39 1.14771.11 34 ， 40 1.1761.18 34 ，所以14a ，故选：A 8.【答案】C 画图可得,zaxby取得最大值时的最优解在点A处, 此时 8401 404 xyx xyy ,故1,4A .故4 2ab, 故 1111114 41 4 22 ba ab ababab 149 52 22 b a ab ,当且仅当 4ba ab 时取等号. 故选：C 1 2 x 9.【答案】A 考查正四面体的一个平面与球相交
18、的截面如图所示， 由题意结合几何关系可知： 1 2 2sin60 MN OD ， 球心到截面的距离： 3 2 31 6 d ， 则 22 2OArd ， 4 DAO ， 据此可得截面对应的弧长为：23 22 ， 则四面体的一个面截球面的弧长为： 2 2 2 OA ， 则正四面体表面与球面的交线的总长度为44 .故选 A. 10.【解析】 函数 sin0 3 f xx 的图象向右平移 4 个单位， 得到 sin 43 g xx ， 因为 g x图象关于 2 x 对称，所以 2432 k ，kZ， 整理得 10 4 3 k，kZ，因为0，所以当0k 时，的最小值为10 3 ， 所以 10 sin
19、33 f xx ， 10 22 2332 kxk ，kZ， 解得 33 20545 kxk +，kZ， 所以 f x的单调增区间为 33 , 20545 kkk +Z.故选：C. 11.【答案】C 由题意得，准线: 2 p l x ，,0 2 p E ，,0 2 p F ，过P作PHl，垂足为H，则由抛物线 定义可知PHPF， 于是 sin sin EFPPE FEPPF 11 coscos PE PHEPHPEF ， cosyx 在0,上为减函数， 当 PEF取到最大值时（此时直线PE与抛物线相切） ， 计算可得直线PE的斜率为1，从而45PEF， max 1 2 2 2 ,故选 C. 12
20、.【答案】D 当0x时，( )1 x x f x e ，则( )1f x ， 1 ( ) x x fx e ( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， ( ) f x在 1x 时取得极大值也是最大值 1 1+ e ， 又(0)1f，当0x时， 22 ( )21(1)0f xxxx ， 函数( )yf x 的图象如图所示： 由 ( ) 10yf f xa 知 ( )2f xa 或( )0f xa， 即( )2f xa或( )f xa， 函数 ( ) 1yf f xa有四个零点， ( )f xa 有一个根且( )2f xa有 3 个根， 11 1,121aa ee ， 解得 1 3
21、3a e ，故选：D 13.【答案】 20xy ( )1 cos2cos fxxx，所以( )1 f ，切线方程为() yx， 即20xy. 14.【答案】 已知，且，则，故 15. 【答案】 64 2 3 由已知可得四边形ABCD为一个等腰梯形. 将四棱锥 1 AABCD补成一个正六棱柱 111111 ABE FG DABEFCD， 四棱锥 1 AABCD的外接球即为正六棱柱 111111 ABE FC DABEFCD的外接球为， 设正六棱柱的上下底面的中心分别为 12 ,O O，则 12 OO的中点为外接球的球心O， 因为4BC ， 121 4OOA A， 所以外接球的半径 22 12 2
22、 2 22 OOBC OB ， 所以该四棱锥的外接球的体积为 3 464 2 33 OB . 故答案为： 64 2 3 . 16. 【答案】 由过点 00 ,xf x作曲线 yf x的切线, l l与x轴的交点的横坐标 0 100 0 0 f x xxfx fx ，称 1 x是r的一次近似值，过点 11 ,xf x 作曲线 yf x的切 线，则该切线与x轴的交点的横坐标为 2 x，称 2 x是r的二次近似值.重复以上过程， 则有 1 11 1 0,2 n nnn n f x xxfxn fx ，故正确. 7 9 1 sin 63 632 1 cossin 363 2 27 cos22cos1
23、339 根据题意有： 1 21 1 fx xx fx ， 2 32 2 f x xx fx ， 3 43 3 f x xx fx ， 1 1 1 2 n nn n f x xxn fx ， 两边分别相加得： 121 1 121 2 n n n f xf xf x xxn fxfxfx ， 故正确. 故答案为： 17.【答案】 （1） 2 1 1 t PQ t ，2l hm； （2）(2 2 ) 2 hm. （1）设,1(01)BPtCPtt ， 所以 1 45,ADtan 45 1 t DAQDQ t ， 2 分 则： 12 1 11 tt CQ tt ， 所以 2 2 2 21 (1) 11
24、 tt PQt tt 故 2 21 1112 11 tt lCPCQPQttt tt 所以CPQ的周长l是定值 2hm. 6 分 （2） ABPADQ SSSS 正方形 1 112 12122 22 121 tt t tt ， 10 分 当且仅当 2 1t 时，等号成立， 所以摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为2 2 2 hm. 12 分 18 【答案】(1)见解析；(2) 6 （1）证明:在等腰梯形ABCD中，/AB CDQ，60DABABC, 120ADCDCB.30ADDCDACDCA 90 ,30 ,ACBCABBCAC 3 分 四边形ACFE是矩形 CFAC,又 ,C
25、FAB ABACA CF面ABCDCFBC ,BCAC ACCFC, BC面ACFE， AM 面ACFE，AMBC . 6 分 （2）易求得 3EFAC ,所以 3 2 MFME . 1 11133 ()31 1 32624 VMFACCF BC . 2 AME 111313 sin301 3262224 MADED VVVAE ME AD . 1 2 6 V V 12 分 19.【答案】 （1） 2 3 ； （2） 1.49.6yx ，见解析； （3）18 （1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A. 记这六组数据分别为1,2,3,4,5,6，23,24,25
26、,26,34,35,36,45,46,56， 剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,，共15种， 其中相邻的有12,23,34,45,56,共5种，所以 52 1 153 P A . 3 分 （2）后面4组数据是： 间隔时间（x分钟） 12 13 14 15 等候人数（y人） 26 29 28 31 因为 12 13 14 15 13.5 4 x ， 26282931 28.5 4 y ， 5 分 所以 1 1.52.50.50.5 n ii i xxyy 0.50.51.5 2.57 ， 222 1 11 12 1313 13 22 n i i xx 2222 1131 1
27、4 1315 13225 2222 ， 所以 1 2 1 7 1.4 5 n ii i n i i xxyy b xx ， 28.5 1.4 13.59.6aybx ， 8 分 所以 1.49.6yx ， 当10x 时， 1.4 10 9.623.6y ,23.6 230.6 1； 当11x 时, 1.4 11 9.625y ,25 250 1； 所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”. 10 分 （3）由1.49.635x，得 1 18 7 x ，故间隔时间最多可设置为18分钟. 12 分 20.【答案】 （1） 2 2 1 4 x y ； （2）证明见解析. （1）由已知得 3c ,1b
28、，所以 2 4a ， 2 1b 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y . 4 分 （2）点A的坐标为(0,1)，点P的坐标为(0,2), 则直线AB的方程为 0 0 1 1 y yx x 6 分 令 0y ，得 0 0 (,0) 1 x M y ，又 00 ,C xy， 所以直线AC的方程为 0 0 1 1 y yx x ， 令 0y ，得 0 0 (,0) 1 x N y , 10 分 所以 2 2 0 2 0 4 | 1 x OM ONOP y ， 所以 | | OMOP OPON ，所以tantanOPMONP. 12 分 21.【答案】 （1）见解析（2）7 （1）此函数的定义域为
29、0,， 22 1 , axa fx xxx 1 分 当0a时， 0,fx f x在0,上单调递增， 当0a时， 0,0,xafxf x 单减， ,0,xafxf x 单增 综上所述： 当0a时， f x在0,上单调递增 当0a时， 0,xaf x单调递减， ,xaf x 单调递增. 5 分 （2）由（1）知 min ln1,f xf aa f xg a恒成立，则只需 ln1ag a 恒成立， 则 522 ln15, a k ak aa 7 分 2 ln6ak a ， 令 2 ln,h aa a 则只需 min6,h ak 9 分 则 22 122 , a h a aaa 0,2 ,0,ah a
30、h a 单调递减， 2,0,ah ah a 单调递增， min 2ln2 1h ah 即ln2 16,ln27,kkk 的最大整数为7. 12 分 22 【答案】 （1）直线l的极坐标方程为，圆 C 的极坐标方程为 ； （2） 9 4 a . 3 cossina0 4 2 6cos6sin 140 解：直线l的参数方程为为参数 ， 在直线l的参数方程中消去 t 可得直线l的普通方程为 3 0 4 xya， 2 分 将，代入以上方程中， 得到直线l的极坐标方程为 3 cossin0 4 a 圆 C 的标准方程为， 圆 C 的极坐标方程为 4 分 在极坐标系中，由已知可设， 联立，得， 点M恰好为
31、AB的中点， ，即 33 3 , 23 M 7 分 把 33 3 , 23 M 代入 3 cossin0 4 a， 解得 9 4 a 10 分 23.【答案】(1) 2 4 3 x；(2)不存在. 1 3 3 4(t 3 xt yat ) xcosysin 22 (x3)(y3)4 2 6cos6sin 140 2 1 M , 3 2 A , 3 3 B ,. 3 2 3 66140cossin 2 33 3 140 23 3 3 3 1 33 3 2 （1）不等式 1f xx化为2110xxx 设函数211yxxx， 则 23 ,1 ,12 4,2 x x yxx xx ，令0y ，解得 2 4 3 x， 原不等式的解集是 2 |4 3 xx 4 分 （2） 21121f xxxxx 当且仅当120xx，即12x时取等号，故1k 假设存在符合条件的正数, a b，则21a b ， 6 分 121244 24428 baba ab abababab 当且仅当 4 ,21 ba ab ab ，即 11 , 42 ab=时取等号， 12 ab 的最小值为 8，即 12 4 ab 不存在正数, a b，使得 12 21,4ab ab 同时成立. 10 分
