1、2019-2020 学年江西省赣州市宁都县实验班八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）计算（a3）2的结果是（ ） Aa6 Ba5 Ca6 Da5 2 （3 分）如图，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前 3 个五边形，要完成这一圆 环还需（ ）个五边形 A6 B7 C8 D9 3 （3 分）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高 a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置， 墨水水面高为 h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ） A B C D 4（3
2、分） 已知 x2+ax12 能分解成两个整数系数的一次因式的积， 则整数 a 的个数有 （ ） A0 B2 C4 D6 5 （3 分）为了求 1+2+22+23+22019+22020的值，可令 S1+2+22+23+22019+22020，则 2S2+22+23+24+22020+22021，因此 2SS220211，所以 1+22+23+2202022021 1仿照以上方法计算 1+5+52+53+52020的值是（ ） A520211 B52021+1 C D 6 （3 分）如图在ABC 中，AD 是它的角平分线，AB9，AC6，BC10，则 CD 的长 为（ ） 第 2 页
3、（共 25 页） A B4 C4.5 D6 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 7 （3 分）使分式有意义的 x 的取值范围为 8 （3 分）计算：2020201820192 9 （3 分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1 所示） ，然后轻轻拉紧、压平 就可以得到如图 2 所示的正五边形 ABCDE图中，BAC 度 10 （3 分）一种商品原来的销售利润率是 47%现在由于进价提高了 5%，而售价没变，所 以该商品的销售利润率变成了 （注：销售利润率（
4、售价进价）进价） 11 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，B90，DEAB 交 BC 于点 E，交 AC 于点 F， CDEACB30，BCDE，则ADF 12 （3 分）如图，在ABC 中，AB8，AC5，点 D 在ABC 内部，连接 AD、BD、CD， ADB150，DBC30，ABC+ADC180，则线段 CD 的长度为 第 3 页（共 25 页） 三、 （本大题共三、 （本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分） 分） 13 （6 分）计算： （）2+|6| 14 （6 分）计算：4（xy）2（2xy） （2x+y
5、） 15 （6 分）先化简，再求值：，其中 x 16 （6 分）如图，点 A，E，F，B 在直线 l 上，AEBF，ACBD，且 ACBD，求证： CFDE 17 （6 分）有两块面积相同的小麦试验田，播种时第一块使用原品种，第二块使用新品种， 分别收获小麦 9000kg 和 15000kg已知第一块试验田每公顷的产量比第二块试验田每公 顷的产量少 3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分） 分） 18 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A40，ABC 的外角CBD 的平 分线 BE
6、交 AC 的延长线于点 E （1）求CBE 的度数； （2）过点 D 作 DFBE，交 AC 的延长线于点 F，求F 的度数 第 4 页（共 25 页） 19 （8 分）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程 队的投标书从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工 程所需天数的；若由甲队先做 10 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 30 天完成 （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为 8.4 万元，乙队每天的施工费用为 5.6 万元工程预算 的施工费用为 500 万元 为缩短工期并高效完成工程， 拟安排预
7、算的施工费用是否够用？ 若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由 20 （8 分）在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题： 在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的一点，BE 与 CD 交于点 O，画出图形（如图） ， 给出下列四个条件：DBOECO；BDOCEO；BDCE；OBOC （1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定ABC 是等腰三角形 请你用序号在横线上写出所有情形答： ； （4 分） （2） 选择第 （1） 题中的一种情形， 说明是ABC 等腰三角形的理由， 并写出解题过程 解： 我选择
8、（6 分） 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分 ）分 ） 21 （9 分）先阅读下列材料，再解答后面的问题 一般地，若 anb（a0 且 a1，b0） ，则 n 叫做以 a 为底 b 的对数，记为 logab（即 logabn） 如 3481，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log381（即 log3814） （1）计算以下各对数的值：log24 ，log216 ，log264 （2）观察（1）中三数 4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间
9、又 满足怎样的关系式； （3）猜想一般性的结论：logaM+logaN （a0 且 a1，M0，N0） ，并根 据幂的运算法则：amanam+n以及对数的含义证明你的猜想 22 （9 分）如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE 拼在一起（图 1） ABD 不动， 第 5 页（共 25 页） （1）若将ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 2） ， 证明：MBMC （2）若将图 1 中的 CE 向上平移，CAE 不变，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、 MC（图 3） ，判断并直接写出 MB、MC 的数量关
10、系 （3）在（2）中，若CAE 的大小改变（图 4） ，其他条件不变，则（2）中的 MB、MC 的数量关系还成立吗？说明理由 六、 （本大题六、 （本大题 1 小题，满分小题，满分 12 分 ）分 ） 23 （12 分）数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 EDEC，如图， 试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由” 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE DB
11、（填“” ， “”或“” ） （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE DB（填“” ， “”或“” ） 理由 如下：如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 EDEC若ABC 的 边 长 为1 ， AE 2 ， 求CD的 长 （ 请 你 直 接 写 出 结 第 6 页（共 25 页） 果） 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年江西省赣州市宁都县实验班八年级（上）期末数学年江西省赣州市宁都
12、县实验班八年级（上）期末数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）计算（a3）2的结果是（ ） Aa6 Ba5 Ca6 Da5 【分析】根据幂的乘方以及积的乘方即可求出答案 【解答】解：原式a6， 故选：C 【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于 基础题型 2 （3 分）如图，若干全等正五边形排成环状图中所示的是前 3 个五边形，要完成这一圆 环还需（ ）个五边形 A6 B
13、7 C8 D9 【分析】先根据多边形的内角和公式（n2） 180求出正五边形的每一个内角的度数， 再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据 周角等于 360求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去 3 即可得解 【解答】解：五边形的内角和为（52） 180540， 所以正五边形的每一个内角为 5405108， 如图，延长正五边形的两边相交于点 O，则13601083360324 36， 3603610， 已经有 3 个五边形， 1037， 第 8 页（共 25 页） 即完成这一圆环还需 7 个五边形 故选：B 【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长
14、正五边形的两边相交于一点，并求出这 个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的 3 个正五边形 3 （3 分）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高 a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置， 墨水水面高为 h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ） A B C D 【分析】设第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二 个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容 积即可 【解答】解：设规则瓶体部分的底面积为 S 平方厘米 倒立放置时，空余部分的体积为 bS 立方厘米， 正立放置时，有墨水部分的体积是 aS 立方厘米， 因此墨水的体积约占
15、玻璃瓶容积的 故选：A 【点评】考查列代数式；用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决 本题的突破点 4（3 分） 已知 x2+ax12 能分解成两个整数系数的一次因式的积， 则整数 a 的个数有 （ ） A0 B2 C4 D6 【分析】根据十字相乘法分解因式，12 可以分解成112，1（12） ，26，2 （6） ，34，3（4） ，a 等于分成的两个数的和，然后计算即可得解 【解答】解：112，1（12） ，26，2（6） ，34，3（4） ， 第 9 页（共 25 页） a1+1211，1+（12）11，2+64，2+（6）4，3+41，3+（ 4）1， 即 a
16、11，4，1 共 6 个 故选：D 【点评】本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解12 是解题的关键 5 （3 分）为了求 1+2+22+23+22019+22020的值，可令 S1+2+22+23+22019+22020，则 2S2+22+23+24+22020+22021，因此 2SS220211，所以 1+22+23+2202022021 1仿照以上方法计算 1+5+52+53+52020的值是（ ） A520211 B52021+1 C D 【分析】根据题目中的例子，可以求得所求式子的式子，本题得以解决 【解答】解：设 S1+5+52+53+52020， 则 5S5+52+53
17、+52021， 因此 5SS520211， 则 4S520211， 故 S， 故选：C 【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求 出所求式子的值 6 （3 分）如图在ABC 中，AD 是它的角平分线，AB9，AC6，BC10，则 CD 的长 为（ ） A B4 C4.5 D6 【分析】作 DEAB 于 E，DFAC 于 F，根据角平分线的性质得到 DEDF，根据三角 形的面积公式计算，得到答案 【解答】解：作 DEAB 于 E，DFAC 于 F， AD 平分BAC，DEAB，DFAC， 第 10 页（共 25 页） DEDF， ， ， BC10， CDBC4
18、， 故选：B 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等 是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 7 （3 分）使分式有意义的 x 的取值范围为 x1 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为 0 进行计算即可 【解答】解：分式有意义， x10， x1， 故答案为：x1 【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为 0 是解题的 关键 8 （3 分）计算：2020201820192 1 【分析】首先把 20202018 化成（2019+1） （20191）
19、，然后应用平方差公式计算即可 【解答】解：2020201820192 （2019+1） （20191）20192 201921220192 1 第 11 页（共 25 页） 故答案为：1 【点评】此题主要考查了平方差公式的运用解题的关键是熟练掌握平方差公式：两个 数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 9 （3 分）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1 所示） ，然后轻轻拉紧、压平 就可以得到如图 2 所示的正五边形 ABCDE图中，BAC 36 度 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题 【解答】解：ABC108，ABC 是等腰三角形， B
20、ACBCA36 度 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质 n 边形的内角和为：180（n2） 10 （3 分）一种商品原来的销售利润率是 47%现在由于进价提高了 5%，而售价没变，所 以该商品的销售利润率变成了 40% （注：销售利润率（售价进价）进价） 【分析】因为销售利润率（售价进价）进价，设原来的售价是 b，进价是 a，可得 到用 a 表示 b 的关系式，然后根据现在由于进价提高了 5%，而售价没变，可得到现在的 利润率 【解答】解：设原来的售价是 b，进价是 a， 100%47% b1.47a 100%40% 故答案为：40% 【点评】本题考查理解题意的能力，关
21、键是设出进价和售价两个未知数，以及知道销售 利润率（售价进价）进价从而求出结果 11 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，B90，DEAB 交 BC 于点 E，交 AC 于点 F， CDEACB30，BCDE，则ADF 45 第 12 页（共 25 页） 【分析】证明ABCCED（ASA） ，得出 ACCD，由等腰三角形的性质得出求出 CDACAD75，即可得出答案 【解答】解：DEAB， DECB90， CDEACB30， CDE30， 在ABC 和CED 中， ABCCED（ASA） ， ACCD， CDACAD（18030）75， ADFCDACDE45； 故答案为：45 【点评】本
22、题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质 以及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键 12 （3 分）如图，在ABC 中，AB8，AC5，点 D 在ABC 内部，连接 AD、BD、CD， ADB150，DBC30，ABC+ADC180，则线段 CD 的长度为 3 【分析】 如图， 延长 AD 交 BC 于点 E， 延长 DC 至 F， 使 DFAB， 证明ABEFDE， 可得 AEEF，AECFEC60，证明AECFEC，可得 ACCF，则 CD 可 第 13 页（共 25 页） 求出 【解答】解：如图，延长 AD 交 BC 于点 E，
23、延长 DC 至 F，使 DFAB， ABC+ADC180， ADC+EDF180， EDFABC， ADB150， BDE30， DBC30， DBEBDE， EBED， ABEFDE（SAS） ， AEEF，AEBDEF120， AECFEC60， ECEC， AECFEC（SAS） ， ACCF5， CDDFCF853 故答案为：3 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅 助线是解题的关键 三、 （本大题共三、 （本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分） 分） 第 14 页（共 25 页） 13 （6 分）计算： （）2+|
24、6| 【分析】原式利用算术平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果 【解答】解：原式3（0.5）+461 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14 （6 分）计算：4（xy）2（2xy） （2x+y） 【分析】直接利用完全平方公式和平方差公式计算得出答案 【解答】解：4（xy）2（2xy） （2x+y） 4（x22xy+y2）（4x2y2） 4x28xy+4y24x2+y2 5y28xy 【点评】此题主要考查了完全平方公式和平方差公式能够正确运用完全平方公式和平 方差公式进行计算是解题关键 15 （6 分）先化简，再求值：，其中 x 【分析
25、】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可 【解答】解：原式 ， 当 x时，原式 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键 16 （6 分）如图，点 A，E，F，B 在直线 l 上，AEBF，ACBD，且 ACBD，求证： CFDE 【分析】根据平行线的性质得到CAFDBE，证明ACFBDE，根据全等三角形 的性质证明结论 第 15 页（共 25 页） 【解答】证明：AEBF， AE+EFBF+EF，即 AFBE， ACBD， CAFDBE， 在ACF 和BDE 中， ， ACFBDE（SAS） CFDE 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的
26、性质，掌握全等三角形的判 定定理和性质定理是解题的关键 17 （6 分）有两块面积相同的小麦试验田，播种时第一块使用原品种，第二块使用新品种， 分别收获小麦 9000kg 和 15000kg已知第一块试验田每公顷的产量比第二块试验田每公 顷的产量少 3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量 【分析】设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，根据有两块面积相同的小麦试验田，以试 验田的面积做为等量关系可列方程求解 【解答】解：设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，根据题意得， （1 分） （4 分） 解得：x4500（6 分） 经检验：x4500 是原方程的解， （7 分） x+30004500
27、+30007500 答：第一、二块试验田每公顷的产量分别是 4500kg 和 7500kg （8 分） 【点评】本题考查理解题意的能力，关键是以两块相同的试验田做为等量关系，从而可 列方程求解 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分） 分） 18 （8 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A40，ABC 的外角CBD 的平 分线 BE 交 AC 的延长线于点 E （1）求CBE 的度数； （2）过点 D 作 DFBE，交 AC 的延长线于点 F，求F 的度数 第 16 页（共 25 页） 【分析】 （1）先根据直角三角形两锐角互余求出A
28、BC90A50，由邻补角定 义得出CBD130再根据角平分线定义即可求出CBECBD65； （2）先根据三角形外角的性质得出CEB906525，再根据平行线的性质即 可求出FCEB25 【解答】解： （1）在 RtABC 中，ACB90，A40， ABC90A50， CBD130 BE 是CBD 的平分线， CBECBD65； （2）ACB90，CBE65， CEB906525 DFBE， FCEB25 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定 义，角平分线定义掌握各定义与性质是解题的关键 19 （8 分）京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到
29、了甲、乙两个工程 队的投标书从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工 程所需天数的；若由甲队先做 10 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 30 天完成 （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为 8.4 万元，乙队每天的施工费用为 5.6 万元工程预算 的施工费用为 500 万元 为缩短工期并高效完成工程， 拟安排预算的施工费用是否够用？ 若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由 第 17 页（共 25 页） 【分析】 （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及 各自的工作效率根据工作量工作效
30、率工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断 【解答】解： （1）设乙队单独完成这项工程需要 x 天，则甲队单独完成这项工程需要x 天根据题意，得 解得 x90 经检验，x90 是原方程的根 x9060 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需 60 天和 90 天 （2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要 y 天， 则有 解得 y36 需要施工费用：36（8.4+5.6）504（万元） 504500 工程预算的施工费用不够用，需追加预算 4 万元 【点评】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强 20 （8 分）在
31、一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题： 在ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的一点，BE 与 CD 交于点 O，画出图形（如图） ， 给出下列四个条件：DBOECO；BDOCEO；BDCE；OBOC （1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定ABC 是等腰三角形 请你用序号在横线上写出所有情形答： ，和 ； （4 分） （2） 选择第 （1） 题中的一种情形， 说明是ABC 等腰三角形的理由， 并写出解题过程 解： 我选择 （6 分） 【分析】 （1）要证ABC 是等腰三角形，就要证ABCACB，根据已知条件即可找 第 18 页（共 25 页
32、） 到证明ABCACB 的组合； （2）可利用DOB 与EOC 全等，得出 OCOB，再得出OCB 与OBC 相等，就能 证明ABC 与ACB 相等 【解答】解： （1），和； （2）以为条件，理由： OBOC， OBCOCB 又DBOECO， DBO+OBCECO+OCB，即ABCACB， ABAC， ABC 是等腰三角形 故答案为：，和； 【点评】此题主要考查利用等角对等边来判定等腰三角形；题目对学生的要求比较高， 利用等量加等量和相等是正确解答本题的关键 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分 ）分 ） 21 （9 分）先阅读下列材料，
33、再解答后面的问题 一般地，若 anb（a0 且 a1，b0） ，则 n 叫做以 a 为底 b 的对数，记为 logab（即 logabn） 如 3481，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log381（即 log3814） （1）计算以下各对数的值：log24 2 ，log216 4 ，log264 6 （2）观察（1）中三数 4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间又 满足怎样的关系式； （3）猜想一般性的结论：logaM+logaN loga（MN） （a0 且 a1，M0，N0） ， 并根据幂的运算法则：amanam+n以及对数的含义
34、证明你的猜想 【分析】 （1）根据材料叙述，结合 224，2416，2664 即可得出答案； （2）根据（1）的答案可得出 log24、log216、log264 之间满足的关系式； （3）设 logaMb1，logaNb2，则M，N，分别表示出 MN 及 b1+b2的值， 即可得出猜想 【解答】解： （1）log242，log2164，log2646； 第 19 页（共 25 页） （2）log24+log216log264； （3）猜想 logaM+logaNloga（MN） 证明：设 logaMb1，logaNb2，则M，N， 故可得 MN，b1+b2loga（MN） ， 即 logaM
35、+logaNloga（MN） 【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算，题目出得比较新颖，解题思路以材料的形式 给出，需要同学们仔细阅读，理解并灵活运用所给的信息 22 （9 分）如图，将两个全等的直角三角形ABD、ACE 拼在一起（图 1） ABD 不动， （1）若将ACE 绕点 A 逆时针旋转，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、MC（图 2） ， 证明：MBMC （2）若将图 1 中的 CE 向上平移，CAE 不变，连接 DE，M 是 DE 的中点，连接 MB、 MC（图 3） ，判断并直接写出 MB、MC 的数量关系 （3）在（2）中，若CAE 的大小改变（图 4）
36、，其他条件不变，则（2）中的 MB、MC 的数量关系还成立吗？说明理由 【分析】 （1）连接 AM，根据全等三角形的对应边相等可得 ADAE，ABAC，全等三 角形对应角相等可得BADCAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到MAD MAE，然后利用“边角边”证明ABM 和ACM 全等，根据全等三角形对应边相等即 可得证； （2）延长 DB、AE 相交于 E，延长 EC 交 AD 于 F，根据等腰三角形三线合一的性质 得到 BDBE，然后求出 MBAE，再根据两直线平行，内错角相等求出MBC CAE，同理求出 MCAD，根据两直线平行，同位角相等求出BCMBAD，然后 求出MBCBCM，再根据
37、等角对等边即可得证； 第 20 页（共 25 页） （3）延长 BM 交 CE 于 F，根据两直线平行，内错角相等可得MDBMEF，MBD MFE，然后利用“角角边”证明MDB 和MEF 全等，根据全等三角形对应边相 等可得 MBMF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可 【解答】证明： （1）如图 2，连接 AM，由已知得ABDACE， ADAE，ABAC，BADCAE， MDME， MADMAE， MADBADMAECAE， 即BAMCAM， 在ABM 和ACM 中， ABMACM（SAS） ， MBMC； （2）MBMC 理由如下：如图 3，延长 DB、AE 相交于 E，
38、延长 EC 交 AD 于 F， BDBE，CECF， M 是 ED 的中点，B 是 DE的中点， MBAE， MBCCAE， 同理：MCAD， BCMBAD， BADCAE， MBCBCM， MBMC； （3）MBMC 还成立 如图 4，延长 BM 交 CE 于 F， CEBD， MDBMEF，MBDMFE， 第 21 页（共 25 页） 又M 是 DE 的中点， MDME， 在MDB 和MEF 中， MDBMEF（AAS） ， MBMF， ACE90， BCF90， MBMC 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等 边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜
39、边的一半的性质，以及三角形的中位线定理， 综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键 六、 （本大题六、 （本大题 1 小题，满分小题，满分 12 分 ）分 ） 23 （12 分）数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的延长线上，且 EDEC，如图， 试确定线段 AE 与 DB 的大小关系，并说明理由” 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点 E 为 AB 的中点时，如图 1，确定线段 AE 与 DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE DB（填“” ， “”或“”
40、 ） 第 22 页（共 25 页） （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE 与 DB 的大小关系是：AE DB（填“” ， “”或“” ） 理由 如下：如图 2，过点 E 作 EFBC，交 AC 于点 F （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点 E 在直线 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 EDEC若ABC 的 边 长 为1 ， AE 2 ， 求CD的 长 （ 请 你 直 接 写 出 结 果） 【分析】 （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出DECB30，求出 DEB30，求出 BDBE 即可； （2）过 E 作 EFBC 交 AC
41、于 F，求出等边三角形 AEF，证DEB 和ECF 全等，求出 BDEF 即可； （3）当 D 在 CB 的延长线上，E 在 AB 的延长线式时，由（2）求出 CD3，当 E 在 BA 的延长线上，D 在 BC 的延长线上时，求出 CD1 【解答】解： （1）故答案为： （2）过 E 作 EFBC 交 AC 于 F， 等边三角形 ABC， ABCACBA60，ABACBC， AEFABC60，AFEACB60， 即AEFAFEA60， AEF 是等边三角形， AEEFAF， ABCACBAFE60， DBEEFC120，D+BEDFCE+ECD60， DEEC， DECD， 第 23 页（共
42、25 页） BEDECF， 在DEB 和ECF 中 ， DEBECF， BDEFAE， 即 AEBD， 故答案为： （3）解：CD1 或 3， 理由是：分为两种情况：如图 1 过 A 作 AMBC 于 M，过 E 作 ENBC 于 N， 则 AMEN， ABC 是等边三角形， ABBCAC1， AMBC， BMCMBC， DECE，ENBC， CD2CN， AMEN， AMBENB， ， ， BN， 第 24 页（共 25 页） CN1+， CD2CN3； 如图 2，作 AMBC 于 M，过 E 作 ENBC 于 N， 则 AMEN， ABC 是等边三角形， ABBCAC1， AMBC， BMCMBC， DECE，ENBC， CD2CN， AMEN， ， ， MN1， CN1， CD2CN1， 即 CD3 或 1 第 25 页（共 25 页） 【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的 性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角 形后求出 BDEF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的 CD 值， 注意，不要漏解啊
