1、2018-2019 学年江西省南昌二中八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项分，每小题只有一个正确选项.） 1 （3 分）一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的求根公式是（ ） Ax1，2 Bx1，2 Cx1，2 Dx1，2 2 （3 分）关于 x 的一元二次方程（x1）2k2019，下列说法错误的是（ ） Ak2017 方程无实数解 Bk2018 方程有一个实数解 Ck2019 有两个相等的实数解 Dk2020 方程有两个不相等的实数解 3 （3 分）抛物线 y4（x+3）2+12 的
2、顶点坐标是（ ） A （4，12） B （3，12） C （3，12） D （3，12） 4 （3 分）关于抛物线 y1（2+x）2与 y2（2x）2的说法，不正确的是（ ） Ay1与 y2的顶点关于 y 轴对称 By1与 y2的图象关于 y 轴对称 Cy1向右平移 4 个单位可得到 y2的图象 Dy1绕原点旋转 180可得到 y2的图象 5 （3 分）如图，把两块全等的 45的直角三角板 RtABC、RtDEF 重叠在一起，A D90，AB 中点为 P，斜边 BC 中点为 Q，固定 RtDEF 不动，然后把 RtABC 围 绕下面哪个点旋转一定角度可以使得
3、旋转后的三角形与原三角形正好合成一个矩形（三 角板厚度不计） （ ） A顶点 A B顶点 B C中点 P D中点 Q 6 （3 分）如图，已知二次函数 yx2+bxc，它与 x 轴交于 A、B，且 A、B 位于原点两 第 2 页（共 24 页） 侧，与 y 的正半轴交于 C，顶点 D 在 y 轴右侧的直线 l：y4 上，则下列说法：bc0； 0b4；AB4；SABD8其中正确的结论有（ ） A B C D 二、填空题（二、填空题（每小题每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）一元二次方程 x26 的解为 8（3 分） 把抛物线 y5x23x+1 沿 y 轴向上平移
4、 1 个单位， 得到的抛物线解析式为 9 （3 分）抛物线 yx22x，当 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围为 10 （3 分）如图，已知 A（0，1） ，B（1，0） ，C（0，1） ，D（3，0） ，若线段 BD 可由线 段 AC 围绕旋转中心 P 旋转而得，则旋转中心 P 的坐标是 11 （3 分）一元二次方程 x2+5x+a0 的两根为 m，n，若 mn2，则 m2+6m+n 12 （3 分）如图，将一个 8cm16cm 智屏手机抽象成一个的矩形 ABCD，其中 AB8cm， AD16cm，然后将
5、它围绕顶点 A 逆时针旋转一周，旋转过程中 A、B、C、D 的对应点依 次为 A、E、F、G，则当ADE 为直角三角形时，若旋转角为 （0360） ，则 的大小为 三、 （本大题共五个小题，每小题三、 （本大题共五个小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分） （1）解方程：x2+6x10 （2）解方程：x（x+1）6 第 3 页（共 24 页） 14 （6 分）已知函数 y（m1）x2+4x+2 （1）当 m 取何值时抛物线开口向上？ （2）当 m 为何值时函数图象与 x 轴有两个交点？ （3）当 m 为何值时函数图象与 x 轴只有一个交点？ 15 （6 分
6、）已知两条线段长分别是一元二次方程 x28x+120 的两根 （1）解方程求两条线段的长； （2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积； （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积 16 （6 分）某校初二年级以班为单位进行篮球比赛，第一轮比赛是先把全年级平分成 A、B 两个大组，同一个大组的每两个班都进行一场比赛，这样第一轮 A、B 两个大组共进行了 20 场比赛，问该校初二年级共有几个班？ 17 （6 分）作图题：在图（1） （2）所示抛物线中，抛物线与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于 C， 点
7、 D 是抛物线的顶点，过 D 平行于 y 轴的直线是它的对称轴，点 P 在对称轴上运动仅 用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图： （1）在图中作出点 P，使线段 PA+PC 最小； （2）在图中作出点 P，使线段 PBPC 最大 四、 （本大题共三个小题，每小题四、 （本大题共三个小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）直线 y1x+m 与抛物线 y2ax2+bx+c 交于 P、Q（2，3）两点，其中 P 在 x 轴 上，Q（2，3）是抛物线 y2的顶点 （1）求 y1与 y2的函数解析式； （2）求函数值 y1y2时 x 的取值范围 19 （8 分）已知二次函
8、数 yx22ax+4a+2 第 4 页（共 24 页） （1）若该函数与 x 轴的一个交点为（1，0） ，求 a 的值及该函数与 x 轴的另一交点坐 标； （2）不论 a 取何实数，该函数总经过一个定点， 求出这个定点坐标； 证明这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点 20 （8 分）某产品成本为 400 元/件，由经验得知销售量 y 与售价 x 是成一次函数关系，当 售价为 800 元/件时能卖 1000 件，当售价 1000 元/件时能卖 600 件， 问售价多少时利润 W 最大？最大利润是多少？ 五、 （本大题五、 （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）
9、分） 21 （9 分）已知抛物线 yax22abx+ab2+9，与 x 轴交于 A、B （1）若 a1，b1 时，求线段 AB 的长； （2）若 a1，b1 时，求线段 AB 的长； （3）若一排与 y1形状相同的抛物线在直角坐标系上如图放置，且每相邻两个的交点均 在 x 轴上，M（12，0） ，若 OM 之间有 5 个它们的交点，求 a 的取值范围 22 （9 分）若抛物线上 y1ax2+bx+c，它与 y 轴交于 C（0，4） ，与 x 轴交于 A（1，0） 、 B（k，0） ，P 是抛物线上 B、C 之间的一点 （1）当 k4 时，求抛物线的方程，并求出当BPC 面积最大时的 P 的横坐
10、标； （2）当 a1 时，求抛物线的方程及 B 的坐标，并求当BPC 面积最大时 P 的横坐标； （3）根据（1） 、 （2）推断 P 的横坐标与 B 的横坐标有何关系？ 第 5 页（共 24 页） 六、 （本大题共一个小题，共六、 （本大题共一个小题，共 12 分）分） 23 （12 分）如图，在白纸上画两条长度均为 acm 且夹角为 30的线段 AB、AC，然后你把 一支长度也为 acm 的铅笔 DE 放在线段 AB 上， 将这支铅笔以线段 AB 上的一点 P 为旋转 中心旋转顺时针旋转一周 （1）若 P 与 B 重合，当旋转角为 时，这支铅笔与线段 AB、AC 围成的三角形
11、是 等腰三角形； （2）点 P 从 B 逐渐向 A 移动，记 t， 若 t1，当旋转角为 30、 、 、 、210、 时这支铅 笔与线段 AB、AC 共围成 6 个等腰三角形； 当这支铅笔与线段 AB、AC 正好围成 5 个等腰三角形时，求 t 的取值范围； 当这支铅笔与线段 AB、AC 正好围成 3 个等腰三角形时，直接写出 t 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2018-2019 学年江西省南昌二中八年级（下）期末数学试卷学年江西省南昌二中八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择
12、题（每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项分，每小题只有一个正确选项.） 1 （3 分）一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的求根公式是（ ） Ax1，2 Bx1，2 Cx1，2 Dx1，2 【分析】根据求根公式即可求出答案 【解答】解：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的求根公式是 x， 故选：A 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用求根公式，本题属于基础题型 2 （3 分）关于 x 的一元二次方程（x1）2k2019，下列说法错误的是（ ） Ak2017 方程无实数解 Bk2018 方程有一个实数解
13、;Ck2019 有两个相等的实数解 Dk2020 方程有两个不相等的实数解 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案 【解答】解：当 k20190 时， 此时方程有两个不相等的实数根， 当 k20190 时， 此时方程有两个相等的实数根， 当 k20190 时， 此时方程无解， 故选：B 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型 3 （3 分）抛物线 y4（x+3）2+12 的顶点坐标是（ ） 第 7 页（共 24 页） A （4，12） B （3，12） C （3，12） D （3，12） 【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的
14、顶点坐标 【解答】解：抛物线 y4（x+3）2+12， 该抛物线的顶点坐标为（3，12） ， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质 解答 4 （3 分）关于抛物线 y1（2+x）2与 y2（2x）2的说法，不正确的是（ ） Ay1与 y2的顶点关于 y 轴对称 By1与 y2的图象关于 y 轴对称 Cy1向右平移 4 个单位可得到 y2的图象 Dy1绕原点旋转 180可得到 y2的图象 【分析】两个抛物线解析式都是顶点式，可以根据顶点式直接判断顶点坐标，对称轴， 开口方向及与 y 轴的关系 【解答】解：抛物线
15、 y1（2+x）2（x+2）2， 抛物线 y1的开口向上，顶点为（2，0） ，对称轴为直线 x2； 抛物线 y2（2x）2（x2）2， 抛物线 y2的开口向上，顶点为（2，0） ，对称轴为直线 x2； y1与 y2的顶点关于 y 轴对称， 它们的对称轴相同，y1与 y2的图象关于 y 轴对称，y1向右平移 4 个单位可得到 y2的图 象， y1绕原点旋转 180得到的抛物线为 y（x2）2，与 y2开口方向不同， 关于抛物线 y1（2+x）2与 y2（2x）2的说法，不正确的是 D， 故选：D 【点评】主要考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用函数解析式 确定顶点坐标，对称轴以
16、及开口方向和与 y 轴的关系是解题的关键 5 （3 分）如图，把两块全等的 45的直角三角板 RtABC、RtDEF 重叠在一起，A D90，AB 中点为 P，斜边 BC 中点为 Q，固定 RtDEF 不动，然后把 RtABC 围 绕下面哪个点旋转一定角度可以使得旋转后的三角形与原三角形正好合成一个矩形（三 角板厚度不计） （ ） 第 8 页（共 24 页） A顶点 A B顶点 B C中点 P D中点 Q 【分析】根据旋转的性质判定即可 【解答】解：ABC 绕点 Q 旋转 180后的三角形与原三角形正好合成一个正方形， 故选：D 【点评】本题考查性质的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是
17、理解题意，灵 活运用所学知识解决问题 6 （3 分）如图，已知二次函数 yx2+bxc，它与 x 轴交于 A、B，且 A、B 位于原点两 侧，与 y 的正半轴交于 C，顶点 D 在 y 轴右侧的直线 l：y4 上，则下列说法：bc0； 0b4；AB4；SABD8其中正确的结论有（ ） A B C D 【分析】先由抛物线解析式得到 a10，利用抛物线的对称轴得到 b2a0，易 得 c0，于是可对进行判断；由顶点 D 在 y 轴右侧的直线 l：y4 上可得 b 的范围， 从而可判断是否正确；由 a1 及顶点 D 在 y 轴右侧的直线 l：y4 上，可得抛物线 与 x 轴两交点之间的距离 AB 为定
18、值，故可取 b2 进行计算，即可求得 AB 的长度及 S ABD的大小 【解答】解：抛物线开口向下， a10， 抛物线的对称轴为直线 x0， b0， 而抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0，则 c0， 第 9 页（共 24 页） bc0，故正确； 由顶点 D 在 y 轴右侧的直线 l：y4 上可得： 4 b24c+16 0c4 164c0 04c+1616 0b216 0b4 正确； a1， 该抛物线的开口方向及大小是一定的 又顶点 D 在 y 轴右侧的直线 l：y4 上 该抛物线与 x 轴两交点之间的距离 AB 是定值， 故可令 b2 则 c3 此时抛物线解析式为：yx2+2x+3
19、由x2+2x+30 得 x11，x23 故 AB4 正确； SABD4428 故正确； 综上，故选：D 【点评】本题综合考查了二次函数的图象与系数的关系，明确二次函数的相关性质是解 题的关键，本题具有一定的灵活性与难度 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）一元二次方程 x26 的解为 x1，x2 【分析】两边开方，即可求出答案 第 10 页（共 24 页） 【解答】解：x26， 开方得：x， 即 x1，x2， 故答案为：x1，x2 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关 键 8 （3 分）把抛物线 y5x2
20、3x+1 沿 y 轴向上平移 1 个单位，得到的抛物线解析式为 y 5x23x+2 【分析】化成顶点式，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式 【解答】解：抛物线 y5x23x+15（x）2+， 原抛物线的顶点为 （，） ， 沿 y 轴向上平移 1 个单位得出顶点坐标为 （，） ， 则新抛物线的顶点为（，） ， 新抛物线的解析式为：y5（x）2+，即 y5x23x+2 故答案为：y5x23x+2 【点评】本题主要考查了抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的 值，难度适中 9 （3 分）抛物线 yx22x，当 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范
21、围为 x1 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出 x 的取值范围 【解答】解：抛物线 yx22x（x1）21， 当 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围为 x1， 故答案为：x1 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质 解答 10 （3 分）如图，已知 A（0，1） ，B（1，0） ，C（0，1） ，D（3，0） ，若线段 BD 可由线 段 AC 围绕旋转中心 P 旋转而得，则旋转中心 P 的坐标是 （1，1）或（1，1） 第 11 页（共 24 页） 【分析】对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心（注意有两解） 【解答】解
22、：如图，当 C 与 B，A 与 D 是对应点时，作线段 BC，线段 AD 的垂直平分线 交于点 P，点 P 即为所求，此时 P（1，1） 当 C 与 D，A 与 B 是对应点时，同法可得旋转中心 P（1，1） ， 故答案为（1，1）或（1，1） 【点评】本题考查坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思 想思考问题，属于中考常考题型 11 （3 分）一元二次方程 x2+5x+a0 的两根为 m，n，若 mn2，则 m2+6m+n 7 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案 【解答】解：由题意可知：m+n5，mn2， a2， m2+5m+20， 原式m2+5m+m+n
23、， 2+（5） 7， 故答案为：7 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于 基础题型 12 （3 分）如图，将一个 8cm16cm 智屏手机抽象成一个的矩形 ABCD，其中 AB8cm， AD16cm，然后将它围绕顶点 A 逆时针旋转一周，旋转过程中 A、B、C、D 的对应点依 次为 A、E、F、G，则当ADE 为直角三角形时，若旋转角为 （0360） ，则 的大小为 30或 150或 180 第 12 页（共 24 页） 【分析】由折叠的性质可得 AEAB8cm，EAB，利用两种情况讨论，由旋转的 性质可求解 【解答】解：由折叠可得 AEAB8cm，EA
24、B， 若AED90时， cosDAE DAE60， 当 AE 在 AD 右侧时，EABDABDAE30， 当 AE 在 AD 左侧时，EABDAB+DAE150， 30或 150 若DAE90时， EABDAB+DAE180， 故答案为：30或 150或 180 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关 键 三、 （本大题共五个小题，每小题三、 （本大题共五个小题，每小题 6 分，共分，共 30 分）分） 13 （6 分） （1）解方程：x2+6x10 （2）解方程：x（x+1）6 【分析】 （1）根据配方法即可求出答案； （2）根据因式分解法即可求出答案；
25、 【解答】解： （1）x2+6x10， （x+3）210， x3； （2）x2+x60， （x+3） （x2）0， x13 或 x22 第 13 页（共 24 页） 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属 于基础题型 14 （6 分）已知函数 y（m1）x2+4x+2 （1）当 m 取何值时抛物线开口向上？ （2）当 m 为何值时函数图象与 x 轴有两个交点？ （3）当 m 为何值时函数图象与 x 轴只有一个交点？ 【分析】根据二次函数基本性质：a0，函数开口向上；0 函数和 x 轴有交点，即可 求解 【解答】解： （1）由题意得：m10， m1， 即 m
26、1 时，抛物线开口向上； （2）由题意得：0 且 m1， 164（m1）20， m3 且 m1， 故：m3 且 m1 时，图象与 x 轴有两个交点； （3）由题意得：0 或 m1， m1 或 m3， 即：m1 或 m3 时，图象与 x 轴只有一个交点 【点评】本题考查的是二次函数的开口方向与 x 轴的交点，即 a0，函数开口向上； 0 时，函数和 x 轴有交点 15 （6 分）已知两条线段长分别是一元二次方程 x28x+120 的两根 （1）解方程求两条线段的长； （2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积； （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另
27、一段围成直角三角形，求直角三角形的面积 【分析】 （1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据等腰三角形的性质以及勾股定理即可求出答案 （3）根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出答案； 【解答】解： （1）由题意得（x2） （x6）0， 第 14 页（共 24 页） 即：x2 或 x6， 两条线段长为 2 和 6； （2）分为 3，3 两段，三边长为 2，3，3， 设底边上的高为 h， 由勾股定理可知：h2 此等腰三角形面积为22 （3）设分为 x 及 6x 两段 当 x2+22（6x）2时， ， 三角形面积为2 当 x2+（6x）222时， 化简为：x26x+160
28、， 此方程无解； 当（6x）2+22x2， 化简为：x， 三角形面积为2； 综上所述，三角形的面积为： 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及勾股 定理，本题属于中等题型 16 （6 分）某校初二年级以班为单位进行篮球比赛，第一轮比赛是先把全年级平分成 A、B 两个大组，同一个大组的每两个班都进行一场比赛，这样第一轮 A、B 两个大组共进行了 20 场比赛，问该校初二年级共有几个班？ 【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场） ，2n 个班比赛总场数n（n1）2 2，即可列方程求解 【解答】解：设全年级个 2n 班， 由题意得：， 解得 n5 或 n4（舍
29、） ，2n10， 第 15 页（共 24 页） 答：全年级一共 10 个班 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为： 比赛场数队数（队数1）2，进而得出方程是解题关键 17 （6 分）作图题：在图（1） （2）所示抛物线中，抛物线与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于 C， 点 D 是抛物线的顶点，过 D 平行于 y 轴的直线是它的对称轴，点 P 在对称轴上运动仅 用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图： （1）在图中作出点 P，使线段 PA+PC 最小； （2）在图中作出点 P，使线段 PBPC 最大 【分析】 （1）连接 BC，与对称轴的交点即为所
30、求； （2）连接 AC，并延长，交对称轴于点 P 【解答】解： （1）如图，点 P 即为所求； （2）如图，点 P 即为所求 【点评】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和抛物 线的对称性 四、 （本大题共三个小题，每小题四、 （本大题共三个小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 第 16 页（共 24 页） 18 （8 分）直线 y1x+m 与抛物线 y2ax2+bx+c 交于 P、Q（2，3）两点，其中 P 在 x 轴 上，Q（2，3）是抛物线 y2的顶点 （1）求 y1与 y2的函数解析式； （2）求函数值 y1y2时 x 的取值范围 【分析】 （1）先求
31、出 Q 点的坐标，再求出直线的解析式，再把 Q、P 的坐标代入二次函 数的解析式求出 a 的值即可； （2）根据函数的性质和交点坐标得出即可 【解答】解： （1）把点 Q（2，3）代入 yx+m， 32+m， m1， y1x+1， 令 y0，x+10， x1， P（1，0） ， 顶点为（2，3） ， 设抛物线 ya（x2）2+3， 把 P（1，0）代入得：0a（12）2+3， 解得：， ， 即； （2）直线 y1x+1 与抛物线 y2（x3）2+3 交于 P（1，0） 、Q（2，3）两点， 函数值 y1y2时 x 的取值范围是1x2 【点评】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，
32、一次函数和二次函数的图象和性 质，用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式等知识点，能求出两函数的解析式是 解此题的关键 19 （8 分）已知二次函数 yx22ax+4a+2 （1）若该函数与 x 轴的一个交点为（1，0） ，求 a 的值及该函数与 x 轴的另一交点坐 第 17 页（共 24 页） 标； （2）不论 a 取何实数，该函数总经过一个定点， 求出这个定点坐标； 证明这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点 【分析】 （1） （1，0）代入得 01+2a+4a+2，即可求解 （2）整理得 ya（42x）+x2+2，即可求解；函数顶点为（a，a2+4a+2） ，而 a2+4a+2（a
33、2）2+6，a2 时纵坐标有最大值 6，即可求解 【解答】解： （1） （1，0）代入得 01+2a+4a+2， ， yx2+x， 另一交点为（0，0） （2）整理得 ya（42x）+x2+2， 令 x2 代入 y6， 故定点为（2，6） ， yx22ax+4a+2（xa）2+（a2+4a+2） ， 顶点为（a，a2+4a+2） ， 而a2+4a+2（a2）2+6， 当 a2 时，纵坐标有最大值 6， 此时 x2，y6，顶点（2，6） ， 故定点（2，6）是所有顶点中纵坐标最大的点 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求 学生非常熟悉函数与坐标轴的交点
34、、顶点等点，代表的意义及函数特征等 20 （8 分）某产品成本为 400 元/件，由经验得知销售量 y 与售价 x 是成一次函数关系，当 售价为 800 元/件时能卖 1000 件，当售价 1000 元/件时能卖 600 件， 问售价多少时利润 W 最大？最大利润是多少？ 【分析】根据销售量 y 与售价 x 是成一次函数关系，当售价为 800 元/件时能卖 1000 件， 当售价 1000 元/件时能卖 600 件，可以求得销售量与售价的函数关系式，从而可以得到 利润与售价的函数解析式， 然后利用二次函数的性质， 即可求得售价多少时利润 W 最大， 第 18 页（共 24 页） 最大利润是多少
35、 【解答】解：设销售量 y 与售价 x 的函数关系式为 ykx+b， ，得， 即销售量 y 与售价 x 的函数关系式为 y2x+2600， W（x400） （2x+2600）2（x850）2+405000 当 x850 时，W 取得最大值，此时 W405000， 答：售价为 850 元/件时，有最大利润 405000 元 【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利 用一次函数的性质和二次函数的性质解答 五、 （本大题五、 （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分）已知抛物线 yax22abx+ab2+9，与 x
36、轴交于 A、B （1）若 a1，b1 时，求线段 AB 的长； （2）若 a1，b1 时，求线段 AB 的长； （3）若一排与 y1形状相同的抛物线在直角坐标系上如图放置，且每相邻两个的交点均 在 x 轴上，M（12，0） ，若 OM 之间有 5 个它们的交点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）a1，b1，则 yx2+2x1+9x2+2x+8，即可求解； （2）a1，b1 时，yx2+2bxb2+9（xb）2+9，令 y0，（xb）2+9 0x1b+3，x2b3，即可求解； （ 3 ） 令y 0 ， a （ x b ） 2 9 ， 此 时AB的 长 ，OM 之间有 5 个交点，则，即 可求解
37、 【解答】解： （1）a1，b1， yx2+2x1+9x2+2x+8， 第 19 页（共 24 页） 令 y0， 得 x14，x22， AB4（2）6 （2）a1，b1 时，yx2+2bxb2+9（xb）2+9 令 y0，（xb）2+90x1b+3，x2b3， AB（b+3）（b3）6， 线段 AB 的长为 6 （3）令 y0，a（xb）29， 此时 AB 的长， OM 之间有 5 个交点， ， 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数 yax2+bx+c 系数符号由 抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 22 （9 分）若抛物线上 y1a
38、x2+bx+c，它与 y 轴交于 C（0，4） ，与 x 轴交于 A（1，0） 、 B（k，0） ，P 是抛物线上 B、C 之间的一点 （1）当 k4 时，求抛物线的方程，并求出当BPC 面积最大时的 P 的横坐标； （2）当 a1 时，求抛物线的方程及 B 的坐标，并求当BPC 面积最大时 P 的横坐标； （3）根据（1） 、 （2）推断 P 的横坐标与 B 的横坐标有何关系？ 【分析】 （1）k4 时，y3x2+3x+4，SBCPSOPB+SOPBSOBC，即可求解； 第 20 页（共 24 页） （2）a1 时，c4，yx2+5x+4则直线 BC 方程为 yx+4， 2（n+2）2+8n
39、2，即可求解； （3）分析（1） （2）的结论，面积最大时，P 的横坐标等于 B 的横坐标的一半，即可求 解 【解答】解： （1）k4 时， 由交点式得 ya（x+1） （x4） ， （0，4）代入得 a1， yx2+3x+4， 则 B（4，0） ，连 OP， 设 P（m，m2+3m+4） ，SBCPSOPB+SOPBSOBC 2（m2）2+8m2 时，最大值为 8， P 的横坐标为 2 时有最大值 （2）a1 时，c4， 设 yx2+bx+4，A（1，0）代入得 b5， yx2+5x+4 令 y0 求得 B（4，0） ， 则直线 BC 方程为 yx+4， 过 P 作 PH 平行于 y 轴交直
40、线 BC 于 H， 设 P （n， n2+5n+4） 、 H （n， n+4） ，2 （n+2） 2+8n2 面积最大值为 8， 此时 P 的横坐标为2 第 21 页（共 24 页） （3）由（1）知，当面积最大时，P 的横坐标等于 B 的横坐标的一半， 由（2）知，面积最大时，P 的横坐标等于 B 的横坐标的一半， 故：可以推断，当面积最大时，P 的横坐标等于 B 的横坐标的一半 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求 学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等 六、 （本大题共一个小题，共六、 （本大题共一个小题，共 12 分
41、）分） 23 （12 分）如图，在白纸上画两条长度均为 acm 且夹角为 30的线段 AB、AC，然后你把 一支长度也为 acm 的铅笔 DE 放在线段 AB 上， 将这支铅笔以线段 AB 上的一点 P 为旋转 中心旋转顺时针旋转一周 （1）若 P 与 B 重合，当旋转角为 30或 75 时，这支铅笔与线段 AB、AC 围成的 三角形是等腰三角形； （2）点 P 从 B 逐渐向 A 移动，记 t， 若 t1，当旋转角为 30、 75 、 120 、 300 、210、 255 时 这支铅笔与线段 AB、AC 共围成 6 个等腰三角形； 当这支铅笔与线段 AB、AC 正好围成 5 个等腰三角形时
42、，求 t 的取值范围； 当这支铅笔与线段 AB、AC 正好围成 3 个等腰三角形时，直接写出 t 的取值范围 【分析】 （1）分别当 ABAC 和 ABBE 进行讨论； （2）当 t1 时，P 位于 AB 中点，以点 P 为旋转中心将其旋转 30，75，120时， 当旋转 210，255，300时各围成三个等腰三角形； 作 PHAC，令 KH1，利用等腰三角形的性质求解； 在旋转过程中分别就 PEPB 进行画图讨论； 【解答】解： （1）当 ABAC 时， A30， ABE75； 第 22 页（共 24 页） 当 ABBE 时， A30， ABE30； 故答案为 30或 75； （2）如图 1
43、，当 t1 时，P 位于 AB 中点， DE 分成了 PD、PE 两段，以点 P 为旋转中心将其旋转 30，75，120时， PD 这段与 AB、AC 三次围成等腰三角形PAD， 当旋转 210，255，300时 PE 这段与 AB、AC 三次围成等腰三角形PAE， 这样正好围成 6 个等于三角形，此时 如图 2，当旋转 120时，当 PD（起初与 PA 重合的）正好与 PC 等长，即 PAPC 时， 当旋转 30，75，120时较长的 PD 这段与 AB、AC 三次围成等腰三角形PAD， 当旋转 210，255时较短的 PE 这段与 AB、AC 两次围成等腰三角形PAE， 如图 3，PHAC，则有AAPK30，KPH30， 令 KH1， 则，PKAK2， 易知， AC2AH6， 此时可求得， ， 故旋转形成 5 个等腰三角形时， PEPB 时，有 3 个， 如图 4：在 AH 上取 G，使 AGPG，则PAH15，PGH30，令 PH1， 第 23 页（共 24 页） 则PE PB 2 ， 当 PEPB 时，3 个， 当PEPB时，4个，如图5： 可求得 第 24 页（共 24 页） 【点评】本题考查旋转的性质和等腰三角形的性质；能够根据不同的情况画出合理的图 形，借助等腰三角形的性质进行求解是关键
