1、2018-2019 学年江西省南昌市八年级（下）期末数学试卷一.选择题（本大题共选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）每小题给出的四个选项中，只有一项分）每小题给出的四个选项中，只有一项 是正确的，每小题选对得是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均得零分分，选错、不选或多选均得零分 1 （3 分）与可以合并的二次根式是（ ） A B C D 2 （3 分）在ABCD 中，若A50，则下列各式中，不能成立的是（ ） AB130 BB+C180 CC50 DB+D180 3 （3 分）若五箱苹果的质量（单位：kg）分别为 18，21，18，19，2
2、0，则这五箱苹果质量 的中位数和众数分别是（ ） A18 和 18 B19 和 18 C20 和 18 D20 和 19 4 （3 分）已知数据：1，2，0，2，5，则下列结论错误的是（ ） A平均数为 0 B中位数为 1 C众数为 2 D方差为 34 5 （3 分）如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能 构成一个直角三角形三边的线段是（ ） ACD、EF、GH BAB、EF、GH CAB、CD、GH DAB、CD、EF 6 （3 分）若点 P（a，b）是正比例函数 yx 图象上任意一点，则下列等式一定成立的 是（ ） A2a+3b0 B2a3b0 C3
3、a+2b0 D3a2b0 7 （3 分）顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ） A平行四边形 B对角线相等的四边形 C矩形 D对角线互相垂直的四边 8 （3 分）如图，已知一条直线经过点 A（0，2） 、点 B（1，0） ，将这条直线向左平移与 x 轴、y 轴分别交于点 C、点 D若 DBDC，则直线 CD 的函数解析式为（ ） 第 2 页（共 21 页） Ay2x+2 By2x2 Cyx2 Dy2x2 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）若1a，则 a 的
4、取值范围为 10 （3 分）如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上 拉升 3cm 到 D，则橡皮筋被拉长了 cm 11 （3 分）若直线 ykx3 经过点（1，2）和点（0，b） ，则 kb 的值是 12 （3 分）如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使边 DC 落在对角线 AC 上，折痕为 CE，且 D 点落在对角线 D处若 AB3，AD4，则 ED 的长为 13 （3 分）若五个整数由小到大排列后，中位数为 4，唯一的众数为 2，则这组数据之和的 最小值是 14 （3 分
5、）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB2，BC3，B45，点 P 在 BC 边上，若以 A、B、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则 BP 的长是 15 （6 分） （1）计算：3（）|2|； 第 3 页（共 21 页） （2）简化： 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分）分） 16 （6 分）如果一组数据 3，2，2，4，x 的平均数为 3 （1）求 x 的值； （2）求这组数据的众数 17 （6 分）如图， 在菱形 ABCD 中，点 P 是 BC 的中点， 仅用无刻度的直尺按要求画图 （保 留作图痕迹，不写作法
6、） （1）在图中画出 AD 的中点 H； （2）在图中的菱形对角线 BD 上，找两个点 E、F，使 BEDF 18 （6 分） 如图， 直线 ykx+b 与 x 轴相交于点 A， 与 y 轴相交于点 B， 且 OA1， AB （1）求直线 AB 的解析式； （2）若在直线 AB 上有一点 P，使POB 的面积为 4，求点 P 的坐标 四四.解答题（本大题共解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 19 （8 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOCO，BODO，且 ABC+ADC180 （1）求证：四边形 AB
7、CD 是矩形 （2）DFAC，若ADF：FDC3：2，则BDF 的度数是多少？ 第 4 页（共 21 页） 20 （8 分）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班选派 5 名学生参加，在规定时间内 每人踢 100 个 以上（含 100 个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班 5 名学生的比赛数据（单位： 个） ，请根据表中数据解答下列问题： 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 总分 甲班 90 100 96 116 98 500 乙班 100 95 108 92 105 500 （1）计算甲、乙两班的优秀率； （2）求出甲、乙两班比赛数据的中位数和方差； （3）根据（1） （2）的计算结果
8、，请你判定甲班与乙班的比赛名次 21 （8 分）为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方法吸引游客门票定价 为 50 元/人，非节假日打 a 折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即 m 人以下（含 m 人）的团队按原价售票；超过 m 人的团队，其中 m 人仍按原价售票，超过 m 人部分的 游客打 b 折售票设某旅游团人数为 x 人，非节假日购票款为 y1（元） ，节假日购票款为 y2（元） y1与 y2之间的函数图象如图所示 （1）观察图象可知：a ；b ；m ； （2）直接写出 y1，y2与 x 之间的函数关系式； （3）某旅行社导游王娜于
9、 5 月 1 日带 A 团，5 月 20 日（非节假日）带 B 团都到该景区 旅游，共付门票款 1900 元，A，B 两个团队合计 50 人，求 A，B 两个团队各有多少人？ 五五.探究题（本大题共探究题（本大题共 1 小题，共小题，共 10 分）分） 22 （10 分）在数学兴趣小组活动中，小明将边长为 2 的正方形 ABCD 与边长为 2的正方 第 5 页（共 21 页） 形 AEFG 按如图 1 方式放置，AD 与 AE 在同一条直线上，AB 与 AG 在同一条直线上 （1）请你猜想 BE 与 DG 之间的数量与位置关系，并加以证明； （2）在图 2 中，若将正方形 ABCD 绕点 A
10、逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时， 求出 BE 的长； （3）在图 3 中，若将正方形 ABCD 绕点 A 继续逆时针旋转，且线段 DG 与线段 BE 相交 于点 H，写出GHE 与BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由 第 6 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省南昌市八年级（下）期末数学试卷学年江西省南昌市八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）每小题给出的四个选项中，只有一项分）每小题给出的四个选项中，只有一项 是正确的，每小题是正确的，
11、每小题选对得选对得 3 分，选错、不选或多选均得零分分，选错、不选或多选均得零分 1 （3 分）与可以合并的二次根式是（ ） A B C D 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可 【解答】解：A、与不能合并； B、3，与不能合并； C、2，与可以合并； D、与不能合并； 故选：C 【点评】本题考查的是同类二次根式，掌握同类二次根式的概念、二次根式的性质是解 题的关键 2 （3 分）在ABCD 中，若A50，则下列各式中，不能成立的是（ ） AB130 BB+C180 CC50 DB+D180 【分析】由平行四边形的性质得出AC50，BD130
12、，则B+C 180，B+D260，即可得出结果 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AC50，BD130， B+C180，B+D260， 故选：D 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键 3 （3 分）若五箱苹果的质量（单位：kg）分别为 18，21，18，19，20，则这五箱苹果质量 的中位数和众数分别是（ ） 第 7 页（共 21 页） A18 和 18 B19 和 18 C20 和 18 D20 和 19 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数， 则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶
13、数，则中间两个 数据的平均数就是这组数据的中位数一组数据中出现次数最多的数据叫做众数 【解答】解：将这组数按小到大排列：18，18，19，20，21， 则中位数为 19，众数为 18 故选：B 【点评】本题考查了众数和中位数，正确理解众数和中位数的意义是解题的关键 4 （3 分）已知数据：1，2，0，2，5，则下列结论错误的是（ ） A平均数为 0 B中位数为 1 C众数为 2 D方差为 34 【分析】根据题目中的数据可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：将数据：1，2，0，2，5 按照从小到大排列是：5，0，1，2，2， 则这组数据的平均数是：0，故选项 A 正确，
14、 中位数是 1，故选项 B 正确， 众数是 2，故选项 C 正确， 方差是：6.8，故选项 D 错误， 故选：D 【点评】本题考查方差、算术平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，可 以判断各个选项中的说法是否正确 5 （3 分）如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能 构成一个直角三角形三边的线段是（ ） ACD、EF、GH BAB、EF、GH CAB、CD、GH DAB、CD、EF 【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出 AB、CD、EF、GH 各自的长度，再 由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形 【解答】解：设小正方形
15、的边长为 1， 第 8 页（共 21 页） 则 AB222+228，CD222+4220， EF212+225，GH222+3213 因为 AB2+EF2GH2， 所以能构成一个直角三角形三边的线段是 AB、EF、GH 故选：B 【点评】考查了勾股定理逆定理的应用 6 （3 分）若点 P（a，b）是正比例函数 yx 图象上任意一点，则下列等式一定成立的 是（ ） A2a+3b0 B2a3b0 C3a+2b0 D3a2b0 【分析】直接把点 A（a，b）代入正比例函数 yx，求出 a，b 的关系即可 【解答】解：把点 A（a，b）代入正比例函数 yx， 可得：3b2a， 可得：2a+3b0， 故
16、选：A 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标 一定适合此函数的解析式是解答此题的关键 7 （3 分）顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ） A平行四边形 B对角线相等的四边形 C矩形 D对角线互相垂直的四边 【分析】根据三角形中位线的性质及菱形的性质，可证四边形的对角线相等 【解答】解：四边形 EFGH 是菱形， EHFGEFHGBDAC， 故 ACBD 故选：B 【点评】本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质 第 9 页（共 21 页） 8 （3 分）如图，已知一条直线经过点 A（0，
17、2） 、点 B（1，0） ，将这条直线向左平移与 x 轴、y 轴分别交于点 C、点 D若 DBDC，则直线 CD 的函数解析式为（ ） Ay2x+2 By2x2 Cyx2 Dy2x2 【分析】先求出直线 AB 的解析式，再根据平移的性质求直线 CD 的解析式 【解答】解：设直线 AB 的解析式为 ykx+b， A（0，2） 、点 B（1，0）在直线 AB 上， ，解得， 直线 AB 的解析式为 y2x+2； 将这直线向左平移与 x 轴负半轴、y 轴负半轴分别交于点 C、点 D，使 DBDC 时，平 移后的图形与原图形平行， 平移以后的函数解析式为：y2x2 故选：D 【点评】本题考查的是一次函
18、数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此 题的关键 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）若1a，则 a 的取值范围为 a1 【分析】根据二次根式的性质可知，开方结果0，于是 1a0，解即可 【解答】解：1a， 1a0， a1， 故答案是 a1 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简解题的关键时注意开方结果的取值是0 第 10 页（共 21 页） 10 （3 分）如图，长为 8cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上 拉升 3cm 到 D，则橡皮筋被拉长了 2
19、 cm 【分析】根据勾股定理，可求出 AD、BD 的长，则 AD+BDAB 即为橡皮筋拉长的距离 【解答】解：RtACD 中，ACAB4cm，CD3cm； 根据勾股定理，得：AD5cm； AD+BDAB2ADAB1082cm； 故橡皮筋被拉长了 2cm 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用 11 （3 分）若直线 ykx3 经过点（1，2）和点（0，b） ，则 kb 的值是 4 【分析】把题中所给两点的坐标代入直线解析式计算可得 k 和 b 的值 【解答】解：直线 ykx3 经过点（1，2）和点（0，b） ， ， 解得 k1，b3， kb4 故答案为 4 【点评
20、】考查一次函数图象上点的坐标特征，把两点的坐标代入是解决本题的关键 12 （3 分）如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使边 DC 落在对角线 AC 上，折痕为 CE，且 D 点落在对角线 D处若 AB3，AD4，则 ED 的长为 【分析】首先利用勾股定理计算出 AC 的长，再根据折叠可得DECDEC，设 ED x，则 DEx，ADACCD2，AE4x，再根据勾股定理可得方程 22+x2 （4x）2，再解方程即可 【解答】解：AB3，AD4， 第 11 页（共 21 页） DC3，BC4 AC5， 根据折叠可得：DECDEC， DCDC3，DEDE， 设 EDx，则 DEx，ADACCD2，A
21、E4x， 在 RtAED中： （AD）2+（ED）2AE2， 22+x2（4x）2， 解得：x， 故答案为： 【点评】此题主要考查了图形的翻着变换，以及勾股定理的应用，关键是掌握折叠的性 质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化， 对应边和对应角相等 13 （3 分）若五个整数由小到大排列后，中位数为 4，唯一的众数为 2，则这组数据之和的 最小值是 19 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数将一组数据按照从小到大（或从大 到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位 数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数
22、就是这组数据的中位数 【解答】解：由题意可得 4 是第 3 个数，第一二个数是 2，2，第 4 个数是 5，第 5 个数 是 6， 即 2，2，4，5，6， 这组数据之和的最小值 2+2+4+5+619， 故答案为 19 【点评】本题考查了众数和中位数，正确理解众数和中位数的意义是解题的关键 14 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB2，BC3，B45，点 P 在 BC 边上，若以 A、B、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则 BP 的长是 2 或 2或 第 12 页（共 21 页） 【分析】当 ABBP2 时，ABP 是等腰三角形； 当 ABAP2 时，由B45，则ABP 是
23、等腰直角三角形，BPAB2； 当 BPAP 时，由B45，ABP 是等腰直角三角形，BPAB，即可得出结 果 【解答】解：当 ABBP2 时，ABP 是等腰三角形； 当 ABAP2 时，B45，ABP 是等腰直角三角形，BPAB2； 当 BPAP 时，B45，ABP 是等腰直角三角形，BPAB，BP ； 综上所述，以 A、B、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则 BP 的长是 2 或 2或； 故答案为：2 或 2或 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的 判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键 15 （6 分） （1）计算：3（）|2|
24、； （2）简化： 【分析】 （1）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案 【解答】解： （1）3（）|2| 33（2） 332+ 45； （2） 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分）分） 16 （6 分）如果一组数据 3，2，2，4，x 的平均数为 3 第 13 页（共 21 页） （1）求 x 的值； （2）求这组数据的众数 【分析】 （1）利用平均数的定义，列出方程即可求解； （2）根据众数的定义求解即可
25、【解答】解： （1）由题意知，数据 3，2，2，4，x 的平均数为 3，则 （3+2+2+4+x）35， x4 （2）这组数据中 2 和 4 均出现了 2 次，并列最多， 所以众数为 2 和 4 【点评】本题考查了平均数及众数的概念平均数是指在一组数据中所有数据之和再除 以数据的个数 17 （6 分）如图， 在菱形 ABCD 中，点 P 是 BC 的中点， 仅用无刻度的直尺按要求画图 （保 留作图痕迹，不写作法） （1）在图中画出 AD 的中点 H； （2）在图中的菱形对角线 BD 上，找两个点 E、F，使 BEDF 【分析】 （1）过 BC 和 AD 中点的直线，必然过菱形两对角线的交点；
26、（2）连接 AP、CH 交 BD 于点 E、F 【解答】解： （1）如图所示： （2）如图所示： （答案不唯一） 第 14 页（共 21 页） 【点评】本题主要考查的是菱形的性质，熟练掌握菱形的性质、平行四边形的性质和判 定方法是解题的关键 18 （6 分） 如图， 直线 ykx+b 与 x 轴相交于点 A， 与 y 轴相交于点 B， 且 OA1， AB （1）求直线 AB 的解析式； （2）若在直线 AB 上有一点 P，使POB 的面积为 4，求点 P 的坐标 【分析】 （1）解直角三角形求出 A，B 两点坐标即可解决问题 （2）设 P（m，2m+2） ，构建方程即可解决问题 【
27、解答】解： （1）在 RtAOB 中，OA1，AB，AOB90， OB2， A（1，0） ，B（0，2） ， 把 A，B 两点坐标代入 ykx+b，则有， 解得， 直线 AB 的解析式为 y2x+2 （2）设 P（m，2m+2） ， 由题意：2|m|4， m4， P（4，6）或（4，10） ， 第 15 页（共 21 页） 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中 考常考题型 四四.解答题（本大题共解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 19 （8 分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，A
28、OCO，BODO，且 ABC+ADC180 （1）求证：四边形 ABCD 是矩形 （2）DFAC，若ADF：FDC3：2，则BDF 的度数是多少？ 【分析】（1） 根据平行四边形的判定得出四边形 ABCD 是平行四边形， 求出ABC90， 根据矩形的判定得出即可； （2）求出FDC 的度数，根据三角形内角和定理求出DCO，根据矩形的性质得出 OD OC，求出CDO，即可求出答案 【解答】 （1）证明：AOCO，BODO， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCADC， ABC+ADC180， ABCADC90， 四边形 ABCD 是矩形； （2）解：ADC90，ADF：FDC3：2， FDC
29、36， DFAC， DCO903654， 四边形 ABCD 是矩形， COOD， ODCDCO54， BDFODCFDC18 第 16 页（共 21 页） 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用 定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边 形是矩形 20 （8 分）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班选派 5 名学生参加，在规定时间内 每人踢 100 个 以上（含 100 个）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班 5 名学生的比赛数据（单位： 个） ，请根据表中数据解答下列问题： 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 总
30、分 甲班 90 100 96 116 98 500 乙班 100 95 108 92 105 500 （1）计算甲、乙两班的优秀率； （2）求出甲、乙两班比赛数据的中位数和方差； （3）根据（1） （2）的计算结果，请你判定甲班与乙班的比赛名次 【分析】 （1）根据表格中的数据可以得到甲、乙两班的优秀率； （2）根据表格中的数据可以得到甲、乙两班比赛数据的中位数和方差； （3）根据（1） （2）的计算结果，可以判定甲班与乙班的比赛名次 【解答】解： （1）由表格中的数据可得， 甲班的优秀率是：100%40%， 乙班的优秀率是：100%60%； （2）甲班成绩按照从小到大排列是：90，96，98
31、，100，116， 乙班成绩按照从小到大排列是：92，95，100，105，108， 则甲、乙两班的中位数分别为 98，100， 甲、乙两班的平均数都是：5005100， 则甲班的方差是： 75.2， 乙班的方差是： 35.6， 即甲、乙两班的中位数分别为 98，100，甲、乙两班的方差分别为 75.2，35.6； 第 17 页（共 21 页） （3）根据（1） （2）的计算结果，乙班第一，甲班第二， 理由：由（1）和（2）中的结果可以看出乙班优秀率高于甲班、中位数高于甲班，成绩 波动相对较小，故乙班得第一，甲班得第二 【点评】本题考查方差、算术平均数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一
32、组 数据的方差、中位数、和算术平均数 21 （8 分）为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方法吸引游客门票定价 为 50 元/人，非节假日打 a 折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即 m 人以下（含 m 人）的团队按原价售票；超过 m 人的团队，其中 m 人仍按原价售票，超过 m 人部分的 游客打 b 折售票设某旅游团人数为 x 人，非节假日购票款为 y1（元） ，节假日购票款为 y2（元） y1与 y2之间的函数图象如图所示 （1）观察图象可知：a 6 ；b 8 ；m 10 ； （2）直接写出 y1，y2与 x 之间的函数关系式； （3）某旅行社导游王娜于 5 月 1 日带 A
33、 团，5 月 20 日（非节假日）带 B 团都到该景区 旅游，共付门票款 1900 元，A，B 两个团队合计 50 人，求 A，B 两个团队各有多少人？ 【分析】 （1）根据原票价和实际票价可求 a、b 的值，m 的值可看图得到； （2）先列函数解析式，然后将图中的对应值代入其中求出常数项，即可得到解析式； （3）分两种情况讨论，即不多于 10 和多于 10 人，找出等量关系，列出关于人数的 n 的 一元一次方程，解此可得人数 【解答】解： （1）门票定价为 50 元/人，那么 10 人应花费 500 元，而从图可知实际只花 费 300 元，是打 6 折得到的价格， 所以 a6； 从图可知 1
34、0 人之外的另 10 人花费 400 元，而原价是 500 元，可以知道是打 8 折得到的 价格， 所以 b8， 看图可知 m10； 第 18 页（共 21 页） （2）设 y1kx，当 x10 时，y1300，代入其中得， k30 y1的函数关系式为：y130x； 同理可得，y250x（0x10） ， 当 x10 时，设其解析式为：y2kx+b， 将点（10，500） ， （20，900）代入可得：， 解得：， 即 y240x+100； 故 y1与 x 之间的函数关系式为：y130x；y2与 x 之间的函数关系式为：y2 ； （3）设 A 团有 n 人，则 B 团有（50n）人， 当 0n1
35、0 时，50n+30（50n）1900 解得， n20 这与 n10 矛盾， 当 n10 时，40n+100+30（50n）1900， 解得，n30，503020 答：A 团有 30 人，B 团有 20 人 【点评】本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，根据题意中的等量关 系建立函数关系式 五五.探究题（本大题共探究题（本大题共 1 小题，共小题，共 10 分）分） 22 （10 分）在数学兴趣小组活动中，小明将边长为 2 的正方形 ABCD 与边长为 2的正方 形 AEFG 按如图 1 方式放置，AD 与 AE 在同一条直线上，AB 与 AG 在同一条直线上 （1）请你猜想 BE
36、 与 DG 之间的数量与位置关系，并加以证明； （2）在图 2 中，若将正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，当点 B 恰好落在线段 DG 上时， 求出 BE 的长； （3）在图 3 中，若将正方形 ABCD 绕点 A 继续逆时针旋转，且线段 DG 与线段 BE 相交 于点 H，写出GHE 与BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由 第 19 页（共 21 页） 【分析】 （1）由正方形的性质可证ADGABE（SAS） ，因此可证得AGDAEB， 延长 EB 交 DG 于点 H，然后由三角形的内角和和直角三角形的两锐角互余可证得结论； 由正方形的性质和等量代换可证ADGABE（SAS） ，因
37、此可证得 DGBE； （2）过点 A 作 AMDG 交 DG 于点 M，根据正方形的性质可证得 DMAM，然后 根据勾股定理可求得 GM 的长，进而可求得 BEDGDM+GM； （3）对于EGH，点 H 在以 EG 为直径的圆上，所以当点 H 与点 A 重合时，EGH 的 高最大，对于BDH，点 H 在以 BD 为直径的圆上，所以当点 H 与点 A 重合时，BDH 的高最大，因此求出这时的面积，再相加即可 【解答】解： （1）如图 1， 四边形 ABCD 与四边形 AEFG 是正方形， ADAB，DAGBAE90，AGAE， 在ADG 和ABE 中， ， ADGABE（SAS） ， DGBE，
38、且AGDAEB， 如图 1，延长 EB 交 DG 于点 H， ADG 中AGD+ADG90， AEB+ADG90， DEH 中，DHE90， DGBE， 第 20 页（共 21 页） 故答案为：DGBE，DGBE； （2）四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都是正方形， ADAB，DABGAE90，AGAE， DAB+BAGGAE+BAG， DAGBAE， 在ADG 和ABE 中， ， ADGABE（SAS） ， DGBE， 如图 2，过点 A 作 AMDG 于点 M，则AMDAMG90， BD 是正方形 ABCD 的对角线， MDA45， AD2，AG2， 在 RtAMD 中，DMAM，
39、在 RtAMG 中，GM， DGDM+GM+， BEDG+ （3）GHE 与BHD 面积之和的最大值为 6 理由：如图 4 中，对于EGH，点 H 在以 EG 为直径的圆上， 第 21 页（共 21 页） 当点 H 与点 A 重合时，EGH 的高最大， SEGHAG284， 对于BDH，点 H 在以 BD 为直径的圆上， 当点 H 与点 A 重合时，BDH 的高最大， SBDHAD242， GHE 与BHD 面积之和的最大值是 4+26 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，锐角三角函数，全等三角 形的性质和判定以及勾股定理的综合应用， 解本题的关键是锐角三角函数的灵活运用 解 题时注意：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径
