1、2018-2019 学年江西省新余市八年级（下）期末数学试卷一.选择题（本大题共选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 2 （3 分）在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A3，5，9 B4，6，8 C13，14，15 D8，15，17 3 （3 分）如图，在ABCD 中，连结 AC，ABCCAD45，AB2，则 BC 的长是 （ ） A B2 C2 D4 4 （3 分）如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形
2、，其中正方形的面积分 别记为 A、B、C、D，则它们之间的关系为（ ） AA+BC+D BA+CB+D CA+DB+C D以上都不对 5 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，m）在第一象限，若点 A 关于 x 轴的对称 点 B 在直线 yx+1 上，则 m 的值为（ ） A1 B1 C2 D3 6 （3 分）设直线 ykx+6 和直线 y（k+1）x+6（k 是正整数）及 x 轴围成的三角形面积为 第 2 页（共 26 页） Sk（k1，2，3，8） ，则 S1+S2+S3+S8的值是（ ） A B C16 D14 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小
3、题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）式子有意义，则 x 的取值范围是 8 （3 分）ab0，则化简结果是 9 （3 分）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续 6 天的最高气温，结 果如下（单位：） ：6，3，x，2，1，3，若这组数据的中位数是1，给出下列 结论： 众数是1： 平均数是1： 方差是 8 其中所有正确结论的序号是 10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD70，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F， E 为垂足，连接 DF则CDF 等于 11 （3 分）已知一次函数 ykx+2k+3 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，且函数
4、值 y 随 x 的增大而减小，则 k 所有可能取得的整数值为 12 （3 分）如图，在ABC 中，ABBC4，AOBO，P 是射线 CO 上的一个动点，AOC 60，则当PAB 为直角三角形时，AP 的长为 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 小题，每题小题，每题 6 分，共分，共 30 分分 13 （6 分）计算： （1） （2） 14 （6 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，分别过点 C、点 D 作 CE BD，DEAC求证：四边形 OCED 是正方形 第 3 页（共 26 页） 15 （6 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为 AB
5、边上的高，CE 为 AB 边上的 中线，AD4，CE10，求 CD 的长 16 （6 分）请用无刻度的直尺在如图 1 和图 2 中，按要求画菱形 （1）图 1 是矩形 ABCD，E、F 分别是 AB、AD 的中点，以 EF 为边画一个菱形； （2）图 2 是正方形 ABCD，E 是对角线 BD 上任意一点（BEDE） ，以 AE 为边画一个 菱形 17 （6 分）某公司欲招聘一名公务人员，对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的 成绩（百分制）如表所示： 应试者 面试 笔试 甲 86 90 乙 92 83 （1）如果公司认为面试和笔试同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ （2）如果公司认为
6、作为公务人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们 6 和 4 的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？ 四四.（本大题共（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）如图，函数 y2x+3 与 yx+m 的图象交于 P（n，2） 第 4 页（共 26 页） （1）求出 m、n 的值； （2）求出ABP 的面积 19 （8 分）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形， 已知 S1+S24，且 AC+BC6，求 AB 的长 20 （8 分）如图，点 A、F、C、D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线
7、 AD 的两侧，且 ABDE，AD，AFDC （1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形， （2）若ABC90，AB4，BC3，当 AF 为何值时，四边形 BCEF 是菱形 五五.（本大题共（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分）如图，RtABC 中，分别以 AB、AC 为斜边，向ABC 的内侧作等腰 RtABE、 RtACD，点 M 是 BC 的中点，连接 MD、ME （1）若 AB8，AC4，求 DE 的长； （2）求证：ABAC2DM 第 5 页（共 26 页） 22 （9 分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线分别从 A、B 两
8、地同时出发匀速前 往 C 地（B 在 A、C 两地的途中） 设甲、乙两车距 A 地的路程分别为 y甲、y乙（千米） ， 行驶的时间为 x（小时） ，y甲、y乙与 x 之间的函数图象如图所示 （1）直接写出 y甲、y乙与 x 之间的函数表达式； （2）如图，过点（1，0）作 x 轴的垂线，分别交 y甲、y乙的图象于点 M，N求线段 MN 的长，并解释线段 MN 的实际意义； （3）在乙行驶的过程中，当甲、乙两人距 A 地的路程差小于 30 千米时，求 x 的取值范 围 六六.（本大题共（本大题共 12 分）分） 23 （12 分）已知一次函数 ykx+b 的图象经过点（1，3） 、 （1，5）
9、直线 MN 与坐标轴 相交于点 A、B 两点 （1）求一次函数的解析式 （2）如图 1，点 C 与点 B 关于 x 轴对称，点 D 在线段 OA 上，连结 BD，把线段 BD 顺 时针方向旋转 90得到线段 DE，作直线 CE 交 x 轴于点 F，求的值 （3）如图 2，点 P 是直线 AB 上一动点，以 OP 为边作正方形 OPNM，连接 ON、PM 交 于点 Q，连 BQ，当点 P 在直线 AB 上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求 出其值；若变化，请说明理由 第 6 页（共 26 页） 第 7 页（共 26 页） 2018-2019 学年江西省新余市八年级（下）期末数学试卷学年江西
10、省新余市八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（本大题共选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 【分析】化简得到结果，即可做出判断 【解答】解：A、，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，不是最简二次根式； 故选：B 【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键 2 （3 分）在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A3，
11、5，9 B4，6，8 C13，14，15 D8，15，17 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于 最长边的平方即可 【解答】解：A、因为 32+5292，所以不能组成直角三角形； B、因为 42+6282，所以不能组成直角三角形； C、因为 132+142152，所以不能组成直角三角形； D、因为 82+152172，所以能组成直角三角形 故选：D 【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所 给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关 系，进而作出判断 3 （3 分）如图，在ABCD 中
12、，连结 AC，ABCCAD45，AB2，则 BC 的长是 （ ） 第 8 页（共 26 页） A B2 C2 D4 【分析】证出ACD 是等腰直角三角形，由勾股定理求出 AD，即可得出 BC 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB2，BCAD，DABCCAD45， ACCD2，ACD90， 即ACD 是等腰直角三角形， BCAD2； 故选：C 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟 练掌握平行四边形的性质，证明ACD 是等腰直角三角形是解决问题的关键 4 （3 分）如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分
13、 别记为 A、B、C、D，则它们之间的关系为（ ） AA+BC+D BA+CB+D CA+DB+C D以上都不对 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式可以得到 A+BC+D 【解答】解：如图，a2+b2e2，c2+d2e2， a2+b2c2+d2， A+BC+D 故选：A 第 9 页（共 26 页） 【点评】本题考查了勾股定理勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的 平方之和一定等于斜边长的平方 5 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，m）在第一象限，若点 A 关于 x 轴的对称 点 B 在直线 yx+1 上，则 m 的值为（ ） A1 B1 C2 D3 【分析】根据关于
14、 x 轴的对称点的坐标特点可得 B（2，m） ，然后再把 B 点坐标代入 y x+1 可得 m 的值 【解答】解：点 A（2，m） ， 点 A 关于 x 轴的对称点 B（2，m） ， B 在直线 yx+1 上， m2+11， m1， 故选：B 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点， 关键是掌握凡是函数图象经过的点必能使解析式左右相等 6 （3 分）设直线 ykx+6 和直线 y（k+1）x+6（k 是正整数）及 x 轴围成的三角形面积为 Sk（k1，2，3，8） ，则 S1+S2+S3+S8的值是（ ） A B C16 D14 【分析】联立两直线解析式
15、成方程组，通过解方程组可求出两直线的交点，利用一次函 数图象上点的坐标特征可得出两直线与 x 轴的交点坐标，利用三角形的面积公式可得出 Sk66（） ，将其代入 S1+S2+S3+S8中即可求出结论 【解答】解：联立两直线解析式成方程组，得： ，解得：， 第 10 页（共 26 页） 两直线的交点是（0，6） 直线 ykx+6 与 x 轴的交点为 （， 0） ， 直线 y （k+1） x+6 与 x 轴的交点为 （， 0） ， Sk6|（）|18（） ， S1+S2+S3+S818（1+） ， 18（1） ， 1816 故选：C 【点评】本题考查了一次函数函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以
16、及规律型中数 字的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式找出 Sk18（ ）是解题的关键 二二.填空题（本大题共填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）式子有意义，则 x 的取值范围是 x1 且 x0 【分析】根据分式、二次根式有意义的条件解答：分式的分母不为 0、二次根式的被开方 数是非负数 【解答】解：根据题意，得 1x0 且 x0， 解得，x1 且 x0， 故答案是：x1 且 x0 【点评】本题考查了分式、二次根式有意义的条件分式的分母不为零、二次根式中的 被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 8 （3 分）a
17、b0，则化简结果是 a 【分析】根据|a|，利用 ab0，得出的结果即可 【解答】解：ab0，有意义， a0，b0， a， 第 11 页（共 26 页） 故答案为：a 【点评】此题主要考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质得出 a，b 符号是解题关 键 9 （3 分）为了解当地气温变化情况，某研究小组记录了寒假期间连续 6 天的最高气温，结 果如下（单位：） ：6，3，x，2，1，3，若这组数据的中位数是1，给出下列 结论： 众数是1： 平均数是1： 方差是 8 其中所有正确结论的序号是 【分析】利用中位数的定义确定 x1，则可根据众数的定义对进行判断；根据平均 数的定义对进行判断；利用方差
18、公式计算出这组数据的方差可对进行判断 【解答】解：这组数据的中位数是1， x1， 这组数据的众数是1：平均数是1， 方差（6+1）2+（3+1）2+2（1+1）2+（2+1）2+（3+1）2， 所以正确结论的序号是 故答案为 【点评】本题考查了方差：一般地设 n 个数据，x1，x2，xn的平均数为 ，则方差 S2 （x1 ）2+（x2 ）2+（xn ）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越 大，波动性越大，反之也成立也考查了中位数和众数 10 （3 分）如图，在菱形 ABCD 中，BAD70，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F， E 为垂足，连接 DF则CDF 等于 75 【分析】根据
19、菱形的性质求出ADC110，再根据垂直平分线的性质得出 AFDF， 从而计算出CDF 的值 【解答】解：连接 BD，BF， BAD70， ADC110， 又EF 垂直平分 AB，AC 垂直平分 BD， 第 12 页（共 26 页） AFBF，BFDF， AFDF， FADFDA35， CDF1103575 故答案为 75 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本 题时注意先先连接 BD，BF，这是解答本题的突破口 11 （3 分）已知一次函数 ykx+2k+3 的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，且函数值 y 随 x 的增大而减小，则 k 所有可能取
20、得的整数值为 1 【分析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于 k 的一元一次不等式组，解不等式组 即可得出结论 【解答】解：由已知得：， 解得：k0 k 为整数， k1 故答案为：1 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是得出关于 k 的一元一次 不等式组本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数图象与系数 的关系找出关于系数的不等式（或不等式组）是关键 12 （3 分）如图，在ABC 中，ABBC4，AOBO，P 是射线 CO 上的一个动点，AOC 60，则当PAB 为直角三角形时，AP 的长为 2或 2或 2 第 13 页（共 26 页） 【分析】 利用分
21、类讨论， 当ABP90时， 如图 2， 由对顶角的性质可得AOCBOP 60， 易得BPO30， 易得 BP 的长， 利用勾股定理可得 AP 的长； 当APB90 时，分两种情况讨论，情况一：如图 1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出 POBO，易得BOP 为等边三角形，利用锐角三角函数可得 AP 的长；易得 BP，利用 勾股定理可得 AP 的长；情况二：如图 3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可 得结论 【解答】解：当APB90时（如图 1） ， AOBO， POBO， AOC60， BOP60， BOP 为等边三角形， ABBC4， APABsin6042； 当ABP90
22、时（如图 2） ， AOCBOP60， BPO30， BP2， 在直角三角形 ABP 中， AP2， 情况二：如图 3，AOBO，APB90， POAO， AOC60， 第 14 页（共 26 页） AOP 为等边三角形， APAO2， 故答案为：2或 2或 2 【点评】 本题主要考查了勾股定理， 含 30直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线， 分类讨论，数形结合是解答此题的关键 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 小题，每题小题，每题 6 分，共分，共 30 分分 13 （6 分）计算： （1） （2） 【分析】 （1）根据绝对值的意义、零指数幂的意义计算； （2）先把二次根式化为
23、最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算 【解答】解： （1）原式21+12 0； （2）原式（126） 6 第 15 页（共 26 页） 3 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行 二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵 活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 14 （6 分）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，分别过点 C、点 D 作 CE BD，DEAC求证：四边形 OCED 是正方形 【分析】先证明四边形 OCED 是平行四边形，由正方形的性质得出 OAO
24、COBOD， ACBD，即可得出四边形 OCED 是正方形 【解答】证明：CEBD，DEAC， 四边形 OCED 是平行四边形， 四边形 ABCD 是正方形， OAOCOBOD，ACBD， 四边形 OCED 是正方形 【点评】本题考查了正方形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握正方形的性质 是解决问题的关键 15 （6 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，CD 为 AB 边上的高，CE 为 AB 边上的 中线，AD4，CE10，求 CD 的长 【分析】根据直角三角形的性质得出 AECE10，进而得出 DE6，利用勾股定理解 答即可 【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，CE 为
25、 AB 边上的中线，CE10， AECE10， AD4， 第 16 页（共 26 页） DE6， CD 为 AB 边上的高， 在 RtCDE 中，CD8 【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出 AECE5 16 （6 分）请用无刻度的直尺在如图 1 和图 2 中，按要求画菱形 （1）图 1 是矩形 ABCD，E、F 分别是 AB、AD 的中点，以 EF 为边画一个菱形； （2）图 2 是正方形 ABCD，E 是对角线 BD 上任意一点（BEDE） ，以 AE 为边画一个 菱形 【分析】 （1）直接利用矩形的性质将其分割进而得出各边中点即可得出答案； （2）利用正方形的
26、性质延长 AE，交 DC 于点 N，连接 NO 并延长 NO 于点 M，连接 MC， 即可得出 F 点位置，进而得出答案 【解答】解解： （1）如图所示：四边形 EFGH 即为所求的菱形； （2）如图所示：四边形 AECF 即为所求的菱形 【点评】此题主要考查了复杂作图以及矩形、正方形的性质，正确应用菱形的判定方法 是解题关键 17 （6 分）某公司欲招聘一名公务人员，对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的 成绩（百分制）如表所示： 应试者 面试 笔试 甲 86 90 第 17 页（共 26 页） 乙 92 83 （1）如果公司认为面试和笔试同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ （2）如
27、果公司认为作为公务人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们 6 和 4 的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？ 【分析】 （1）求得面试和笔试的平均成绩即可得到结论； （2）根据题意先算出甲、乙两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案 【解答】解： （1）89（分） ， 87.5（分） ， 因为， 所以认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，甲将被录取； （2）甲的平均成绩为： （866+904）1087.6（分） ， 乙的平均成绩为： （926+834）1088.4（分） ， 因为乙的平均分数较高， 所以乙将被录取 【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的
28、关键是：计算平均数时按 6 和 4 的 权进行计算 四四.（本大题共（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 18 （8 分）如图，函数 y2x+3 与 yx+m 的图象交于 P（n，2） （1）求出 m、n 的值； （2）求出ABP 的面积 【分析】 （1）先把 P（n，2）代入 y2x+3 即可得到 n 的值，从而得到 P 点坐标为 第 18 页（共 26 页） （，2） ，然后把 P 点坐标代入 yx+m 可计算出 m 的值； （2）解方程确定 A，B 点坐标，然后根据三角形面积公式求解 【解答】解： （1）y2x+3 与 yx+m 的图象交于 P（n，
29、2） 22n+3， n， P（，2） ， 2+m， m； （2）在 y2x+3 中，令 x0，得 y3， A（0，3） ， 在 yx中，令 x0，得 y， B（0，） ， AB， ABP 的面积 【点评】 本题考查了两条直线相交或平行问题： 若直线 yk1x+b1与直线 yk2x+b2平行， 则 k1k2；若直线 yk1x+b1与直线 yk2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解 为交点坐标 19 （8 分）如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形， 已知 S1+S24，且 AC+BC6，求 AB 的长 【分析】 根据勾股定理得到 AC2+BC2AB2， 根据
30、扇形面积公式、 完全平方公式计算即可 【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2AB2， S1+S24， （）2+（）2+ACBC（）24， 第 19 页（共 26 页） ACBC8， AB2 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长 为 c，那么 a2+b2c2 20 （8 分）如图，点 A、F、C、D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直线 AD 的两侧，且 ABDE，AD，AFDC （1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形， （2）若ABC90，AB4，BC3，当 AF 为何值时，四边形 BCEF 是菱形 【分析】 （1）由 ABDE，AD，A
31、FDC，易证得ABCDEF，即可得 BCEF， 且 BCEF，即可判定四边形 BCEF 是平行四边形； （2）由四边形 BCEF 是平行四边形，可得当 BECF 时，四边形 BCEF 是菱形，所以连 接 BE，交 CF 与点 G，证得ABCBGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得 AF 的值 【解答】 （1）证明：AFDC， AF+FCDC+FC，即 ACDF 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF（SAS） ， BCEF，ACBDFE， BCEF， 四边形 BCEF 是平行四边形 （2）解：连接 BE，交 CF 于点 G， 第 20 页（共 26 页） 四边形 BCEF 是平行四边形
32、， 当 BECF 时，四边形 BCEF 是菱形， ABC90，AB4，BC3， AC5， BGCABC90，ACBBCG， ABCBGC， ， 即， CG， FGCG， FC2CG， AFACFC5， 当 AF时，四边形 BCEF 是菱形 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形 的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度适中， 注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法 五五.（本大题共（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分）分） 21 （9 分）如图，RtABC 中，分别以 AB、AC 为斜边，向
33、ABC 的内侧作等腰 RtABE、 RtACD，点 M 是 BC 的中点，连接 MD、ME （1）若 AB8，AC4，求 DE 的长； （2）求证：ABAC2DM 第 21 页（共 26 页） 【分析】 （1）根据三角函数求得 AE 和 AD 的长，二者的差就是所求； （2）延长 CD 交 AB 于点 F，证明 MD 是BCF 的中位线，AFAC，据此即可证得 【解答】解： （1）直角ABE 中，AEAB4， 在直角ACD 中，ADAC2， 则 DEAEAD422； （2）延长 CD 交 AB 于点 F 在ADF 和ADC 中， ， ADFADC（ASA） ， ACAF，CDDF， 又M 是
34、BC 的中点， DM 是CBF 的中位线， DMBF（ABAF）（ABAC） ， ABAC2DM 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅 助线是关键 第 22 页（共 26 页） 22 （9 分）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线分别从 A、B 两地同时出发匀速前 往 C 地（B 在 A、C 两地的途中） 设甲、乙两车距 A 地的路程分别为 y甲、y乙（千米） ， 行驶的时间为 x（小时） ，y甲、y乙与 x 之间的函数图象如图所示 （1）直接写出 y甲、y乙与 x 之间的函数表达式； （2）如图，过点（1，0）作 x 轴的垂线，分别交 y甲、y乙的
35、图象于点 M，N求线段 MN 的长，并解释线段 MN 的实际意义； （3）在乙行驶的过程中，当甲、乙两人距 A 地的路程差小于 30 千米时，求 x 的取值范 围 【分析】 （1）利用待定系数法即可求出 y甲、y乙与 x 之间的函数表达式； （2）把 x1 代入（1）中的函数解析式，分别求出对应的 y甲、y乙的值，则线段 MN 的 长y乙y甲，进而解释线段 MN 的实际意义； （3）分三种情况进行讨论：0x3；3x5；5x6分别根据甲、乙两人 距 A 地的路程差小于 30 千米列出不等式，解不等式即可 【解答】解： （1）设 y甲kx， 把（3，180）代入，得 3k180，解得 k60， 则
36、 y甲60x； 设 y乙mx+n， 把（0，60） ， （3，180）代入， 得，解得， 则 y乙40x+60； （2）当 x1 时， y甲60x60，y乙40x+60100， 则 MN1006040（千米） ， 第 23 页（共 26 页） 线段 MN 的实际意义：表示甲、乙两人出发 1 小时后，他们相距 40 千米； （3）分三种情况： 当 0x3 时， （40x+60）60x30，解得 x1.5； 当 3x5 时， 60x（40x+60）30，解得 x4.5； 当 5x6 时， 300（40x+60）30，解得 x5.25 综上所述，在乙行驶的过程中，当甲、乙两人距 A 地的路程差小于
37、30 千米时，x 的取值 范围是 1.5x4.5 或 5.25x6 【点评】此题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，借助函数图象 表达题目中的信息，读懂图象进行分类讨论是解题的关键 六六.（本大题共（本大题共 12 分）分） 23 （12 分）已知一次函数 ykx+b 的图象经过点（1，3） 、 （1，5） 直线 MN 与坐标轴 相交于点 A、B 两点 （1）求一次函数的解析式 （2）如图 1，点 C 与点 B 关于 x 轴对称，点 D 在线段 OA 上，连结 BD，把线段 BD 顺 时针方向旋转 90得到线段 DE，作直线 CE 交 x 轴于点 F，求的值 （3）如图 2，点
38、 P 是直线 AB 上一动点，以 OP 为边作正方形 OPNM，连接 ON、PM 交 于点 Q，连 BQ，当点 P 在直线 AB 上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求 出其值；若变化，请说明理由 第 24 页（共 26 页） 【分析】 （1）根据待定系数法即可解决问题 （2）如图 1 中，过点 E 作 EPx 轴，先证明BDODEP，设 D（a，0） ，则 E（4 a，a） ，求出直线 CE 解析式，求出点 F 坐标，用 a 的代数式表示 DF、AD、EF 即 可解决问题 （3）如图 2 中，连结 BM，由BOMAOP，推出MBOPAO135，推出 MBP90，推出 QBQP，由此即可解
39、决问题 【解答】解： （1）一次函数 ykx+b 的图象经过点（1，3） 、 （1，5） ， ， 解得 一次函数解析式为 yx+4 （2）如图 1 中，过点 E 作 EPx 轴， BDO+EDP90，EDP+DEP90， BDODEP，DOBDPE90 在BOD 和DPE 中， BDODEP，设 D（a，0） ，则 E（4a，a） 第 25 页（共 26 页） 设直线 CE 解析式是：ykx+b，则 yx4， F（4，0） ，DF4+a，DA4a，EF， （3）如图 2 中，连结 BM， OAOB，POMAOB90， POABOM，OABOBA45， 四边形 OPNM 是正方形， OPOM， 在OBM 和OAP 中， ， BOMAOP， MBOPAO135， MBP90 在 RtMBP 中 BQMP， 在 RtMOP 中 MPOP， 【点评】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三 角形斜边中线性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线， 构造全等三角形，属于中考压轴题
