1、 第 1 页 共 13 页 中考总复习：中考总复习：图形的变换图形的变换-知识讲解知识讲解（提高（提高） 【考纲要求】考纲要求】 1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质； 2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或 两次轴对称后的图形； 3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质. 4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合） ； 5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的 应用. 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理【
2、考点梳理】 考考点一、点一、平移变换平移变换 1.1. 平移的概念：平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为 平移，平移不改变图形的形状和大小 【要点诠释】【要点诠释】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内 的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是 图形平移的依据； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置， 而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据 2 2平移的基本性质：平移的基本性质：由平移的概念知，经过
3、平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动 相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所 连的线段平行且相等，对应角相等 【要点诠释】【要点诠释】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质， 又可作为平移作图的依据 考考点二、点二、轴对称变换轴对称变换 1 1轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形 轴对称：轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这 条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠
4、后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称 图形. 第 2 页 共 13 页 2 2轴对称变换的性质轴对称变换的性质 关于直线对称的两个图形是全等图形. 如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线. 两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 3 3轴对称作图步骤轴对称作图步骤 找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至 2 倍，得到各点的对称点 按原图形的连结方式顺次连
5、结对称点即得所作图形. 翻折变换：翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等， 折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分. 【要点诠释】【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形 中有相似三角形，常用勾股定理. 考考点三、点三、旋转变换旋转变换 1 1旋转概念：旋转概念：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转.点 O 叫做旋转中心，转动的 角叫做旋转角. 旋转变换的性质旋转变换的性质 图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样
6、大小的角度，任意一对对应 点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过 程中，图形的形状、大小都没有发生变化. 旋转作图步骤旋转作图步骤 分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 分析所作图形，找出构成图形的关键点. 沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对 应点. 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 【要点诠释】【要点诠释】 图形变换与图案设计的基本步骤图形变换与图案设计的基本步骤 确定图案的设计主题及要求； 分析设计图案所给定的基本图案； 利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部
7、分图案的有机组合； 对图案进行修饰，完成图案. 2 2平移、旋转和轴对称之间的联系平移、旋转和轴对称之间的联系 一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当 于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的 2 倍. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、平移变换平移变换 1. 如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把ACD 沿 CA 方向平移得到ACD （1）证明AADCCB； （2）若ACB=30，试问当点 C在线段 AC 上的什么位置时，四边形 ABCD是菱形，并请说明理由 第 3 页 共 13 页 【思路点拨】 （1）根据已知利用 SAS 判
8、定AADCCB； （2）由已知可推出四边形 ABCD是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形 ABCD 是菱形，由已知可得到 BC= 1 2 AC，AB= 1 2 AC，从而得到 AB=BC，所以四边形 ABCD是菱形 【答案与解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ACD由ACD 平移得到， AD=AD=CB，AA=CC，ADADBC DAC=BCA AADCCB （2）解：当点 C是线段 AC 的中点时，四边形 ABCD是菱形 理由如下： 四边形 ABCD 是矩形，ACD由ACD 平移得到， CD=CD=AB 由（1）知 AD=CB 四边形 ABCD是平行四边形 在 RtA
9、BC 中，点 C是线段 AC 的中点， BC= 1 2 AC 而ACB=30， AB= 1 2 AC AB=BC 四边形 ABCD是菱形 【总结升华】本题考查了平移的性质特点以及全等的判定和菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确 掌握，考查学生综合运用数学的能力 2操作与探究： （1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点 P 表示的数乘以 1 3 ，再把所得数对应的点向右平移 1 个单 位，得到点 P 的对应点 P点 A，B 在数轴上，对线段 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 AB， 其中点 A，B 的对应点分别为 A，B如图 1，若点 A 表示的数是-3，则点 A表示的数是_； 若点
10、 B表示的数是 2， 则点 B 表示的数是_； 已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点 E 与点 E 重合，则点 E 表示的数是_ 第 4 页 共 13 页 （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的 横、纵坐标都乘以同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m0，n0） ， 得到正方形 ABCD及其内部的点，其中点 A，B 的对应点分别为 A，B已知正方形 ABCD 内 部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F与点 F 重合，求点 F 的坐标 【思路点拨】 （1）根据题目规定
11、，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A，设点 B 表示的数 为 a，根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b，根据题意列出方程计算即 可得解； （2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设 点 F 的坐标为（x，y） ，根据平移规律列出方程组求解即可 【答案与解析】 （1）点 A：-3 1 3 +1=-1+1=0， 设点 B 表示的数为 a，则 1 3 a+1=2，解得 a=3， 设点 E 表示的数为 b，则 1 3 b+1=b，解得 b= 3 2 ； 故答案为：0；3； 3 2 . （2）根据题意得， -31
12、 32 02 am am an ，解得 1 2 1 2 2 a m n ， 设点 F 的坐标为（x，y） ， 对应点 F与点 F 重合， 1 2 x+ 1 2 =x， 1 2 y+2=y，解得 x=1，y=4，所以，点 F 的坐标为（1，4） 【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，若将边长为cm2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC翻折成等腰直角三角形后， 再抽出一个等腰直角三角形沿AC移动，若重叠部分PCA的面积是 2 1cm，则移动的距离AA等 于 . 第 5 页 共 13 页 【答案】根据题意得：ABAB，BCBC， APC=B=9
13、0， A=CAP=ACP=45， APC 是等腰直角三角形， APC 的面积是 1cm 2， SAPC= 1 2 APPC=1（cm 2） ， AP=PC=2cm， AC=2cm， 由于原等腰直角三角形的斜边是 22cm， 所以平移的距离是：22-2（cm） 类型二、类型二、轴对称变换轴对称变换 3已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合. (1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)， 2 3 AF ，求DE的长； (2)如果折痕FG分别与CD、 AB交与点F、G(如图2)，AED的外接圆与直线BC相切， 求 折痕FG的长 【思路点拨】本
14、题涉及到的知识点有翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质；直线与圆的位置关系 【答案与解析】 （1）在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，AF= 2 3 ，D=90 根据轴对称的性质，得 EF=AF= 2 3 DF=AD-AF= 1 3 第 6 页 共 13 页 在 RtDEF 中，DE= 22 213 ( )( ) 333 （2）设 AE 与 FG 交于 O，取 AD 的中点 M，连结并延长 MO，交 BC 于 N 由轴对称的性质得 AO=EO MNDE，MO=DE D=90，ADBC， 四边形 MNCD 是矩形，MN=CD=AB=2设 DE=x，则 ON=2-x AED 的外接圆与 BC
15、相切， ON 是AED 的外接圆的半径 OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x 在 RtAED 中，AD 2+DE2=AE2， 1 2+x2=（4-x）2，解得 x=15 8 DE=15 8 ，OE=2- 1 2 x= 17 16 由轴对称的性质得 AEFG FOE=D=90 又OEF=DEA， FEOAED， FOOE ADDE 把 OE=17 16 ，DE=15 8 ，AD=2 代入解得 FO= 17 30 易证FEOGAO， FO=GO，FG=2FO=17 15 ，即折痕 FG 的长是17 15 【总结升华】本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信
16、 息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确 理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图所示，有一块面积为 1 的正方形纸片 ABCD，M、N 分别为 AD、BC 的边上中点，将 C 点折至 MN 上，落在 P 点的位置，折痕为 BQ，连接 PQ （1）求 MP 的长； （2）求证：以 PQ 为边长的正方形的面积等于 1 3 . 第 7 页 共 13 页 【答案】 （1）解：连接 BP、PC，由折法知点 P 是点 C 关于折痕 BQ 的对称点 BQ 垂直平分 PC，BC=BP 又M、N 分别为 AD、B
17、C 边上的中点，且四边形 ABCD 是正方形， BP=PC BC=BP=PC PBC 是等边三角形 PNBC 于 N，BN=NC= 1 2 BC= 1 2 ，BPN= 1 2 BPC=30， PN= 3 2 ，MP=MN-PN= 23 2 （2）证明：由折法知 PQ=QC，PBQ=QBC=30 在 RtBCQ 中，QC=BCtan30=1 3 3 = 3 3 ， PQ= 3 3 以 PQ 为边的正方形的面积为 1 3 4.已知：矩形纸片ABCD中，AB=26 厘米， 5 .18BC 厘米，点 E 在 AD 上，且 6AE 厘米， 点 P 是 AB 边上一动点，按如下操作： 步骤一，折叠纸片，使
18、点 P 与点 E 重合，展开纸片得折痕MN（如图（1）所示） ； 步骤二，过点 P 作,ABPT 交MN所在的直线于点 Q，连结 QE（如图（2）所示） ； （1）无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有 PQ QE（填“”、“=”、“”号 ） （2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： 当点 P 在 A 点时，PT与MN交于点, 1 Q, 1 Q点的坐标是（ ， ） ； 第 8 页 共 13 页 当6PA厘米时，PT与MN交于点 2 Q， 2 Q点的坐标是（ ， ） ； 当12PA厘米时，在图（3）中画出MN，PT（不要求写画法）并求出MN与PT的交
19、点 3 Q的 坐标； （3）点 P 在在运动过程中，PT与MN形成一系列的交点, 1 Q 2 Q， 3 Q观察，猜想：众多的交点形成 的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式. （1） （2） （3） 【思路点拨】 （1）根据折叠的特点可知NQENQP，所以 PQ=QE （2）过点 E 作 EGQ3P，垂足为 G，则四边形 APGE 是矩形设 Q3G=x，则 Q3E=Q3P=x+6利用 RtQ3EG 中 的勾股定理可知 x=9，Q3P=15即 Q3（12，15） （3）根据上述的点的轨迹可猜测这些点形成的图象是一段抛物线，利用待定系数法可解得函数关系式： y= 1 12 x 2+3（0x26
20、） 【答案与解析】 （1）由折叠的特点可知NQENQP，所以 PQ=QE （2）（0，3） ；（6，6） 画图，如图所示 过点 E 作 EGQ3P，垂足为 G，则四边形 APGE 是矩形 GP=6，EG=12 设 Q3G=x，则 Q3E=Q3P=x+6 在 RtQ3EG 中，EQ3 2=EG2+Q 3G 2 x=9 Q3P=15 Q3（12，15） （3）这些点形成的图象是一段抛物线 A B C D P E M N B C （P） （A） B C D E x N 1 Q O 6 12 18 24 6 12 18 2 Q y 第 9 页 共 13 页 函数关系式：y= 1 12 x 2+3（0x
21、26） 【总结升华】本题是一道几何与函数综合题，它以“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”的模式， 通过动点 P 在 AB 上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中， 提高动手能力，培养探究精神，发展创新思维 类类型三型三、旋转变换旋转变换 5把两块全等的直角三角形 ABC 和 DEF 叠放在一起，使三角板 DEF 的锐角顶点 D 与三角板 ABC 的 斜边中点 O 重合，其中ABC=DEF=90，C=F=45，AB=DE=4，把三角板 ABC 固定不动，让三角 板 DEF 绕点 O 旋转，设射线 DE 与射线 AB 相交于点 P，射线 DF 与线段 BC
22、相交于点 Q （1）如图 1，当射线 DF 经过点 B，即点 Q 与点 B 重合时，易证APDCDQ此时 APCQ 的值为 _将三角板 DEF 由图 1 所示的位置绕点 O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中 0 90，则 APCQ 的值是否会改变？（填“会”或“不会” ）此时 APCQ 的值为_ （不必说明 理由） （2）在（1）的条件下，设 CQ=x，两块三角板重叠面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式 （图 2、图 3 供解 题用） （3）在（1）的条件下，PQ 能否与 AC 平行？若能，求出 y 的值；若不能，试说明理由 【思路点拨】 （1）根据等腰直角三角形的性质可知A=C=45，A
23、PD=QDC=90，故可得出APD CDQ，故可得出结论； （2）由于三角板 DEF 的旋转角度不能确定，故应分 045与 4590时两种情况进行 讨论，即可求出 MG 及 MQ 的值，进而可得出结论； （3）在图（2）的情况下，根据 PQAC 时，BP=BQ，即可求出 x 的值，进而得出结论 【答案与解析】 （1）8，不会，8； A=C=45，APD=QDC=90， APDCDQ AP：CD=AD：CQ 即 APCQ=ADCD， AB=BC=4， 斜边中点为 O， AP=PD=2， APCQ=24=8； 第 10 页 共 13 页 将三角板 DEF 由图 1 所示的位置绕点 O 沿逆时针方向
24、旋转，设旋转角为 在APD 与CDQ 中，A=C=45， APD=180-45-（45+a）=90-a， CDQ=90-a， APD=CDQ APDCDQ APCD ADCQ ， APCQ=ADCD=AD 2=（1 2 AC） 2=8 （2）当 045时，如图 2，过点 D 作 DMAB 于 M，DNBC 于 N， O 是斜边的中点， DM=DN=2， CQ=x，则 AP= 8 x ， SAPD= 1 2 8 x 2= 8 x ，SDQC= 1 2 x2=x， y=8- 8 x -x（2x4） ， 当 4590时，如图 3，过点 D 作 DGBC 于 G，DG=2 CQ=x，AP= 8 x ，
25、 BP= 8 x -4, BPBM DGMG ， 即 8 4 2 2 MG x MG ，MG= 2 4 x x , MQ= 2 4 x x +（2-x）= 2 48 4 xx x , 第 11 页 共 13 页 y= 2 48 4 xx x （0x2） ； （3）在图（2）的情况下， PQAC 时，BP=BQ， AP=QC, x= 8 x ，解得 x=22， 当 x=22时，y=8- 8 2 2 -22=8-42 【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定与性质及图形旋转的性质，三角形的面积公式，根据题意 作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 6 . 如图，小慧同学把一个正三角形纸片（即
26、OAB）放在直线l1上，OA 边与直线l1重合，然后 将三角形纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 120，此时点 O 运动到了点 O1处，点 B 运动到了点 B1处； 小慧又将三角形纸片 AO1B1绕点 B1按顺时针方向旋转 120，此时点 A 运动到了点 A1处，点 O1运动到了 点 O2处（即顶点 O 经过上述两次旋转到达 O2处） 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点 O 运动所形成的图形是两段圆弧，即 1 OO和 12 O O，顶点 O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于 扇形 AOO1的面积、AO1B1的面积和扇形 B1O1O
27、2的面积之和 小慧进行类比研究：如图，她把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线l2上，OA 边与直线l2重合， 然后将正方形纸片绕着顶点按顺时针方向旋转 90，此时点 O 运动到了点 O1处（即点 B 处） ，点 C 运动 到了点 C1处， 点 B 运动到了点 B1处； 小慧又将正方形纸片 AO1C1B1绕顶点 B1按顺时针方向旋转 90， ， 按上述方法经过若干次旋转后她提出了如下问题： 问题：若正方形纸片 OABC 接上述方法经过 3 次旋转，求顶点 O 经过的路程，并求顶点 O 在此运 动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片 OA BC 按上述方法经过 5 次
28、旋转，求顶 点 O 经过的路程； 问题：正方形纸片 OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点 O 经过的路程是_? 请你解答上述两个问题 第 12 页 共 13 页 【思路点拨】求出正方形 OABC 翻转时点 O 的轨迹弧长, 再求面积即可.要理解的是第 4n次旋转，顶点 O 没有移动. 【答案与解析】 解： 问题： 如图， 正方形纸片经过 3 次旋转， 顶点 O 运动所形成的图形是三段圆弧 11223 OO , O O , O O ， 所以顶点 O 在此运动过程中经过的路程为 9019022 21 1801802 . 顶点 O 在此运动过程中所形成的图形与直线2 l围成图形的面积为 2 2
29、902 901 22 1 1 1 360360 . 正方形纸片经过 5 次旋转，顶点 O 运动经过的路程为： 90190232 3 18018022 . 问题： 正方形纸片每经过 4 次旋转，顶点 O 运动 经过的路程均为： 9019022 21 1801802 . 又 4120 22 20 1 222 ，而 2 是正方形纸片第4n+1次旋转，顶点O运动经过的路程. 正方形纸片 OABC 按上述方法经过 81 次旋转，顶点 O 经过的路程是 4120 2 2 . 【总结升华】本题涉及到分类归纳，图形的翻转，扇形弧长和面积. 举一反三：举一反三： 【变式变式】 如图，等腰梯形 MNPQ 的上底长
30、为 2，腰长为 3，一个底角为 60正方形 ABCD 的边长为 1， 第 13 页 共 13 页 它的一边 AD 在 MN 上，且顶点 A 与 M 重合现将正方形 ABCD 在梯形的外面沿边 MN、NP、PQ 进行翻滚， 翻滚到有一个顶点与 Q 重合即停止滚动 (1)请在所给的图中，用尺规画出点 A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； (2)求正方形在整个翻滚过程中点 A 所经过的路线与梯形 MNPQ 的三边 MN、 NP、 PQ 所围成图形的面积 S B P A(M) Q N D C 【答案】(1) 点 A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图如图： (2) 弧 AA1与 AD，A1D 围成图形的面积为： 1 4 圆的面积（半径为 1）= 4 ； 弧 A1A2与 A1D，DN，A2N 围成图形的面积为： 1 4 圆的面积（半径为2）正方形的面积（边长为 1）=1 2 ； 弧 A2A3与 A2N，NA3围成图形的面积为： 360 120905 36012 圆的面积（半径为 1）= 5 12 ； 其他三块小面积分别与以上三块相同. 点 A 所经过的路线与梯形 MNPQ 的三边 MN、NP、PQ 所围成图形的面积 S 为： 57 21=2 42123 .
