1、2018 年山西省太原市中考数学一模试卷年山西省太原市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）计算8+3 的结果是（ ） A11 B5 C5 D11 2 （3 分）下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A对太原市民知晓“中国梦”内涵情况的调查 B对全班同学 1 分钟仰卧起坐成绩的调查 C对 2018 年央视春节联欢晚会收视率的调查 D对 2017 年全国快递包裹产生的包装垃圾数量的调查 3 （3 分）如图，直线 ab，ABC 的顶点 B 在直线 a 上，两边分别交 b 于 A，C 两点，若
2、ABC90，140，则2 的度数为（ ） A30 B40 C50 D60 4 （3 分）若正比例函数 y3x 的图象经过 A（2，y1） ，B（1，y2）两点，则 y1与 y2的 大小关系为（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A5x2x3x B （a+3）2a2+9 C （a3）2a5 Da2pa pa3p 6 （3 分）用 6 个相同的小正方体搭成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图 不可能是（ ） 第 2 页（共 28 页） A B C D 7 （3 分）将（x+3）2（x1）2分解因式的结果是（ ） A4（2x+2） B
3、8x+8 C8（x+1） D4（x+1） 8 （3 分）2017 年，太原市 GDP 突破三千亿元大关，达到 3382 亿元，经济总量比上年增 长了 426.58 亿元，达到近三年来增量的最高水平，数据“3382 亿元”用科学记数法表示 为（ ） A3382108元 B3.382108元 C338.2109元 D3.3821011元 9 （3 分）魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算 法作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长， 进而可用来求得较为精确的圆周率祖冲之在刘徽的基础上继续努 力，当正多边形的边数增加 24576 时，得到
4、了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就 在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术” ，由圆内接正六边形算得的圆周 率的近似值是（ ） A0.5 B1 C3 D 10 （3 分）如图，A，C，E，G 四点在同一直线上，分别以线段 AC，CE，EG 为边在 AG 同侧作等边三角形ABC，CDE，EFG，连接 AF，分别交 BC，DC，DE 于点 H，I， J，若 AC1，CE2，EG3，则DIJ 的面积是（ ） 第 3 页（共 28 页） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）将答案直接写在答题卡相应位置分）将答
5、案直接写在答题卡相应位置 11 （3 分）方程解是 12 （3 分）2018 年 3 月 2 日，大型记录电影厉害了，我的国登陆全国各大院线某影 院针对这一影片推出了特惠活动：票价每人 30 元，团体购票超过 10 人，票价可享受八 折优惠，学校计划组织全体教师观看此影片若观影人数为 a（a10） ，则应付票价总额 为 元 （用含 a 的式子表示） 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为位似中心在 y 轴的左侧将OAB 缩小得到OAB，若OAB 与OAB的相似比为 2：1，则点 B（3，2）的对 应点 B的坐标为 14 （3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB
6、AC4，D 是 BC 的中点，点 E 在 BA 的延长线上，连接 ED，若 AE2，则 DE 的长为 15 （3 分）太极揉推器是一种常见的健身器材基本结构包括支架和转盘，数学兴趣小组 的同学对某太极揉推器的部分数据进行了测量：如图，立柱 AB 的长为 125cm，支架 CD、 CE 的长分别为 60cm、40cm，支点 C 到立柱顶点 B 的距离为 25cm支架 CD，CE 与立 柱 AB 的夹角BCDBCE45，转盘的直径 FGMN60cm，D，E 分别是 FG， 第 4 页（共 28 页） MN 的中点，且 CDFG，CEMN，则两个转盘的最低点 F，N 距离地面的高度差为 cm （结果
7、保留根号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）解答时写出必要的文字说明、推理过程或演算步分）解答时写出必要的文字说明、推理过程或演算步 骤骤 16 （10 分） （1）计算：2 2 +（1）0+2sin60 （2）先化简，再求值： （），其中 x2018 17 （6 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上的一点，EAAB，ECBC， 且 EAEC求证：ADCD 18 （7 分）如图，平面直角坐标系中，直线 y2x+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，与 反比例函数 y（x0）的图象交于点 M（a，4） （1）求反比例函数
8、y（x0）的表达式； （2）若点 C 在反比例函数 y（x0）的图象上，点 D 在 x 轴上，当四边形 ABCD 是 平行四边形时，求点 D 的坐标 19 （9 分）科技改变世界2017 年底，快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这 些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确地放入相应的格口，还会感应避让障 第 5 页（共 28 页） 碍物，自动归队取包裹没电的时候还会自己找充电桩充电某快递公司启用 80 台 A 种 机器人、300 台 B 种机器人分拣快递包裹A，B 两种机器人全部投入工作，1 小时共可 以分拣 1.44 万件包裹，若全部 A 种机器人工作 3 小时，全部 B 种机器
9、人工作 2 小时，一 共可以分拣 3.12 万件包裹 （1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹； （2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进 A，B 两种机器人共 200 台，若要保证 新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于 7000 件，求最多应购进 A 种机器人多少 台？ 20 （9 分）如今，旅游度假成为了中国人庆祝传统春节的一项的“新年俗” ，山西省旅发委 发布的2018 年“春节”假日旅游市场总结分析报告中称：山西春节旅游供需两旺， 实现了“旅游接待”与“经济效益”的双丰收，请根据图表信息解决问题： （1）如图 1 所示，山西近五年春节假日接待海内外游客的数量逐年增加，201
10、8 年首次突 破了“千万”大关，达到 万人次，比 2017 年春节假日增加 万人次 （2）2018 年 2 月 15 日20 日期间，山西省 35 个重点景区每日接待游客数量如下： 日期 2 月 15 日 （除夕） 2 月 16 日 （初一） 2 月 17 日 （初二） 2 月 18 日 （初三） 2 月 19 日 （初四） 2 月 20 日 （初五） 日接待游客数 量（万人次） 7.56 82.83 119.51 84.38 103.2 151.55 这组数据的中位数是 万人次 （3）根据图 2 中的信息预估：2019 年春节假日山西旅游总收入比 2018 年同期增长的 百分率约为 ，理由是
11、 （4）春节期间，小明在“青龙古镇第一届新春庙会”上购买了 A，B，C，D 四枚书签 （除图案外完全相同） 正面分别印有“剪纸艺术” 、 “国粹京剧” 、 “陶瓷艺术” 、 “皮影戏” 的图案（如图 3） ，他将书签背面朝上放在桌面上，从中随机挑选两枚送给好朋友，求送 给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率 第 6 页（共 28 页） 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 DE 交 AB 于点 F，O 的切线 BC 与 AD 的延长线 交于点 C，连接 AE （1）试判断AED 与C 的数量关系，并说明理由； （2）若 AD3，C60，点 E 是半圆 AB 的中点，则线段 AE
12、的长为 22 （12 分）综合与实践折叠中的数学 在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究 问题背景： 在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 上的动点，且 BEDF，连接 EF，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，点 C 落在点 C处，点 D 落在点 D处，射线 EC与射线 DA 相交 于点 M 猜想与证明： 第 7 页（共 28 页） （1）如图 1，当 EC与线段 AD 交于点 M 时，判断MEF 的形状并证明你的结论； 操作与画图： （2）当点 M 与点 A 重合时，请在图 2 中作出此时的折痕 EF 和折叠后的图形（要求：尺 规作图，不写作法
13、，保留作图痕迹，标注相应的字母） ； 操作与探究： （3）如图 3，当点 M 在线段 DA 延长线上时，线段 CD分别与 AD，AB 交于 P，N 两 点时，CE 与 AB 交于点 Q，连接 MN 并延长 MN 交 EF 于点 O 求证：MOEF 且 MO 平分 EF； （4）若 AB4，AD4，在点 E 由点 B 运动到点 C 的过程中，点 D所经过的路径的 长为 23 （14 分）综合与探究： 如图 1， 抛物线 yx2+x+与 x 轴分别交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于 C 点经过点 A 的直线 l 与 y 轴交于点 D（0，） （1）求 A、B 两
14、点的坐标及直线 l 的表达式； （2）如图 2，直线 l 从图中的位置出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向运动， 运动中直线 l 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F，点 A 关于直线 l 的对称点为 A，连接 FA、BA，设直线 l 的运动时间为 t（t0）秒探究下列问题： 请直接写出 A的坐标（用含字母 t 的式子表示） ； 当点 A落在抛物线上时，求直线 l 的运动时间 t 的值，判断此时四边形 ABEF 的形 状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，探究：在直线 l 的运动过程中，坐标平面内是否存在点 P，使得 以 P，A，B，E 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直
15、接写出点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 第 8 页（共 28 页） 第 9 页（共 28 页） 2018 年山西省太原市中考数学一模试卷年山西省太原市中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）计算8+3 的结果是（ ） A11 B5 C5 D11 【解答】解：8+35 故选：B 2 （3 分）下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A对太原市民知晓“中国梦”内涵情况的调查 B对全班同学 1 分钟仰卧起坐成绩的调查 C对 2018 年央视春节联欢晚会收
16、视率的调查 D对 2017 年全国快递包裹产生的包装垃圾数量的调查 【解答】解：A、调查范围广适合抽样调查，故 A 不符合题意； B、适合普查，故 B 符合题意； C、调查范围广适合抽样调查，故 C 不符合题意； D、调查范围广适合抽样调查，故 D 不符合题意； 故选：B 3 （3 分）如图，直线 ab，ABC 的顶点 B 在直线 a 上，两边分别交 b 于 A，C 两点，若 ABC90，140，则2 的度数为（ ） A30 B40 C50 D60 【解答】解：ab， 1BAC40， 又ABC90， 第 10 页（共 28 页） 2904050， 故选：C 4 （3 分）若正比例函数 y3x
17、的图象经过 A（2，y1） ，B（1，y2）两点，则 y1与 y2的 大小关系为（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 【解答】解：点 A（2，y1） ，点 B（1，y2）是函数 y3x 图象上的点， y16，y23， 36， y1y2 故选：A 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A5x2x3x B （a+3）2a2+9 C （a3）2a5 Da2pa pa3p 【解答】解：A、5x2x7x，故此选项错误； B、 （a+3）2a2+6a+9，故此选项错误； C、 （a3）2a6，故此选项错误； D、a2pa pa3p，正确 故选：D 6 （3 分）用 6 个相同的小正方体搭
18、成一个几何体，若它的俯视图如图所示，则它的主视图 不可能是（ ） A B C D 【解答】解：由俯视图可知，几何体的主视图有三列，D 中有四列，所以 D 错误； 故选：D 第 11 页（共 28 页） 7 （3 分）将（x+3）2（x1）2分解因式的结果是（ ） A4（2x+2） B8x+8 C8（x+1） D4（x+1） 【解答】解： （x+3）2（x1）2 （x+3）+（x1）（x+3）（x1） 4（2x+2） 8（x+1） 故选：C 8 （3 分）2017 年，太原市 GDP 突破三千亿元大关，达到 3382 亿元，经济总量比上年增 长了 426.58 亿元，达到近三年来增量的最高水平，
19、数据“3382 亿元”用科学记数法表示 为（ ） A3382108元 B3.382108元 C338.2109元 D3.3821011元 【解答】解：将 3382 亿用科学记数法表示为：3.3821011 故选：D 9 （3 分）魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算 法作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长， 进而可用来求得较为精确的圆周率祖冲之在刘徽的基础上继续努 力，当正多边形的边数增加 24576 时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就 在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术” ，由圆内接正六边形算得的圆周
20、 率的近似值是（ ） A0.5 B1 C3 D 【解答】解：连接 OC、OD， 六边形 ABCDEF 是正六边形， COD60，又 OCOD， COD 是等边三角形， 第 12 页（共 28 页） OCCD， 正六边形的周长：圆的直径6CD：2CD3， 故选：C 10 （3 分）如图，A，C，E，G 四点在同一直线上，分别以线段 AC，CE，EG 为边在 AG 同侧作等边三角形ABC，CDE，EFG，连接 AF，分别交 BC，DC，DE 于点 H，I， J，若 AC1，CE2，EG3，则DIJ 的面积是（ ） A B C D 【解答】解：AC1，CE2，EG3， AG6， EFG 是等边三角形
21、， FGEG3，AGFFEG60， AEEF3， FAGAFE30， CDE 是等边三角形， DEC60， JEFG， AJEAFG， ， EJ， 第 13 页（共 28 页） BCADCEFEG60， BCDDEF60， ACIAEF120， IACFAE， ACIAEF， ， CI1，DI1，DJ， IJ， SDIJDIIJ 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）将答案直接写在答题卡相应位置分）将答案直接写在答题卡相应位置 11 （3 分）方程解是 x4 【解答】解：方程两边同乘 x（x1）得： 3x4（x1） ， 整
22、理、解得 x4 检验：把 x4 代入 x（x1）0 x4 是原方程的解， 故答案为：x4 12 （3 分）2018 年 3 月 2 日，大型记录电影厉害了，我的国登陆全国各大院线某影 院针对这一影片推出了特惠活动：票价每人 30 元，团体购票超过 10 人，票价可享受八 折优惠，学校计划组织全体教师观看此影片若观影人数为 a（a10） ，则应付票价总额 为 24a 元 （用含 a 的式子表示） 第 14 页（共 28 页） 【解答】解：根据题意得：30a0.824a， 则应付票价总额为 24a 元， 故答案为：24a 13 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为位似中心在 y
23、轴的左侧将OAB 缩小得到OAB，若OAB 与OAB的相似比为 2：1，则点 B（3，2）的对 应点 B的坐标为 （，1） 【解答】解：以原点 O 为位似中心，相似比为：2：1，将OAB 缩小为OAB， 点 B（3，2） 则点 B（3，2）的对应点 B的坐标为： （，1） ， 故答案为： （，1） 14 （3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC4，D 是 BC 的中点，点 E 在 BA 的延长线上，连接 ED，若 AE2，则 DE 的长为 2 【解答】解：过点 E 作 EFBC 于 F， BFE90， BAC90，ABAC4， BC45，BC4， 第 15 页（共 28 页）
24、BEF 是等腰直角三角形， BEAB+AE6， BFEF3， D 是 BC 的中点， BD2， DFBFBD， DE2 故答案为：2 15 （3 分）太极揉推器是一种常见的健身器材基本结构包括支架和转盘，数学兴趣小组 的同学对某太极揉推器的部分数据进行了测量：如图，立柱 AB 的长为 125cm，支架 CD、 CE 的长分别为 60cm、40cm，支点 C 到立柱顶点 B 的距离为 25cm支架 CD，CE 与立 柱 AB 的夹角BCDBCE45，转盘的直径 FGMN60cm，D，E 分别是 FG， MN的中点， 且CDFG， CEMN， 则两个转盘的最低点F， N距离地面的高度差为 10 c
25、m （结果保留根号） 【解答】解：作 FP地面于 P，CJPF 于 J，FQPA 交 CD 于 Q，QHCJ 于 HNT 地面于 T 由题意QDF，QCH 都是等腰直角三角形，四边形 FQHJ 是矩形， DFDQ30cm，CQCDDQ603030cm， FJQH15cm， ACABBC12525100cm， 第 16 页（共 28 页） PF（15+100）cm， 同法可求：NT（100+5） ， 两个转盘的最低点 F，N 距离地面的高度差为15+100（100+5）10 故答案为 10 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）解答时写出必要的文字说明、推理过
26、程或演算步分）解答时写出必要的文字说明、推理过程或演算步 骤骤 16 （10 分） （1）计算：2 2 +（1）0+2sin60 （2）先化简，再求值： （），其中 x2018 【解答】解： （1）2 2 +（1）0+2sin60 （2） （） ， 当 x2018 时，原式 17 （6 分）如图，在四边形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上的一点，EAAB，ECBC， 且 EAEC求证：ADCD 第 17 页（共 28 页） 【解答】证明：EAAB，ECBC， EABECB90， 在 RtEAB 与 RtECB 中 ， RtEABRtECB， ABCB，ABECBE， BDBD， 在AB
27、D 与CBD 中 ， ABDCBD， ADCD 18 （7 分）如图，平面直角坐标系中，直线 y2x+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，与 反比例函数 y（x0）的图象交于点 M（a，4） （1）求反比例函数 y（x0）的表达式； （2）若点 C 在反比例函数 y（x0）的图象上，点 D 在 x 轴上，当四边形 ABCD 是 平行四边形时，求点 D 的坐标 【解答】解： （1）点 M（a，4）在直线 y2x+2 上， 42a+2， 解得 a1， 第 18 页（共 28 页） M（1，4） ，将其代入 y得到：kxy144， 反比例函数 y（x0）的表达式为 y； （2）平面直角坐标
28、系中，直线 y2x+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， 当 x0 时，y2 当 y0 时，x1， B（0，2） ，A（1，0） BCAD， 点 C 的纵坐标也等于 2，且点 C 在反比例函数图象上， 将 y2 代入 y，得 2， 解得 x2， C（2，2） 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD 且 BDAD， 由 B（0，2） ，C（2，2）两点的坐标知，BCAD 又 BC2， AD2， A（1，0） ，点 D 在点 A 的右侧， 点 D 的坐标是（1，0） 19 （9 分）科技改变世界2017 年底，快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这 些机器人不仅可以自动规划最优
29、路线，将包裹准确地放入相应的格口，还会感应避让障 碍物，自动归队取包裹没电的时候还会自己找充电桩充电某快递公司启用 80 台 A 种 机器人、300 台 B 种机器人分拣快递包裹A，B 两种机器人全部投入工作，1 小时共可 以分拣 1.44 万件包裹，若全部 A 种机器人工作 3 小时，全部 B 种机器人工作 2 小时，一 共可以分拣 3.12 万件包裹 （1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹； （2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进 A，B 两种机器人共 200 台，若要保证 第 19 页（共 28 页） 新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于 7000 件，求最多应购进 A
30、种机器人多少 台？ 【解答】解： （1）A 种机器人每台每小时各分拣 x 件包裹，B 种机器人每台每小时各分拣 y 件包裹， 由题意得， 解得， 答：A 种机器人每台每小时各分拣 30 件包裹，B 种机器人每台每小时各分拣 40 件包裹； （2）设最多应购进 A 种机器人 a 台，购进 B 种机器人（200a）台， 由题意得，30a+40（200a）7000， 解得：a100，则最多应购进 A 种机器人 100 台 20 （9 分）如今，旅游度假成为了中国人庆祝传统春节的一项的“新年俗” ，山西省旅发委 发布的2018 年“春节”假日旅游市场总结分析报告中称：山西春节旅游供需两旺， 实现了“旅
31、游接待”与“经济效益”的双丰收，请根据图表信息解决问题： （1）如图 1 所示，山西近五年春节假日接待海内外游客的数量逐年增加，2018 年首次突 破了“千万”大关，达到 1365.45 万人次，比 2017 年春节假日增加 414.4 万人次 （2）2018 年 2 月 15 日20 日期间，山西省 35 个重点景区每日接待游客数量如下： 日期 2 月 15 日 （除夕） 2 月 16 日 （初一） 2 月 17 日 （初二） 2 月 18 日 （初三） 2 月 19 日 （初四） 2 月 20 日 （初五） 日接待游客数 量（万人次） 7.56 82.83 119.51 84.38 103
32、.2 151.55 这组数据的中位数是 93.79 万人次 （3）根据图 2 中的信息预估：2019 年春节假日山西旅游总收入比 2018 年同期增长的 百分率约为 30% ，理由是 近 3 年平均涨幅在 30%左右，估计 2019 年比 2018 年同 比增长约 30% （4）春节期间，小明在“青龙古镇第一届新春庙会”上购买了 A，B，C，D 四枚书签 第 20 页（共 28 页） （除图案外完全相同） 正面分别印有“剪纸艺术” 、 “国粹京剧” 、 “陶瓷艺术” 、 “皮影戏” 的图案（如图 3） ，他将书签背面朝上放在桌面上，从中随机挑选两枚送给好朋友，求送 给好朋友的两枚书签中恰好有“
33、剪纸艺术”的概率 【解答】解： （1）2018 年首次突破了“千万”大关，达到 1365.45 万人次，比 2017 年春 节假日增加 1365.45951.05414.4 万人次 故答案为：1365.45、414.4； （2）这组数据的中位数是93.79 万人次， 故答案为：93.79； （3）2019 年春节假日山西旅游总收入比 2018 年同期增长的百分率约为 30%，理由是： 近 3 年平均涨幅在 30%左右，估计 2019 年比 2018 年同比增长约 30%， 故答案为：30%；近 3 年平均涨幅在 30%左右，估计 2019 年比 2018 年同比增长约 30% （4）画树状图如
34、下： 第 21 页（共 28 页） 则共有 12 种等可能的结果数，其中送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的结果 数为 6， 所以送给好朋友的两枚书签中恰好有“剪纸艺术”的概率为 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 DE 交 AB 于点 F，O 的切线 BC 与 AD 的延长线 交于点 C，连接 AE （1）试判断AED 与C 的数量关系，并说明理由； （2）若 AD3，C60，点 E 是半圆 AB 的中点，则线段 AE 的长为 【解答】解： （1）AEDC，证明如下： 连接 BD， 可得ADB90， C+DBC90， CB 是O 的切线， CBA90， ABD+DBC90，
35、ABDC， AEBABD， AEDC， （2）连接 BE， 第 22 页（共 28 页） AEB90， C60， CAB30， 在 RtDAB 中，AD3，ADB90， cosDAB， 解得：AB2， E 是半圆 AB 的中点， AEBE， AEB90， BAE45， 在 RtAEB 中，AB2，ADB90， cosEAB， 解得：AE 故答案为： 22 （12 分）综合与实践折叠中的数学 在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究 问题背景： 在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 上的动点，且 BEDF，连接 EF，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠
36、，点 C 落在点 C处，点 D 落在点 D处，射线 EC与射线 DA 相交 于点 M 猜想与证明： （1）如图 1，当 EC与线段 AD 交于点 M 时，判断MEF 的形状并证明你的结论； 操作与画图： （2）当点 M 与点 A 重合时，请在图 2 中作出此时的折痕 EF 和折叠后的图形（要求：尺 规作图，不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ； 操作与探究： （3）如图 3，当点 M 在线段 DA 延长线上时，线段 CD分别与 AD，AB 交于 P，N 两 点时，CE 与 AB 交于点 Q，连接 MN 并延长 MN 交 EF 于点 O 求证：MOEF 且 MO 平分 EF； 第 23 页
37、（共 28 页） （4）若 AB4，AD4，在点 E 由点 B 运动到点 C 的过程中，点 D所经过的路径的 长为 【解答】解： （1）MEF 是等腰三角形 理由：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， MFECEF， 由折叠可得，MEFCEF， MFEMEF， MEMF， MEF 是等腰三角形 （2）折痕 EF 和折叠后的图形如图 2 所示： （3）如图 3，FDBE， 由折叠可得，DFDF， BEDF， 在NCQ 和NAP 中，CNQANP，NCQNAP90， CQNAPN， CQNBQE，APNDPF， BQEDPF， 在BEQ 和DFP 中， ， BEQDFP（AAS） ， PFQE，
38、 第 24 页（共 28 页） 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， ADFDBCBE， AFCE， 由折叠可得，CEEC， AFCE， APCQ， 在NCQ 和NAP 中， ， NCPNAP（AAS） ， ANCN， 在 RtMCN 和 RtMAN 中， ， RtMCNRtMAN（HL） ， AMNCMN， 由折叠可得，CEFCEF， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AFEFEC， CEFAFE， MEMF， MEF 是等腰三角形， MOEF 且 MO 平分 EF； （4）在点 E 由点 B 运动到点 C 的过程中，点 D所经过的路径是以 O 为圆心，4 为半径， 圆心角为 240
39、的扇形的弧，如图： 故其长为 L 第 25 页（共 28 页） 故答案为： 23 （14 分）综合与探究： 如图 1， 抛物线 yx2+x+与 x 轴分别交于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于 C 点经过点 A 的直线 l 与 y 轴交于点 D（0，） （1）求 A、B 两点的坐标及直线 l 的表达式； （2）如图 2，直线 l 从图中的位置出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴的正方向运动， 运动中直线 l 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F，点 A 关于直线 l 的对称点为 A，连接 FA、BA，设直线 l 的运动时间为 t（t0）秒探究下列问题：
40、 第 26 页（共 28 页） 请直接写出 A的坐标（用含字母 t 的式子表示） ； 当点 A落在抛物线上时，求直线 l 的运动时间 t 的值，判断此时四边形 ABEF 的形 状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，探究：在直线 l 的运动过程中，坐标平面内是否存在点 P，使得 以 P，A，B，E 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 【解答】解： （1）当 y0 时，x2+x+0，解得 x11，x23，则 A（ 1，0） ，B（3，0） ， 设直线 l 的解析式为 ykx+b， 把 A（1，0） ，D（0，）代入得，解得， 直线 l 的解析式为
41、yx； （2）作 AHx 轴于 H，如图 2， OA1，OD， OAD60， EFAD， AEF60， 点 A 关于直线 l 的对称点为 A， EAEAt，AEFAEF60， 在 RtAEH 中，EHEAt，AHEHt， OHOE+EHt1+tt1， A（t1，t） ； 第 27 页（共 28 页） 把 A（t1，t）代入 yx2+x+得（t1）2+（t 1）+t，解得 t10（舍去） ，t22， 当点 A落在抛物线上时，直线 l 的运动时间 t 的值为 2； 此时四边形 ABEF 为菱形，理由如下： 当 t2 时，A点的坐标为（2，） ，E（1，0） ， OEF60 OFOE，EF2OE2，
42、 F（0，） ， AFx 轴， AFBE2，AFBE， 四边形 ABEF 为平行四边形， 而 EFBE2， 四边形 ABEF 为菱形； （3）存在 当 ABBE 时，四边形 ABEP 为矩形，则t13，解得 t，则 A（3，） ， OEt1， 此时 P 点坐标为（，） ； 当 ABEA，如图 4，四边形 ABPE 为矩形， 作 AQx 轴于 Q， AEA120， AEB60， EBA30 BQAQtt， t1+t3，解得 t， 此时 A（1，） ，E（，0） ， 点 A向左平移个单位，向下平移个单位得到点 E，则点 B（3，0）向左平移个 第 28 页（共 28 页） 单位，向下平移个单位得到点 P，则 P（，） ， 综上所述，满足条件的 P 点坐标为（，）或（，）
