1、2019-2020学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1（3分）已知点A（1，2），B（2，1），则直线AB的斜率为（）ABC3D32（3分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，1）与Q（0，1，1）之间的距离为（）A2BCD3（3分）过点（0，1）且垂直于直线yx的直线方程为（）Ay2x1By2x1Cy2x+2Dy2x+14（3分）用一个平面去截下图的圆柱体，则所得的截面不可能是（）ABCD5（3分）与圆（x1）2+（y+2）21关于原点对称的圆的方程为（）A
2、（x1）2+（y2）21B（x+1）2+（y+2）21C（x+1）2+（y2）21D（x2）2+（y+1）216（3分）已知m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A若m，n，则mnB若m，则mC若m，则mD若m，n，则mn7（3分）已知直线l1：mx+y30与直线l2：xym0平行，则它们之间的距离是（）A2B4CD28（3分）我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（）A6B9C18D279（3
3、分）已知实数x，y满足条件，则zx3y的最小值为（）A6BCD10（3分）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，AA1的中点，则异面直线C1M与BN所成角的大小为（）A30B45C60D9011（3分）已知A（，0），B（0，1），点C为圆x2+y2+4y+10上任意一点，则ABC面积的最大值为（）ABCD12（3分）如图，将边长为2的正ABC沿着高AD折起，使BDC120，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）AB7CD二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13（4分）圆x2+y2+2x+2y0的半径为 14（4分）一个圆锥的侧面展开图是半径
4、为3，圆心角为120的扇形，则该圆锥的体积为 15（4分）已知长为2a（a0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为 16（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是 三、解答题（共5个小题，共48分）17（8分）已知ABC的顶点A（1，4），B（2，1），M（0，1）是BC的中点（1）求直线AC的方程；（2）求AC边上的高所在直线的方程18（10分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，C1D1的中点（1
5、）求证：EF平面ADD1A1；（2）求证：EF平面A1B1CD19（10分）已知圆C1：x2+y21与圆C2：x2+y26x+m0（1）若圆C1与圆C2外切，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若直线x+2y+n0与圆C2的相交弦长为2，求实数n的值20（10分）如图，在四棱锥PABCD中，ADCD，ADBC，AD2BC2CD4，PC2，PAD是正三角形（1）求证：CDPA；（2）求AC与平面PCD所成角的正弦值21如图，在四棱锥PABCD中，ADCD，ADBC，AD2BC2CD4，PC2，PAD是正三角形（1）求证：CDPA；（2）求二面角PBCA的大小22（10分）已知圆O：x2+y24
6、，点P是直线l：x2y80上的动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B（1）当|PA|2时，求点P的坐标；（2）当APB取最大值时，求APO的外接圆方程23已知圆O：x2+y24，点P是直线l：x2y80上的动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B（1）当|PA|2时，求点P的坐标；（2）设APO的外接圆为圆M，当点P在直线l上运动时，圆M是否过定点（异于原点O）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由2019-2020学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
7、是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）1（3分）已知点A（1，2），B（2，1），则直线AB的斜率为（）ABC3D3【分析】根据两点的坐标计算直线AB的斜率【解答】解：点A（1，2），B（2，1），则直线AB的斜率为kAB3故选：D【点评】本题考查了根据两点的坐标求直线斜率的问题，是基础题2（3分）在空间直角坐标系中，点P（1，2，1）与Q（0，1，1）之间的距离为（）A2BCD【分析】用两点间的距离公式求出【解答】解：在空间直角坐标系中，点P（1，2，1）与Q（0，1，1）之间的距离为，故选：B【点评】考查空间两点间的距离公式，基础题3（3分）过点（0，1）且垂直于直线yx的直线
8、方程为（）Ay2x1By2x1Cy2x+2Dy2x+1【分析】根据垂直关系求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程【解答】解：垂直于直线yx的直线斜率为k2，且直线过点（0，1），所以直线方程为：y（1）2（x0），即y2x1故选：A【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题4（3分）用一个平面去截下图的圆柱体，则所得的截面不可能是（）ABCD【分析】用一个平面截几何体，可以横截，竖截，斜截，角度不同得到的截面形状不同经过尝试可知：用平面截圆柱，截面可能是圆，椭圆，长方形，拱形【解答】解：当平面与底面垂直时，截面为长方形；故A正确；当平面与底面平行时，截面为圆；故B正确；当平面只与侧面相交
9、时，截面为椭圆；故C正确；故选：D【点评】本题考查了几何体与平面的关系，属于基础题5（3分）与圆（x1）2+（y+2）21关于原点对称的圆的方程为（）A（x1）2+（y2）21B（x+1）2+（y+2）21C（x+1）2+（y2）21D（x2）2+（y+1）21【分析】根据圆的对称性，转化为圆心的对称，直接求出对称圆心坐标进行求解即可【解答】解：圆心坐标为（1，2），半径为1，则圆关于原点对称的圆，实质是圆心的对称，则对应圆的圆心坐标为（1，2），半径为1，即对应圆的方程为（x+1）2+（y2）21，故选：C【点评】本题主要考查圆的方程的求解，结合圆的对称性转化圆心的对称是解决本题的关键比较基
10、础6（3分）已知m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A若m，n，则mnB若m，则mC若m，则mD若m，n，则mn【分析】根据空间中的直线与直线、直线与平面以及平面与平面之间的位置关系，判断即可【解答】解：对于A，m，n时，得出mn或m与n是异面直线，A错误；对于B，当m，时，m，B正确；对于C，当m，时，有m或m与相交或m与平行或m，C错误；对于D，m，n时，则mn或m、n相交或m、n异面，D错误故选：B【点评】本题考查了空间中的线、面关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题7（3分）已知直线l1：mx+y30与直线l2：xym0平行，则它们之间的距离是（
11、）A2B4CD2【分析】根据直线l1与直线l2平行求出m的值，再求两直线间的距离【解答】解：直线l1：mx+y30与直线l2：xym0平行，则m（1）110，解得m1；所以直线l1：xy+30与直线l2：xy+10的距离是d故选：C【点评】本题考查了两条平行线之间的距离计算问题，是基础题8（3分）我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该鳖臑的体积为（）A6B9C18D27【分析】本题主要是根据三视图想出对应的空间立体图形，然后根据三棱
12、锥的体积公式进行计算【解答】解：由题意，可知原图为一个底边为直角等腰三角形的直三棱锥，具体图形如下：则有：VS底h3346故选：A【点评】本题主要考查空间想象能力以及计算能力本题属基础题9（3分）已知实数x，y满足条件，则zx3y的最小值为（）A6BCD【分析】可画出不等式组所表示的平面区域，而由zx3y可得出，表示斜率为的一族平行直线，当直线在y轴上的截距取最大值时，z取得最小值，从而结合图形即可求出最大截距，即得出z的最小值【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示：由zx3y得，这是斜率为的一族平行直线，直线在y轴上的截距为，截距最大时，z最小，根据图形看出，当直线经过点B时，
13、截距最多，z取最小值，解得，故选：C【点评】本题考查了线性规划求最值的方法，能找出不等式组所表示的平面区域，数形结合的思想方法，考查了推理和计算能力，属于基础题10（3分）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，AA1的中点，则异面直线C1M与BN所成角的大小为（）A30B45C60D90【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线C1M与BN所成角的大小【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，AA1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1
14、B1C1D1中棱长为2，C1（0，2，2），M（2，1，0），B（2，2，0），N（2，0，1），（2，1，2），（0，2，1），设异面直线C1M与BN所成角的大小为，则cos0，90异面直线C1M与BN所成角的大小为90故选：D【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题11（3分）已知A（，0），B（0，1），点C为圆x2+y2+4y+10上任意一点，则ABC面积的最大值为（）ABCD【分析】求出圆上动点C到直线AB的最大距离，代入三角形面积公式，可得答案【解答】解：化圆x2+y2+4y+10为x2+（y+2）23，则圆
15、心坐标为M（0，2），半径r，过A（，0），B（0，1）的直线方程为，即M到直线的距离d圆上点C到直线的最短距离为又|AB|，则ABC面积的最大值为S故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，三角形面积公式，是基础的计算题12（3分）如图，将边长为2的正ABC沿着高AD折起，使BDC120，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）AB7CD【分析】由题意，将边长为2的正ABC沿着高AD折起，使BDC120，可得三棱锥ABCD，且AD垂直于底面BCD，求解底面BCD外接圆，利用球心与圆心垂直构造直角三角形即可求解球O的半径，可得球O的表面积【解答】解
16、：由题意，将边长为2的正ABC沿着高AD折起，使BDC120，可得三棱锥ABCD，且AD垂直于底面BCD，底面BCD中BDC120，DCDB1，那么BC，底面BCD外接圆半径：2r，即r1AD垂直于底面BCD，AD，球心与圆心的距离为，球心与圆心垂直构造直角三角形，球O的半径R2球O的表面积S4R27故选：B【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13（4分）圆x2+y2+2x+2y0的半径为【分析】换成标准型，求出半径【解答】解：圆的标准型为（x+1）2+（y+1）22，所以半径为，故答案为：【点评】本题
17、考查圆的方程和性质，为基础题14（4分）一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120的扇形，则该圆锥的体积为【分析】由题意画出图形，设圆锥的底面半径为r，由展开后所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得底面半径，进一步求出圆锥的高，代入圆锥体积公式求解【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则，得r1则圆锥的高h圆锥的体积V故答案为：【点评】本题考查圆锥体积的求法，考查剪展问题的求解方法，是中档题15（4分）已知长为2a（a0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为x2+y2a2（a0）【分析】求哪个点的轨迹方程就设那个点的坐标为（x，y），然后由题意写
18、等式，进而整理出关于x，y 的表达式就是它的轨迹方程，注意有时会有取值限制【解答】解：设线段AB的中点D（x，y），若AB不是原点时，则AOB是直角三角形，且O为直角，则ODAB，而AB2a，所以ODa，即ax2+y2a2（a0）；若AB有一个是原点，同样满足x2+y2a2（a0）；故答案为：x2+y2a2（a0）【点评】考查求点的轨迹方程，这个题用直接法求出，属于简单题16（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接
19、MN，易证平面A1MN平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，M、N、E、F为所在棱的中点，MNBC1，EFBC1，MNEF，又MN平面AEF，EF平面AEF，MN平面AEF；AA1NE，AA1NE，四边形AENA1为平行四边形，A1NAE，又A1N平面AEF，AE平面AEF，A1N平面AEF，又A1NMNN，平面A1MN平面AEF，P是侧面BCC1B1内一点，且A1P平面AEF，则P必在线段MN上，在RtA1B1M中，A1M
20、，同理，在RtA1B1N中，求得A1N，A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1PMN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O，A1MA1N，所以线段A1P长度的取值范围是故答案为：【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置三、解答题（共5个小题，共48分）17（8分）已知ABC的顶点A（1，4），B（2，1），M（0，1）是BC的中点（1）求直线AC的方程；（2）求AC边上的高所在直线的方程【分析】（1）设C（x，y），利用中点坐标求出点C，再写出直线AC的方程；（2）求出AC的斜率，得出A
21、C边上的高所在直线的斜率，利用点斜式求出AC边上的高所在直线方程【解答】解：（1）设C（x，y），由题意得，解得，点C的坐标为（2，3）；直线AC的方程为，化为一般式为x+3y110；（2）A（1，4），C（2，3），kAC，AC边上的高所在直线的斜率k3，AC边上的高所在直线方程为y+13（x+2），化为一般式为3xy+50【点评】本题考查了直线方程的求法应用问题，是基础题18（10分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，C1D1的中点（1）求证：EF平面ADD1A1；（2）求证：EF平面A1B1CD【分析】（1）连接AD1，推导出AEFD1是平行四边形，EFAD1由
22、此能证明EF平面ADD1A1（2）推导出EFAD1，A1B1平面ADD1A1，A1B1AD1，A1B1EF，A1DAD1，A1DEF，由此能证明EF平面A1B1CD【解答】证明：（1）连接AD1，ABCDA1B1C1D1是正方体，ABC1D1，ABC1D1，E，F分别是AB，C1D1的中点，AEFD1，AEFD1AEFD1是平行四边形，EFAD1EF平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，EF平面ADD1A1（2）由（1）得EFAD1，ABCDA1B1C1D1是正方体A1B1平面ADD1A1，A1B1AD1，A1B1EF，ABCDA1B1C1D1是正方体，ADD1A1是正方形，A1DAD1，
23、A1DEF，A1D平面A1B1CD，A1B1平面A1B1CD，A1B1A1DA1，EF平面A1B1CD【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（10分）已知圆C1：x2+y21与圆C2：x2+y26x+m0（1）若圆C1与圆C2外切，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若直线x+2y+n0与圆C2的相交弦长为2，求实数n的值【分析】（1）求出圆心坐标和半径，结合圆与圆外切的等价条件建立方程进行求解即可（2）根据相交弦的弦长公式建立方程进行求解即可【解答】解：（1）圆C1：（0，0），r11，x2+y26x+m0
24、的标准方程为（x3）2+y29m，C2：（3，0），r2，m9，圆C1与圆C2外切，|C1C2|r1+r2，即31+，m5；（2）由（1）得m5，圆C2的方程为（x3）2+y24，C2：（3，0），r22，由题意可得圆心C2到直线x+2y+n0的距离d1，得|n+3|，即n3+或n3【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，结合圆外切以及直线和圆相交时的弦长公式建立方程是解决本题的关键考查学生的计算能力，难度中等20（10分）如图，在四棱锥PABCD中，ADCD，ADBC，AD2BC2CD4，PC2，PAD是正三角形（1）求证：CDPA；（2）求AC与平面PCD所成角的正弦值【分析】（1）推
25、导出CDPD，ADCD，从而CD平面PAD，由此能证明CDPA（2）设点E是PD的中点，连接AE，CE，推导出AEPD，AE平面PCD，从而AC与平面PCD所成角为ACE，由此能求出AC与平面PCD所成角的正弦值【解答】解：（1）证明：PAD是正三角形，AD2CD4，PD2，CD2，PC2PD2+CD220，CDPD，ADCD，CD平面PAD，CDPA（2）解：设点E是PD的中点，连接AE，CE，PAD是正三角形，AEPD，AE2，由（1）得CD平面PAD，平面PCD平面PAD，AE平面PCD，AC与平面PCD所成角为ACE，ADCD，AC2，AC与平面PCD所成角的正弦值为sinACE【点评
26、】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21如图，在四棱锥PABCD中，ADCD，ADBC，AD2BC2CD4，PC2，PAD是正三角形（1）求证：CDPA；（2）求二面角PBCA的大小【分析】（1）推导出ADCD，PDCD，从而CD平面PAD，由此能证明CDPA（2）设点E是AD的中点，连接PE，BE，推导出PEAD，PE2，BCBE，BCDE是正方形，从而BCBE，进而BC平面PBE，BCPB，PBE是二面角PBCA的平面角，由此能求出二面角PBCA的大小【解答】解：（1）证明：在四棱锥PABCD中，A
27、DCD，ADBC，AD2BC2CD4，PC2，PAD是正三角形PD2+CD2PC2，PDCD，PDADD，CD平面PAD，PA平面PAD，CDPA（2）解：设点E是AD的中点，连接PE，BE，PAD是正三角形，PEAD，PE2，ADBC，BCBE，AD2BC2CD4，DEBC2，ADCD，ADBC，BCDE是正方形，BCBE，BC平面PBE，BCPB，PBE是二面角PBCA的平面角，由（1）得CD平面PAD，CDPE，BEPE，tan，PBE60【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22（10分）已知圆O：
28、x2+y24，点P是直线l：x2y80上的动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B（1）当|PA|2时，求点P的坐标；（2）当APB取最大值时，求APO的外接圆方程【分析】（1）设P（2b+8，b），在OAP中，由已知结合勾股定理列式求得b，则P点坐标可求；（2）由题意可知当OPl时，APB取最大值，设此时P（x，y），联立直线方程求得P的坐标，再由中点坐标公式可得APO的外接圆的圆心坐标，则圆的方程可求【解答】解：（1）由题可知，圆O的半径r2，设P（2b+8，b），PA是圆O的一条切线，OAP90，OP，解得b4或b，P（0，4）或P（，）；（2）由题意可知当OPl时，APB取
29、最大值，设此时P（x，y），由，解得，P（，），APO的外接圆方程为【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了三角形外接圆方程的求法，考查计算能力，是中档题23已知圆O：x2+y24，点P是直线l：x2y80上的动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B（1）当|PA|2时，求点P的坐标；（2）设APO的外接圆为圆M，当点P在直线l上运动时，圆M是否过定点（异于原点O）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由【分析】（1）设P（2b+8，b），在OAP中，由已知结合勾股定理列式求得b，则P点坐标可求；（2）设P（x0，y0），则M（），求出APO的外接圆方程为，再由点P在直线上，可得（x28x+y2）y0（2x+y）0，然后利用圆系方程求得圆M过定点的坐标【解答】解：（1）由题可知，圆O的半径r2，设P（2b+8，b），PA是圆O的一条切线，OAP90，OP，解得b4或b，P（0，4）或P（，）；（2）设P（x0，y0），则M（），APO的外接圆方程为，x02y080，x02y0+8，（x28x+y2）y0（2x+y）0，令，解得或（舍去），圆M过定点（）【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查圆系方程的应用，考查计算能力，属中档题
