1、第15讲 期末考试 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟姓名_ 成绩_第卷（选择题 共40分）一、 本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 已知向量，向量，且,则的值是（ ）A B CD【解析】 B 2 复数（ ）A B C D【解析】 A 3 如果是定义在的增函数，且，那么一定是（ ）A奇函数，且在上是增函数 B奇函数，且在上是减函数C偶函数，且在上是增函数 D偶函数，且在上是减函数【解析】 A是奇函数，是定义在上的增函数是定义在上的减函数，则在上的增函数 4 设，则以下不等式中不恒成立的是（
2、 ）A BC D【解析】 B由均值不等式可知A、C正确，D选项只需考虑的情形，此时等价于，成立，从而选B 5 等差数列各项都是负数，且，则它的前项和等于（ ）A B C D【解析】 A由题设有，因为数列各项都是负数，所以又，因此 6 在中，角、的对边分别为、若，则角的值为（ ）A或 B或C或 D或【解析】 D，结合已知等式得，则或 7 函数是偶函数，且在区间上单调递减，则与的大小关系为（ ）A BC D不能确定【解析】 C由偶函数可知，由在上单调递减知，则，而，所以 8 设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（ ）A必在圆内B必在圆上C必在圆外D以上三种情形都有可能【解析】
3、A由已知有，于是第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上 9 与直线垂直且过点的直线的方程是_【解析】 10 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_【解析】该几何体为圆锥和圆柱的组合体， 11 设数列的前项和为，且（对于所有），则_【解析】由及，可得 12 已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为9，那么_ 【解析】 依题意有，解得，则 13 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是_【解析】圆心为，半径为，如右图，依题意则，而，即 14 已知当时，且恒成立，则当时，_【解析】 由得，当时，则即当时，
4、三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题满分13分）已知：函数（其中，）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为 求的解析式； 当时，求函数的值域【解析】 由最低点为，得，由轴上相邻的两个交点之间的距离为得，即，由点在图象上得， ； ，当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值，故的值域为 16 （本小题满分13分） 如图， 在直三棱柱中，点是 的中点， 求证：； 求证：平面【解析】 依题意可知，又，即，且，平面， 设，交于，连结， 则为中点，即为的中位线，又平面，平面， 17 （本小题满分13分） 已知：函数的定义
5、域为，且满足对于任意，都有， 求的值； 判断的奇偶性并证明； 如果在上是增函数，且，求的取值范围【解析】 令，则， 令，则，令,，则，即，为偶函数， ， 即为 在上是增函数且为偶函数，等价于不等式，解得且，的取值范围为 18 （本小题满分13分）已知函数. 当时，求的极值; 当时，求的单调区间. 【解析】 当时，令，则，当变化时，变化情况如下表： 极大值极小值当时， 当时， ， 令，则， 当时，令 得或，令 得，的单调增区间为，减区间为；当时，令得或，令得，的单调增区间为，.减区间为，综上可知，当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为 19 （本小题满分14分）已
6、知数列的前项和和通项满足（是常数且，） 当时，求，； 求数列的通项公式； 设函数，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】 由题意，得 ，即；，即 由题意，得，当时，即，数列是首项，公比为的等比数列， 由得（）（）对都成立，是正整数，的值为1，2，3使对都成立的正整数存在，其值为：1，2，3 20 （本小题满分14分）已知的顶点在椭圆上，在直线上，且 当边通过坐标原点时，求的长及的面积； 当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程【解析】 因为，且边通过点，所以所在直线的方程为设，两点坐标分别为，由 得所以又因为边上的高等于原点到直线的距离所以， 设所在直线的方程为，由得因为在椭圆上，所以设两点坐标分别为，则，所以又因为点在直线上，所以的长等于点到直线的距离，即所以所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为57期末考试第15讲尖子-目标教师版
