1、2020年高考模拟数学一模试卷（文科）一、选择题1已知集合A1，2，3，4，5，B0，2，4，6，则集合AB的子集共有（）A2个B4个C6个D8个2若复数z的实部为0，其中a为实数，则|z|（）A2BC1D3已知向量，且实数k0，若A、B、C三点共线，则k（）A0B1C2D34意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是anan1+an2（n3，nN*），其中a11，a21
2、若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）ABCD5设，clog0.3，则下列正确的是（）AabcBacbCcabDbac6如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为（）A2和6B4和6C2和7D4和77若双曲线（a0，b0）的焦距为，且渐近线经过点（1，2），则此双曲线的方程为（）ABCD8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A12B16C24D329已知函数的最大值、最小值分别为3和1，关于函数f（x）有
3、如下四个结论：A2，b1；函数f（x）的图象C关于直线对称；函数f（x）的图象C关于点对称；函数f（x）在区间内是减函数其中，正确的结论个数是（）A1B2C3D410函数的图象大致为（）ABCD11已知直三棱柱ABCA1B1C1，ABC90，ABBCAA12，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为（）ABCD12函数f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，f（x）为其导函数，若xf（x）+f（x）（1x）ex，且f（2）0，则f（x）0的解集为（）A（0，1）B（0，2）C（1，2）D（1，4）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13已知sin（+），则sin2
4、14在ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sinAsinB）（ac）sinC，b2，则ABC的外接圆面积为 15已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为 16设椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an，a14，（n+1）an+
5、1nan4（n+1）（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn前n项和为Tn18某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量yi和月销售单价xi（i1，2，3，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件）456789月销售量y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：4x+105，4x+53和3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断
6、哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用yax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为+0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请用R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据：80.9119如图，四边形ABCD为长方形，AB2BC4，E、F分别为AB、CD的中点，将ADF沿AF折到ADF的位置，将BCE沿CE折到BCE的位置，使得平面ADF底面AECF，平
7、面BCE底面AECF，连接BD（1）求证：BD平面AECF；（2）求三棱锥BADF的体积20在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由21已知函数f（x）（x1）lnx+ax2+（1a）x1（1）当a1时，判断函数的单调性；（2）讨论f（x）零点的个数（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做
8、，则按所做的第一题计分，选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c为正数，且满足a+b+c1证明：（1）9；（2）ac+bc+ababc参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A1，2，3，4，5，B0，2
9、，4，6，则集合AB的子集共有（）A2个B4个C6个D8个【分析】求出集合的交集，写出子集，判断即可解：已知集合A1，2，3，4，5，B0，2，4，6，则集合AB2，4则子集共有2，4，2，4，4个故选：B2若复数z的实部为0，其中a为实数，则|z|（）A2BC1D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0求得a值，进一步得到z，再由复数模的计算公式求解解：z的实部为0，a2，则z2i，则|z|2故选：A3已知向量，且实数k0，若A、B、C三点共线，则k（）A0B1C2D3【分析】求出（2，2k），（k+1，2），由A、B、C三点共线，得，由此能求出k解：向量，且实数k0，（2，2k）
10、，（k+1，2），A、B、C三点共线，由k0，解得k3故选：D4意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是anan1+an2（n3，nN*），其中a11，a21若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）ABCD【分析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，可得：每三个数中有应该偶数，即可得出结论解：从斐波那
11、契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，可得：每三个数中有一个偶数，可得：从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率故选：B5设，clog0.3，则下列正确的是（）AabcBacbCcabDbac【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出解：b1a0c，bac，故选：D6如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值为（）A2和6B4和6C2和7D4和7【分析】利用中位数和平均值的计算公式可得答案解：由所有选项可知x0，y9，再由茎叶图可知：甲队的数据中位数为
12、：18，乙队的数据中位数为：，若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，即16，解得y7，甲（7+12+16+20+20+x+31），乙（8+9+19+17+27+28），甲乙，解得x2，故选：C7若双曲线（a0，b0）的焦距为，且渐近线经过点（1，2），则此双曲线的方程为（）ABCD【分析】依题意可得a2+b2c25，b2a解得，即可求解解：依题意可得a2+b2c25，渐近线经过点（1，2），（1，2）在直线上b2a由可得，则此双曲线的方程为：故选：B8如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A12B16C24D32【分析】首
13、先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：请旋转一下角度再看所以V344416故选：B9已知函数的最大值、最小值分别为3和1，关于函数f（x）有如下四个结论：A2，b1；函数f（x）的图象C关于直线对称；函数f（x）的图象C关于点对称；函数f（x）在区间内是减函数其中，正确的结论个数是（）A1B2C3D4【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得A和b的值结合正弦函数性质对命题逐一判断即可解：由于函数f（x）Asin（x+）+b的最大值为3，最小值为1，可得；A2，b1，故f（x）2sin（x+）+1故正确；直线代入x+，故函数f（x）的图象C关
14、于直线对称；正确；点代入，得x+；故函数f（x）的图象C关于点对称；正确；当x时，x+（，）故函数f（x）在区间内是减函数正确；正确的结论个数是：4个；故选：D10函数的图象大致为（）ABCD【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解解：，函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AD；当x时，故排除C故选：B11已知直三棱柱ABCA1B1C1，ABC90，ABBCAA12，BB1和B1C1的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为（）ABCD【分析】根据题意，可以点B为原点，直线BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可求出，然后可求出，从而可得出
15、AE与CF夹角的余弦值解：分别以直线BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：A（2，0，0），E（0，0，1），C（0，2，0），F（0，1，2），AE与CF夹角的余弦值为故选：B12函数f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，f（x）为其导函数，若xf（x）+f（x）（1x）ex，且f（2）0，则f（x）0的解集为（）A（0，1）B（0，2）C（1，2）D（1，4）【分析】令g（x）xf（x），结合已知可求函数g（x）的单调性，然后结合特殊点g（0）g（2）0及单项即可求解解：令g（x）xf（x），则g（x）xf（x）+f（x）（1x）ex，当x（0，1）时，g（
16、x）0，g（x）单调递增，当x（1，+）时，g（x）0，函数单调递减，又因为f（2）0，所以g（2）2f（2）0，g（0）0，由f（x）0可得，xf（x）0即g（x）0，所以0x2故选：B二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13已知sin（+），则sin2【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化为 21，运算求得结果解：，sin2cos（2+）cos2（+）21，故答案为14在ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）（sinAsinB）（ac）sinC，b2，则ABC的外接圆面积为【分析】ABC中，由条件利用正弦定理可得 a2+c2b2a，求得cosB的值
17、，即可求得B的值利用正弦定理，圆的面积公式即可求解解：ABC中，由（a+b）（sinAsinB）（ac）sinC0，利用正弦定理可得：（a+b）（ab）（ac）c0，即 a2+c2b2a，cosB，Bb2，设ABC的外接圆半径为R，可得2R，可得R，可得ABC的外接圆面积SR2故答案为：15已知一圆柱内接于一个半径为的球内，则该圆柱的最大体积为4【分析】作出轴截面，设圆柱体的底面半径为r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，我们可以用R与r表示出圆柱的高，进而得到其体积的表达式，然后结合基本不等式，即可得到圆柱体积的最大和此时底面半径的值解：作出轴截面如右设圆柱体的底面半径为r，则
18、球心到底面的距离（即圆柱高的一半）为d，则d，则圆柱的高为h2，则圆柱的体积Vr2h2r2r24，当且仅当r262r2，即r时，圆柱的体积取最大值，且为4故答案为：416设椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，O为坐标原点，点P满足|OP|2a，点A是椭圆C上的动点，且|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成立，则椭圆C离心率的取值范围是，1）【分析】设P的坐标，由题意可得|PF1|PA|+|AF1，所以由|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成立可得|PF1|3|F1F2|，将P的坐标代入即P的横坐标的方程可得离心率的取值范围解：因为|OP|2a，所以P在以原点为圆心，
19、以2a为半径的圆上，设P坐标为（x，y），即P满足的方程为：x2+y24a2，由题意可|PF1|PA|+|AF1，所以由|PA|+|AF1|3|F1F2|恒成立可得|PF1|3|F1F2|，可得（x+c）2+y294c2，即4a2+2cx+c236c2恒成立，2ax2a，所以4a2+4ac+c235c2，整理可得：35e24e40，解得e，又因为椭圆的离心率e1故答案为：，1）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17已知数列an，a14，（n+1）an+1nan4（n
20、+1）（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若bn，求数列bn前n项和为Tn【分析】本题第（1）题根据递推式可用累加法求出数列an的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后用裂项相消法计算出前n项和Tn解：（1）依题意，由（n+1）an+1nan4（n+1）（nN*），可得2a2a18，3a32a212，nan（n1）an14n各项相加，可得nana18+12+4n，nan4+8+12+4n，an2n+2，nN*（2）由（1）知，bn（）故Tnb1+b2+bn（）+（）+（）（+）（）18某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万
21、件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量yi和月销售单价xi（i1，2，3，6）数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件）456789月销售量y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：4x+105，4x+53和3x+104，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用yax2+bx+c模型拟合y与x之间的关系，可得回归方程为+0.875x+90.25，经计算该模型和（1）中正确的
22、线性回归模型的相关指数R2分别为0.9702和0.9524，请用R2说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据：80.91【分析】（1）由变量x，y具有负相关关系，说明乙不对，求出样本点的中心坐标，验证甲与丙得答案；（2）由R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好，可得选用+0.875x+90.25更好；（3）求出z关于x的函数关系式，再由导数求最值解：（1）已知变量x，y具有负相关关系，故乙不对，代入甲和丙的回归方程验证甲正确；（2）0.97020.9524
23、，且R2越大，残差平方和越小，拟合效果越好，选用+0.875x+90.25更好；（3）由题意可知，即，则z令z0，解得x（舍去）或x令，当x（0，x0）时，z单调递增，当x（x0，+）时，z单调递减当xx0时，商品的月销售额预报值最大，x9.77当x9.77时，商品的月销售额最大19如图，四边形ABCD为长方形，AB2BC4，E、F分别为AB、CD的中点，将ADF沿AF折到ADF的位置，将BCE沿CE折到BCE的位置，使得平面ADF底面AECF，平面BCE底面AECF，连接BD（1）求证：BD平面AECF；（2）求三棱锥BADF的体积【分析】（1）作DMAF于M，作BNEC于点N，从而M，N为
24、AF，CE的中点，且，推导出DM底面AECF，BN底面AECF，DMBN，四边形DBNM是平行四边形，BDMN，由此能证明BD平面AECF（2）设点B到平面ADF的距离为h，连结NF，B到平面ADF的距离与点N到平面ADF的距离相等，求出点B到平面ADF的距离h，由此能求出三棱锥BADF的体积解：（1）证明：作DMAF于M，作BNEC于点N，ADDF2，BCBE2，ADFCBE90，M，N为AF，CE的中点，且，平面ADF底面AECF，平面ADF底面AECFAF，DMAF，DM平面F，DM底面AECF，同理：BN底面AECF，DMBN，四边形DBNM是平行四边形，BDMN，BD平面AECF，M
25、N平面AECF，BD平面AECF（2）解：设点B到平面ADF的距离为h，连结NF，DMBN，DM平面ADF，BN平面ADF，BN平面ADF，B到平面ADF的距离与点N到平面ADF的距离相等，N为CE中点，EF2，NFCE，AFCE，NFAF，平面ADF底面AECFAF，NF底面AECF，NF平面ADF，点N到平面ADF的距离为NF，点B到平面ADF的距离h，SADF，三棱锥BADF的体积VBADF20在平面直角坐标系xOy中，过点F（2，0）的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径，设点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点A（2，4）的任意直线l与曲线C交于点M，B为AM的中点，过点B
26、作x轴的平行线交曲线C于点D，B关于点D的对称点为N，除M以外，直线MN与C是否有其它公共点？说明理由【分析】（1）设P的坐标，过P做y轴的垂线交于点H，及与直线x2交于一点，得E到y轴的距离为半径r，又是梯形的中位线可得P到定点F的距离等于到定直线x2的距离，由抛物线的定义可得，P的轨迹为抛物线，并且焦点F（2，0），准线为x2的抛物线；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，设M的坐标，可得中点B的坐标，由题意可得D的坐标，进而可得N的坐标，求出直线MN，与抛物线方程联立，由判别式为0可得直线除M点外，没有其他的公共点解：（1）如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线x2于P，设动圆
27、的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r，在梯形OFPH中，由中位线性质可得PH2r2，所以|PP|2r2+22r，又|PF|2r，所以|PF|PP|，由抛物线的定义知，点P是以F（2，0）为焦点，以直线x2为准线的抛物线，所以曲线C的方程为：y28x；（2）由A（2，4）可得A在求出C上，（i当直线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）（x12），则y128x1，AM的中点B（，），即B（+1，+2），在方程y28x中，令y+2，得x（+2）2，所以D（，），设N（x2，y2），由中点坐标公式可得x2（+2）2，又y128x1，代入化简x2，所以N（，+2），直线MN的斜率为
28、：，所以直线MN的方程为：y（xx1）+y1，将x1代入化简可得：yx+，将x代入式整理可得y22y1y+y120，4y124y120，所以直线MN与抛物线相切，所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点（ii）当直线MN的斜率不存在时M（2，4），B（2，0），D（0，0），N（2，0），直线MN的方程为：yx2代入抛物线的方程可得x24x+40，42440，所以除M点外，直线MN与C没有其他的公共点综上所述，除M点外直线MN与C没有其他的公共点21已知函数f（x）（x1）lnx+ax2+（1a）x1（1）当a1时，判断函数的单调性；（2）讨论f（x）零点的个数【分析】（1）把a1代入后对函
29、数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；（2）先对函数求导，然后结合导可判断函数的单调性，然后结合函数的性质及零点判定定理即可求解解：（1）a1时，f（x）（x1）lnxx2+2x1，令h（x），则，易得函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故h（x）h（1）0即f（x）0，所以f（x）在（0，+）上单调递减；（2）由f（x）（x1）lnx+ax2+（1a）x1可得f（1）0，即x1为函数f（x）的一个零点，设g（x）lnx+ax+1，则f（x）的零点个数即为g（x）的不为1的零点个数加上1，（i）当a1时，由（1）知f（x）单调递减，且x1是f（x）的零
30、点，故f（x）有且只有1个零点1；（ii）当a0时，g（x）单调递增且g（1）0，g（x）lnx+ax+1，0x1，因为ax2+（a+3）x1（a+4）x2+（a+3）x1（a+4）x1（x+1），所以g（）0，综上可知，g（x）在（0，+）上有1个零点且g（1）9，所以f（x）有2个零点（iii）又，所以当1a0时，g（x）在（0，）上单调递增，在（）上单调递减，故g（x）的最大值g（）ln（）0，又g（x）0，且g（）0，g（）0，所以g（x）在（0，）上有1个零点，在（）上有1个零点且x0也是零点，此时f（x）共有3个零点，（iv）又，所以当a1时，g（x）在（0，）上单调递增，在（）上
31、单调递减，故g（x）的最大值g（）ln（）0，故g（x）没有零点，此时f（x）只有1个零点，综上可得，当a1时，f（x）有1个零点；当1a0时，f（x）有3个零点，当a0时，f（x）有2个零点（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一题计分，选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|PE|+|P
32、F|，求直线C1的普通方程【分析】（1）曲线C2的极坐标方程为4sin即24sin，利用互化公式可得普通方程（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（2，0）把直线C1的参数方程为（t为参数，为倾斜角），代入C2方程可得：t2（4cos+4sin）t+120，0，由为锐角可得：sin（+），解得：0利用根与系数的关系可得：|EF|4，|PE|+|PF|t1|+|t2|t1+t2|8|sin（+）|，解出即可得出解：（1）曲线C2的极坐标方程为4sin即24sin，可得普通方程：x2+y24y（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（2，0）把直线C1的参数方程为（t为参数，为倾斜角），代入C2方程可得
33、：t2（4cos+4sin）t+120，480，可得：sin（+），或sin（+），由为锐角可得：sin（+），解得：0则t1+t24cos+4sin，t1t212|EF|4，|PE|+|PF|t1|+|t2|t1+t2|8|sin（+）|，88|sin（+）|，化为：sin（+）1，+2k，kZ满足0可得直线C1的参数方程为：，可得普通方程：xy+20选修4-5：不等式选讲23已知a，b，c为正数，且满足a+b+c1证明：（1）9；（2）ac+bc+ababc【分析】（1）利用乘一法，结合基本不等式即可求证；（2）ac+bc+ababc）（1a）（1b）（1c），再利用基本不等式即可求证【解答】证明：（1），当且仅当时，等号成立；（2）a，b，c为正数，且满足a+b+c1，c1ab，1a0，1b0，1c0，ac+bc+ababc（a+bab）c+ab（a+bab）（1ab）+ab（b1）（a1）（a+b）（1a）（1b）（1c），ac+bc+ababc，当且仅当时，等号成立
