1、2020年高考数学模拟自测卷（10）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数满足，则（ ）A或B或C或D【答案】A【解析】设z
2、a+bi（a，bR），由z25+12i，得a2b2+2abi5+12i，解得或z3+2i或z32i故选：A2一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（ ）A甲B乙C丙D丁【答案】C【解析】假设甲说的是真话，则第一名是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，第一名不是甲；假设乙说的是真话，则第一名是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，第一名也不是乙；假设丙说的是真话，则第一名是乙，
3、所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，第一名也不是乙；假设丁说的是真话，则第一名不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是第一名，同时乙也说谎，说明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假设成立，第一名是丙。本题选C。3已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为A5B40C20D10【答案】B【解析】由题意，二项式的展开式中各项的系数和为，令，则，解得，所以二项式的展开式为，令，则，即的系数为，故选B.4已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积为（ ）ABCD【答案】B
4、【解析】圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,且所以则而 所以因为所以是以为斜边的直角三角形则故选:B5已知向量，且，则的值为（）A1B2CD3【答案】A【解析】由题意可得 ，即 ，故选：A6定义在上的奇函数满足，且当时，则当时，方程的解的个数为（ ）A2B3C4D6【答案】A【解析】根据题意，为奇函数，则的图象关于原点对称，又由，则的图象关于直线对称，因为当时，故可画函数在的图象如下，所求方程在的解的个数，等价于函数与函数的交点个数，由图可知函数与函数在上有个交点，故方程在上有个解，故选：7已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（
5、）ABCD【答案】B【解析】构造函数则所以在上单调递减又因为所以所以解得或（舍）所以不等式的解集是故选B.8在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点有以下三个命题：异面直线与所成的角是定值；三棱锥的体积是定值；直线与平面所成的角是定值其中真命题的个数是( )A3B2C1D0【答案】B【解析】以A点为坐标原点，AB,AD,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),设F(t，1，1-t)，（0t1），可得=(1,1,1),=(t-1
6、，1，-t)，可得=0，故异面直线与所的角是定值，故正确；三棱锥的底面面积为定值，且,点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值，故正确；可得=(t，1，-t)，=(0,1,-1),=(-1,1,0),可得平面的一个法向量为=（1，1，1），可得不为定值，故错误;故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的
7、概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是【答案】AC【解析】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确；对于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所
8、以此密码被破译的概率为,故B不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确；对于D,易得,即,即,又,故D错误故选：AC10已知曲线，则曲线（ ）A关于轴对称B关于轴对称C关于原点对称D关于直线轴对称【答案】ABCD【解析】，则；成立故曲线关于轴对称；关于轴对称；关于原点对称；取曲线任一点 关于直线轴对称点为成立.故选：11设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）ABC的最大值为D的最大值为【答案】AD【解析】, 与题设矛盾.符合题
9、意.与题设矛盾. 与题设矛盾. 得，则的最大值为.B，C，错误.故选：AD.12在RtABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是() ABCD【答案】ABD【解析】由,由射影定理可得，即选项A正确，由=,由射影定理可得，即选项B正确，由,又，即选项C错误，由图可知，所以，由选项A,B可得 ，即选项D正确，故选ABD.3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13设集合，_.【答案】【解析】，集合表示直线上除去的所有点组成的集合，.故答案为：14已知函数在区间上的增函数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】函数在区间上的增函数则且解得 故答案为15如图，在三棱锥中，若底面是
10、正三角形，侧棱长，、分别为棱、的中点，并且，则异面直线与所成角为_；三棱锥的外接球的体积为_【答案】 【解析】由三棱锥中，若底面是正三角形，侧棱长知，三棱锥是正三棱锥，则点在底面中的投影为底面的中心，为中点如图，因此,所以平面,平面,又、分别为棱、的中点，则,因此，异面直线与所成角为；,平面,又，则平面,又三棱锥是正三棱锥，因此三棱锥可以看成正方体的一部分且为正方体的四个顶点，故球的直径为，则球的体积为.故答案为：；.16函数满足下列性质：（）定义域为，值域为（）图象关于对称（）对任意，且，都有请写出函数的一个解析式_（只要写出一个即可）【
11、答案】【解析】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式，此时对称轴为，开口向上，满足（），因为对任意，且，都有，等价于在上单调减，满足（），又，满足（），故答案为4、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由，得解得，.（2）由，得，为奇数时，为偶数时， .18（本小题满分12分）在中，分别为角，所对的边，且，.（）若，求的面积；（）若为锐角三角形，
12、求的取值范围.【答案】（）（）【解析】（），由正弦定理得，.由余弦定理得：，（负值舍去），.法二：由余弦定理得，.由余弦定理得：，（负值舍去），.（）由正弦定理得：，.是锐角三角形，.19（本小题满分12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，AA1C1=60，ABAA1，H为棱CC1的中点，D为BB1的中点（1）求证：A1D平面AB1H；（2）若AB=，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）如图，连接AC1，因为为正三角形，H为棱CC1的中点，所以AHCC1，从而AHAA1，又平面AA1C1C平面ABB
13、1A1，平面AA1C1C平面ABB1A1=AA1，AH平面AA1C1C，所以AH平面ABB1A1，又A1D平面ABB1A1，所以AHA1D设AB=a，因为AC=AA1=AB，所以AC=AA1=2a，DB1=a，因为ABAA1，所以平行四边形ABB1A1为矩形，所以DB1A1=B1A1A=90，所以，所以B1AA1=DA1B1，又DA1B1+AA1D=90，所以B1AA1+AA1D=90，故A1DAB1由及AB1AH=A，可得A1D平面AB1H（2）方法一：如图，取A1C1的中点G，连接AG，因为为正三角形，所以AGA1C1，因为平面AA1C1C平面ABB1A1，平面AA1C1C平面ABB1A1
14、=AA1，A1B1平面ABB1A1，A1B1AA1，所以A1B1平面AA1C1C，又AG平面AA1C1C，所以A1B1AG，又A1C1A1B1=A1，所以AG平面A1B1C1，所以AG为三棱柱ABCA1B1C1的高，经计算AG=，A1B1A1C1=2=，所以三棱柱ABCA1B1C1的体积V=AG=方法二：如图，取AA1的中点M，连接C1M，则C1MAH，所以C1M平面ABB1A1因为AB=，所以AC=AA1=2，C1M=A1C1sin60=2，所以C1M=2，所以三棱柱ABCA1B1C1的体积V=320（本小题满分12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优
15、秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，注：（）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；（）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.附：线性回归方程中，.
16、【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由数据可知，五个年份考核优秀的所有可能取值为，故的分布列为：则数学期望（2）解法一： 故去掉年的数据之后：，所以，从而回归方程为：解法二：因为，所以去掉年的数据后不影响的值所以而去掉年的数据之后，从而回归方程为：21（本小题满分12分）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.（1）设直线方程为：，由抛物线焦半径公式可知： 联立得：则 &nbs
17、p;，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则 ， ， 则22（本小题满分12分）已知函数，.（1）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围.（2）设函数，在（1）的条件下，试判断在区间上是否存在极值.若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由.【答案】（）；（）当时，在上不存在极值；当时，在上存在极值，且极值均为正【解析】（）由，得即在上恒成立设函数，则，当时，在上单调递减当时，即的取值范围是（），设，则由，得当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减且，据（），可知（）当，即时，即在上单调递减当时，在上不存在极值（）当，即时，则必定，使得，且当变化时，的变化情况如下表：-0+0-0+0-极小值极大值当时，在上的极值为，且设，其中，在上单调递增，当且仅当时取等号，当时，在上的极值综上所述：当时，在上不存在极值；当时，在上存在极值，且极值均为正
