1、2020年高考数学模拟自测卷（3）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则= ( )A或B或3C1或D1或3【
2、答案】B【解析】因为集合，且，所以或，若，则，满足；若，则或，当时，满足；当时，集合A中元素不满足互异性，舍去，故选B.2如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为（ ）A13iB3iC3iD3i【答案】D【解析】由题图可得Z（1，1），即z1i，所以z1i1i1i1i22i3i.故选：D.3已知，则的值等于（ ）AB4C2D【答案】B【解析】,，故选B.4锐角满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由锐角满足，所以，所以，故选：D5已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增。若实数满足，则的取值范围是 （ ）A
3、BCD【答案】D【解析】 ,选D.6已知向量满足，且与夹角为，则（ ）A-3B-1C1D3【答案】B【解析】.故选：B7若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，所以，所以.所以正实数的取值范围是.故选：D8已知双曲线的左、右焦点分别为，B为虚轴的一个端点，且，则双曲线的离心率为（ ）A2BCD【答案】D【解析】已知，因为，则在中，所以
4、即，又，联立得，所以.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9下列说法错误的是（ ）A长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B若，则C若角的终边过点，则D当时，【答案】ABC【解析】对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，命题错误；对于B，若，则，命题错误；对于C，若角的终边过点，则，命题错误；对于D，当时，命题正确.故选：ABC10如图，在长方体中，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）A四点共面B平面平面C直线与所成角
5、的为D平面【答案】BC【解析】对于A，由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；对于C，取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； 对于D，平面，显然与平面不平行，故D错误；故选：BC11以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）.A甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是B每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为C将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6
6、的概率是D从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是【答案】BCD【解析】对于A，画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P（甲获胜），P（乙获胜），故玩一局甲不输的概率是，故A错误；对于B，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为，故B正确
7、；对于C，基本事件总共有种情况，其中点数之和是6的有，共5种情况，则所求概率是，故C正确；对于D，记三件正品为，一件次品为B，任取两件产品的所有可能为，共6种，其中两件都是正品的有，共3种，则所求概率为，故D正确.故选BCD.12已知函数yf（x）是定义在0，2上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若f（0）M，f（2）N（M0，N0），那么下列四个命题中是真命题的有（ ）A必存在x0，2，使得f（x）B必存在x0，2，使得f（x）C必存在x0，2，使得f（x）D必存在x0，2，使得f（x）【答案】ABD【解析】因函数yf（x）是定义在0，2上的增函数，且图像是连续不断
8、的曲线，所以；对A，若成立，则，即，显然成立；对B，若成立，则，即，显然成立；对C，若成立，则，先证，假设成立，则，即，如时，不成立，则C不成立；对D，若成立，则化简后为：，即，左侧化简后成立，右侧化简后成立，故D成立故选：ABD3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知数列满足：（），若，则 .【答案】【解析】因,故当时,即时,即,所以;当时,即时,可得,不成立,所以,应填.14已知函数fx=cosx+2cosx，x0,2，若直线y=k与函数y=fx的图象有四个不同的交点，则实数k的取值范围是_.【答案】(0
9、,1)【解析】画出函数y=cosx+2|cosx|=3cosx,x0,232,2-cosx,x(2,32),以及直线y=k的图象,如图所示;由f(x)的图象与直线y=k有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.故答案为:(0,1).15在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，那么，在空间直角坐标系中，关于轴的对称点坐标为_，若点关于平面的对称点为点，则_【答案】 【解析】（1）由题得关于轴的对称轴点坐标为；（2）点关于平面的对称点为点（1,-1，-2），所以.故答案为：(1). (2). 16关于函数有
10、下列四个命题：函数在上是增函数；函数的图象关于中心对称；不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有_.（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】函数的定义域是，由于，在上递增，函数在上是递增，正确；，函数的图象关于中心对称，正确；，时取等号，正确；，设，则，显然是即的极小值点，错误故答案为：.4、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）已知数列为等差数列，公差，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可知，.又，.故数列的通
11、项公式为.（2）由（1）可知， ，.18（本小题满分12分）已知a为实数当，时，求在上的最大值；当时，若在R上单调递增，求a的取值范围【答案】 ； .【解析】当，时，则x，的变化情况如下：x0增函数极大值减函数；在R上单调递增，则对恒成立，得，设，则在上恒成立，则有，得19（本小题满分12分）设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l.已知以F为圆心，半径为4的圆与l交于A，B两点，E是该圆与抛物线C的一个交点，EAB90.(1)求p的值；(2)已知点P的纵坐标为1且在抛物线C上，Q，R是抛物线C上异于点P的另两点，且满足直线PQ和直线PR的斜率之和为1，试问直线QR是否经
12、过一定点，若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由【答案】（1）2（2）经过， .【解析】(1) 如图：由题意及抛物线定义，得|AF|EF|AE|4，AEF为边长为4的正三角形，设准线l与x轴交于点D，因为，所以，则|FD|p|AF|42.(2)设直线QR的方程为xmyt，点Q(x1，y1)，R(x2，y2)，由，得y24my4t0，则16m216t0，y1y24m，y1y24t，又点P在抛物线C上，则kPQ，同理可得kPR，因为kPQkPR1，所以 ，解得t3m，由 ，解得m，所以直线QR的方程为xm(y3)，则直线QR过定点.20（本小题满分12分）某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”
13、购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程适合用来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：支付方式现金会员卡扫码比例商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受折优惠的概率为，享
14、受折优惠的概率为，享受折优惠的概率为现有一名顾客购买了元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？参考数据：设，参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】（1）回归方程为：；活动推出第8天使用扫码支付的人次为331（2）一名顾客购物的平均费用为元【解析】（1）由，两边同时取常用对数得：；设，把样本中心点代入,得:，关于的回归方程为：；把代入上式，；活动推出第8天使用扫码支付的人次为331；（2）记一名顾客购物支付的费用为，则的取值可能为：，；分布列为：所以，一名顾客购物的平均费用为：（元）21（本小题满
15、分12分）在中，且边上的中线长为，(1)求角的大小；(2)求的面积.【答案】（）；（）.【解析】(1)由正弦定理边角互换可得，所以.因为，所以，即，即，整理得.因为，所以，所以，即，所以.因为，所以，即。(2)设的中点为，根据向量的平行四边形法则可知所以，即，因为，所以，解得（负值舍去）.所以。22（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，把平面沿轴折起来，使轴正半轴和轴确定的半平面，与负半轴和轴所确定的半平面互相垂直若，求异面直线和所成角的余弦；若折叠后的周长为，求的正切值【答案】（1） （2） 【解析】（1）设椭圆的标准方程为：，由椭圆的性质可知：，则的周长，即，椭圆的标准方程：；（2）设直线：，代入椭圆方程，解得：，则，折叠后主要是四点位置擦去椭圆如下图，建立空间直角坐标系，在空间直角坐标系中，异面直线和所成角为，则。折叠后对应点记为，如图设折叠前，则，由，则，设折叠前直线方程为，则，整理得：，则，则，（1），（2）由（1），（2）可知：，即，则，解得：，
