1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第11讲-切线长定理与圆的相关计算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 理解切线长定理，并能熟练应用； 运用圆弧、圆心角计算公式，准确进行圆的相关计算。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一）切线长定理1、切线长定义经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角3、注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线
2、是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量4、切线长定理包含着一些隐含结论 垂直关系三处； 全等关系三对； 弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到 （二）圆的相关计算1、正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆2、正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 3、计算公式（1
3、）圆周长公式：C=2R ； 弧长公式：（3）圆面积公式：S=r2（4）扇形面积公式：（5）求阴影面积常用的方法： 直接用公式法； 和差法； 割补法 （6）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积考点一： 切线长定理例1、如图，PA切O于A，PB切O于B，OP交O于C，下列结论中，错误的是（）A1=2 BPA=PB CABOP DPA2=PCPO【解析】D例2、如图，直线AB、CD、BC分别与O相切于E、F、G，且ABCD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）A13 B12 C11 D10【解析】ABCD，ABC+BCD=180，CD、BC，AB分别与O相切于
4、G、F、E，OBC=ABC，OCB=BCD，BE=BF，CG=CF，OBC+OCB=90，BOC=90，BC=10，BE+CG=10（cm）故选D例3、如图，ABC是一张三角形的纸片，O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（AMN），则剪下的AMN的周长为（）A20cm B15cmC10cm D随直线MN的变化而变化【解析】AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）故选：A考点二： 圆外切四边形例1、如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（）A50 B52 C54 D56
5、【解析】四边形的周长=2（16+10）=52故选B例2、如图，O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（）个：AF=BG； CG=CH； AB+CD=AD+BC； BGCGA1 B2 C3 D4【解析】O是四边形ABCD的内切圆，AF=AE，BF=BG，CG=CH，DH=DE，AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BCAF=BG；BGCG无法判断正确的有，故选B考点三： 圆内接正多边形例1、如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（）A2cm B2cm C4cm D4Cm【解析】C例2、若正三角形、正方形、正六边形的周
6、长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（）AS1=S2=S3 BS1S2S3CS1S2S3 DS2S3S1【解析】设正三角形的边长为a，则正方形的边长为，正六边形的边长为；正三角形的边长为a，其高为，S1=a=；S2=（）2=；正六边形的边长为，把正六边形分成六个三角形，其高为，S3=6=S1=，S3=，S1S2S3故选C例3、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A B C D【解析】D考点四： 弧长、阴影面积计算例1、如图，有一圆O通过ABC的三个顶点若B=75，C=60，且的长度为4，则BC的长度为何？（）A8
7、B8 C16 D16【解析】连接OB，OC，B=75，C=60，A=45，BOC=90，的长度为4，=4，OB=8，BC=8，故选B例2、如图，AB是半径为R的O内接正n边形的边长，则阴影部分的面积为（）AR2sin BR2sinCR2sin DR2sin【解析】连接OA，OB，过点O作OCAB于点C，则AOB=，AOC=AOB=，OC=OAcosAOC=Rcos，AC=OCsinAOC=Rsin，AB=2AC=2Rsin，SOAB=ABOC=Rcos2Rsin=R2sin，S扇形OAB=，S阴影=R2sin故选A例3、如图，将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内，A（2，0），点B在原点，
8、把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60，经过2016次翻转之后，点C的坐标是（）A（4032，0） B（4032，2）C（4031，） D（4033，）【解析】每次翻转60，每6次翻转为一个循环组循环，20166=336，经过2016次翻转为第336循环，点C在开始时的位置，A（2，0），AB=2，前进的距离=22016=4032，如图，过点C作CGx于G，则CBG=60，AG=2=1，BG=2=，OG=4032+1=4033，点B的坐标为（4033，）故选DP(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、 如图，PA、PB分别切O于A、B，P
9、A=10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F则PEF的周长为（）A10cm B15cm C20cm D25cm【解析】C2、如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（）A9 B10 C12 D14【解析】D3、如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则ADE的面积（）A12 B24 C8 D6【解析】设EF=EC=xcm，则D
10、E=（4x）cm，AE=（4+x）cm，（4x）2+42=（4+x）2，x=1cm，CE=1cm，DE=41=3cm，SADE=ADDE2=342=6cm2故选D4、若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A4 B2 C2 D4【解析】A5、如图，O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A BC2 D【解析】六边形ABCDEF是正六边形，AOB=60，OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与O的切点，连接OG，则OGAB，OG=OAsin60=2=，S阴影=SOABS扇形OMN=2=故选A6、正六边形的边心距为，则该正六边形的外接圆半径为（）A B2
11、 C3 D2【解析】B7、如图，半径为2的O与正五边形ABCDE的两边AE、CD相切于点A、C，则劣弧长度为（）A B C D【解析】C8、如图，AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G，且ABCD，BO=6，CO=8（1）判断OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求O的半径OF的长【解析】（1）答：OBC是直角三角形证明：AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G，OBE=OBF=EBF，OCG=OCF=GCF，ABCD，EBF+GCF=180，OBF+OCF=90，BOC=90，OBC是直角三角形；（2）解：在RtBOC中，BO=6，CO=8，BC=10；（3）解：AB、BC
12、、CD分别与O相切于E、F、G，OFBC，OF=4.89、如图，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为多少？（结果保留）【解析】阴影部分的面积=SBCD（S正方形OBCES扇形OBE）=24（2222）= 课后反击1、如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，CD切O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则PCD的周长为（）A5 B7 C8 D10【解析】D2、如图，从O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果APB=60，线段PA=10，那么弦AB的长是（）A10 B12 C5 D10【解析】A3、如图，O
13、是ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为O的切线，若ABC的周长为25，BC的长是9，则ADE的周长是（）A7 B8C9 D16【解析】A4、已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A1：2： B2：3：4 C1：2 D1：2：3【解析】D5、正六边形的边心距与边长之比为（）A1：2 B：2 C：1 D：2【解析】D6、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A175cm2 B350cm2Ccm2 D150cm2【解析】AB=25，BD=15，AD=10，S贴
14、纸=2（）=2175=350cm2，故选B7、如图，已知：射线PO与O交于A、B两点，PC、PD分别切O于点C、D（1）请写出两个不同类型的正确结论；（2）若CD=12，tanCPO=，求PO的长【解析】（1）不同类型的正确结论有：PC=PD，CPO=DP，ACDBA，CEP=90，PC2=PAPB； （2）连接OCPC、PD分别切O于点C、DPC=PD，CPO=DPACDAB，CD=12，DE=CE=CD=6tanCPO=，在RtEPC中，PE=12，由勾股定理得CP=6PC切O于点C，OCP=90在RtOPC中，tanCPO=，OC=3，OP=158、如图，四边形ABCD是O的内接四边形，
15、ABC=2D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E（1）求OCA的度数；（2）若COB=3AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留和根号）【解析】（1）四边形ABCD是O的内接四边形，ABC+D=180，ABC=2D，D+2D=180，D=60，AOC=2D=120，OA=OC，OAC=OCA=30；（2）COB=3AOB，AOC=AOB+3AOB=120，AOB=30，COB=AOCAOB=90，在RtOCE中，OC=2，OE=OCtanOCE=2tan30=2=2，SOEC=OEOC=22=2，S扇形OBC=3，S阴影=S扇形OBCSOEC=32直击中考1、【2016深圳
16、】如图，在扇形AOB中AOB=90，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（ ） A24 B48 C28 D44【解析】在扇形AOB中AOB=90，正方形CDEF的顶点C是的中点，COD=45，OC=4，阴影部分的面积=扇形BOC的面积三角形ODC的面积=42（2）2=24故选：A2、【2008深圳】如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ） A B C D【解析】C3、【2009深圳】如图，已知点A，B，C，D均在已知圆上，ADBC，AC平分BCD，A
17、DC=120，四边形ABCD的周长为10cm图中阴影部分的面积为（ ） Acm2 B（）cm2 Ccm2 Dcm2【解析】AC平分BCD，=，ADBC，AC平分BCD，ADC=120，所以ACD=DAC=30，=，BAC=90B=60，BC=2AB，四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=BC3+BC=10，解得BC=4cm，圆的半径=4=2cm，阴影部分的面积=（2222）=cm2故选：B4、【2016资阳】在RtABC中，ACB=90，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（）A2 B4C2 D【解析】D为AB的中点，BC=B
18、D=AB，A=30，B=60AC=2，BC=ACtan30=2=2，S阴影=SABCS扇形CBD=22=2故选A5、【2011深圳】如图1，已知在O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交O于点E，连接AE（1）求证：AE是O的直径；（2）如图2，连接EC，O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和（结果保留与根号） 【解析】（1）证明：连接CB，AB，CE，点C为劣弧AB上的中点，CB=CA，又CD=CA，AC=CD=BC，ABC=BAC，DBC=D，Rt斜边上的中线等于斜边的一半，ABD=90，ABE=90，即弧AE的度数是180，AE是O的直
19、径；（2）解：AE是O的直径，ACE=90，AE=10，AC=4，根据勾股定理得：CE=2，S阴影=S半圆SACE=12.542=12.546、【2016深圳】如图，已知O的半径为2，AB为直径，CD为弦AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E交于点F（F与B、C不重合）问GEGF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由 【解析】（1）解：如图，连接OC，沿CD翻折后，点A与圆心O重合，OM=OA=2=1，CDOA，OC=
20、2，CD=2CM=2=2=2；（2）证明：PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，CMP=OMC=90，PC=2，OC=2，PO=2+2=4，PC2+OC2=（2）2+22=16=PO2，PCO=90，PC是O的切线；（3）解：GEGF是定值，证明如下：如图，连接GA、AF、GB，点G为的中点，=，BAG=AFG，又AGE=FGA，AGEFGA，=，GEGF=AG2，AB为直径，AB=4，BAG=ABG=45，AG=2，GEGF=8S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 切线长定理中三处垂直关系、三对全等关系、两对弧相等关系；2、 圆与正多边形的关系；3、 弧长、不规则阴影面积的计算。 名师点拨 掌握切线长定理题型，对不规则的阴影部分面积进行转化，是解决本节问题的关键。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14
