1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第03讲-圆 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 理解圆的定义与点与圆的位置关系及圆的对称性；熟练掌握圆心角、弦、弧之间的关系； 熟练掌握圆周角定理及其推论； 掌握圆内接四边形、正多边形的性质；掌握圆外接、内切三角形的性质； 掌握圆与直线的位置关系判定及切线的性质与判定； 理解切线长定理并进行弧、扇形等圆的相关计算。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 知识概念（一）圆的定义，点与圆的位置关系1、在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周
2、，另一个端点P所形成的图形叫做圆。定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径，以点O为圆心的圆记作，读作“圆O”。2、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点就是圆心，定长就是半径。3、点在圆内d r； 点在圆上d = r； 点在圆外d r（二）圆心角、弧、弦之间的关系1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等2、推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立（三）垂径定理1、内 容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧2、逆 定 理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦
3、,并且平分这条弦所对的两段弧3、推 论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧 在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论 （1）平分弦所对的弧；（2）平分弦 (不是直径)；（3）垂直于弦；（4）经过圆心（四）圆周角的定义与圆周角定理1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3、推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90
4、的圆周角所对的弦是直径（五）圆内接四边形1、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） （六）确定圆的条件1、条件：不在同一直线上的三点确定一个圆（七）三角形的外接圆1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部（八）直线与圆的位置关系判定：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d直线l和O相交dr； 直线l和O相切d=r； 直线l和O相
5、离dr（九）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心1、注意：切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心； 直线过切点； 直线与圆的切线垂直2、切线性质的运用（常作辅助线）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直（十）切线的判定定理1、切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线2、在应用判定定理时注意：（常用解题思路）“无交点，作垂线段，证半径”； “有交点，作半径，证垂直
6、”（十一）三角形的内切圆与内心 1、内切圆的有关概念：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点2、任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形3、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角（十二）切线长定理1、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角2、切线长定理包含着一些隐含结论 垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到 （十三）圆的相关计算1、弧长公式：2、扇形面积公式：考点一： 圆的定义、点与圆的位置关系例1、列说法：弧分为优弧
7、和劣弧；半径相等的圆是等圆；过圆心的线段是直径；长度相等的弧是等弧；半径是弦，其中错误的个数为（）A2 B3 C4 D5【解析】错误， 半圆也是弧；正确；故选：C例2、A、B是半径为5cm的O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）AAB0 B0AB5 C0AB10 D0AB10【解析】圆中最长的弦为直径，0AB10故选：D考点二： 圆心角、弧、弦的关系例1、在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A相等弦所对的弧相等 B相等弦所对的圆心角相等C相等圆心角所对的弧相等 D相等圆心角所对的弦相等【解析】A例2、如图，AB是O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交O于点C，连结AC、
8、BC、OB、OC若ABC=65，则BOC的度数是（）A50 B65 C100 D130【解析】由题意可得：AB=AC，ABC=65，ACB=65，A=50，BOC=100，故选：C考点三： 垂径定理及推论例1、某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为（）米？A6 B4 C8 D5【解析】B例2、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CDAB，且AB=26m，OECD于点E水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满
9、？【解析】（1）直径AB=26m，OD=，OECD，OE：CD=5：24，OE：ED=5：12，设OE=5x，ED=12x，在RtODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，CD=2DE=2121=24m；（2）由（1）得OE=15=5m，延长OE交圆O于点F，EF=OFOE=135=8m，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满考点四： 圆周角与圆心角关系及圆内接四边形例1、如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（）Acm B5cm C6cm D10cm【解析】如图，连接MN，O=90，MN是直
10、径，又OM=8cm，ON=6cm， MN=10（cm）该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm故选：B例2、如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若A=55，E=30，则F=（）A25 B30 C40 D55【解析】四边形ABCD是圆内接四边形，BCF=A=55，CBF是ABE的一个外角，CBF=A+E=85，F=180BCFCBF=40，故选：C考点五： 直线和圆的位置关系例1、已知O的面积为3，则其内接正三角形的面积为（）A9 B C D【解析】B例2、如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，若A=30，则sinE的值为（）A B C D
11、【解析】A例3、如图，ABC是O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE（1）求证：CE是O的切线； （2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长【解析】（1）证明：连接OC：BD是O的切线，CBE=A，ABD=90，AB是O的直径，ACB=90，ACO+BCO=90，BCD=90，E是BD中点，CE=BD=BE，BCE=CBE=A，OA=OC，ACO=A，ACO=BCE，BCE+BCO=90，即OCE=90，CEOC，CE是O的切线；（2）解：ACB=90，AB=2，tanA=，BD=AB=，CE=BD=考点六：切线长定理和圆的相关计算 例1、已知
12、正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A1 B C2 D2【解析】B例2、如图，在55的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将AOB绕点O顺时针旋转90得到AOB，则A点运动的路径的长为（）A B2 C4 D8【解析】每个小正方形的边长都为1，OA=4，将AOB绕点O顺时针旋转90得到AOB，AOA=90，A点运动的路径的长为：=2故选B例3、如图，在RtABC中，A=30，BC=2，以直角边AC为直径作O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A BC D【解析】连接OD、CDAC是直径，ADC=90，A=30，ACD=90A=60，OC=OD，OCD是等边三角形，BC是切线AC
13、B=90，BC=2，AB=4，AC=6，S阴=SABCSACD（S扇形OCDSOCD）=623（32）=故选A例4、已知PA、PB分别切O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D（1）若PA=6，求PCD的周长（2）若P=50求DOC【解析】（1）连接OE，PA、PB与圆O相切，PA=PB=6，同理可得：AC=CE，BD=DE，PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；（2）PA PB与圆O相切，OAP=OBP=90P=50，AOB=360909050=130，在RtAOC和RtEOC中，RtAOCRtEOC（HL），AOC=COE，同理
14、：DOE=BOD，COD=AOB=65P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的值可以是下列选项中的（）A3 B4 C5 D6【解析】B2、下列说法中，正确的是（）A三点确定一个圆 B三角形有且只有一个外接圆C四边形都有一个外接圆 D圆有且只有一个内接三角形【解析】B3、在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45，cos30）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D以上三者都有可能【解析】A
15、4、如图，如果直线AB与半径为2的O相切于点C，D是O上一点，且EDC=30，弦EFAB，则EF的长是（）A2 B8 C2 D2【解析】连接OE和OC，且OC与EF的交点为MEDC=30，COE=60AB与O相切，OCAB，又EFAB，OCEF，即EOM为直角三角形在RtEOM中，EM=sin60OE=2=，EF=2EM，EF=2故选A5、下列命题中为真命题的是（）A有一个角是40的两个等腰三角形相似 B三点一定可以确定一个圆C圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等 D三角形的内心到三角形三边距离相等【解析】D6、如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OEAC交半圆O于点E
16、，若AC=12，则OF的长为（）A8 B7 C6 D4【解析】OEAC，A=FOE，ODAC，AD=CD=AC=6，ADO=90，EFOB，OFE=90，在ODA和EFO中，ODAEFO，AD=OF=6故选C7、如图，在ABC中，A=90，AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆O与ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于（）A1 B C1 D【解析】连接OD，OE，半圆O与ABC相切于点D、E，ODAB，OEAC，在ABC中，A=90，AB=AC=2，四边形ADOE是正方形，OBD和OCE是等腰直角三角形，OD=OE=AD=BD=AE=EC=1，ABC=EOC=45，ABOE，DBF=OE
17、F，在BDF和EOF中，BDFEOF（AAS），S阴影=S扇形DOE=12=故选B8、如图，在ABC中，C=90，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的O与BC相交于点E，连接EF，过F作FGBC于点G，其中OFE=A（1）求证：BC是O的切线；（2）若sinB=，O的半径为r，求EHG的面积（用含r的代数式表示）【解析】（1）证明：连接OE，在ABC中，C=90，FGBC，BGF=C=90，FGAC，OFG=A，OFE=OFG，OFE=EFG，OE=OF，OFE=OEF，OEF=EFG，OEFG，OEBC，BC是O的切线；（2）解：在RtOBE中，sinB=，O的半径为r，OB=r，BE=r
18、，BF=OB+OF=r，FG=BFsinB=r，BG=r，EG=BGBE=r，SFGE=EGFG=r2，EG：FG=1：2，BC是切线，GEH=EFG，EGH=FGE，EGHFGE，=（）2=，SEHG=SFGE=r2 课后反击1、下列说法：相等的圆心角所对的弧相等；相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的弧相等；半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】只有正确，故选A2、在RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D不能确定【解析】C3、如图，在O中，已知=，则AC与
19、BD的关系是（）AAC=BD BACBD CACBD D不确定【解析】A4、如图，在55正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）A（0，0） B（1，1） C（1，0） D（1，1）【解析】B5、如图，O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交O于M，N两点，若DN=8，则AD的值为（）A4 B6 C2 D3【解析】6、如图，线段AB是O的直径，弦CDAB，CAB=40，则ABD与AOD分别等于（）A40，80 B50，100 C50，80 D40，100【解析】B7、如图，AB是O的一条弦，ODA
20、B，垂足为点C，交O于点D，点E在O上（1）若AOD=52，求DEB的度数；（2）若OC=3，OA=6，求tanDEB的值【解析】（1）连接OB，ODAB，=，BOD=AOD=52，DEB=BOD=26；（2）ODAB，OC=3，OA=6，OC=OA，即OAC=30，AOC=60，DEB=AOC=30，tanDEB=8、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB（1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；（2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由（3）若AB=8，BC=10，求
21、大圆与小圆围成的圆环的面积【解析】（1）BC所在直线与小圆相切理由如下：过圆心O作OEBC，垂足为E；AC是小圆的切线，AB经过圆心O，OAAC；又CO平分ACB，OEBC，OE=OA，BC所在直线是小圆的切线（2）AC+AD=BC理由如下：连接ODAC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，CE=CA；在RtOAD与RtOEB中，RtOADRtOEB（HL），EB=AD；BC=CE+EB，BC=AC+AD（3）BAC=90，AB=8cm，BC=10cm，AC=6cm；BC=AC+AD，AD=BCAC=4cm，圆环的面积为：S=（OD）2（OA）2=（OD2OA2），又OD2OA2=AD2，S=4
22、2=16（cm2）直击中考1、【2016达州】如图，半径为3的A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧A优弧上一点，则tanOBC为（）A B2 C D【解析】C2、【2016聊城】如图，四边形ABCD内接于O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC若ABC=105，BAC=25，则E的度数为（）A45 B50 C55 D60【解析】四边形ABCD内接于O，ABC=105，ADC=180ABC=180105=75=，BAC=25，DCE=BAC=25，E=ADCDCE=7525=50故选B3、【2016临沂】如图，AB是O的切线，B为切点，AC经过点O，与O分别相交于
23、点D，C若ACB=30，AB=，则阴影部分的面积是（）A B C D【解析】连接OBAB是O切线，OBAB，OC=OB，C=30，C=OBC=30，AOB=C+OBC=60，在RTABO中，ABO=90，AB=，A=30，OB=1，S阴=SABOS扇形OBD=1=故选C4、【2016天水】如图，AB、BC、CD分别与O切于E、F、G，且ABCD连接OB、OC，延长CO交O于点M，过点M作MNOB交CD于N（1）求证：MN是O的切线；（2）当OB=6cm，OC=8cm时，求O的半径及MN的长【解析】（1）证明：AB、BC、CD分别与O切于点E、F、GOBC=ABC，DCB=2DCMABCD，AB
24、C+DCB=180OBC+OCB=（ABC+DCB）=180=90BOC=180（OBC+OCB）=18090=90MNOB，NMC=BOC=90；即MNMC 且MO是O的半径；MN是O的切线（2）解：连接OF，则OFBC（5分），由（1）知，BOC是直角三角形，BC=10，SBOC=OBOC=BCOF68=10OF0F=4.8cmO的半径为4.8cm由（1）知，NCM=BCO，NMC=BOC=90；NMCBOC，即=，MN=9.6（cm）5、【2016黄埔区】如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E，连接AE（1）若D为AC的中点，连接DE，证明：DE是O的切线；（2）若BE=3
25、EC，求tanABC【解析】证明：（1）连接OE，AB是O的直径，AC是圆O的切线，AEBC，ACAB，在直角AEC中，D为AC的中点，DE=DC，DEC=DCE，OEB=OBE，ABC+ACB=90，DEC+OEB=DCE+OBE=90，DEO=18090=90，OEDE，DE 是O的切线；（2）在直角EAC与直角EBA中，EAC+EAB=90，EBA+EAB=90，EAC=EBA，EACEBA，EA2=EBEC，设EC=1，则EB=3，EA2=EBEC=3，在直角AEB中，S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾1、 利用圆心角、弦、弧的关系和圆周角定理及其推论等知识解决关于圆的性质相关的问题；2、 综合运用圆的知识解圆的相关计算。名师点拨本单元内容较多，熟练理解并识记相关性质定理是学好本单元的前提，多练是根本，善于总结是成绩提高的保障。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15
